ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Εργαστήριο

Ηλεκτρικών

Κυκλωμάτων Ενότητα 2η

Τσόρμπας Νικόλαος

18/11/2014

Άσκηση 1: Ισοδύναµα κυκλώµατα Thevenin – Norton

Σκοπός της άσκησης αυτής ήταν η θεωρητική κατανόηση της ισοδυναµίας κυκλωµάτων κατά

Thevenin ή Norton. Στόχος ήταν η κατανόηση των κανόνων που διέπουν κάθε µια από τις

δύο θεωρίες ώστε να είναι εφικτή στη συνέχεια η χρήση τους στα διάφορα πολύπλοκα

κυκλώµατα, έτσι ώστε να διευκολύνεται περεταίρω τόσο η ανάλυσή τους όσο και αποφυγή

λαθών που θα µπορούσαν διαφορετικά να προκύψουν.

Για να επιτευχθεί αυτό ήταν αναγκαία η εκµάθηση της ανάλυσης κυκλωµάτων τόσο

σύµφωνα µε τη µέθοδο των κόµβων όσο και µε την µέθοδο των βρόχων.

Άσκηση 2: Θεώρηµα µεγίστης µεταφοράς ισχύος – Θεώρηµα Επαλληλίας

Σκοπός της άσκησης ήταν η πειραµατική επαλήθευση του θεωρήµατος της µέγιστης

µεταφοράς ισχύος και του θεωρήµατος της επαλληλίας.

Άσκηση 1

Θεωρία

Οι έννοιες οι οποίες είναι χρήσιµες για την ανάλυση των κυκλωµάτων είναι οι παρακάτω:

• Κόµβος: είναι ένα σηµείο του κυκλώµατος όπου ενώνονται δύο ή περισσότερα

στοιχεία

• ∆ιαδροµή: σχηµατίζεται από ένα σύνολο διαδοχικών στοιχείων του κυκλώµατος έτσι

ώστε να µην περνάει από κάποιον κόµβο δεύτερη φορά

• Κλάδος: είναι η διαδροµή που συνδέει δύο κόµβους

• Βρόχος: είναι ένας ειδικός τύπος κλειστής διαδροµής που δεν περιέχει στο εσωτερικό

του κάποια άλλη κλειστή διαδροµή

Έτσι λοιπόν θεωρώντας ως παράδειγµα το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 1 Παράδειγµα κυκλώµατος

και σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς, στο κύκλωµα υπάρχουν:

i. επτά κόµβοι (a, b, c, d, e, f, g)

ii. δέκα κλάδοι [ac, ab, cd, de, be, cf, fg, eg, bg (R7), bg (I)]

iii. τέσσερις βρόχοι

Ουσιώδεις κόµβοι ονοµάζονται οι κόµβοι στους οποίους ενώνονται τρία ή περισσότερα

στοιχεία. Η διαδροµή που συνδέει δύο ουσιώδεις κόµβους ονοµάζεται ουσιώδης κλάδος.

Έτσι λοιπόν στο παραπάνω κύκλωµα υπάρχουν:

i. τέσσερις ουσιώδεις κόµβοι

ii. επτά ουσιώδεις κλάδοι

Στη γενικότερη περίπτωση γνωρίζοντας τον αριθµό των ουσιωδών κόµβων (κn) και των

ουσιωδών κλάδων (κb) ενός κυκλώµατος είναι γνωστές οι εξισώσεις που διέπουν το κύκλωµα.

Πράγµατι, στην περίπτωση του νόµου των ρευµάτων του Kirchhoff υπάρχουν 1n

κ −

εξισώσεις ενώ στην περίπτωση του νόµου των τάσεων του Kirchhoff υπάρχουν ( )1b n

κ κ− −

εξισώσεις.

Μέθοδος των κόµβων:

Στη γενικότερη περίπτωση για την µέθοδο των κόµβων, η ανάλυση του κυκλώµατος

πραγµατοποιείται µε την χρήση του παρακάτω πίνακα:

Εικόνα 2 Πίνακας για την µέθοδο των κόµβων

Στον πίνακα αυτό τα στοιχεία Ι11, Ι22,…Ιnn είναι το άθροισµα των ρευµάτων που εισέρχονται

(+) ή εξέρχονται (-) στον κόµβο 1, 2,…n αντίστοιχα. Τα στοιχεία V1, V2,…Vn είναι το

δυναµικό σε κάθε κόµβο. Τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα είναι το άθροισµα

των αγωγιµοτήτων των κλάδων που συνδέονται στον αντίστοιχο κόµβο. Τα υπόλοιπα

στοιχεία είναι το άθροισµα των κοινών αγωγιµοτήτων του κλάδου.

Μέθοδος των βρόχων:

Στη γενικότερη περίπτωση για την µέθοδο των βρόχων, για την ανάλυση του κυκλώµατος

ισχύει ο παρακάτω πίνακας:

Εικόνα 3 Πίνακας για την µέθοδο των βρόχων

Τα στοιχεία Ε1 – Εn είναι το άθροισµα των ΗΕ∆ στους επιµέρους βρόχους. Το άθροισµα

γίνεται κατά την φορά του ρεύµατος στον εκάστοτε βρόχο. Τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου

του πίνακα είναι το άθροισµα των αντιστάσεων κάθε βρόχου. Τα υπόλοιπα στοιχεία είναι το

άθροισµα των κοινών αντιστάσεων που υπάρχουν στον βρόχο ij. Το πρόσηµο των

αντιστάσεων Rij εξαρτάται από τη φορά του ρεύµατος που τις διαρρέει. Αν τα ρεύµατα είναι

οµόρροπα τότε το πρόσηµο είναι θετικό. ∆ιαφορετικά έχουν αρνητικό πρόσηµο. Για τις πηγές,

εφόσον το ρεύµα της πηγής είναι αντίθετο του ρεύµατος βρόχου τότε το πρόσηµο είναι

αρνητικό. ∆ιαφορετικά το πρόσηµο είναι θετικό. Τα στοιχεία i1 – i2 είναι το ρεύµα βρόχου.

Και στις δύο περιπτώσεις η επίλυση των δύο πινάκων θα δώσει τις απαιτούµενες εξισώσεις

από τις οποίες θα βρεθούν οι τιµές των ζητούµενων κάθε φορά στοιχείων που απαρτίζουν το

κύκλωµα.

Ισοδύναµο κύκλωµα Thevenin – Norton

Για να αντικατασταθεί ένα αρχικό κύκλωµα µε το ισοδύναµό του κατά Thevenin πρέπει να

είναι γνωστή η τάση Thevenin ( )ThV , και η αντίσταση Thevenin ( )Th

R

H Th

V είναι η τάση του αρχικού κυκλώµατος στους ακροδέκτες Α, Β, όταν το κύκλωµα είναι

ανοιχτό.

Στη συνέχεια βραχυκυκλώνοντας τα άκρα Α, Β το κύκλωµα θα διαρρέεται από το iTh για το

οποίο θα ισχύει Th Th Th

V i R= ⋅ , σχέση από την οποία υπολογίζεται το RTh

Παρακάτω φαίνεται σχηµατικά η µετατροπή ενός κυκλώµατος στο ισοδύναµό του κατά

Thevenin:

Εικόνα 4 Ισοδύναµο κύκλωµα Thevenin

To ισοδύναµο κύκλωµα Norton αποτελείται από µια ανεξάρτητη πηγή ρεύµατος, ΙΝ,

συνδεδεµένη παράλληλα µε την ισοδύναµη αντίσταση Norton. To ισοδύναµο κύκλωµα

Norton, µπορεί να προκύψει από το ισοδύναµο κύκλωµα Thevenin µε έναν απλό

µετασχηµατισµό πηγών. Επίσης ισχύει ότι Th N

R R= . Το ΙΝ µετριέται µε το αµπερόµετρο

συνδεδεµένο στα βραχυκυκλωµένα άκρα Α, Β. Επίσης ισχύει Th

N

N

VI

R= . Το ισοδύναµο

κύκλωµα Norton σχηµατικά είναι το εξής:

Εικόνα 5 Ισοδύναµο κύκλωµα Norton

Άσκηση 2

Θεωρία:

1. Το θεώρηµα της µέγιστης µεταφοράς ισχύος

Το θεώρηµα της µέγιστης µεταφοράς ισχύος διατυπώνεται ως εξής: “αντιστάτης φορτίου RL

συνδεδεµένος στους ακροδέκτες Α, Β ενός κυκλώµατος µε αντιστάτες, που περιέχει

ανεξάρτητες και εξαρτηµένες πηγές, απορροφά τη µέγιστη ισχύ από το κύκλωµα, όταν η τιµή

της αντίστασης του γίνει ίση µε την αντίσταση του ισοδύναµου κυκλώµατος Thevenin ως

προς τους ακροδέκτες Α, Β”

2. Η αρχή της επαλληλίας

“Όταν ένα γραµµικό σύστηµα διεγείρεται από περισσότερες της µιας ανεξάρτητες πηγές

ενέργειας, τότε η ολική απόκριση του συστήµατος ισούται µε το άθροισµα των αποκρίσεων,

που οφείλονται σε κάθε µια πηγή χωριστά”

Με βάση την παραπάνω διατύπωση κάθε κύκλωµα µπορεί να αναλυθεί σταδιακά θεωρώντας ,

ότι κάθε φορά υπάρχει µόνο µία ανεξάρτητη πηγή στο κύκλωµα. Οι υπόλοιπες ανεξάρτητες

πηγές τάσης αντικαθίστανται από βραχυκύκλωµα, ενώ οι ανεξάρτητες πηγές ρεύµατος

αντικαθίστανται από ανοικτό κύκλωµα.

1) Πειραµατικές Ασκήσεις

1η Άσκηση

Αφού κατασκευάστηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 6 Κύκλωµα άσκησης 1

Τα επιµέρους στοιχεία του κυκλώµατος έχουν τις παρακάτω τιµές

1 2

3

4

5

1

2

1

1.5

3.3

1.5

10

3

R R k

R k

R k

R k

E V

E V

= = Ω

= Ω

= Ω

= Ω

=

=

Για την θεωρητική εύρεση των ,Th Th Th

V R Iκαι ακολουθήθηκε η εξής διαδικασία:

Η RTh αποτελεί ουσιαστικά την Rολ του κυκλώµατος. Έτσι αφαιρώντας τις πηγές και

βραχυκυκλώνοντας τις υπολογίζεται η ολική αντίσταση ίση µε 2.75R kολ = Ω

Η Th

V υπολογίστηκε σύµφωνα µε την µέθοδο των βρόχων. Έχοντας υπόψη ότι η R5 δεν

διαρρέεται από ρεύµα τότε στο κύκλωµα υπάρχουν δύο βρόχοι. Εποµένως σύµφωνα µε την

θεωρία ο πίνακας διαµορφώνεται ως εξής:

+ −− + + = −

Από τον πίνακα αυτόν αρκεί να υπολογιστεί το I2 αφού το Th

V ισούται µε το VΑΒ για το οποίο

ισχύει 4 2 4V V I RΑΒ ≡ = ⋅ .

Για το Ι2 ισχύει 1 2 2 1 2

2 2

1 2 2 3 4 2

( )0.38

( )( )

R R E E RI mA

R R R R R R

− + += =

+ + + −

Οπότε 2 4 1.254Th

V I R V= ⋅ =

Τέλος 0.456Th

Th

Th

VI mA

R= =

Οι αντίστοιχες τιµές που µετρήθηκαν στο εργαστήριο ήταν οι εξής:

1.27

2.7

0.46

Th

Th

N

V V

R k

I mA

=

= Ω

=

Τα σφάλµατα υπολογίστηκαν:

1.67 1.650.013

1.67

2.75 2.70.018

2.75

1.2 1.220.009

1.22

Th

Th

N

V

R

I

σ

σ

σ

− = ± = ±

− = ± = ±

− = ± = ±

Τα σφάλµατα των πειραµατικών τιµών είναι πολύ µικρά εποµένως οι µετρήσεις που

πραγµατοποιήθηκαν στο εργαστήριο ήταν σωστές.

Στη συνέχεια κατασκευάστηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 7 Κύκλωµα άσκησης 2

Οι επιµέρους τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος είναι:

1

2

3 4

1.5

3.3

1

10

R k

R k

R R k

V V

= Ω

= Ω

= = Ω

=

Η θεωρητική τιµή του RTh υπολογίστηκε σύµφωνα µε τον τύπο

1 3 2 4

1 3 2 4

1.37Th

R R R RR R k

R R R Rολ= = + = Ω

+ +

Από τον νόµο του Ohm ισχύει ότι:

4 4

1 4

4 3

3 3

2 3

4

1.67

2.33Th

VV R V

R RV V V V

VV R V

R R

= = + = − =

= =+

Εποµένως το IN βγαίνει ίσο µε: 1.22Th

N

Th

VI mA

R= =

Οι αντίστοιχες τιµές που µετρήθηκαν στο εργαστήριο ήταν:

1.65

1.36

1.2

Th

Th

N

V V

R k

I mA

=

= Ω

=

Στη συνέχεια παρατίθενται τα πειραµατικά σφάλµατα των τιµών:

1.67 1.650.012

1.67

1.37 1.360.0073

1.37

1.2 1.220.016

1.22

Th

Th

N

V

R

I

σ

σ

σ

− = ± = ±

− = ± = ±

− = ± = ±

Τα σφάλµατα των πειραµατικών τιµών είναι πολύ µικρά εποµένως οι µετρήσεις που

πραγµατοποιήθηκαν στο εργαστήριο ήταν σωστές.

2η Άσκηση

Αρχικά κατασκευάστηκε το παρακάτω κύκλωµα:

Εικόνα 8 Κύκλωµα άσκησης 1

Τα επιµέρους στοιχεία του κυκλώµατος είναι:

1 2

3

4

5

3.3

1

1.5

1

12

R R k

R k

R k

R k

E V

= = Ω

= Ω

Ω

= Ω

=

H RTh υπολογίστηκε ίση µε 3.10Th

R k= Ω

Στη συνέχεια έγιναν οι παρακάτω µετρήσεις, µεταβάλλοντας την τιµή του φορτίου RL

ξεκινώντας από τα 100Ω

Πίνακας 1 Μετρήσεις της VL µεταβάλλοντας την RL

RL (Ω) VL (Volts)

100 0.07

200 0.13

300 0.19

400 0.25

500 0.31

600 0.36

700 0.41

800 0.45

900 0.50

1000 0.54

1200 0.62

1400 0.69

1600 0.75

1800 0.81

2000 0.86

2200 0.92

2400 0.96

2600 1.00

2800 1.05

3100 1.10

3400 1.15

3700 1.20

4000 1.24

4300 1.28

4600 1.32

4900 1.35

5200 1.38

5500 1.41

5800 1.44

6100 1.46

6600 1.50

7100 1.53

7600 1.57

8100 1.59

8600 1.62

9100 1.64

9300 1.65

Στη συνέχεια και µε βάση τους τύπους

2

L

L

L

VP

R= και % L

Th L

Ra

R R=

+υπολογίστηκαν τα

ζητούµενα της άσκησης, τα οποία βρίσκονται συγκεντρωµένα στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 2 Οι τιµές της PL και του α% για το θεώρηµα µέγιστης µεταφοράς ισχύος

PL (W) α%

0,000049 0,033333

0,000085 0,068966

0,00012 0,107143

0,000156 0,148148

0,000192 0,192308

0,000216 0,24

0,00024 0,291667

0,000253 0,347826

0,000278 0,409091

0,000292 0,47619

0,00032 0,631579

0,00034 0,823529

0,000352 1,066667

0,000365 1,384615

0,00037 1,818182

0,000385 2,444444

0,000384 3,428571

0,000385 5,2

0,000394 9,333333

0,000403 30

0,000389 -11,3333

0,000389 -6,16667

0,000384 -4,44444

0,000381 -3,58333

0,000379 -3,06667

0,000372 -2,72222

0,000366 -2,47619

0,000361 -2,29167

0,000358 -2,14815

0,000349 -2,03333

0,000341 -1,88571

0,00033 -1,775

0,000324 -1,68889

0,000312 -1,62

0,000305 -1,56364

0,000296 -1,51667

0,000293 -1,5

Τέλος σχεδιάζοντας την γραφική παράσταση του PL – RL παρατηρείται ότι ισχύει το θεώρηµα

µέγιστης µεταφοράς ισχύος όταν αφού µέγιστη ισχύς επιτεύχθηκε όταν L Th

R R= . Πράγµατι:

∆ιάγραµµα 1 Η γραφική παράσταση του PL συναρτήσει του RL

Παρατηρείται ότι το διάγραµµα συµφωνεί µε το αναµενόµενο διάγραµµα το οποίο είναι

γνωστό από την βιβλιογραφία.

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004

0,00045

0 2000 4000 6000 8000 10000

PL

(Ω)

RL (Ω)

Στο δεύτερο µέρος της άσκησης ζητούµενο ήταν η επαλήθευση του θεωρήµατος της

επαλληλίας. Το κύκλωµα της άσκησης ήταν το εξής:

Εικόνα 9 Κύκλωµα άσκησης 2

Τα επιµέρους στοιχεία της διάταξης είναι:

1 2

3

4

5

1

2

1

1.5

3.3

1.5

12

3

R R k

R k

R k

R k

E V

E V

= = Ω

= Ω

= Ω

= Ω

=

=

Αρχικά µετρήθηκε η τάση της αντίστασης R3 µε τις δύο πηγές συνδεδεµένες. Το αποτέλεσµα

της µέτρησης ήταν 3 1.4V V= −

Αφαιρώντας στη συνέχεια την πηγή Ε2 η µέτρηση ήταν '

31.43V V= ενώ αφαιρώντας την

πηγή Ε1 η µέτρηση ήταν ''

32.94V V= −

Έτσι ' ''

3 31.43 2.94 1.51V V V+ = − = − τιµή πολύ κοντά στην τιµή που µετρήθηκε µε τις δύο

πηγές συνδεδεµένες. Έτσι επαληθεύεται το θεώρηµα της επαλληλίας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρεθούν οι τάσεις V1, V2 για το κύκλωµα:

Για την επίλυση της άσκησης θα γίνει χρήση του θεωρήµατος των κόµβων. Έτσι µε την

µέθοδο των πινάκων ισχύει:

1

2

1 1 1 1 50 0

5 2 4 4 5

1 1 1 1 26.2 113.2

4 4 2 2 2

o

o

Vi

V

i

∠ + + − ⋅ =

∠ − − +

Ή κάνοντας τις πράξεις:

1

2

0.67 47.8 0.25 10 0

0.25 0.9 33.56 13.1 113.2

o o

o o

V

V

∠ − ∠ ⋅ = − ∠ ∠

Για το V1:

1

10 0 0.25

13.1 113.2 0.9 33.5615.03 74.76

0.67 47.8 0.25

0.25 0.9 33.56

o

o o

o

o

o

V V

∠ −

∠ ∠= = ∠−

∠ −

− ∠

Για το V2:

2

0.67 47.8 10 0

0.25 13.1 113.210.78 113.63

0.67 47.8 0.25

0.25 0.9 33.56

o o

o

o

o

V V

∠ ∠

− ∠= = ∠−

∠ −

− ∠

2. Νε βρεθεί µε τη βοήθεια του θεωρήµατος της επαλληλίας το ρεύµα του κλάδου ΙΑΒ:

Αντικαθιστώντας αρχικά την πηγή ρεύµατος µε µια πηγή η οποία θα έχει τάση

2 2 0 (6 2 ) 12 16oV i i= ∠ ⋅ − = − η οποία θα έχει αντίθετη πολικότητα µε την ήδη υπάρχουσα

τάση. Αφού όλα τα στοιχεία θα είναι σε σειρά συνδεδεµένα θα διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα.

Εποµένως πρέπει να βρεθεί αυτό το ρεύµα.

Αφαιρώντας κάθε πηγή και βραχυκυκλώνοντας:

Αφαίρεση V2: ' 20 30o

V V= ∠

Αφαίρεση V1: '' 20 53.13o

V V= − ∠−

Σύµφωνα µε το θεώρηµα της επαλληλίας: ' " 26.54 78.44o

V V V V= + = ∠

Άρα 26.54 78.44

4.2 96.876.32 18.43

oI A

∠= = ∠

∠−

Όπου 6 2 6.32 18.43oR iολ = − = ∠− Ω

3. Να βρεθεί το ισοδύναµο κατά Norton κύκλωµα ως προς τα άκρα ΑΒ µε τη βοήθεια

του θεωρήµατος της επαλληλίας

Για την εύρεση της RTh αφαιρούνται οι πηγές και στις θέσεις τους µπαίνει βραχυκύκλωµα.

Άρα 2.75Th

R k= Ω

Χρησιµοποιώντας την µέθοδο των κόµβων και αφαιρώντας την µία πηγή και παρατηρώντας

ταυτόχρονα ότι το κύκλωµα αποτελείται από δύο κόµβους αφού η αντίσταση 1,5kΩ δεν

διαρρέεται από ρεύµα αφού ΑΒ ανοιχτά:

'

'1

2'

2

2000 1000 00.57

1000 5800 3

ii mA

i

− ⋅ = ⇒ = − − −

Ισχύει '

2 3300 1.87AB

V i V= ⋅ = −

Αφαιρώντας την άλλη πηγή και βραχυκυκλώνοντας, πάλι µε την µέθοδο των βρόχων:

''

''1

2''

2

2000 1000 100.94

1000 5800 0

ii mA

i

− ⋅ = ⇒ = −

Οµοίως '' ''

2 3300 3.11AB

V i V= ⋅ =

Ισχύει ότι ' '' 1.24

AB AB AB ThV V V V V= + = =

Το ρεύµα Norton υπολογίστηκε 0.45Th

N

Th

VI mA

R= =