Sobre la buena reducción de una superficie K3 usando teoría p-adica de Hodge

Sobre la Buena Reduccion de una Superficie K3 Usando Teorıa p-Adica de Hodge

Sobre la Buena Reduccion de una Superficie K3

Usando Teorıa p-Adica de Hodge

Encuentro Conjunto de la RSME-SMM

Teorıa de Numeros

Jesus Rogelio Perez Buendıa

Instituto de Matematicas (UNAM)

Septiembre 2014


Motivacion

Motivacion

I Entender la relacion que existe entre la geometrıa de una variedad

Algebraica y su cohomologia.

I En general es sabido que la geometrıa de una variedad algebraica

sobre un campo, determina a sus distintos grupos de cohomologıa

con sus diferentes estructuras.

I Por ejemplo si X es una variedad algebraica suave y propia sobre C,

entonces su cohomologıa de Betti es una estructura de Hodge pura

con determinados pesos.


Motivacion

Motivacion










Motivacion

Motivacion










Motivacion

Motivacion

Nota:

En general no es verdad que los grupos de cohomologıa de una variedad

algebraica determinen sus propiedades geometricas. Sin embargo, para

ciertas clases especiales de variedades, es sabido desde hace tiempo que

este podrıa ser el caso.


Motivacion

Torelli para variedades Abelianas

Para variedades Abelianas sobre C tenemos el teorema de Torelli que dice:

Teorema (Torelli)

Una variedad Abeliana polarizada sobre C es determinada por sus

periodos. Mas precisamente, si A y A′ son variedades abelianas

complejas, y si tenemos un isomorfismo de estructuras de Hodge:

φ : H1(A,Z)→ H1(A′,Z),

entonces A y A′ son isomorfas.


Motivacion

Motivacion

Similarmente, si X una variedad algebraica sobre un campo p-adico K ,

suave y propia, entonces sus grupos de cohomologıa etale p-adicos

Vi = H iet(XK ,Qp)

son representaciones p-adicas de GK := Gal(K ,K ) cuyo tipo es

determinado por la geometrıa de varios modelos enteros de X .


Motivacion

Notacion

Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.

La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a

menos que se especifique lo contrario. Sea

I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.

I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.

I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.

I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.

I OK el anillo de enteros de k.

I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y

k = OK/πOK = W /pW .


Motivacion

Notacion












Motivacion

Notacion












Motivacion

Notacion












Motivacion

Notacion












Motivacion

Notacion












Motivacion

Campo p-adico

Definition

Un campo p-adico K , es un campo de caracterıstica cero que es

completo respecto a una valuacion discreta (fija) y que tiene campo de

residuos k perfecto de caracterıstica p.


Motivacion

Representacion p-adica

Definition

Una representacion p-adica V de GK es un Qp-espacio vectorial de

dimension finita con una accion continua de GK .

Si X es una variedad propia y suave sobre K , entonces sus grupos de

cohomologıa H iet(XK ,Qp) son representacion es p-adicas de GK .


Motivacion

Teorıa p-adica de Hodge

La coleccion de representaciones p-adicas de K forman una categorıa

abeliana denotada por RepQp(K ).

Le teorıa p-adica de Hodge nos brinda subcategorias de representaciones

p-adicas dependiendo que que tan amables son dichas representaciones.

Repcris(K ) ⊂ Repst(K ) ⊂ RepdR (K ) ⊂ RepHT (K ) ⊂ RepQp(K )

con contenciones estrictas.


Motivacion

Teorema de De Rham

Si X es una variedad propia y suave sobre C, entonces existe un

isomorfismo de comparacion clasico entre la cohomologıa de de Rham

algebraica de X sobre C y la comologıa singular de Xan:

H∗dR(X/C) ' H∗(Xan,Q)⊗Q C

cuyo isomorfismo es determinado por el pareo de integracion de formas

diferenciales sobre ciclos. Dichas integrales∫

Dω son llamados los

periodos y son en general numeros complejos. Decimos entonces que Ccontiene todos los periodos necesarios para comparar la cohomogıa de de

Rham con la cohomologıa singular. C es llamado anillo de periodos.


Motivacion

Isomorfismo de Comparacion

Tate (50’s) conjeturo que isomorfismos de comparacion similares

deberıan de existir para esquemas suaves y propios X sobre K entre la

cohomologıa de de Rham y su cohomologıa etale p-adica.

Conjetura CHT

Sea BHT := ⊕i∈ZCK (i). Existe un isomorfismo funtoirial:

BHT ⊗K grH∗dR(X/K ) ' BHT ⊗Qp H∗et(XK ,Qp)

como espacios vectoriales graduados con accion de GK .


Motivacion

La Conjetura de Hodge-Tate

Faltings probo la conjetura y de hecho probo un poco mas.

Example (La conjetura de Hodge-Tate (Faltings, 1988))

Existe un isomorfismo canonico que es compatible con la accion de Galois:

CK ⊗Qp H2et(XK ,Qp) '

⊕0≤i≤m

CK (−i)⊗Qp Hm−i (X |K ,ΩiXK/K )


Motivacion

Conjetura de De Rham

Para mejorar la conjetura para involucrar a la cohomologıa de de Rham y

no solo a su graduacion. Fontaine introdujo un anillo llamado BdR con

anillo graduado igual a BHT y conjeturo:

CdR

Existe un isomorfismo canonico, compatible con la accion de Galois y

filtraciones:

BdR ⊗Qp Hnet(XK ,Qp) ' BdR ⊗Qp Hn

dR(XK/K )


Motivacion

Las conjeturas C∗

y otras mas llamadas las conjeturas C∗. Que ya todas son teoremas.

Ccris

Sea X un modelo propio y suave de XK sobre OK . Sea X la fibra especial

de X . Existe un isomorfismo canonico compatible con la accion de Galois

y Frobenius:

Bcris ⊗Qp Hnet(XK ,Qp) ' Bcris ⊗Qp Hn

cris(X/W ).


Motivacion

Cst

Sea X un modelo propio semiestable de XK sobre OK . Sea X la fibra

especial de X y sea M la estructura logarıtmica natural asociada a X .

Existe un isomorfismo canonico compatible con la accion del grupo de

Galois, Frobenius y operador N:

Bst ⊗Qp Hnet(XK ,Qp) ' Bst ⊗Qp Hn

log−cris((X ,M), (W ,O∗))


Anillos de Periodos

Anillos de Fontaine

Que son los anillos de periodos definidos por Fontaine?

I BdR es un anillo de valuacion discreta sobre K con campo de

residuos CK . Contiene K paro no CK . Tiene una accion de GK y

una filtracion dada por su valuacion. Su algebra graduada es

gr i BdR = CK (i).

I Bcris es una algebra sobre K0 y tiene a BdR cono subanillo

GK -estable. Tiene una filtracion que viene de BdR y un

endomorfismo σ-semilineal inyectivio y GK -equivariante φ llamado el

endomorfismo de Frobenius. BGK

cris = K0.

I Bst es una algebra sobre K0 y tiene accion de GK . Contiene Bcris y

K0 pero no K . El endomorfismo de Frobenius de Bcris se extiende a

Bst y tenemos una derivacion: Nst : Bst → Bst tal que Nstφ = pφNst.


Anillos de Periodos

Modulos de Dieudonne

Fontaine observo que los BGk -modulos DB (V ) := (B ⊗Qp V )(GK ) revelan

propiedades importantes de la representacion p-adica V . De hecho varios

de los isomorfismos del tipo C∗ son consecuencia de el estudio de estos

Dieudonne-modulos.

Definition

Sea L = BGK . Una representacion p-adica V es B-admisible, si

dimL DB (V ) = dimQp .V

Una representacion es HT , dR, cris, st si es lo correspondiente admisible.


Anillos de Periodos

Teorema de Faltings

Theorem (Tsuji, Niziol, Faltings)

Si X es semiestable, entonces V = H∗et(XK ,Qp) es Bst-admisible. Si X

tiene buena reduccion entonces V es cristalina.


Anillos de Periodos

Criterio de Buena Reduccion para Variedades Abelianas

Theorem (Iovita-Coleman, Breouile)

A tiene reduccion semiestable sı y solo si, H1et(AK ,Qp), es una

representacion semiestable.

Sea A una variedad abeliana semiestable sobre K. A tiene buena

reduccion sı y solo sı H1et(AK ,Qp) es una representacion cristalina de GK .

Despues de estos resultados. Nadie habıa probado que existiera otra clase

de variedades que tuviera esta propiedad. Sin embargo se conjeturaba

que esto deberıa ser posible.


Superficies K3

Superficies K3

Definition

Una superficie K3 sobre K , es una superficie propia y suave

XK → Spec K tal que

I q := dim H1(XK ,OK ) = 0

I ωXK ' OK equivalentemente KXK = 0.

en donde ωXK es la gavilla canonica y KXK es el divisor canonico.


Superficies K3

Kummer Kahler y Kodaira

Nota

Superficies K3 fueron bautizadas por Andre Weil en honor a los tres

geometras algebraicos: Kummer, Kahler y Kodaira. Tambien en honor a

las montanas K2 en Kashmir.

Figure: Superficie K3


Superficies K3

Semiestabilidad

Definition

Una superficie K3 sobre K , XK , es semiestable (o tiene reduccion

semiestable) si tiene un modelo semiestable, esto es, existe un modelo

propio y plano X → Spec(OK ) tal que la fibra general Xζ es XK y cuya

fibra especial X es suave o un divisor con cruzamientos normales, es

decir, localmente etale X se ve como el producto coordenadas.

XK//

X

Spec(K) // Spec(OK ).

Si la fibra especial X es suave, entonces decimos que XK tiene buena

reduccion.


Superficies K3

Ejemplos

Example (Interseccion completa de hipersuperficies)

Sea X una superficie suave que es la interseccion completa de n

hipersuperfices de grados d1, d2, . . . , dn en Pn+2 sobre K . Por la formula

de adjuncion tenemos que:

ωX := Ω2X = OX (d1 + d2 + · · ·+ dn − n − 3);

por lo que una condicion necesaria para que X sea una superficie K3, es

que

d1 + d2 + · · ·+ dn = n + 3


Superficies K3

Example

Por lo que tenemos los casos siguientes:

n=1 tenemos que d1 = 4. Es decir, cuarticas en P3.

n=2 tenemos que d − 1 + d2 = 3 dando d1 = 2 y d2 = 3 es decir la

interseccion completa de una cuadrica y una cubica en P4.

n=3 tenemos que d1 + d2 + d3 = 6 y entonces d1 = d2 = d3 = 2, es decir

la interseccion completa de tres cuadricas.

Como para toda interseccion completa X y para todo m ∈ Z se tiene que

H i (X ,OX (m)) = 0 con 1 ≤ i ≤ n − 1, tenemos que las anteriores son en

efecto superficies K3.


Superficies K3

Una cuartica

Example

La cuartica XK en P3K dada por la ecuacion

x4 + π((y − w)4 + (z − 2w)4) + w 4 = 0 es una superficie K3. Su

reduccion modulo π es x4 + y 4 = 0 sobre k que se factoriza como

producto de factores lineales. Por lo tanto XK es semiestable con mala

reduccion.

Figure: caption


Superficies K3

Superficies de Kummer

Example

Sea A una superficie abeliana sobre K . Sea A[2] el nucleo de la funcion

x 7→ x + x , la multiplicacion por 2. Consideremos la explosion φ : A→ A

sobre los 16 puntos de A[2]. Consideremos la involucion:

σ : A→ A; x 7→ −x

Los puntos fijos de σ son precisamente los 16 puntos de A[2]. Esta

involucion se levanta a A de tal manera que tenemos un diagrama

conmutativo:

Aσ //

φ

A

φ

A

σ// A


Superficies K3

Superficies de Kummer

Ahora consideramos el consiente de A por el grupo generado por σ que

denotamos por Kum(A) y denotamos por π : A→ Kum(A) la proyeccion

natural. Kum(A) es llamada la superficie de Kummer asociada a A y es

una superficie K3.


Superficies K3

Torelli para K3

Ahora pasemos brevemente al caso de superficies K3 complejas, en este

caso tenemos tambien un teorema de Torelli.

Theorem

Torelli para K3 Dos superficies K3 complejas X ,X ′ son isomorfas, si y

solo sı existe una isometrıa de Hodge φ : H2(X ,C)→ H2(X ′,C) (es decir

la isometrıa manda preserva H0,2).


Superficies K3

Analogo al teorema de Iovita-Coleman.

Theorem

Sea XK una superficie con modelo mınimo semiestable X sobre OK . Sea

X su fibra especial. Entonces XK tiene buena reduccion sı y solo sı

H2et(XK ,Qp) es una representacion cristalina de GK .


Teorema de Kulikov-Persson-Pinkham

Teorema de KPP

Theorem

Sea X → ∆ una degeneracion semiestable de superficies K3 (de Kulikov)

con todas las componentes de la fibra central X0 algebraicas. Sea

N := log T : H2(X ,Z)→ H2(X ,Z) el operador de monodromıa.

Entonces la fibra central es de alguna de las siguientes formas:

I (Tipo 1). X0 es una superficie K3-suave. En este caso N = 0

I (Tipo 2). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr donde V0,Vr son racionales suaves y el

resto son suaves elıpticas regladas, tal que Vi ∩ Vj 6= ∅ si y solo si

j = i ± 1. Vi ∩ Vj es una curva elıptica. En este caso N 6= 0 pero N2 = 0.

I (Tipo 3). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr , con Vi suave, racional y las curvas

dobles son ciclos de curvas racionales. La grafica dual Γ es una

triangulacion de S2. En este caso N2 6= 0 pero N3 = 0.



Teorema de KPP

Theorem














Teorema de KPP

Theorem














El caso p-adico

Regresemos ahora al caso p-adico. Y sea XK una superficie K3 con

modelo semiestable mınimo:

Theorem

Sea Nst el operador de monodromıa en Dst(H2et(XK ,Qp)). Entonces el

grado de nilpotencia de Nst determina el tipo de la fibra especial del

modelo mınimo X exactamente como en el teorema de Kulikov.


Idea de la Prueba

Paso 1

La idea de la prueba es la siguiente.

I Consideremos la fibra especial X de X , que es una superficie sobre el

campo de residuos k que es algebraicamente cerrado. Dado que esta

proviene de un modelo semiestable mınimo, se prueba, usando

resultados de Friedman que X es combinatoria (es decir es de tipo 1,

2 o 3).

I Se usa geometrıa logarıtmica. Se le dan las estructuras logarıtmicas

a la fibra, al modelo y a los puntos de tal manera que se demuestra

que X es una K3-superficie logarıtmica con cruzamientos normales.

I Por un resultado de Nakkajima (liftings of normal crossing log K3

surfaces and Enriques surfaces). Existe una deformacion

X→ Spec W [[u1, . . . un]] de X (en la categorıa de log-esquemas).


Idea de la Prueba

Paso 1






2 o 3).








Idea de la Prueba

Paso 1






2 o 3).








Idea de la Prueba

I Construyo una familia X → Spec(W [[t]]) que es una deformacion de

X y con la propiedad de que al invertir p obtenemos una familia con

fibra en 0, Y → Spec(K0) combinatoria del mismo tipo de X y fibra

general una superficie K3

I A esta familia se le asocia un operador de monodromıa, definido

como el residuo de la conexion de Gauss-Manin en cero.


Idea de la Prueba

I Construyo una familia X → Spec(W [[t]]) que es una deformacion de

X y con la propiedad de que al invertir p obtenemos una familia con

fibra en 0, Y → Spec(K0) combinatoria del mismo tipo de X y fibra

general una superficie K3

I A esta familia se le asocia un operador de monodromıa, definido

como el residuo de la conexion de Gauss-Manin en cero.


Idea de la Prueba

I Usando Deligne y un teorema de comparacion de Iovita-Andreatta,

este operador de monodromıa Np esta ıntimamente relacionado con

Nst . Tienen el mismo tipo de nilpotencia.

I Consideramos la familia XC → SpecC[[t]] obtenida al extender

escalares sobre los complejos. Demostramos que existe una familia

Y → ∆ con la propiedad de que al considerar su analogo algebraico

Y → SpecC[[t]] nos queda una familia congruente a la familia X(en el sentido de la teorıa de aproximacion de Artin).


Idea de la Prueba

I Usando Deligne y un teorema de comparacion de Iovita-Andreatta,

este operador de monodromıa Np esta ıntimamente relacionado con

Nst . Tienen el mismo tipo de nilpotencia.

I Consideramos la familia XC → SpecC[[t]] obtenida al extender

escalares sobre los complejos. Demostramos que existe una familia

Y → ∆ con la propiedad de que al considerar su analogo algebraico

Y → SpecC[[t]] nos queda una familia congruente a la familia X(en el sentido de la teorıa de aproximacion de Artin).


Idea de la Prueba

I A cada una de estas familias le corresponde un operador de

monodromıa definido como le residuo en 0 de la conexion de

Gauss-Main, que por resultados de Deligne tambien se corresponde

al operador de monodromıa definido sobre la familia sobre el disco

unitario.

I Demostramos que todos estos operadores de monodromıa tienen el

mismo tipo de anulacion. Usamos los teoremas de comparacion de

Iovita-Adreatta en teorıa de Hodge, para deducir el resultado.


Idea de la Prueba

I A cada una de estas familias le corresponde un operador de

monodromıa definido como le residuo en 0 de la conexion de

Gauss-Main, que por resultados de Deligne tambien se corresponde

al operador de monodromıa definido sobre la familia sobre el disco

unitario.

I Demostramos que todos estos operadores de monodromıa tienen el

mismo tipo de anulacion. Usamos los teoremas de comparacion de

Iovita-Adreatta en teorıa de Hodge, para deducir el resultado.

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