هندسه تحلیلی

دانشگاهی : ............... پیش صفحه : مرکزـ 1-

محمد : : تنظیم و تهیه تحلیلی هندسه درساصل شربیانی

كند : تحليلي هندسه تعريف می تركيب هندسه با را حسابان كه است علمی تحليلي هندسه . كنيم حل سادگی به جبری روشهای از استفاده با را هندسی مشكل مسايل بتوانيم كه

: ماتريس اول فصلتعدادي : ماتريس تعريف داراي كه است ازاعداد شكلي مستطيلی جدول ماتريس هر

سطر و ستون مي باشد كه به اين اعداد واقع در داخل هر ماتريس درايه يا مولفه نمايش ستونj نمايش سطر و i نمايش داده كه aijماتريس مي گويند وآنرا بصورت

مرتبه Aاست و ماتريس از هرگاه n×mرا و mداراي Aگويند و nسطر باشد مي ستونصورت Aماتريس به nرا A=[aij]m . نمايش مي دهيم

=A

؟ C=[ i2+j2] 2×3ماتريس( 1تست است كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

: ها ماتريس انواعمربعی : مربعي ( ماتريس1 را ماتريس باشد برابر ماتريس ستونهاي و سطرها تعداد اگر

مانند هاي و گويند درايه قطر , ….a11 , a22 , a33وبه هاي درايه را

. گويند ماتريس اثر را اصلي قطر هاي درايه مجموع و گويند مربعي ماتريس اصلي

ماتريس : ستوني و سطري ( ماتريس2 را باشد داشته سطر يك فقط كه ماتريسي: . ستوني گويند ستوني ماتريس را باشد داشته ستون يك فقط كه ماتريسي و سطري

سطري . و

را : قطري ( ماتريس3 باشد صفر اصلي قطر خارج هاي درايه مربعي ماتريس يك در اگر

مانند گويند قطري .ماتريس

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



هم : اسكالر ( ماتريس4 با همگي آن اصلي قطر روي هاي درايه كه است قطري ماتريس

مانند : باشد . برابر

با واحد)هماني( : ( ماتريس5 را هماني مربعي Iماتريس ماتريس آن و دهيم مي نمايشهماني ماتريس و باشد صفر هايش درايه بقيه و يك آن اصلي قطر هاي درايه كه است

با n×nمرتبه مانند : Inرا دهيم مي . I2 = يا =I3 نمايش

قطر : مثلثي پايين و مثلثي باال ( ماتريس6 باالي هاي درايه همه مربعي ماتريس يك در اگراصلي قطر پايين هاي درايه اگر و گويند مي مثلثي پايين را ماتريس آن باشند صفر اصلي

: . مثلثي پايين گويند مثلثي باال را ماتريس آن باشد صفر مربعي باال ماتريس و

.مثلثي :

از : صفر ( ماتريس7 صفر ماتريس و باشد صفر آن هاي درايه همه كه است ماتريسي

با n×mمرتبه . n×O mرا دهيم مي .O 2 ×2 = و 3O× 2 = نمايش

برابر : مرتبه هم ( ماتريس8 هم با آن سطرهاي تعداد كه گويند مرتبه هم هایي ماتريس بهمانند باشند يكسان هم با نيز ستونهايشان تعداد . 2A×3و 2B×3و

. Cو Bو Aاگر : ماتريسها تفريق و جمع خواص باشند مرتبه هم ماتريسهاي1.A+B = B+A. جابجايي خاصيت2.A+)B+C) = )A+B)+C. پذيري شركت خاصيت3.A+)-A) = )-A)+A = O. 4.O+A = A+O = A. 5.A+I = I+A . 6.B = C A+B = A+C.

اگر : است =C و =Bو = Aمثال مطلوب و A+Cو A+Bباشند

A-C وA+)B+C) .

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



با : ها ماتريس ضرب اول ماتريس هاي ستون كه است آن ماتريس دو پذيري ضرب شرطيعني : باشند برابر دوم ماتريس (C3×4( = 2×2و P×p) = C m×)B n×n) ×)A m سطرهاي

)B4×)A3 .

و C و Bو Aاگر : ها ماتريس ضرب خواص مرتبه هم مربعي ماتريس اعداد sو rسه . باشند حقيقي

1.A )BC) = )AB) C. پذيري شركت خاصيت2.AC C) = ABA )B. پخش خاصيت3.CAC) A = BAB .)4. rB B) = rAr)A . 5.)rS)A = r)SA). 6.)rA))SB) = )rS))AB) .7.)rS)A = r)SA) . 8.A=B rA = rB . 9.)I)n = I.10.B=O ياA =O AB = O. 11.A = O×O = O×A. 12.)KA)n = KnAn.

توان : نكته مي ولي كرد ساده را ماتريسي تساوي ازطرفین توان نمي ماتريسها درضرب

يعني : كرد ضرب ماتريس دريك را تساوي A=Bطرفين

B = C AB = AC

يعني : : نكته نداريم جابجايي خاصيت ماتريسها ضرب BAدر AB .

: : نكته دارد جابجايي خاصيت ماتريسها ضرب زير حالتهاي در1.AI =IA. و Bو Aاگر .2 باشند مرتبه هم .AB = BAآنگاه AB = KIمربعيآنگاه Bو Aاگر .3 باشند مرتبه هم و قطري ماتريس .AB = BAدو

: قطري و مثلثي ماتريسهاي خواص1.. است مثلثي باال ماتريسي مرتبه هم مثلثي باال ماتريس دو تفاضل و مجموع2.. است مثلثي پايين ماتريسي مرتبه هم مثلثي پايين ماتريس دو تفاضل و مجموع3.. است مثلثي باال ماتريسي مرتبه هم مثلثي باال ماتريس دو حاصلضرب4.. است مثلثي پايين ماتريسي مرتبه هم مثلثي پايين ماتريس دو حاصلضرب5.. است قطري ماتريسي مرتبه هم قطري ماتريس دو وتفاضل مجموع6. . است قطري ماتريس ، قطري ماتريس دو حاصلضرب

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



ستونهاي ماتريسها: ضرب طريقه در را اول ماتريس سطرهاي ماتريس دو ضرب براي. كنيم مي ضرب دوم ماتريس

اگر : است =B و =A مثال مطلوب وجود صورت در BAو ABباشد

.A-3Bو

معادله( 2تست هاي ريشه ؟ =0 مجموع است كدام

1 )4 2 )4 -3 )3 4 )3 -

.A×A2= Aو An-1A =AAn-1 = Anو A3=A2A=AA2و AmAn = AnAmباشد n×Amاگر : نكته

ماتريس(: 64سال(3تست درسطر بصورت Aاگر واقع درايه دراينصورت باشد

اول ستون است؟ A3سوم 18( 4 17( 3 16( 2 15( 1كدام

حاصلضرب p×Bnو n×Amهرگاه : نكته واگر ABباشد داشت خواهد باشد C=ABوجود . داشت خواهيم

=A Cij= [ام iسطرB] [ام jستون ]

و B =و A= اگر( 4تست است؟ xمقدار باشد كدام

1( 4صفر( 3- 2( 2 2( 1

؟ 7Aباشد A=اگر(: 79سال(5تست است كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

است؟ باشد A=اگر(: 77آزاد(6تست كدام

1) 2 ) 3 ) 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



آنگاه اگر( 7تست است؟ 1383Aباشد كدام 1 )A 2) I 3)A 21382 4) I 21382

آنگاه B.An=و B=و A=اگر(: 80آزاد(8تست

1) 2) 3) 4)

حاصل A=B+Cاگر(: 78آزاد ( 9تست است؟ باشد كدام1 )C 2)0 3) 2C 4) 2–C

ماتريس(: 84سال( 10تست است؟ دوتايي و A=اگر كدام

1) )2 11، )2) )2 13، )3))4 11، )4))4 13، )

آنگاه A=اگر : نكته آنگاه A=واگر An= باشد باشد

=An.

حاصل A=اگر(: 79آزاد( 11تست است؟ باشد كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

مربعي : توان پوچ و توان خود ماتريسهاي هرگاه Aماتريس گوئم توان خود در رامربعي N))n نتيجه ماتريس طبيعي Aو عدد ازاي به گويندهرگاه توان پوچ Kرا

باشيم هر Ak=0داشته ازاي به حالت اين .N))nكه =0Anداريم n>kودر

و Bو Aاگر( 12تست باشند پذير تعريض ماتريس حاصل و دو -A+B(1383باشدAB) ؟ است کدام

1 )A+B 2) A+B-AB 3)0 4) AB

عدد A=اگر( 13تست كوچكترين ، nباشد N) )n 0بطوريكهAn= ؟ است كدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



1 )2 2 )3 3 )4 4 )5

ماتريس : ماتريس يك ترانهاده با Aترانهاده جاي (At )ATرا آن يافتن براي و داده نمايش . كنيم مي عوض ستونها با ا سطر

اگر : بيابيد؟ ATباشد A=مثال را

: ماتريس يك ترانهاده هاي ويژگي

1.)AT)T=A. 2.BT B)T=AT )A.3.)rA)T =rAT.4.SBT SB)T = rAT )rA .5.) AB)T = BTAT .6. )ABC)T = CTBTAT. 7.)An)T = )AT)n.8. . IT = I 9.ATA AAT.

10 .A=0 A.AT=0 يا AT.A =0 .

كه B و Aاگر(: 76سال( 14تست باشند ماتريس صورت ATBT= دو اين BAدر

است؟ كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

مقدار C= و AB=اگر(: 77سال( 15تست چه ازاي واقع xبه درايه

ماتريس سوم وستون دوم سطر تالقي ؟ 4برابر Bt)CtA)tدرمحل 2( 2- 1( 1است3 )3 4 )4

مربعي : متقارن ماتريس تعريف هرگاه Aماتريس گوييم متقارن مانند :AT=Aرا

=A. متقارن : نكته ماتريس هر . aij = ajiدر برابراند هم با اصلي قطر طرفين هاي درايه و

است ماتريس(: 76سال( 16تست متقارن ماتريس است؟ m يك كدام

1 )2 -2 )1 -3 )1 4 )2

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



اصلي A+ATو AATو ATAماتريس : نكته قطر روي اعداد و است AATيا ATAمتقارن

هستند . نامنفي

وهرماتريس : نكته است متقارن ماتريس يك ، متقارن ماتريس دو تفاضل و مجموع . است متقارن ، قطري

نيست؟( 17تست صحيح زير هاي گزينه از يك كدام1 )ABT+BAT . است متقارنباشد Aاگر( 2 . (A-)B+BTمتقارن است متقارنو Bو Aاگر( 3 . ABآنگاه AB=BAمتقارن است متقارنباشد Aاگر( 4 . A-B+BTمتقارن است متقارن

مربعي : متقارن پاد ماتريس تعريف هرگاه Aماتريس گويند پادمتقارن مانند AT=-Aرا

=A

متقارن : نكته پاد ماتريس قطر aij = -ajiدر بر واقع هاي درايه متقارن، پاد ماتريس هر در وهستند هم قرينه دارند قرار قطراصلي طرفين در كه هايي ودرايه صفرهستند اصلي

. است صفر متقان پاد ماتريس هر درايه ومجموع

است؟( 18تست غلط گزينه كدام1 )ABT-BAT . است متقارن پادو Aاگر( 2 باشد، Bمتقارن متقارن . پاد است متقارن3 ) A-AT . است متقارن پادو Aاگر( 4 باشد، Bمتقارن متقارن .A+Bپاد است متقارن

درايه A=اگر(: 69سال( 19تست مجموع صورت دراين باشد متقارن پاد

است؟ چقدر دوم ستون -5( 4- 4( 3- 3( 2- 2( 1هاي

و Aاگر(: 85سال(20تست متقارن كه Bماتريس طوري به باشند متقارن پاد (ماتريسA+B))A-B=)A2-B ماتريس ؟ A.Bآنگاه است مثلثي( 2قطري( 1چگونه باال

متقارن( 4متقارن( 3 پاد

پاد : نكته ماتريس يك و متقارن ماتريس يك مجموع بصورت توان مي را ماتريسي هريعني : نوشت متقارن

)A-AT)) A+AT + )A=

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



متقارن A=ماتريس(: 86سراسری( 21تست ماتريس يک مجموع بصورت را

؟ است کدام متقارن ماتریس دترمینان ، ایم نوشته متقارن پاد ماتريس ويک1 )3 2 )4 -3 )2 4 )2 -

.: نكته است متقارن پاد ماتريس مرتبه هم متقارن پاد ماتريس دو وتفاضل مجموع

.: نكته است صفر ماتريس است متقارن پاد هم و متقارن هم كه ماتريسي تنها

: دترمینان دوم فصل

ماتريس : دترمينان با Aدترمينان اگر را و دهيم مي داشت A=نمايش خواهيم

ad – bc=.: 3×3 ماتريس در درايه يك وهمسازه كهاد

دايه ماتريس j iكهاد با Aام كه Mijرا دهيم مي ماتريس Mijنمايش كه 2×2يك باشد ميسطر حذف ستون iاز و ماتريس jام درايه Aام همسازه و آيد مي ماتريس ijبدست Aام

با را وآن باشد مي عدد رابطه Aijيك از و دهيم مي مي Aij=)-1)i+j نمايشيابيم.

ماتريس(: 75سال( 1تست سوم ستون دوم سطر است؟ همسازه كدام

1 )2 2 )3 3 )2 -4 )3 -

زير : 3×3 دترمينان محاسبه روشهاي روش سه از توان مي دترمينان محاسبه براي. كرد استفاده

وپنجم : ساروس ( روش1 چهارم سطر عنوان به را ماتريس دوم و اول سطر روش اين درفرعي قطر سه و اصلي قطر سه صورت اين در كه نويسم مي دوباره ماتريس

و اصلي قطر هاي درايه حاصلضرب مجموع تفاضل از دترمينان مقدار كه آيد مي بوجود. آيد مي بدست فرعي قطر هاي درايه حاصلضرب مجموع

مي : دلخواه ستون يا سطر حسب بر ( بسط2 بسط طريق از دترمينان محاسبه برايبسط را ستوني يا سطر است بهتر و كنيم استفاده دلخواه ستون يا سطر بسط از توانيم

. داريم بيشتري صفر ستون يا سطر آن در كه دهيم

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مقدار = A+ xاگر(: 78سال( 2تست است؟ Aباشد كدام

1 )3 2 )4 3 )5 4 )6

: دترمينان خواص از ( استفاده3صورت .1 اين در باشند صفر ماتريس ستون يك يا سطر يك هاي درايه همه اگر

. شود مي صفر ماتريس آن دترمينان

درايه .2 حاصلضرب جواب قطري ماتريس و مثلثي پايين و مثلثي باال هاي ماتريس در

. شود مي اصلي قطر الف ( هاي

ب (

د ( ج (

خ (

حاصل اگر(: 76سال( 3تست باشد

است؟ كدام1 )6 -2 )12 3 )12 -4 )6

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

حسب( بر بسط) اول سطر

) دوم( ستون برحسب بسط



.: نكته

. : نكته

. = k : نكته

Rو n : نكته , n×An . است؟( 4تست نادرست گزينه كدام

1 )= 2 )

3 ) 4 )

حاصل 3A×3اگر( 5تست ؟ باشد است كدام

1 ) 2) 3 ) 4)

و Aاگر( 6تست حاصل Bمتقارن باشد متقارن نيست؟ پاد برابر گزينه كدام با1 ) 2 ) 3 ) 4 )

باشد Aاگر( 7تست فرد مرتبه از و متقارن است؟ پاد كدام

- I 3) 1 4) 1( 2صفر( 1

است؟ باشد AAT= اگر( 8تست كدام

1) 2) 3 )4 4 )3

حاصل A= اگر(: 77سال( 9تست است؟ آنگاه كدام

1 )0 2 )81 -3 )81 4 )49 -

و : نكته است صفر ماتريس آن دترمينان باشند برابر ماتريس يك ستون دو يا سطر دو اگرآن دترمينان صورت اين در باشد ديگر ستون يا سطر از مضربي ستون يك يا سطر يك اگر

. است صفر

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



ستون : نكته يك به را ستون ازيك مضربي ويا ديگر سطري به سطررا يك از مضربي اگر: يعني كند نمي تغيير دترمينان كنيم اضافه ديگر

اگر : نكته كه شود مي قرينه دترمينان كنيم عوض را دترمينان ستون يا سطر دو جاي اگردترمينان باشد فرد تعداد به اگر و كند نمي تغيير دترمينان باشد زوج تعداد به ها تعويض

. شود مي قرينه

دارد؟ (a>b>0( معادله(: 64سال( 10تست ريشه چند

1 . ندارد( . 2ريشه دارد( متمايز ريشه . 3سه داد( ريشه و( 4يك مضاعف ريشه يك. دارد ساده ريشه يك

دترمينان(: 75آزاد( 11تست است؟ حاصل كدام

1 )3a 2) –a 3) 0 4) abc

دترمينان( 12تست . حاصل با است برابر

-x-y))y-z))z-x) 4) 1(( 3 1( 2صفر( 1است؟( 13تست درست گزينه كدام

1 ) 2 ) 3 )abc 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



تساوي( 81سال( 14تست است؟ =0از درست گيري نتيجه كدام

1 )abc=0 2) a,b,c 3دلخواه )a+b+c=0 4) ab+bc+ca=0

: : نكته ) براي نكته اين توجه بعكس و كنيم تجزيه دترمينان دو به را دترمينان يك توان مي : ) يعني است صادق نيز ها ستون

=

آنگاه اگر(: 77سال( 15تست است؟ باشد كدام

1) 2) 3) 4)

آنگاه اگر(: 75سال( 16تست است؟ باشد كدام

1 ) 2 )bA2 3) bA2- 4 )

دترمينان(: 79سال( 17تست سوم در ستون و سوم درسطر واقع عنصر به اگر

آنگاه 4 نكند تغيير دترمينان مقدار و شود اضافه است؟ aواحد كدام

1 )2 ) 3 ) 4 )

دترمينان(: 80سال( 18تست سوم اگر وستون دوم سطر در واقع عنصر به

شود؟ 2 مي افزوده مقدار كدام دترمينان مقدار به شود اضافه واحد1 )12 2 )18 3 )30 4 )40

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



0اگر(: 83سال( 19تست abc معادله از صحيح باشد گيري نتيجه كدام

است؟1 )0a+b+c= 2) 0a-b+c= 3) 0a+b-c= 4) 0–a+b+c=

دترمينان a+b+c=-5اگر( 20تست حاصل ؟ ، است كدام

1 )12 -2 )4 -3 )4 4 )12

ماتريس(: 85سال( 21تست برابر A =در ها درايه تمام مجموع باشد 6اگر

مقدار است؟ x، و ( 4 ( 3 ( 2 0( 1كدام

مثلث و و اگر : نكته آنگاه ABCراسهاي باشند

= S

مثلث(: 77آزاد( 22تست 1نقاط (ABCدر 1،)A) 1و 4،)B) 3و 5،) C هستنداگر مثلث Gرئوسمثلث مساحت باشد ميانه سه تالقي است؟ ABGنقطه كدام

1 )1 2 ) 3 ) 4 )3

از : نكته كه خطي بصورت (B)c , dو (A)a , bمعادله گذرد .=0مي است

نقطه : ماتريس يك تحت نقطه يك يافته تبديل يافته ماتريس (x , y(تبديل تحت

از است . عبارت

نقطه(: (75سال( 23تست يافته تبديل ماتريس A(1،- 1مختصات است؟ تحت كدام

1))4 -،1 )2) )1 ،4 )-3) )1 -،4 )-4) )4 -،1 )-

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



يافته اگر : نكته تبديل شكل ماتريس Sمساحت آنگاه Aتحت .باشد

ماتريس(: 77سال( 24تست مستطيل اگر شكل روي اثركندمساحت

است؟ جديدكدام1 )54 2 )48 3 )42 4 )36

مربع(: 77سال( 25تست يافته ماتريس تبديل چهار تحت كدام

است؟ ضلعياالضالع( 4لوزي( 3مربع( 2مستطيل( 1 متوازي

كنيم : ماتريس يك تحت منحني يك يافته تبديل مي فرض منحني (x , y(ابتدا روي اي نقطه

ماتريس تحت نقطه اين تبديل و را باشد ناميم = مي

سپس يابيم برحسب yو xمي مي Yو Xرا قرار شده داده معادله در و كنيم مي حساببرحسب آن يافته تبديل معادله تا .Yو Xدهيم آيد بدست

منحنی(: 64سال( 26تست يافته ماتريس تبديل است؟ تحت كدام

1) 2) 3) 4 )

اندازه : دوران به مختصات مبدا حول دوران با ماتريس است برابر مثبت درجهت و

=R و .

نقطه : يافته دوران اندازه مثال به مثبت جهت در و مختصات مبدا حول .را رابيابيد

: دوران ماتريس مهم خواص

1 )= Rn = n) )R . 2) -)-1 = R )R .

است؟ حاصل(: 78سال( 27تست كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



است؟ حاصل A= اگر( 28تست كدام

1 )213A 2) 212A 3) A 4 )

متقارن: ماتريسهاي

محور به نسبت تقارن با xماتريس است برابر . ها

محور به نسبت تقارن با yماتريس است برابر .ها

با است برابر مختصات مبدا به نسبت تقارن . ماتريس

خط به نسبت تقارن با y = x ماتريس است .برابر

خط به نسبت تقارن با y = -xماتريس است . برابر

نقطه( 29تست يافته خط (3,-1(تبديل به نسبت تقارن است؟ y = xتحت كدام1 ))1,3) 2 )-)1-,3) 3 )-)3-,1) 4 )-)3,1)

وارون : ماتریس سوم فصل

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مربعي : ماتريس وارون ماتريس با Aوارون كه A-1را دهند مي .AA-1 = A-1A = Iنمايش

آنگاه اگر : 2×2 ماتريس يك وارون محاسبه طريقه .باشد

همسازه : همسازه ماتريس با Aماتريس تعريف را زير صورت وبه دهيم مي نمايش

كنيم . مي

الحاقي : الحاقي ماتريس با Aماتريس ترانهاده *Aرا از وآنرا دهيم مي مي نمايش

يعني يابيم

.A* = A-1 = : 3×3 ماتريس يك وارون آوردن بدست روش

ماتريس اگر(: 86سال( 1تست سوم ستون سطردوم عنصر ،A-1 است؟ كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

ماتريس : نكته پذيري وارون كه Aشرط است . اين

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



ماتريس(: 82سال( 2تست نباشد اگر پذير ؟ aوارون است كدام

1 )2- , 1 2 )-2 , 1 3 )-3 , 2 4 )3- , 2

و : نكته مثلثي پايين ، مثلثي باال بترتيب قطري و مثلثي پايين ، مثلثي باال ماتريس وارون . است قطري

ماتريس(: 76آزاد( 3تست ؟ وارون است كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

=باشدآنگاه واگر A-1= باشدآنگاه اگر : نكته

.A-1

: ماتريس وارون خواص1.)AB)-1 = B-1A-1. 2.)AT)-1 = )A-1)T. 3.)An)-1 = )A-1)n.

4. .

5. .

6..

7..

8..

نادرست Bو Aاگر(: 82سال( 4تست آنها مورد در گزينه كدام باشد پذير وارون ماتريساست؟

1 )ATBT = )BA)T 2) 3) )AT)-1 = )A-1)T 4) )AB)-1 = A-1B-1

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



ماتريس(: 84سال( 5تست وارون اگردترمينان ماتريس دترمينان Aبا

است؟ mبرابرباشد كدام1 )-1,1 2 )0,2 3 )0-,2 4 )2-,2

و Bو Aاگر( 6تست باشند پذير وارون و مرتبه هم ماتريس دراين A3 = 2Aو B5 = 3Bدو

حاصل است؟ صورت كدام

1) 2) 3 )6I 4)

متقارن Aاگر(: 86سراسری( 7تست پاد ماتریس آنگاه I-Aیک باشد پذیر وارون؟ است برابر

1 )A 2) A-1 3) )I-A)-1 4) I

وارون A3 = 2Iاگر( 8تست صورت اين در است؟ A-Iباشد كدام1 )A2+I 2) A2+A+I 3) A2+A 4) A2

با Aو اگر : نكته مرتبه داريم Bهم . B-1AB)n = B-1AnB(باشد

حاصل 2×2ماتريس Cاگر(: 76سال( 9تست باشد پذير است؟ وارون كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4)

و Bو Aاگر(: 65آزاد( 10تست پذير معكوس مربعي درست ماتريس كدام نباشداست؟

1 ))A+B)-1 = A-1)A+B)B-1 2) )A+B)-1 = B-1)B+A)A-1 3 )A-1 + B-1 =)A+B)-1 4) )A+B)-1= A-1)A-1+B-1)-1B-1

است؟(: 75سال( 11تست صحيح گزينه كدامباشد، A+Bاگر ( 1 پذير .Bو Aوارون پذيرهستند وارونباشد Bو Aاگر( 2 پذير . A+Bوارون است پذير وارونپذيري( 3 بودن A+Bوارون پذير وارون با . Bو Aارتباطي ندارد

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نباشد، Bو Aاگر( 4 پذير . A+Bوارون نيست پذير وارون

: الحاقي ماتريس خواص

)AB = *)B*A* 1 2. A* = 3. A*A = AA= *

4 . 5 .)A= *)* 6. )A*)-1=

7 .)A)*T = )AT)* 8. )A*)-1 = )A-1)* 9. )KA)* = Kn-1A* 10 .)KAB = *)Kn-1B*A*

همسازههاي اگر(: 81سال( 12تست ماتريس با Aوترانهاده بناميم *Aرا

است؟ حاصل كدام

1 )9 -2 )4 -3 )4 4 )9

ماتريس(: 77آزاد( 13تست است؟ ماتريس 2×3عضو در كدام

- 2( 4- 1( 3صفر( 2 1( 1

مرتبه Aاگر(: 77سال( 14تست مربع ماتريس ماتريس و 3يك دترمينان آنگاه باشداست؟ Aهمسازه كدام

1 )24 2 )36 3 )144 4 )432

سوم اگر( 15تست ستون دوم سطر است؟ A)*-1(درايه كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )1

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



دستگاه : حل چهارم فصل. : معادالت دستگاه حل هاي روش داريم را زير روش چهار دستگاه حل براي

سه وارون: ماتريس از استفاده با دستگاه حل ( اول روش معادله سه دستگاه كلي صورت

بصورت ماتريس مجهول از استفاده با آن حل براي كه است

بصورت كه را ضرايب ماتريس ابتدا در وارون و ميدهيم تشكيل را است

فرمول از كه =A-1پايان كنيم مي . استفاده هستند ثابت مقادير

دستگاههاي( .و مثال كنيد حل وارون ماتريس روش به را

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



ماتريس گاوس: ( حذفي دوم روش آن ابتدا به كه ميدهيم تشكيل را

باال ماتریس به را ضرايب ماتريس ، سطري اعمال با سپس و گويند مي افزوده ماتريسدهيم انجام سطرها روي را زير اعمال توانيم مي سطري دراعمال كه كنيم مي تبديل مثلثي

. كند نمي تغيير دستگاه جواب صورت اين در كه: گاوس حذفي روش براي خاصيت چند

1 . سطر( دو تعويض 2 . سطر( يك در دلخواه عدد يك ضرب 3 . دلخواه( عدد يك بر سطر يك هاي درايه تمام تقسيم 4 )K. كنيم اضافه سطر یک هاي درايه به توان مي را سطر يك هاي درايه برابر

كنيد( حل گاوس حذفي روش به را مقابل های دستگاه و مثال

با : جردن گاوس ( حذفي سوم روش كنيم مي عمل گاوس حذفي روش مانند روش اين در. كنيم مي تبديل صفر به را ضرايب ماتريس اصلي قطر خارجي هاي درايه كه تفاوت اين

. 3مثال كنيد( حل جردن گاوس حذفي روش به را مقابل و دستگاههاي

ماتريس(: 76سال( 1تست مقدماتي سطري اعمال با ماتريس اگر به

مقدار است شده است؟ aتبديل 17( 2 19( 1كدام

3 )13 4 )15

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



ماتريس ماتريس(: 78سال( 2تست به مقدماتي سطري اعمال با

مقدار است شده است؟ aتبديل كدام

1 )3 2 )2 3 )1 -4 )3 -

مقدماتي( 3تست سطري عمليات سري يك با بصورت اگر را

حاصل كنيم است؟ a +b +cتبديل كدام

1 )4 2 )3 3 )2 4 )1

جواب اگر(: 75سال( 4تست مجموع باشد دستگاه يك افزوده ماتريس

است؟ كدام دستگاه -5( 4- 4( 3 4( 2 5( 1اين

ماتريس ماتريس( 5تست به گاوس حذفي تبديل باروش

است است؟ aشده - 4( 4- 2( 3 4( 2 2( 1كدام

ماتریس(: 84سال( 6تست جردن گاوس رش بصورت در

است ؟ a+b+cدرآمده است کدام1 )0 2 )1 3 )2 4 )3

. كرامر: چهارم( روش روش بيابيم زير فرمولهاي از را مجهوالت توان مي

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



و و

.

دستگاه( . مثال كنيد حل كرامر روش به را

های(: 86سال( 7تست معادله دستگاه ضرایب اگر 4برابر دترمینان ، است

؟ bآنگاه است کدام

1 )2 -2 )1 -3 )1 4 )2

دستگاه : مجهول سه معادله سه دستگاه يك جوابهاي درتعداد بحث

. است مفروض

هرگاه الف( دارد جواب .و دستگاه

هرگاه ب( ندارد جواب . و دستگاه

هرگاه ج( دارد جواب شمار بي . و دستگاه

مقدار( 8تست زير دستگاه باشد aدر نداشته جواب دستگاه كه بيابيد طوري را

1 )3 2 )1 -3 )1 4 )3 -

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مقدار( 9تست كدام ازاي دارد؟ Kبه جواب شمار بي مقابل دستگاه

1 )k =-2 2) k =-3 3) k =3 4) k =2

مقدار(: 79سال(10تست كدام ازاي معادالت aبه جواب دستگاه فاقد

است؟ 1 )2 2 )3 3 )4 4 )5

مقدار(: 72سال( 11تست كدام ازاي فرد دستگاه mبه منحصربه جواب

ندارد؟ 1 )2 -2 )1 -3 )1 4 )2

معادالت(: 72سال( 12تست مقدار دستگاه كدام ازاي ممكن mبه غير

است؟ 1 )5 -2 )3 -3 )3 4 )5

دستگاه : نكته و mدر معادالت AX = Bمجهول nمعادله تعداد از بيش مجهوالت تعداد اگربفرد منحصر جواب هيچگاه ودستگاه دارد شمارجواب بي ويا ندارد جواب يا باشد،دستگاه

ندارد.

دستگاه : نكته و اگر در ندارد جواب دستگاه

. اگر دارد جواب شمار بي دستگاه

دستگاه( 13تست و mدر تعداد AX =Bمجهولي nمعادله از بيش مجهولها تعداد اگر : آنگاه باشد معادالت

1 . دارد( جواب شمار بي همواره بفرد( 2دستگاه منحصر جواب همواره دستگاهدارد.

3 . ندارد( جواب گاه هيچ بفرد( 4دستگاه منحصر جواب گاه هيچ دستگاهندارد.

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مقدار( 14تست كدام ازاي معادالت Bو Aبه داراي دستگاه

است؟ جواب

مقادير( B = -1 4و ( 3 و A = -2( 2 و ( 1 Bو Aتمام

دستگاه : نكته و mدر باشد (AX =Bمجهول nمعادله مجهوالت از بيش معادالت تعداد اگرm>n )حالت در دستگاه كه است خط يك دهنده نشان يا هرمعادله

حالت در و ندارد جواب

. دارد شمار بي حالت در و دارد جواب يك يامجهول n×mماتريس Aاگر(: 80سال( 15تست و nيك Xو مرتب يك Bتايي mبصورت

حالت در باشد مرتب ازاي : AX =Bدستگاه m > nتايي به. Bبرخي( 1 ندارد . Bهر( 2جواب دارد بفرد منحصر شمار Bهر( 3جواب بي

. دارد جواب. Bهر( 4 است جواب فاقد

مجهول : همگن دستگاه جوابهاي تعداد در بحث سه معادله سه دستگاه ثابت مقدار اگر

يعني آمد خواهد بدست همگن دستگاه باشد صفر

هرگاه ( الف دارد جواب يك همگن .دستگاه باشد ( ( ب هرگاه ( دارد صفر غير جواب جواب بيشمار .دستگاه باشد

مقدار( 16تست كدام ازاي دارد mبه صفر غير جواب داراي معادالت دستگاه

1و- 4( 4- 1و- 4( 3- 1و 4( 2 4و 1( 1

مقدار(: 74سال( 17تست چند ازاي صفر دستگاه aبه غير جواب داراي

است؟ 3( 4 1( 3 2( 2هيچ( 1

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

3L

1L2L

21 LوL 3L321 ,, LLL



دستگاه : نكته جواب d1 = d2 = 0اگر در بيشمار دستگاه باشد

دارد.

دارد؟ دستگاه( 18تست جواب چند

جواب( 1 جواب( 2بيشمار ندارد( 3يك جواب( 4جواب سه

دستگاه( 19تست مورد است؟ اگر درست گزينه كدام

مقـاديـر (1 تـمـام ازاي . a , b , cبه دارد فرد به منحصر جواب دستگاهمقادير( 2 بعضي ازاي . a, b, c به است فرد به منحصر جواب داراي دستگاهمقادير( 3 بعضي ازاي . a b , c,به است جواب نهايت بي داراي دستگاهمقادیر( 4 تمام ازای است . c , b ,aبه جواب نهایت بی دارای دستگاه

دستگاه( 20تست گزينه در كدام باشد داشته جواب بيشمار

است؟ صحيح1 )a2+3b-c=0 2) 2a+3b-c=0 3) 3a+2b-c=0 4) 0 2a+3b-c

ماترسي(: 82سال( 21تست هاي معادله با صفحه اند، سه شده داده

اند؟ چگونه صفحه سه اين دو به دو هاي مشترك فصلنقطه( 1 يك بر گذرا هم( 2فقط بر هم( 3منطبق موازي سه فاقد( 4هر

مشترك نقطه

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



بردار : پنجم فصلمرتب هاي تايي سه همه با (x ,y ,z(مجموعه سه R3را فضاي را آن و دهيم مي نمايش

و گوئيم مي بعديعرض = Zارتفاع } طول =yو و

بصورت را فضا در نقطه با (x ,y ,z(وهر توان مي را فضا در نقطه هر كه دهيم مي نمايشهاي محور ، ها محور وآن كنيم مشخص هم بر عمود محور سه از ozو oyو oxاستفاده

يعني : هستند

y o zصفحه = x o zصفحه= x o yصفحه= ها Zمحور = ها Yمحور = ها Xمحور=

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

xoyصفحه

z

x

z

صفحه xoz

صفحه xoy



نقطه : R3 فضاي در نقطه يك كردن مشخص طريقه نمايش نقطه براي ابتدا ،

صفحه روي نقطه x o yرا از سپس كنيم مي محور Bمشخص موازي مي Zخطي رسم هااندازه (كنيم (. Zبه

: ها صفحه و محورها به نسبت نقطه يك قرينهرا( محور آن مختصات است كافي محور يك به نسبت نقطه يك قرينه كردن پيدا براي الف

. كنيم قرينه را بقيه و داشته نگه ثابتصفحه( مختصات است كافي صفحات از يكي به نسبت نقطه يك قرينه كردن پيدا براي ب

. كنيم قرينه را بقيه و داشته نگه ثابت را

نقطه( 1تست محور قرينه به است؟ Zنسبت كدام ( 3 ( 2 ( 1ها

4)

نقطه( 2تست صفحه قرينه به است؟ x o zنسبت ( 3 ( 2 ( 1كدام

4 )

فضا و اگر : فضا ( در خط پاره ) طول نقطه دو بين فاصله در نقطه دو

خط پاره طول است : ABباشد مقابل بصورت فضا .در

و و اگر : فضا در خط پاره وسط مختصات فضا در نقطه ABوسط Mدو

مختصات است : Mباشد زير و بصورت2

21yy

yM

و

221 xxx M

.

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه( 3تست قرينه صفحه اگر به نسبت محور x o zرا ، xو مختصات Cو Bها بناميم

است؟ BCوسط Mنقطه صفحه( 1كدام محور( y o z 2روي روي( 3ها Zرويمحور( x o y 4صفحه OXروي

. Cو Bو Aاگر : فاصله خواص باشد فضا در نقطه سه1.. 2.. 3. A وB وC . هستند راستا يك در4. A وB و C " ) قضيه ها مثلث مساوي نا نيستند راستا يك در

حمار" (.

نقاط( 4تست باشد Mو و اگر متغير اي مقدار M I Nنقطه

. است كدام1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه فاصلهz

y

x

A صفحات و محورها از :

نقطه .1 فاصلهz

y

x

A محور فرمول Xاز از zyها 22 . آيد مي بدست

نقطه .2 محور فاصله فرمول yاز از .ها آيد مي بدست

نقطه .3 محور فاصله فرمول Zاز از .ها آيد مي بدست

نقطه .4 فرمول x o yازصفحه فاصله .از آيد مي بدست

نقطه .5 صفحه فاصله فرمول x o zاز .از آيد مي بدست

نقطه .6 صفحه فاصله فرمول y o zاز . از آيد مي بدست

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه( 5تست صفحه فاصله است؟ y o z از 3( 3 2( 2- 2( 1كدام

4 )5

نقطه( 6تست محور فاصله است؟ Zاز كدام 4( 3- 5( 2 5( 1ها

4 )4 -

مختصات : صفحات و مختصات محورهاي روي نقطه مختصات محور يك روی اي نقطه اگريكي روي ای نقطه اگر و است صفر مختصات در ديگر محور دو به مربوط هاي مولفه باشد

. است صفر آن سوم محور به مربوط مولفه بگيرد قرار صفحات از

صفحه نقطه( 7تست آن x o zروی ارتفاع و عرض طول، مجموع است واقع

است؟ كدام1 )1 2 )2 3 )1 -4 )0

و : فضا در بردار تعريف باشد واقع مختصات مبدا بر ابتدايش كه داري جهت خط پاره برداربصورت فضا در بصورت هربردار آن طول وفرمول دهيم مي نمايش

. است

باشد و و اگر بردار: د عدد يك ضرب و بردار دو تفريق و جمع

داريم:

و

: بردار يك در حقيقي عدد يك ضرب و بردار دو تفريق و جمع هندسي نمايشاز : االضالع متوازي اول روش (1 استفاده با بردار دو تفريق و جمع هندسی نمايش برای

دهنده نشان االضالع متوازی قطر كه سازيم مي االضالع متوازی يك بردار است دو

يعنی:

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

a

b ba ba b

aa a

a

3



رسم : مثلثي دوم روش (2 انتهای aابتدای a + bبراي به رسم bرا برای و كنيم می وصلa-b انتهایb ) ) انتهای به را قرينه . aبردار كنيم مي وصل

باشد bو aاگر : نكته االضالع متوازی يك مجاور ضلع متوازی a-bو a +bدو اين های قطر. هستند االضالع

و اگر : نكته شود می لوزی به تبديل االضالع متوازی ،a +b وa-b می عمود هم بر

و بين a +bشوند زاويه اگر bو aنيمساز و االضالع است متوازی باشد

و شود می مستطيل يك به . تبديل

: بردار در حقيقي عدد يك ضرب و بردار دو تفريق و جمع خواصو a , b , cاگر بردار باشند :r , sسه حقیقی اعداد

1.a +b = b +a .

2. .

3.a+)-a) = )-a)+a = O .4.r)sa) = )rs)a .5. .6. .7. .

و و : نكته

مختصات و اگر( 8تست است؟ باشد (2 (1كدام

3) 4)

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

ba b

ab

aba

b

aba

ba



است؟ حاصل(: 78آزاد( 9تست ( 3 ( 2 (1كدام

4)

بردار : يكه بردار مانند گوئيم می يكه بردار يك را يك بطول بردار بردار هر يك كه

زيرا است .يكه است

محورهای و و بردارهای : نكته يكه بردارهای می z , y , xرا

مانند بردار هر و يعني گوئيم نوشت يكه بردارهاي حسب بر توان مي را

.

بردار : نكته يعنی هر كرد يكه بردار يك به تبديل توان می بردار كه را

بردار با جهت هم و است . يكه

بردار (B)3,1,1و (A)-1,0,3اگر( 10تست با جهت هم و واحد بردار صوت دراين باشد

U= است؟ كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

و و اگر( 11تست راستا هم يكه بردار صورت دراين باشد

با الجهت است؟ مختلف (1كدام

5

4,

5

3,0 2) 3 ) 4)

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



بردار : بردار دو بودن موازي شرط موازی و دو را

يعنی : باشد ديگری مضرب آنها از يكی هرگاه .يا k( (گويند

بردار( 12تست دو باشند و اگر موازی هم كدام nو mبا

است؟

1 )n= وm=1 2) n= وm=1 3) n=1 4 و )n=1 و

رابطه : نكته بايد در باشد، صفر بردارها از يكی های مولفه از يكی هرگاه

. باشد صفر هم ديگر بردار در نظير مولفه

در : محور يك با موازي بردار ديگر های مولفه باشد موازی محور يك با بردار يك اگر . است عدد محور آن مولفه فقط و هستند صفر بردار مختصات

بردار( 13تست محور اگر است؟ ozبا درست گزينه كدام باشد موازي

1 )V = -2i-j 2) V = -j 3) V = 2k 4) V = -2i

: بردار دو داخلي حاصلضرب

حاصلضرب و اگر : اول ( حالت1 باشند بردار دو

با را باشد مي عدد يك كه آنها بصورت a .bداخلي و دهيم مي a .b =a1b1+a2b2+a3b3نشان

. كنيم مي حساب

حاصل و اگر( 14تست كدام باشد

است؟ 1 )10 2 )10 -3 )8 4 )8 -

و cو bو aاگر : بردارها داخلي ضرب خواص بردار داريم : rسه باشد1. a.a = |a|2 .2. a = 0 a.a = 0. 3.a.b =b.a . 4.a.c c) = a.b a.)b . 5.)ra).b = a.)rb) = r.)a.b).

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



6.i.i = j.j = k.k =1. 7.i.j = j.k = k.i = 0 . 8.a.i = i.a = a1 , a.j = j.a = a2 , a.k = k.a = a3 .

بردار |b| و |a|اگر : دوم ( حالت2 دو بين زاويه بردار bو aو دو داخلي ضرب باشد معلوم

كنيم : حساب زير بصورت توانيم مي cos را a.b

= |a||b|cos

بين i+3kو اگر( 15تست زاويه است؟ a.bباشد بردار و و كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

بردار( 16تست دو بين است؟ (V2 = )2,-1,1و V1 = i+j+2kزاويه كدام1 )120 2 )60 3 )45 4 )30

داخلي (C = )3,3,3و (B = )2,3,4و (A = )2,4,5اگر( 17تست زاويه باشند مثلث يك راس سهB است؟ كدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

هريك(: 78سال( 18تست اندازه مربع با برابر ، مساوي اندازه با بردار دو داخلي حاصلضرباست؟ درجه چند بردار دو بين زاويه برداراست 30( 3 45( 2 90( 1ازدو

4 )0

2i+3j+kاگر(: 81سال( 19تست

a وi -j+ k

b بردار دو بين زاويه كسينوس آنگاه ،a-b

است؟ bو (4 (3 (2 ( 1كدام71

5

صفر : نكته غير بردار اگر bو aدو اگروتنها عمودند يعني : a.b = 0برهم باشد

a=0يا B=0يا a.b = 0

مقدار m)B-1, 2,2و (m,1)A,2اگر( (20تست کدام ازای به صورت دراین بردار mباشند دوOA وOB ؟ عمودند برهم

1 )1 -2 )1 3 )2 4 )2 -

داخلي V1=-2V2و V1| = 3|اگر( 21تست حاصلضرب است؟ V2و V1باشند كدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



1 )18 2 )18 -3 )19 4 )19 -

آنگاه <0kو اگر : نکته اگر باشد .باشد k<0و میشود

صفر(: 86سال( 22تست غیر بردار عددی حاصلضرب حالت کدام بردار در دو مجموع درشود؟ و غیر نمی صفر

بردار بردار( 1 .قرینهبردار بردار( 2 دو از بریکی است . یا فقط عمودبرهم( 3 عمود دو به دو بردار سهبردار بردار( 4 دو صفحه عمود یا بر

عمود : نكته محور آن به مربوط مولفه بر بردار باشد صفر بردار هاي مولفه از يكي اگر

. است عمود مولفه دو آن صفحه بر بردار باشد صفر بردار مولفه دو اگر و است

(2,3,4(اگر( 23تست

a 1,2,3(و)

b بردار صفحه a-2bباشد بر است؟ x o zعمود كدام

1 ))0,1,0) 2 ))0-,1,0) 3 ))0-,1-,2) 4 ))0,1-,2)

داريم : bو aاگر : نكته باشند بردار دو1.) . a + b ).) a –b| = )a|2-|b|2

2. |a + b|2 + |a –b|2 = 2) |a|2 +|b|2 ) . 3. .b .4.|a+b|2 - |a-b|2 = 4a.b .

5. .

بردار a .b| = 0|و b| =5|و اگر(: 83سال( 24تست اندازه ،a-b است؟ كدام1 )3 2 )4 3 )6 4 )7

و bو aاگر( 25تست باشند يكه بردار صورت a+b|2 = 3|دو است؟ دراين كدام

1 )90 2 )60 3 )45 4 )30

بردار(: 85سال(26تست بردار و (a =)m , 2 , -1اگر برهم a -bو a+ bدو عمودمثبت مقدار است؟ mباشند 6( 4 5( 3 4( 2 3( 1كدام

بين a| = 3|و b| = 5|و c| = 7|و a +b +c =0اگر( 27تست زاويه صورت اين در باشنداست؟ b و aبردارهاي 90( 4 30( 3 60( 2 45( 1كدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



بطوريكه a , b ,cاگر( 28تست باشند يكه بردار حاصل a+ b +c = 0سه صورت + a .bدراين

a .c +b .c ؟ است 1-( 4 (3 (2 ( 1كدام

بردارهاي(: 80سال( 29تست هاي اندازه مقابل شكل برابر a ,b ,cدر است 6و 5و 3بترتيببردار دو داخلي است؟ a , bحاصلضرب 1( 3- 1( 2- 2( 1كدام

4 )2

بردارهاي( 30تست زاويه a , bاگر و 120باهم مقدار a| = 3|و b| = 4|بسازد باشد

است؟ كدام

1 ) 2) 3 ) 4) 89

زاويه بردار : مختصات محور با بردار بين زاويه اگر گيريم درنظرمي را

محورهاي aبين هادي ( δو و بترتيب ozو oyو oxبا هاي آنگاه ( aزاويه بناميمهادي هاي زاويه با aكسينوسهاي است برابر

) +COS γk )COS αi + COS βj و و )

a1i + a2j +a3k

محور | = V|با بردار( 31تست محور Arc COSزاويه oxبا ozوبا

بردار زاويه سازد است؟ Vمي ( ,4, ( (2 , 4(, ( (1كدام

3) ) ,4, ) 4) ),4, )

محور( 32تست با زاويه xبرداري محور 45ها با زاويه yو محور 60ها با سازد چه zمي ها

ميسازد؟ اي زاويه1 )30 2 )45 3 )60 4 )90

بردار γو βو αاگر( 33تست ممكن Vزواياي غير گزينه كدام باشند مختصات محورهاي بااست؟

α=45 )1 60و=β وγ =120 α=135 )2 وβ=60 وγ =120 3 )α=135 وβ=60 وγ =45 )4 α=135 وβ=120 وγ =120

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

ba

c



مثلث( : هاي زاويه كسينوس و ضلعها بين ها) رابطه كسينوس قضيهدو منهاي ديگر دوضلع طولهاي مربعات مجموع با است برابر ضلع هر طول مربع مثلث، در

. آنها بين زاويه كسينوس در ضلع دو اين طولهاي حاصلضرب برابر

1 )cb

acb2

222 COS A=

a2 = b2+c2-2bc COS A .

2 )ca

bca2

222 =COS B

. b2 = a2+c2-2ac COS B

3 )ba

cba2

222 = COS B c2 = a2+b2-2ab COS C .

ضلع و =bو a = 2اگر( 34تست است؟ cباشند كدام1 ) 2) 3) 4) 2

رابطه( 35تست مثلثي در باشد (b3+c3=a2)b +cاگر است؟ برقرار كدام

1)30 2)45 3)90 4)60

بردار ديگر: بردار روي بر بردار يك قائم تصوير قائم بردار aتصوير روي با bبر نشان را

و دهيم . مي

بردار : ديگر بردار به نسبت بردار يك قرينه بردار aاگرقرينه به نسبت با bرا نشان را

آنگاه . و دهيم

بردار(: 82سال( 36تست قائم بردار (3,6,-0(تصوير امتداد برداراست؟ (2,-1,-2(روي كدام1 ))2-,1-,2) 2 )-)2,1,2) 3 ))4-,2-,4) 4 ))2,3-,1)

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

b a

c BA

C

a

a

a

b



مولفه (1,-0,1=(و (B)1,1,2و (A)-1,2,0اگر( 37تست صورت دراين yباشد

است؟ Vبرامتداد تصويربردار ( 4 ( 3 ( 2 ( 1كدام

راستاي : نكته يعني bدر است . =Kbواقع

بردار(: 77سال( 38تست بردار a=j+3kقرينه راستاي به است؟ b=i-kنسبت كدام1 )3i+j 2) -3i-j 3) 2i-j+k 4) –i+3k

به aقرينه اگر : نكته آنگاه bنسبت . باشد

بردار اگر( 39تست بردار a=2i-j+2kقرينه به است؟ باشد b=3i+j+kنسبت كدام

1 )3 2) 3 ) 4 )6

بردار a|=2|اگر( 40تست دو بين زاويه بردار برابر bو aو تصوير طول آنگاه aباشد

است؟ bبرامتداد ( 4 2( 3 ( 2 ( 1چقدر

: مختصات صفحات و محورها روي بردار يك تصوير

بردار (1 محور تصوير بصورت xروي آن (x,0,0(ها .|x|وطول است

بردار (2 محور تصوير بصورت yروي آن (y,0,0(ها .|y|وطول است

بردار (3 محور تصوير بصورت zروي آن (z,0,0(ها .|z|وطول است

بردار (4 آن (x,y,0(بصورت x o yصفحه تصوير وطول

است.

بردار (5 آن (x,0,z(بصورت x o zصفحه تصوير وطول

است.

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



بردار (6 آن (y,z,0(بصورت y o zصفحه تصوير وطول

است.

خط(: 77آزاد(41تست تصويرپاره درآن ABطول x o yبرصفحه (B)5,5,1و (A)1,2,3كهاست؟ كدام

1 )9 2 )7 3) 4 )5

دو و اگر : بردار دو خارجي حاصلضرب

با را آنها خارجي حاصلضرب باشند بصورت يا بردار و دهيم مي نشان

. كنيم مي محاسبه مقابل

تصويربردار V2=-i+2kو V1=2i-j+3kاگر(: 78سال(42تست محور باشد oروي

y است؟ كدام1 )7 - 2 )5 -3 )5 4)7

باشند bو aاگر : نكته . دوبردار است عمود ازآنها برهريك

بردار(: 41سال(43تست دو بر عمود است؟ b=i-kو a=i + jبردار كدام1 )i +j+ k 2) –i + j+ k 3) i+ j-k 4) –)i -j+ k)

: خارجی ضرب خواص1 ) .2 ) .3 ) .4 ).5 )

است؟ حاصل(: 75سال( 44تست 2k 2) k 3) 0 4) -2k( 1کدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



: نکته

بردار اگر(: 78آزاد( 45تست اندازه است؟ باشد کدام1 )4 2 )16 3 )0 4 )8

بردار : نکته هرگاه bو aدو گویند موازی .را

بردارهای اگر( 46تست آنگاه هم b-cو a-dباشد با ای رابطه چهدارند؟

عمودند( 3برابرند( 2موازیند( 1 هیچکدام( 4برهم

و cو bو aاگر( 47تست بردار است؟ آنگاه a+b+c=0سه کدام برابر

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

: اندازه محاسبه روشهایدترمینال bو aاگر (1 راه از باشند مقدار معلوم سپس یابیم می .را یابیم می راآنگاه Өو |b|و |a|اگر( 2 باشند .a×b|=|a||b|sinӨ|معلومتوانیم bو aاگر( 3 می باشد بین |a×b|معلوم رابطه فرمول که بیابیم مقابل فرمول از را

. دهد می نشان نیز را خارجی ضرب اندازه و داخلی ضرب

است؟ |a×b|باشد =30Өو | b|=3و اگر( 48تست کدام

1 ) 2 ) 3) 4 )

صورت a.b=12و b|=2|و a| =10|اگر( 49تست این است؟ |a×b|در کدام

1 )18 2 ) 3 )16 4 )

آنگاه a+b+c=0و a|=|b|=|c|=2|اگر( 50تست است؟ |a×b|باشد کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

بین : نکته رابطه مقابل ، Өفرمول |a×b| وa.b دهد می نشان . = tangرا

است؟ | =V1.V2 |V1×V2اگر(: 79آزاد( 51تست چقدر بردار دو بین زاویه

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



لحاظ bو aاگر بردار: دو خارجی حاصلضرب اندازه هندسی ریتعب از باشند بردار دوبردار |a×b|هندسی دو توسط که است االضالعی متوازی ساخته bو aمساحت

همچنین بردار میشود دو توسط که است مثلثی، آید bو aمساحت می بوجود

بنابراین :

SΔ= =ٱS

: : نکته یابیم می مقابل فرمولهای از را االضالع متوازی h=و =haارتفاع

b :: نکته آید می بدست مقابل فرمول از مثلث ارتفاعهای

AH=ha=

مانند : نکته مبدا بردارهم دو ابتدا شود داده االضالع متوازی رئوس مختصات و اگر

داشت خواهیم سپس دهیم می تشکیل را االضالع متوازی |+|P=2)|ABاز

AC|) = محیط|AB×AC|=ٱS

مثلث (C)2,0,0و (B)0,2,0و (A)0,0,2نقاط(: 68آزاد( 52تست مساحت ABCمفروضنداست؟ کدام

1 )1 2 ) 3 ) 4)

بر و اگر( 53تست وارد ارتفاع باشند االضالع متوازی یک مجاور ضلع دو

است؟ کدام کوچکتر ( 4 ( 3 ( 2 ( 1ضلع

مثلث (C)2,1,1و (B)3,2,3و (A)1,1,2اگر( 54تست راس ارتفاع ABCسه اندازه باشند

ضلع بر است؟ ABوارد ( 4 6( 3 ( 2 ( 1کدام

بردار(: 81سال(55تست طولهای bو aدو شده 8و 5به تولید مثلث مساحت مفروضند واحدبردار دو این اندازه 12توسط باشد قائمه از کمتر بردار دو بین زاویه اگر است مربع واحد

است؟ کدام بردار دو تفاضل1 )5 2 )6 3 )5/6 4 )5/7

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

A

B H C

hbab



بردار(: 84سال(56تست طولهای bو aدو زاویه 4و 3به یکدیگر با سازند 30واحد میبردار دو روی بر که مثلثی است؟ 3a+2bو a-2bمساحت کدام شود 36( 2 24( 1تولید

3 )32 4 )48

بردار(: 85سال(57تست دو بین است، 90کمتراز bو aزاویه |(a×)a+b|و b|=5|و a|=6|درجهاست؟ (a.)a+bحاصل 18= 64( 4 60( 3 56( 2 54(1کدام

:و و اگر : نکته آنگاه باشند بردار سه

a.)b×c) =

(b.)a×bو a.)a×c)=0 : نکته

قدرمطلق : نکته هندسی لحاظ که (a.)b×cاز است السطوحی متوازی یال c,b,aحجم سه. باشند می آن مجاور

بردار( 58تست سه توسط که السطوحی متوازی =-و 2i+3j-2k=و i-2j+k= حجم

i+3j-2k است؟ کدام شود می 3( 4 2( 3 1( 2 4( 1ساخت

( : نکته که ( وجهی چهار هرمی با : cو bو aحجم است برابر باشند آن راس هم یال سه

|a.)b×c)| V=

( 59تست رئوس( ( به هرم چهاروجهی مبدا (C)3,-1,4و (B)2,3,1و (A)0,2,4حجم واست؟ کدام مختصات

1 )6 2 )9 3 )8 4 )10

بردار : نکته سه روی که ای القاعده مثلث منشور با : a,b,cحجم است برابر شود می |بنا

a.)b×c)| V=

است؟ =(7a.)b×cاگر( 60تست نادرست تساوی کدام آنگاه باشد1 )c.)a×b)=7 2) b.)c×a)=7 3) c.)b×a)=7 4) b.)a×c)=-7

کدام a,b,cاگر(: 84سال( 61تست مقدار باشند صفحه یک در واقع غیر و صفر غیر بردار سه

است؟ متفاوت سایرین با (a.)b×c) 2) a.)c×b) 3) b.)a×c( 1گزینه4) )a×c).b

بردار aاگر( 62تست دو از یکی است؟ cیا bبا درست گزینه کدام آنگاه باشد موازی

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



1 )c.)a×b)=0 2) b.)a×c)=0 3) a.)b×c)=0 4 )مورد سه هر

بردار : نکته سه اینکه که cوb و aشرط است این باشند صفحه یک a.)b×c)=0در

آنگاه cو bو aاگر : نکته باشند . a.)b×c)=0موازی نیست درست آن عکس ولی

و cو bو aاگر( 63تست باشند بردار حتما a×b)+)b×c)+)c×a=)0(سه گزینه کدام آنگاهاست؟ درست

1)a وb و c عمودند هم بر دو به موازیند cو bو a( 2دو هم با3 )a وb وc هستند صفحه یک مورد( 4در سه هر

مقدار( 64تست کدام ازای بردار mبه صفحه m,3,3+m-3 (و ((m,1,2-2(و (m,1,2(سه همهستند.

1 )m = 0 2) m =1 3) m = 4 )

است؟ و a×b=a×cاگر(: 79سال(65تست نادرست گزینه کدام آنگاه1 ) 2 )a||b-c 3) 4) a وb وc هستند صفحه یک موازی

: بردار سه خارجی حاصلضرببردار سه خارجی :(a×)b×cیعنی cو bو aحاصلضرب است زیر خواص دارای

بردار( 1 . بر است عمود

شامل( 2 صفحه . bو cبا است موازی3 )a×)b×c)=)c×b)×a .یعنی( : 4 ندارد پذیری شرکت (a×)b×cخاصیت )a×b)×c.

یعنی( : 5 است بردار دو تفاضل به تبدیل .(a×)b×c)=)a.cــ (a.b(قابل

بردارهای( 6 صفحه در است . cو bبرداری

و : نکته

آنگاه cو bو aاگر( 66تست باشند دلخواه است (a×)b×c)+b×)c×a)+c×)a×bبردارهای برابربا :

1 )a 2) –a 3 )4صفر )b

فضای cو bو aاگر( 67تست در صفر غیر بردار بردار R3سه بردار (a×)b×cباشند کدام بانیست؟ برابر

1 )–a×)c×b) 2) )c×b)×a 3) –)b×c)×a 4) )a×b)×c

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



اگر sو rو qو p( 68تست هستند دلخواه مورد c =r×sو b =q×sو a = p×sبردارهای در آنگاهa ، b وc است؟ درست گزینه . c,b,a( 1کدام واقعند صفحه یک صفحه a( 2در بر

c,b . است عمود 3 )c,b,a . هستند .c,b,a( 4موازی عمودنند هم بر دو به دو

صفحه و خط معادله : شش فصل

نقطه : فضا در خط یک معادله از که خطی بردار (A)x0,y0,z0معادله با و گذرد می

V=ai+bj+ck ) ) بصورت است موازی هادی به بردار که باشد می

. گوییم می خط معادله متقارن صورت

مساوی : نکته را کسرها از یک هر Rاگر t می بدست خط پارمتری معادله دهیم می قرار : یعنی آید

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



به : نکته بدست tاگر خط روی نقاط صورت این در دهیم نسبت را حقیقی اعداد مقادیر . آید می

نقطه( از که بنویسید را خطی پارمتری و متقارن معادله موازی (A)1,-2,4مثال و گذشته

باشد؟ بردار

: اگر : خط یک معادله خاص حالتهای آنگاه باشد

1 ).

2 ).

3 ).

4 ).5 ).6 ).

محورهای Dاگر( 7 آنگاه ozو ox ،oyشامل . باشند

: : نکته باشند می زیر بصورت مختصات محورهای معادله

نقطه( 1تست از که خطی محور (A)2,3,1معادله با و کرده کدام oxعبور باشد موازیاست؟

1 )x=-2 , y-3=z-1 2) x=2 , y-3=z-1 3) y=3 , z=1 4) x=2 , z-y=-2 نقطه( 2تست از که خطی صفحه (B)2,3,1معادله بر و است؟ xoyگذشته کدام باشد عمود

1 )x-2=y-3 , z=1 2) x-y = -1 , z=1 3) z=1 4) x=2 , y=3 : R3 فضای در هم به نسبت خط دو حالتهای

:و و و اگر باشند

. : بودن موازی شرط( 1

. : بودن عمود شرط(2

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه : بودن متقاطع شرط (3 یافتن وبرای نباشند موازی هرگاه گویند متقاطع را خط دورا دلخواه دوکسر و دهیم می قرار دیگری در را خطوط از یکی پارمتری تقاطع،معادله

و دهیم می قرار هم اگر tمساوی میابیم خط tرا دو کرد صدق تساوی در آمده بدستبودن متقاطع صورت در و هستند متنافر خط دو نکرد صدق اگر و هستند در tمتقاطع را

. آید بدست تقاطع نقطه تا داده قرار پارامتری معادله

از( 3تست مقدار چه ازای خط b,aبه موازیند؟ و دو هم با

و ( 4 ( 3 ( 2 و ( 1

معادالت(: 70سال(4تست به خط دو برهم و اگرباشند است؟ mعمود 4( 4 2( 3- 2( 2- 4( 1کدام

معادالت(: 71سال(5تست به خط دو برخورد نقطه ارتفاع و عرض و طول مجموع

است؟ و -4( 4- 5( 3 4( 2 5( 1کدام

خط(: 78آزاد( 6تست دو نقطه و اگر متقاطع (A)1,1,kدر

است؟ باشند ( 4 ( 3 (2 1( 1کدام

. : بودن متنافر شرط (4 باشند متقاطع نه و موازی نه هرگاه گویند متنافر را خط دو

معادالت(: 82سال( 7تست به خط نسبت و دو

دارند؟ را وضعیت کدام هم عمود( 4موازی( 3متقاطع( 2متنافر( 1بهنقاط : آنها بودن متنافر از خط دو بودن متقاطع یا موازی تشخیص طریقه Bو Aابتدا

) سپس( کنیم می پیدا خط دو روی را اگر و دلخواه یابیم می را

اگر و هستند متقاطع یا موازی خط دو . باشد متنافرند خط دو باشند

خط( 8تست دارند؟ و دو وضعی چه هم به نسبت

متنافرند( 4عمودنند( 3متقاطعند( 2موازیند( 1

خط(: 75سال(9تست دو ؟ و اگر آنگاه باشند متقاطع

1 )a =2 2) a =1 3) a =-2 4) a =-1

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مقدار(: 85سال( 10تست کدام ازای معادالت aبه به خط و دو

هستند؟ 5( 4 3( 3- 3( 2- 5( 1متقاطع

دیگر : انطباق شرط (5 خط در خطوط از یکی نقطه مختصات و باشند موازی خط دو اگر . هستند منطبق هم بر خط دو کند صدق

خط( 11تست دو باشند و اگر منطبق هم کدام بر

است؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه : نکته دو از که خطی باشد (B)x2,y2,z2و (A)x1,y1,z1معادله می زیر بصورت گذرد می

.

نقطه (A)a,b,4نقطه(: 83سال( 12تست دو بر گذرنده خط روی واقع (0,1,2(و (1,0,-1(برمرتب دوتایی است؟ (a,b(است (2,-1(( 3 (1,2(-( 2 (1,3(-( 1کدام

4 ))1,3)

نقطه(: (86سال( 13تست دو از گذرنده میگذرد B(2,1-,1و (A-(1 ,2,1خط زیر نقطه کدام از؟ 1) )3,-5,0 )2) )2,-0,5 )3) )3,-4,0 )4) )2,-0,4 )

نقطه( 14تست از که خطی خط (A)3,2,-1معادله و ارتفاع گذسته به قطع 2را

است؟ کدام کند

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه( 15تست از که خطی خط (A)2,-1,1معادله با و کدام گذشته باشد موازی

است؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه( 16تست از که خطی خط (A)1,-3,2معادله بر و خط گذشته و

است؟ کدام باشد عمود

1 ) 2 )

3 ) 4 )

خط : نکته با خطی خط Dاگر بردارهادی آن، هادی بردار باشد، . Dموازی است

بردارهای : نکته خارجی ضرب از آن هادی بردار باشد عمود متنافر خط دو بر خطی اگر . آید می بدست متنافر خط دو هادی

نقطه : نکته از که خطی معادله نوشتن برخط Aبرای و گذرد محل Dمی ابتدا است عمودیعنی عمود کردن A0پای پیدا برای که یابیم می مساوی A0را را تا tخط دهیم می قرار

z,y,x برحسبt مختصات آن که آید حال A0بدست چون است یابیم می را

خط هادی بردار پس Dو هستند عمود نتیجه برهم در ،t با آید می بدست

شدن . A0مشخص بنویسیم را شده خواسته خط معادله توانیم می

نقطه( 17تست از که را خطی خط (A)1,5,3معادله بر و باشد گذشته عمود

است؟ کدام

1 ) 2 )

3 ) 4 )

: خط یک از نقطه یک فاصله

نقطه (1 خط Aفاصله فرمول Dاز از استفاده با در را که یابیم می

خط A0آن روی دلخواه است؟ Dنقطه

معادالت(: 76سال( 18تست به خط از مختصات مبدا است؟ y-1=zو x+1=zفاصله کدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



1 ) 2 ) 3 )2 4 )1

نقطه(: 79سال( 19تست خط (A)1,1,1فاصله است؟ x=y=z-1از کدام

1 )1 2 ) 3 ) 4 )

نقطه (2 فاصله تعیین خط Aبرای معادله توانیم می خط مساوی Dاز و tرا دهیم قرارz,y,x حسب بر را tرا حاصل نقطه و خط A0بیابیم پاره طول حال و AA0بگیریم یافته را

تا دهیم می قرار صفر مساوی آنرا و گیریم می آنرا پایان tمشتق در و آید بدست tبدستخط پاره طول فرمول در را فاصله AA0آمده تا دهیم می . Dاز Aقرار آید بدست

نقطه( 20تست خط (A)1,2,0فاصله است؟ y=5و x=5از کدام 1 ) 5 2 ) 3 )2 4 )

نقطه(: 82آزاد( 21تست فاصله خط (A)1,2,3اگر است؟ aباشد 5برابر (x=a , y=6(از کدامصفر( 4- 2( 3 2( 2 6( 1

نقطه : صفحه معادله از که ای صفحه بردار (A)x0,y0,z0معادله بر و گذرد می ) بصورت( است عمود نرمال ساده (P:a)x-x0)+b)y-y0)+c)z-z0 = 0بردار از پس و باشد می

فرمول به . ax+by+cz+d=0کردن رسیم می

: P:ax+by+cz+d = 0اگر : صفحه خاص حالتهای داریم باشدگذرد( : 1 می مبدا از که ای صفحه . معادله2 ) .3 ).4 ).5 ) .6 ).7 ).8 ) P محور . است oxشامل9 ) P محور . است oyشامل

10) P محور . است ozشامل11 )x=y , z=0 : نیمسازxoy وx=z , y=0 : نیمسازxoz وy=z , x=0 : نیمسازyoz

یا : نکته متغییر واگر است موازی آنها با صفحه نباشند صفحه در متغییرهایی یا متغییر اگر : ) با است عمود حاضرین بر معروف شعر است عمود آنها بر باشند صفحه در متغییرهایی

). موازی غایبین

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه( 22تست از که ای صفحه صفحه (A)1,-1,-2معادله با و کرده باشد xoyعبور موازیاست؟ کدام

1 )z=2 2) z=-2 3) 2x+y=1 4) x+2y=-1

: هم به نسبت صفحه دو وضعیتباشند : V2=)a2,b2,c2) , P2:a2x+b2y+c2z+d2=0و V1=)a1,b1,c1) , P1:a1x+b1y+c1z+d1=0اگر

. : بودن عمود شرط( 1

. : بودن موازی شرط(2

معادالت(: 76سال( 23تست به صفحه مقدار x+my+2z=-1و 2x+y+z=1دو عمودند هم برm است؟ کدام1 )1 -2 )2 -3 )3 -4 )4 -

معادالت( 24تست به صفحه موازیند x+by-z+1=0–و 2x+y+az=0دو یکدیگر کدام a+bبااست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

صفحه : بودن متقاطع شرط (3 فصل P2و P1دو که نباشند موازی اگر گویند متقاطع را : داریم را زیر روش سه آن محاسبه برای که است خط یک مشترکشان

را الف( متغییرها از حسب tیکی بر را متغیرها بقیه سپس گیریم . tمی آوریم می بدست. ب( آید می بدست صفحه دو مشترک فصل مجهول، سه و معادله دو دستگاه حل باطریق پ( از را خط هادی بردار توانیم می است خط یک صفحه دو مشترک فصل چون

از یکی به مقدار دادن با سپس بیابیم صفحه دو نرمال بردارهای خارجی حاصلضربخط معادالت آن وسیله به و آوریم بدست را صفحه دو مشترک نقطه یک توان می متغییرها

. بنویسیم توانیم می را

صفحه( 25تست دو مشترک فصل است؟ x-y+1=0و 2x+y+3z-1=0معادله کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

صفحه(: 68آزاد( 26تست دو مشترک فصل کدام x+y+z+1=0و 2x+3y+4z+5=0معادلهاست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه(: 73آزاد( 27تست از که خطی صفحه (A)0,1,-1معادله دو مشترک فصل موازات بهx+2y+z=1 و

x-z=0 است؟ کدام شود رسم

1 )x=-)y-1)=z+1 2) 3) x=y-1=2)z+1) 4) x=y-1=z+1

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مختصات(: 80سال( 28تست به نقطه معادالت (1,1,2(فاصله به صفحه دو مشترک فصل ازx+2y=0 2وx-y=0 است؟ 3( 4 2( 3 ( 2 ( 1کدام

صفحه( 29تست دو مشترک ................2x-z+1=0و 3x+2z-2=0فصل است خطیمحور( 1 بر صفحه( ox 2عمود بر محور( xoy 3عمود با محور( oy 4موازی با موازی

ox دهیم : نکته می قرار دستگاه یک داخل در را آنها صفحه، سه مشترک فصل محاسبه برای

حل را دستگاه سپس دارد جواب یک دستگاه باشد صفر مخالف ضرایب دترمینان اگر که . کنیم می

. : نکته است تهی آنه مشترک فصل باشند موازی صفحه سه از صفحه دو اگر

صفحه( 30تست سه مشترک است؟ x+y-z+2=0و x+2y-1=0و x-y+2=0فصل کدام1 ))1,1,2) 2 )-)1,1,2) 3 ))2,1,1) 4 ))2-,1,1)

. : انطباق شرط (4

مقدار( 31تست کدام ازای صفحه mبه هم 4x+4y+6z+2=0و mx+2y+3z+1=0دو برهستند؟ منطبق

1 )2 2 ) 3 )2 -4 )

باشد و P:a1x+b1y+c1x+d=0اگر : صفحه و خط وضعیت

بودن( : 1 موازی شرط

بودن( : 2 عمود شرط

خط( 32تست صفحه اگر باشد 3ax+2y-az=1با است؟ aموازی کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

معادله(: 75سال( 33تست به صفحه 2x =y-1=3zخط دارد؟ 2x-2y+3z =2با را وضع کداممایل( 4موازی( 3منطبق( 2عمود( 1

معادله( 34تست به خط معادله اگر به ای صفحه عمود بر

است؟ aباشد -4( 4 2( 3- 2( 2 4( 1کدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



یافتن : بودن متقاطع شرط (3 برای که نباشند موازی هرگاه گویند متقاطع را صفحه و خطتا دهیم می قرار صفر در را خط پارامتری تقاطع،معادله و tنقطه آید آمده tبدست بدست

. آید بدست تقاطع نقطه تا دهیم می قرار خط پارامتری معادله در را

صفحه(: 75آزاد( 35تست تقاطع نقطه خط x+y+z=1اگر (A)a,b,cنقطه با

حاصل است؟ 2a+b+cباشد ( 4 ( 3 2( 2 1( 1کدام

خط( 36تست تقاطع صفحه نقطه است؟ xoyبا کدام

1 )-)1,0,0) 2 ))2,0,0) 3 ))0,1,0) 4 ))1,0,0)

: : : انطباق شرط( 4 باید خط دلخواه نقطه یک مختصات ثانیا ، باشند موازی هم با باید اوال . کند صدق صفحه معادله در

خط( 37تست صفحه اگر باشد P: x+by+z =2بر کدام bو aمنطبق

است؟

و ( 4 و ( 3 و ( 2 و ( 1

صفحه : نکته بر عمود برداری و صفحه روی نقطه به نیاز صفحه، یک معادله نوشتن برای . ) داریم( نرمال بردار

صفحه : نکته خط Pاگر خط Dبر هادی بردار صفحه، نرمال بردار باشد .Dعمود بود خواهدصفحه : نکته صفحه Pاگر صفحه P′با نرمال بردار باشد صفحه Pموازی نرمال بردار ،′P

بود . خواهد

نقطه(: 80سال( 38تست از گذرنده معادالت (1,1,-1(صفحه به خط بر عمود از و

گذرد؟ می زیر نقطه (1,0,0(( 4 (0,1,0(( 3 (0,0,2(( 2 (0,0,0(( 1کدام

نقطه(: (86سال( 39تست از گذرا صفحه معادله( 1- , 1 , 2معادله به برخط عمود = x = yوz-1 ؟ میگذرد نقطه کدام از

1) )3,-1,4 )2) )2,-1,4 )3) )1,4,2 )4) )1,4,3 )

نقطه(: 74سال( 40تست از که ای صفحه در (1,1,1(معادله اول ناحیه نیمساز بر و گذشتهاست؟ xoyصفحه کدام باشد (x-y =0 2) x+y =2 3) x+y+z =3 4( 1عمود

x+y-z =1

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه( 41تست از که ای صفحه صفحه (A)1,-1,0معادله با و باشد x-y-z=0گذشته موازیاست؟ کدام

1 )x-y-z-2 =0 2) x-y+z-2 =0 3) x+y-2z =0 4) x+y+z =0

بردارهای : نکته موازی یا شامل صفحه با ( و معادله

نقطه( شرط از گذرا :(A)x0,y0,z0و آید می بدست زیر دترمینان از

نقطه( 42تست از که ای صفحه خط (A)1,-1,-2معادله دو با و و x-1=y=1-zگذشته

محور باشد کند؟ xموازی می قطع نقطه کدام با را ها

1) 2 ) 3 ) 4 )

خط( 43تست با که ای صفحه صفحه معادله بر و x-2y+2z-3=0موازی

نقطه از و است؟ (A)1,-1,0عمود کدام گذرد (10x+y+4z =9 2) 10x-y+4z =9 3( 1می10x+y-4z =9 4) 10x-y-4z =9

معادله(: 70سال( 44تست به صفحه بر عمود صفحه نقطه x+y+z=0معادله دو از (کهاست؟ (1,2,0(-و (1,0,1 کدام 3x+y-4z+1 =0 2) 3x+2y-2z-1 =0 3) 4x+2y-4z =0( 1بگذرد

4) 4x+y-2z+3 =0

نقطه( 45تست از که ای صفحه محور (A)1,-1,-2معادله با و خط ozگذشته و

است؟ کدام باشد y+2z+5 =0 2) y-2z-3 =0 3) 2x-y-3 =0( 1موازی

4) x-2y-3 =0

نقطه( 46تست از که ای صفحه خط (A)2,-3,1معادله با و موازی گذشته

صفحه محور xoyوبر باشد کند؟ yعمود می قطع عرض کدام با را -6( 2 6( 1ها

3 ) 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه(: 83سال( 47تست دو بر گذرنده صفحه محور (0,1,1(و ( 1,-2,3(معادله موازی ها xواست؟ کدام

1 )x+z =1 2) y+z =2 3) –x+y =1 4) 2x-y+z =0

نقطه(: 76آزاد( 48تست دو از که ای صفحه محور (B)1,-1,2و (A)1,1,1معادله ها yموازیاست؟ کدام y =1 2) x+y =3 3) x+z =3 4) x =1( 1بگذرد

معادالت( 49تست به خط دو شامل صفحه ها xمحور و معادله

کند؟ می قطع طول کدام با ( 4 3-( 3 ( 2 3( 1را

نقطه : نکته از که ای صفحه معادله نوشتن خط Aبرای شامل و گذرد ابتدا Dمی است

دلخواه خط Bنقطه روی بردار Dرا سپس یابیم از می استفاده با حال یابیم می را

. Aنقطه VDو گیریم می بهره دترمینان از

نقطه( 50تست از که ای صفحه خط (A)2,-1,4معادله شامل و باشد گذشته

است؟ کدام1 )7x-2y-z =12 2) -2x-7y+z =1 3) x-2y-z =1 4) 7x-2y+2z =1

موازی : نکته خط دو شامل که ای صفحه معادله نوشتن نقطه D2و D1برای دو ابتدا است

را آنها و یابیم می خط دو روی سپس B و Aدلخواه نامیم آوریم می می بدست را

از استفاده با نقطه و حال . Aو گیریم می بهره دترمینان از

موازی(: 82سال( 51تست خط دو شامل محور و x =2t(وy =t-1 و (z=tصفحه

x کند؟ می قطع طول کدام با را 6( 4 5( 3 4( 2 3( 1ها

خط(: 80آزاد( 52تست دو شامل که ای صفحه کدام و معادله باشد

است؟ 1 )y-z =0 2) x+y-z =0 3) y+z =0 4) 2x+y-z =0

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه : نکته سه از که ای صفحه معادله نوشتن بردارهای C,B,Aبرای ابتدا گذرد می

از و استفاده با سپس یابیم می نقطه و را بهره Aو دترمینان از

. گیریم می

نقطه(: 73سال( 53تست سه از که ای صفحه می (C)1,1,1و (B)0,1,0و (A)1,0,0معادلهاست؟ کدام گذرد

1 )x+y-z =1 2) x-y+z =1 3) 2x+y-z =2 4) 2x-2y+z =2

نقطه : نکته سه از که ای صفحه گذرد (C)0,0,c1و (B)0,b1,0و (A)a1,0,0معادله می

باشد می مقابل . بصورت

نقطه( 54تست سه از گذرنده صفحه معادله در زیر نقاط از یک (B)0,2,0و (A)1,0,0کدامدارند؟ (C)0,0,3و (1,2,3(( 4 (2,3,1(( 3 (3,2,3(-( 2 (3,-1,2(( 1قرار

نقطه : صفحه یک از نقطه یک فاصله صفحه (A)x0,y0,z0فاصله از ax+by+cz+d =0از: آید می بدست زیر فرمول

نقطه(: 77سال( 55تست ارتفاع Aفاصله محور 5به بر صفحه zواقع از هااست؟ کدام

1 ) 2 ) 3) 4 )

بردار(: 63سال( 56تست بر که ای صفحه مبدا (V)2,-2,1معادله فاصله و است عمودمساوی آن از از 2مختصات است عبارت باشد می

1 )x+2y-z+2 =0 2) 2x-2y+z-6 =0 3) x+y-z-2 =0 4) 3x-2y+z+4 =0

که : نکته دارد وجود خط از نقطه شمار بی یا نقطه هیچ باشد موازی ای صفحه با خطی اگرثابت مقدار صفحه از آنها نقطه Kفاصله دو همواره باشد متقاطع صفحه با خط اگر و است

ثابت مقدار برابر صفحه از آنها فاصله که دارد . Kوجود است

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

نقطه هیچ

نقطه نهایت بی



خط(: 80آزاد( 57تست روی نقطه صفحه x = y = zچند از که دارد به وجودباشد؟ می یک شمار( 2یک( 1فاصله هیچ( 4دو( 3بی

معادله Mنقطه(: 85سال( 58تست به خط بر فاصله x =2z+3و y =0 واقع، اگر Mاست،

معادله به ای صفحه نقطه 5برابر 2x+2y-z =0از ثبت ارتفاع است؟ Mباشد، کدام1 )1 2 )2 3 )3 4 )4

موازی : نکته صفحه دو با و فاصله است . برابر

صفحه(: 75سال( 59تست دو بین است؟ 2x+2y+2z =3و x+y+z =1فاصله کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه : نکته دو بین واصل خط پاره منصف عمود صفحه معادله نوشتن ابتدا Bو Aبرای ،

مختصات بردار سپس یابیم می با Mرا حال آوریم می بدست را خط پاره وسط

از .Mو استفاده نویسیم می را صفحه معادله

نقطه(: 77سال( 60تست دو بین واصل خط پاره منصف عمود (2,6,-5(و (1,2,0(صفحه

کند؟ xمحور می قطع طول کدام با را 5/2( 4 4( 3 6( 2 5/7( 1ها

نقطه(: 78سال( 61تست دو بین واصل خط پاره منصف عمود (1,0,1(و (1,2,1(-صفحهاست؟ کدام موازی

ozمحور( oy 4محور( xoz 3صفحه( xoy 2صفحه( 1دو(: 84سال( 62تست بین واصل خط پاره منصف عمود صفحه از مختصات مبدا فاصلهاست؟ (3,2,1(و (1,-1,2(نقطه ( 4 ( 3 2( 2 1( 1کدام

دو : نکته از که نقاطی هندسی مکان را نقطه دو بین واصل خط پاره منصف عمود صفحه. گویند می نیز را باشند فاصله یک به خط پاره سر

برای : نکته و یابیم می را آنها هادی ، بردارهای بین زاویه ، خط دو بین زاویه محاسبه برایمحاسبه برای و یابیم می را آنها نرمال بردارهای بین زاویه ، صفحه دو بین زاویه محاسبه

. یابیم می را آنها هادی و نرمال بردارهای بین زاویه متمم صفحه، و خط بین زاویه

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



خط( 63تست دو بین است؟ و زاویه کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

خط( 64تست بین صفحه زاویه است؟ xoyو ( 3 ( 2 ( 1کدام

4 )

نقاط x+2y+2z =6صفحه(: 80آزاد( 65تست در را مختصات قطع Azو Ayو Axمحورهای

بردار دو بین زاویه کند است؟ و می کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

می : نکته را صفحه بر عمود خط معادله ابتدا صفحه یک روی نقطه یک تصویر یافتن برای . یابیم می را صفحه و خط تالقی نقطه سپس نویسیم

نقطه اگر : نکته خط Aتصویر هادی Dروی بردار : VDبا نقطه مختصات اوال آنگاه باشد

خط معادالت : Dدر ثانیا کند، می کند بر صدق اگر VDعمود و نقطه است تصویرA صفحه نرمال Pروی بردار : VPبا مختصات اوال آنگاه نظر باشد مورد صفحه معادله در

: . بردار ثانیا کند می بردار صدق . VPموازی است

نقطه( 64تست تصویر خط (A)-1,1,3مختصات روی است؟ بر کدام

1 ))0,0,4) 2 ))1,1,4) 3 ))1,0-,4) 4 ))0-,1,4)

نقطه(: 79سال( 65تست خط (A)2,-1,1از بر ای معادله Dصفحه عمود x =1و y+z =2بهاست؟ کدام قائم پای مختصات است (1,0,2(( 3 (1,1,1(( 2 (0,1,1(( 1شده

4 ))1,2,0) نقطه : نکته قرینه یافتن صفحه Aبرای به تصویر Pنسبت ابتدا ،A رویP و یابیم می را

قرینه آنرا سپس نامیم به Aمی نسبت : را یعنی یابیم برای می و

قرینه خط Aیافتن به . Dنسبت دهیم می انجام را مراحل همین

خط Aقرینه A″اگر : نکته به باشد : Dنسبت

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



وسط : نقطه مختصات . AA″اوالً میکند صدق خط معادله دربر ثانیاً : .VDعمود است

صفحه Aقرینه A″اگر : نکته به باشد :Pنسبتوسط : نقطه مختصات صفحه AA″اوالً معادله . Pدر میکند صدق

.VDموازی AA″ثانیاً : است

صفحه (A)5,2,-1قرینه(: 73آزاد( 65تست به است؟ x+y+z-3 =0نسبت کدام1 ) 2 ) 3 ) 4 )

محور : نکته ای صفحه نقطه xهرگاه در را نقطه yومحور aبطول Aها در را به Bهامحور bعرض ها zو

نقطه در ارتفاع Cرا : cبه صورت این در کند قطع

1 ) = ) وجهی ( چهار هرم OABCحجم

2 )

معادله(: 81سال( 66تست به صفحه به محدود کدام x+y+2z =1حجم مختصات صفحات واست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

صفحه( 67تست نقاط 3x-4y+6z-12 =0اگر در را مختصات کند C,B,Aمحورهای قطع

مثلث است؟ ABCمساحت (4 ( 3 ( 2 ( 1کدام

عمود معادله مشترک( و عمود )طول خط دو بین فاصله کوتاهترین محاسبه ی طریقه : خط دو مشترک

و و و اگر

: داریم حالت دو باشند

نقطه : اول حالت مشترک،یک عمود طول محاسبه برای که موازیند خط دو حالت دراینخط روی خط D1دلخواه از آنرا فاصله سپس یابیم معادله D2می محاسبه وبرای یابیم می

خط روی دلخواه نقطه یک مشترک، نویسیم D1عمود می را خطی معادله سپس یابیم میخط بر و بگذرد نقطه آن از . D2که باشد عمود

موازی(: 82آزاد( 68تست خط دو است؟ x+y =3(و (z =3و x+y =1(و (z =1فاصله کدام1 )2 2 ) 3 ) 4 )

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



: : دوم حالت عمود طول باشند متنافر خط دو اگر متنافرند یعنی نیستند موازی خط دو

. یابیم می زیر فرمول از را . مشترک

خارجی : نکته ضرب طریق از توان می را متنافر خط دو مشترک عمود هادی بردار. آورد بدست خط دو هادی بردارهای

متفاوت : نکته ها گزینه هادی بردار اگر متنافر، خط دو مشترک عمود معادله محاسبه برایرا مشترک عمود معادله هادی بردار ، خط دو هادی بردارهای خارجی ضرب طریق از باشد

. شود مشخص صحیح گزینه تا یابیم می

خط( 69تست دو مشترک عمود است؟ و معادله کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

خط( 70تست دو مشترک زیر و عمود بردارهای از یک کدام با

است؟ موازی1 ) 2 ) 3 ) 4 )

: خاص حاالت در خط دو مشترک عمود معادله محاسبه ی طریقه

بصورت (1 متنافر خط دو آنها و اگر مشترک عمود معادله باشد

فرمول z =z2و y =y1بصورت از آنها مشترک عمود طول . |x2-x1|و آید می بدست

خط(: 73سال(71تست دو مشترک عمود است؟ و معادله کدام

1) x+z =1 وy=0 2)y+2x =2 وz =0 3) x =1 وy =0 4) y =2 وz =0

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



بصورت و اگر (2 آنها مشترک عمود معادله باشد

که خط mاست طول یعنی شیب محاسبه برای و است

نقطه فاصله آنها مشترک خط عمود . از یابیم می را

خط(: 79سال( 72تست دو بین فاصله است؟ و کوتاهترین کدام

1 )5 2 )4 3 )3 4 )2

معادالت(: 74سال( 73تست به خط دو مشترک عمود است؟ و معادله کدام

1 )y =0 وx+z =2 2) x+y =2 وz =1 3) x+y =2 وz =0 4)x+y =z وy =0

خط (و اگر (3 دو تقاتع از مشترک عمود معادله (1باشد

فرمول( 2و ( از مشترک عمود طول و آید می . بدست آید می بدست

خط(: 80آزاد( 74تست دو مشترک عمود است؟ و معادله کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

مخروطی مقاطع : هفتم فصلنقاط : دایره تعریف هندسی مکان مقدار (x,y(دایره مرکز، بنام ثابتی نقطه یک از که است

. است دایره شعاع همان ثابت مقدار این که است ثابتی

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



دایره : دایره استاندارد معادله استاندارد مرکز cمعادله شعاع به با Rو را آن (c)o,Rکه

بصورت دهند می . نشان است

و : دایره گسترده یا ضمنی معادله برسانیم توان به را دایره استاندارد معادله عبارات اگریعنی : آید می بدست دایره ضمنی یا گسترده معادله کنیم . ساده

: : نکته است مقابل بصورت دایره گسترده معادله مرکز و شعاع

در : نکته آورد، بدست نیز مشتق از استفاده با توان می را هذلولی و بیضی دایره، مرکزدایره ضمنی اگر معادله و و ، طول ، کنیم حل را

. آید می بدست مرکز عرض

معادله : نکته بودن دایره که شرط است . این

آنگاه اگر : نکته معادله باشد صورت این در یک که. کند می مشخص را دایره

اگر اگر : نکته و شود می نقطه یک به تبدیل دایره شکل ، هیچ ، . باشد نمی مشخصی

دایره اگر : نکته رابطه مرکز از آن شعاع باشد . آید می بدست

معادله( 1تست به دایره شعاع و مرکز است؟ مختصات کدام 2-و (2,3(-( 4 2و (3,2(-( 3 5-و (2,-3(( 2 5و (3,-2(( 1

مقدار( 2تست کدام ازای می معادله mبه مشخص را دایره یککند.

یا ( 4 یا ( 3 یا ( 2 یا ( 1

دایره(: 81آزاد( 3تست آنگاه 2برابر شعاع با ..........Kاست است برابر1 )0 2 )1 3 )1 -4 )2

دایره(: 80آزاد( 4تست است؟ 2x+1)2+)1-2y)2 = 2(مساحت π4 2) 3) π2( 1چقدر

4) π

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



معادله(: 74سال( 5تست به نقطه (a)x2+y2)+b)x+y) =0دایره دایره( 1,1از شعاع ، گذرد میاست؟ چقدر

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه(: (76سال(6تست دو از که ای دایره خط( 0,3و( (2,1شعاع روی آن مرکز و گذشتهمعادله است؟ y =2x-1به کدام ( 4 ( 3 ( 2 ( 1باشد

دایره : نکته مرکز فاصله ، دایره شعاع محاسبه برای باشد مماس خط یک بر ای دایره اگر. یابیم می خط از را

آن( (7تست مرکز که ای دایره خط O-(2,1معادله بر و کدام 3x+4y =1-بوده باشد مماساست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه( 8تست از آنها فاصله که صفحه از نقاطی هندسی فاصله ، (A)2,4مکان برابرنقطه از است؟ (B)1,2آنها کدام باشد

1 )x2+y2 =10 2) x2+y2 =16 3) x2+y2 =8 4) x2+y2 =4

دایره، : دایره به نسبت نقطه یک وضعیت معادله در دهیم R2اگر انتقال چپ سمت به رابصورت حاصل حال f)x,y) =0منحنی آید، می . (A)x0,y0در گیریم می نظر در را

. Aباشد، f)x0,y0)>0اگر (1 است دایره خارج. Aباشد، f)x0,y0)<0اگر (2 است دایره داخل. Aباشد، f)x0,y0)=0اگر (3 است دایره روی

دایره (M)2,-1نقطه( 9تست به دارد؟ نسبت وضعی چهدایره( 1 است( 2است cمرکز دایره است( 3درون دایره محیط بیرون( 4روی

است cدایره

نقطه mحدود(: 78آزاد( 10تست آنکه دایره (A)m,m-1برای خارج ،x2+y2 =5 کدام باشداست؟

1 )-1 >m <2 2) m > -1 3) m < 2 4) m >2 یاm <-1

نقطه : نکته فاصله دایره mاگر مرکز نقطه dبرابر (c)O,Rاز دورترین فاصله آنگاه باشدنقطه تا با mدایره است نقطه d+Rبرابر تا دایره نقطه نزدیکترین فاصله با mو است برابر

|d-R| .

دایره (m)3,7نقطه( 11تست نقطه و دورترین فاصله است مفروضنقطه از است؟ mدایره 8( 4 5( 3 6( 2 7( 1کدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



نقطه( 12تست فاصله کوتاهترین دایره (M)4,4طول است؟ x-1)2 + y2 =9(از چقدر1 )2 2 )8 3 )5 4 )3

نقطه : نکته از که مماسی دایره (A)x0,y0طول فرمول cبر از شود می وارد

. آید می بدست

نقطه : نکته از فرمول اگر از مماس دو بین زاویه کنیم رسم دایره بر مماس دو

. آید می بدست

نقطه(: 84سال( 13تست از که مماسی قطعه معادله (A)4,1طول به ای دایره براست؟ کدام شود رسم

1 )3 2 )4 3 )5 4 )

نقطه : نکته از که وتری کوتاهترین فرمول (A)x0,y0 طول از گذرد می. آید می بدست

نقطه( 14تست از دایره (A)1,4اگر بر مماس بین دو زاویه کنیم رسماست؟ چقدر مماس طول و مماس ( 4 و ( 3 و (2 و ( 1دو

و

دایره(: 83آزاد( 15تست از وتری کوتاهترین نقطه طول از می (A)1,1کهاست؟ چقدر 1( 4 ( 3 ( 2 2( 1گذرد

نقطه : نکته سه از ای دایره مرکز آوردن بدست عمود C,B,Aبرای تالقی محل گذرد، میوترهای های طول ACو ABمنصف ، دایره شعاع محاسبه برای و یابیم می می OAرا را

. کنیم انتخاب را درست گزینه ، ها گزینه در نقاط جایگذاری با توانیم می نیز و یابیم

نقطه( 16تست سه از که ای دایره کدام (C)-4,2و (B)0,2و (A)0,-1معادله گذرد میاست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

: دایره روی نقطه از دایره بر قائم و مماس خط معادله نوشتن طریقهتا دهیم می قرار آن در را شده داده نقطه و گیریم می ضمنی مشتق دایره آید mاز بدست

: باشند می مقابل بصورت قائم و مماس خط معادله و: که قائم

مماس :

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



. : نکته باشد ناقص نقطه مختصلت یا کند صدق دایره معادله در اگر است دایره روی نقطه

دایره( 17تست بر مماس بطول معادله نقطه کدام 2در مثبت عرض با واست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 ) : منحنی خارج نقطه از دایره بر قائم و مماس خط معادله نوشتن طریقه

را (1 سپس mشیب نویسیم می را قائم یا مماس خط معدله سپس ، یابیم yگرفته می راحسب بر معادله تا دهیم می قرار منحنی معادله در آنرا حال xو آید می بدست قرار

تا . mدهیم آید بدست

را ( 2 دایره mشیب مرکز فاصله سپس ، نوشته را قائم و مماس خط معادله سپس گرفتهتا دهیم می قرار دایره شعاع برابر آنرا و یافته را قائم یا مماس خط تا .mرا آید بدست

روش( (1روش (: نکته و است ها منحنی تمام . 2ویژه است( دایره ویژه فقط

دایره( 18تست بر نقطه x2 + y2-4x = 0مماس است؟ (A)6,0از کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

مقدار(: 85سال( 19تست کدام ازای معادله دایره aبه به خط براست؟ مماس

1 ) 2 ) 3 )3 4 )5

دیگر : نکته نقطه هر از و کرده رسم دایره بر قائم خط نهایت بی توان می دایره مرکز از . کرد عمود دایره بر توان می خط یک فقط همواره مرکز از غیر صفحه بر واقع

نقطه( 20تست دایره از بر توان می قائم کرد؟ چند رسم

شمار( 4 2( 3 1( 2صفر( 1 بی

دسته : نکته ابتدا ، گذرند می آن از خطوط دسته یک که ای دایره مرکز آوردن بدست برایتا دهیم می قرار صفر ارز هم آنرا و کنیم می مرتب نظر مورد پارامتر حسب بر را خطوط

. آید بدست دایره مرکز عرض و طول

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



معادالت(: 83سال( 21تست به خطوط اند دسته دایره یک قطرهاینقطه ( از دایره این است؟( 2,5اگر چقدر آن شعاع بگذرد

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

های dاگر : دایره دو نسبی اوضاع دایره مرکز دو بین . و فاصله باشد

فاصله بین رابطهدو شعاع و مراکز

دایره

وضعیتدایره دو

مماسهای شکل تعدادخارجی مشترک

مماسهای تعدادداخلی مشترک

متخارج 2

2

مماسمشترک

2

1

متقاطع صفر 2

مماس داخل

صفر 1

متداخل صفر

صفر

با : نکته است برابر دایره دو خارجی مشترک مماس مماس طول طول و

با است برابر دایره دو داخلی .مشترک

دایره(: 79آزاد( 22تست دارند؟ و دو وضعی چه هم به نسبتداخلند( 1 خارجند( 2مماس متداخلند( 4متقاطعند( 3مماس

(: 23تست مقدار( دایره kآزاد دو آنکه هم و برای براست؟ کدام باشند خارج صفر( 4- 1( 3 1( 2 2( 1مماس

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



مقدار(: 86سال( 24تست کدام ازای معادالت bبه به دایره و دو؟ است داخل مماس

1 )5 -2 )4 -3 )3 -4 )2 -

دایره(: 75آزاد( 25تست دو خارجی های مشترک و مماساند؟ متقاطع نقطه کدام (3,0(( 3 (6,0(( 2 (0,6(( 1در

4 ))0,3)

دایره(: 78آزاد( 26تست دو مشترک مماس کدام و طولاست؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

منحنی Mنقطه(: 82آزاد( 27تست روی منحنی Nو را روی رافاصله بیشترین کنیم می است؟ MNانتخاب کدام

1 )13 2 )16 3 )15 4 )14

دو : بیضی تعریف از فواصلشان مجموع که است صفحه از نقاطی هندسی مکان بیضیثابت ثابت و نقطه مقدار صفحه اگر a2از یعنی داریم Mباشد باشد بیضی از ای نقطه

.

محور : افقی بیضی موازی بزرگ قطر . xاگر نامند می افقی را بیضی باشد ها

باشد : استاندارد حالت در افقی بیضی مشخصات مختصات مبدا ، افقی بیضی مرکز اگر: داشت خواهیم

بصورت (1 افقی بیضی . معادله است

به و (2 و بیضی کانونهای را

. گویند می بیضی کانونی محور

و و (3 بیضی کانونی راسهای را

. گویند بیضی بزرگ قطر را

و و (4 بیضی کانونی غیر راسهای را

. گویند یضی کوچک قطر را

نقطه : نکته افقی بیضی در بصورت اگر بیضی معادله باشد بیضی مرکز

: است زیر بصورت آن مشخصات و بود خواهد

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

bB

0

bB

0

0

aA

0

aA

0

cF

0

cF

0

0o

M



و و (1 بیضی و و کانونهای کانونی راسهای و ،

. است بیضی کانونی غیر راسهای

بیضی و و (2 کانونی فاصله و کوچک قطر ، بزرگ قطر ترتیب بهاست. محور : قایم بیضی موازی بزرگ قطر اگر بیضی یک . yدر گویند می قائم بیضی باشد ها

نقطه : نکته بصورت اگر آن معادله باشد بیضی بود مرکز خواهد

: است زیر بصورت آن مشخصات و

به و (1 و بیضی کانونهای را

به و کانونی . فاصله گویند می بیضی کانونی محور

و و (2 کانونی راسهای را را

. گویند می بیضی بزرگ قطر

و و (3 کانونی غیر راسهای را

. گویند بیضی کوچک قطر را

: استاندارد حالت در قائم و افقی بیضی تشخیصبزرگتر (1 عدد افقی بیضی عبارت (a2(در بزرگتر زیر عدد قائم بیضی در و دارد قرار

. زیر دارد قراردر (2 ولی باشند می یکسان عرض دارای کانونی رئوس و کانونها مرکز، افقی بیضی در

. باشند می یکسان طول دارای کانونی رئوس و کانونها مرکز، قائم بیضی

: قائم و افقی بیضی مشترک نکات رابطه (1 همواره بیضی هر همواره a2 = b2+c2در بنابراین است، از aبرقرار cو bبزرگتر

است. بیضی ( 2 تقارن محورهای نقطه و معادله بیضی تقارن مرکز و باشد می

. است بیضی (3 کانونی رئوس ، کانون یک به نسبت نقاط دورترین و باشد، و نزدیکترین می

کانون از بیضی نقطه دورترین فاصله از a+cبرابر Fیعنی بیضی نقطه نزدیکترین فاصله وکانون a-cبرابر Fکانون فاصله همچنین و کانون Fاست راس دو و ، و ازاست.

وسط (4 بیضی بیضی و ، و ، و مرکز مرکز توان می آنها داشتن با پس است. کرد حساب را

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

A

A

B

a

a F

Fbbc

c

M



5) . است بیضی مرکز کوچک قطر و بزرگ قطر تقاطع محل

کنیم : قائم و افقی بیضی ضمنی یا گسترده معادله ساده و برسانیم توان به را پرانتزها اگرزیر بصورت آن کلی صورت و آید می بدست قائم و افقی بیضی ضمنی یا گسترده معادله

: بود خواهد

بصورت : نکته گسترده حالت در بیضی طریق مرکز از آنرا توان می یا است

: یعنی بیابیم مشتق

و

: گسترده حالت در قائم و افقی بیضی تشخیصضریب که صورتی در باشد گسترده بصورت بیضی معادله افقی y2اگر بیضی باشد بزرگتر

ضریب اگر . x2و است قائم بیضی باشد بزرگتر

بیضی : بیضی مرکز از خروج هر با در آنرا و نامند می بیضی مرکز از خروج نشان eرا

یعنی دهند . و می است

رابطه bو aاگر : نکته از را مرکز از خروج باشیم داشته .را یابیم می

هرچه : نکته یعنی دهد می نشان را بیضی کشیدگی میزان بیضی مرکز از کوچکتر eخروج

با بیضی یک دایره هر و شود می نزدیکتر دایره به بیضی ، شود نزدیکتر صفر به و شودچه هر و است صفر مرکز از تر eخروج کشیده بیضی شود نزدیکتر یک به و شود بزرگتر

اگر که بطوری شود خط e =1می پاره به تبدیل بیضی . باشد شود می

های : نکته ضریب ، گسترده حالت در بیضی ازمرکز خروج محاسبه نظر y2و x2برای در راحال گیریم . eمی آید می بدست زیر فرمول از گسترده حالت در

معادله(: 73سال( 1تست به بیضی مرکز از محور خروج معادله واست؟ کدام آن تقارن

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

معادله( 2تست به بیضی تقارن مرکز است؟ مختصات کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4)

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



بیضی(: 75سال( 3تست یک بزرگ بیضی 2قطر مرکز از خروج است آن کوچک قطر برابراست؟ کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

بیضی(: 81آزاد( 4تست مرکز از است؟ خروج چقدر

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

،(: 73سال( 5تست کنیم برابر دو را آن بزرگ قطر و نصف را بیضی یک کانونی فاصله اگرشود؟ می برابر چند جدید بیضی مرکز از خروج

1 ) 2 ) 3) 4 )

بیضی(: 74سال( 6تست کوچک قطر راس طول نزدیکترین تا کانون فاصله واحد 2و

است؟ کدام بیضی مرکز از خروج ( 4 ( 3 ( 2 ( 1است

کانونهای( 7تست به بیضی بزرگ و معادله قطر محور و ،x کدام با را ها

کند؟ می قطع طولهای( 4 (3 (2 ( 1 2و 1گزینه

کانونی و نقاط(: 77سال( 8تست فاصله با بیضی یک از راس است دو واحد

است؟ گزینه کدام بیضی معادله1 ) 2 ) 3 ) 4 )

و( 9تست مرکز مختصات مبدا و اگر بیضی کانون باشد یک بیضی از نقطه یک

است؟ کدام بیضی بزرگ 10( 4 24( 3 12( 2 8( 1قطر

کانونی( 10تست رئوس با بیضی مرکز معادله از خروج است؟ و کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

بیضی (o)1,2اگر(: 81آزاد( 11تست است؟ باشد مرکز کدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



صفر( 4 4( 3- 2( 2 2( 1

بیضی( 12تست کوچک و بزرگ قطر است؟ حاصلضرب چقدر1 )8 2 )12 3 )16 4 )18

معادله(: 85سال( 13تست به بیضی های دایره کانون از قطری سر دوکند؟ می قطع طول کدام با را اول ناحیه نیمساز دایره این ، (3 ( 2 2( 1اند

4 )3

تفاضل : هذلولی تعریف مطلق قدر که است صفحه از نقاطی هندسی مکان هذلولیثابت دونقطه از آنها ثابت و فواصل یعنی 2aمقدار به باشد ، و . گویند هذلولی کانونی محور

محور : افقی هذلولی موازی کانونی محور اگر هذلولی یک افقی xدر را هذلولی باشد ها

: است مقابل بصورت آن معادله و . گویند

: افقی هذلولی مشخصات

1) . است هذلولی مرکز

هذلولی (2 و و کانونهای باشند .می است کانونی فاصله

کانونی (3 راسهای . و و مختصات است هذلولی قطر طول

از (4 است عبارت هذلولی تقارن محور .معادله

افقی (5 هذلولی کانونی محور است. معادله

محور : قائم هذلولی موازی کانونی محور هذلولی یک در می yاگر قائم را هذلولی باشد ها

: باشد می زیر بصورت آن معادله و . نامند

: هذلولی مشخصات

1) . است هذلولی مرکز

هذلولی (2 و و کانونهای باشند . می است کانونی فاصله

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

FF AA o



کانونی (3 راسهای . و و مختصات است هذلولی قطر طول

از (4 است عبارت هذلولی تقارن محور . معادلهقائم (5 هذلولی کانونی محور است. معادله

: قائم هذلولی نکتهرابطه (1 هذلولی پس c2=+a2+b2در است اما c > aبرقرار باشد می

.bو a وضعیت نیست معلوم هم به نسبت2) . است هذلولی مرکز ، هذلولی مجانبهای برخود محلبرابر (3 ها مجاب برخورد محل از کانون . cفاصله است برابر (4 ها مجانب برخورد محل از کانونی راس . aفاصله است 5). ) آورد ( بدست مشتق طریق از توان می را تقارن مرکز هذلولی مرکزبرابر (6 مجانب خط از کانون هر .bفاصله است 7) . کند نمی صدق هذلولی معادله در هذلولی مرکز

. : نکته باشند می زیر بصورت آن معادالت که است مجانب دو دارای هذلولی هر

افقی :

طول : نکته به مستطیلی قطرهای ، افقی هذلولی های و 2aمجانب

با 2bعرض است برابر مستطیل مساحت و . 4abاست

قائم :

طول : نکته به مستطیلی قطرهای قائم هذلولی های و 2bمجانب. 2aعرض است

: قائم از افقی هذلولی تشخیص طریقهشامل (1 پرانتز اگر صورت این در باشد استاندارد بصورت هذلولی یک معادله با xاگر

شامل پرانتز اگر و افقی هذلولی بیاید اول مثبت هذلولی yعالمت بیاید اول مثبت عالمت با . است قائم

سپس (2 کرد تبدیل استاندارد به باید آنرا باشد گسترده بصورت هذلولی یک معادله اگر . داد تشخیص

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

o

F

A

A

F

b

baac

a

ab b



بصورت : نکته هذلولی مرکز از فرمول خروج از توان می یا نیز است

و آورد . بدست است هرگاه هرگاه : نکته و شود می نزدیک خط پاره دو به هذلولی دو ، به هذلولی ،

. شود می نزدیک موازی خطآید : نکته می بدست زیر فرمول از مجانب خطوط شیب هذلولی گسترده درمعادله

.

هذلولی(: 79آزاد( 1تست مجانبهای تالقی نقطه است؟ مختصات کدام1 ))2-,1) 2 )-)2,1) 3 ))2,1) 4 )-)2-,1)

هذلولی( 2تست مرکز از است؟ خروج چقدر

1 ) 2) 3) 4)

هذلولی(: 80آزاد( 3تست مرکز از است؟ خروج چقدر1) 2 ) 3) 4 )

است؟ اگر( 4تست کدام مرکز از خروج باشند هذلولی یک های مجانب

یا (4 یا (3 (2 ( 1

معادله(: 76سال( 5تست به هذلولی کانون دو است؟ فاصله کدام

1 ) 2) 3 ) 4 )

هذلولی( 6تست مجانب زیر خطوط از یک باشد؟ کدام می1 ) 2 ) 3 ) 4 )

کانونهای(: 76سال( 7تست به معادله و درهذلولی به مجانب خط ، و

است؟ کدام دیگر مجانب مبدا از 4( 4 3( 3 2( 2 1( 1عرض

آن(: 80آزاد( 8تست کانون یک که قائمی آن درهذلولی مجانب خط یک ، و است

است؟ نقطه کدام تقارن (1,-1(( 4 (1,-2(( 3 (2,0(( 2 (2,1(( 1مرکز

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



معادله(: 79سال( 9تست به کانون خط به است هذلولی مجانبهای از که یکی

محور موازی آن کانونی است؟ xمحور کدام هذلولی دیگر مجانب خط معادله است ها1 ) 2 ) 3 ) 4 )

مقدار(: 77سال(10تست کدام ازای هذلولی kبه ازکانونها در یکی فاصلهبرابر مجانبها تالقی نقطه 3( 4 2( 3- 1( 2- 2( 1است؟ 2از

راس(: 78سال( 11تست دو با هذلولی مرکز و معادله از خروج کدام و

است؟ 1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه و اگر(: 77آزاد( 12تست از که باشند هذلولی یک می کانونهای

است؟ کدام هذلولی معادله گذرد1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه( 13تست دو از فواصلشان تفاضل که صفحه از نقاطی مکان و معادله

است؟ 8برابر کدام باشد

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه( 14تست فاصله Bو Aدو که 5به صفحه از نقاطی تعداد دارند قرار یکدیگر از متراز آنها تفاضل مطلق است؟ برابر Bو Aقدر کدام شمار( 2صفر( 1باشد (3بی

دو( 4یک

نقطه(: 82سال( 15تست معادله Nو Mدو به هذلولی شاخه دو از یکی روی بر کدام هرفاصله کمترین کنند می است؟ MNحرکت کدام

1 ) 2) 3 ) 4 )

مقابل( 16تست شکل هذلولی (s)2,0و و در این معادله باشد هذلولی نقطه یک

است؟ کدام1) 2) 3 ) 4)

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

s

F

F



نقطه خطوط( 17تست که بوده هذلولی یک از مجانبهای یکی

است؟ کدام هذلولی کانونی فاصله باشد می آن 4( 3 6( 2 8( 1کانونهای4 )3

معادله(: 85سال( 18تست به هذلولی کانون دو موازی هر خطی روی برمقادیر xمحور مجموعه است است؟ aها کدام

1 )4 < -a > 8- 2) 0 > a > 4- 3) 0 > a > 2- 4) 8 > a > 0

معادله(: 82سال( 19تست به هذلولی مجانب آن قطرهای که مستطیلی مساحتاست؟ کدام

1 )4 2 )6 3 )8 4 )10

ابعاد(: 83سال( 20تست به مستطیل یک قطر دو بر منطبق هذلولی یک 8و 6مجانبهایکدام آن مرکز از خروج باشد مماس مستطیل بزرگتر ضلع بر هذلولی این اگر است واحد

است؟

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

نقطه : سهمی تعریف یک از آنها فاصله که است صفحه از نقاطی هندسی مکان سهمیسهمی هادی خط را ثابت خط و کانون را ثابت نقطه که باشند برابر ثابت خط ویک ثابت

. قائم و افقی سهمی است نوع دو بر سهمی که گویندو : افقی سهمی گویند افقی را سهمی شود باز راست یا چپ سمت به سهمی اگر

. باشد می زیر بصورت آن مشخصاتبصورت (1 آن . معادله باشد می

و (2 سهمی . کانون باشد می سهمی راس

3) . است سهمی هادی خط معادله4) . است سهمی تقارن محورو > 0Pاگر (5 شود می باز راست سمت به سهمی باشد

. <P 0اگر شود می باز چپ سمت به سهمی باشدمشخصات : قائم سهمی و گویند قائم را سهمی شود باز پایین یا باال سمت به سهمی اگر

. باشد می زیر بصورت آنبصورت (1 آن . معادله باشد می

و (2 سهمی . کانون باشد می سهمی راس

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

) هادی( خط P F

Ps

) هادی( خط

P

Ps

F



3) . است سهمی هادی خط معادله4) . است سهمی تقارن محور معادلهو > 0Pاگر (5 شود می باز باال به رو سهمی باشد

. <P 0اگر شود می باز پائین به رو سهمی باشد : سهمی گسترده یا ضمنی معادله

معادله شرط هر . و با است افقی سهمی یکمعادله شرط هر . و با است قائم سهمی یک

توان : نکته فقط افقی سهمی ، yدر توان 2 فقط قائم سهمی در و ، xاست 2 . است

: گسترده حالت در سهمی راس کردن مشخص طریقه1 )، ابتدا باشد افقی سهمی تا اگر دهیم می معادله yقرار در آنرا سپس آید بدست

تا دهیم می . xقرار آید بدست2 )، ابتدا باشد قائم سهمی تا اگر دهیم می معادله xقرار در آنرا سپس آید بدست

تا دهیم می . yقرار آید بدست : گسترده حالت درP محاسبه طریقه

و : قائم افقی : سهمی سهمی

ثابت : نکته نقاط Fونقطه Dخط هندسی مکان گیریم می نظر در را آن بر واقع در mغیر

که بطوری فاصله MH ( صفحه ،M خط . Dاز ) داریم را زیر حاالت باشد است

. k = 1اگر (1 است سهمی مکان . k> 1اگر (2باشد است بیضی مکان باشد. k< 1اگر (3 است هذلولی مکان باشد

زیرا : نکته است یک برابر سهمی مرکز از . خروج

برابر : نکته راس از کانون برابر Pفاصله هادی خط از کانون فاصله و . P2است است سهمی( 1تست تقارن محور است؟ معادله کدام

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

سهمی( 2تست است (s)1,-1نقطه در سهمی است؟ راس کدام1 )1 -2 )2 -3 )4 -4 )0

سهمی(: 80آزاد( 3تست هادی خط است؟ معادله کدام1 )x = 1 2) x = 3 3) y = -3 4) x= -3

معادله(: 72سال( 4تست به سهمی هادی خط تا کانون است؟ فاصله کدام

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



1 ) 2) 3) 4)

بصورت(: 74سال( 5تست سهمی یک سهمی معادله کانون مختصات است

است؟ کدام1 ))0-,3) 2 ))2-,1) 3 )-)2,2) 4 ))2-,2)

مقدار(: 75سال( 6تست کدام ازای نقطه bبه معادله Fطول به سهمی کانون

5( 4 4( 3 3( 2 2( 1است؟ برابر

دایره( 7تست مرکز سهمی اگر هادی کانون خط معادله باشد

است؟ کدام ( 4 (3 ( 2 ( 1سهمی

سهمی( 8تست نمودار مقدار در است یک برابر راس تا کانون کدام kفاصلهاست؟

1 )4 2 )6 3 )9 4 )12

آن(: 80سال( 9تست کانون که سهمی راس آن مختصات هادی خط معادله و

است؟ کدام باشد

1 ) 2 ) 3 ) 4 )

آن(: 73سال( 10تست راس مختصات که سهمی آن معادله کانون مختصات و

است؟ کدام است

1 ) 2 ) 3) 4 )

خط نقطه(: 79سال( 11تست و سهمی این راس است آن هادی خط

محور کند؟ xسهمی می قطع طول کدام با را 1( 4 0( 3- 2( 2- 3( 1ها

کانون(: 83سال( 12تست با معادله (F)1,1سهمی به هادی خط در yمحور x = 3و را هافاصله Bو Aنقطه کند می است؟ ABقطع (4 ( 3 (2 ( 1چقدر

کانون نقطه( 13تست به سهمی یک نقطه بر این فاصله دارد قرار

است؟ چقدر مذکور سهمی هادی خط محاسبه( 4 (3 ( 2 ( 1از قابلنیست

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

5/0

5/0

F



بصورت( 14تست مقابل شکل سهمی معادله مقدار اگر کدام aباشداست؟

1 )4 2 )4 -3 )2 -4 )2

است؟( 15تست کدام مقابل شکل سهمی کانون1) )1,1 )2) )1,0 )3) )0,0 )4) )2,0 )

بصورت( 16تست مقابل نمودار سهمی است؟ aاست معادله کدام1 )2 -2 )1 -3 )1 4 )2

نقطه( 17تست از آنها فاصله که صفحه از نقاطی هندسی ، (F)4,0مکان آنها 2 فاصله برابرخط است؟ از کدام باشد

1 ) 2 ) 3) 4)

معادله( 18تست به سهمی تا دهانه کانون فاصله و شود می باز راست به روآن هادی است؟ 2خط کدام سهمی این کانون مختصات ، است واحد

1) )2-,1 )-2) )2-,0 )3) )1-,0 )4) )2,1 )

: مختصات محورهای دوراناندازه : نکته به محورهای نقطه θاگر مختصات ، کننده دوران مبدا حول مثلثاتی جهت در

جدید دستگاه جدید در و قدیم مختصات بین زیر روابط که شود می تبدیل. mنقطه دارند وجود

اندازه : نکته به را مختصات محورهای معادله θاگر دهیم دوران

معادله صورت درآن به که آید می . در

بصورت : مخروطی مقاطع دوران مخروطی مقطع هر کلی معادلهاگر که یعنی ≠b 0است است استاندارد غیر مقطع باشد

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

3

66-

F1-



کمی مقطع نوع تشخیص و نیست مختصات محورهای موازی حالت این در تقارن محورهایاندازه به را مختصات محورهای ، معضل این رفع برای است استاندارد حالت از دشوارتر

. درآید مخروطی مقطع تقارن محورهای موازی تا دهیم می دوران مناسب

جمله ( : مخروطی مقطع کردن استاندارد طریقه بردن بین از کردن استانداد (xyبرای

رابطه از ابتدا مخروطی روی مقطع از و یابیم می را دوران برای مناسب زاویه

یعنی cosθو sinθآن یابیم می .را

جای به کنیم : yو xسپس می جایگذاری را مقابل روابط مقطع مقطع تا

. شود استانداردمحاسبه : نکته : cosθو sinθبرای کنیم می استفاده زیر روابط از توان می ،

مخروطی : مخروطی نوع تشخیص برای مقطع ، است مفروض

ماتریسهای مقطع نوع داریم :و تشخیص و گیریم می نظر در را

( 1 (و( 2 (

که : نکته خاص حالت . a = cو b = 0در است دایره یک مذکور معادله باشد

. : نکته شوند نقطه یک به تبدیل است ممکن خاص حالت در دایره و بیضی

، : نکته نقطه تشخیص و و برای دهیم می سپس yو xقرار یابیم می (x,y(را . است نقطه کند صدق معادله در اگر دهیم می قرار معادله در را

استاندارد : نکته را مقطع ، ای جمله دو مربع اتحاد از استفاده با ، بودن تهی تشخیص برای . است تهی مقطع باشد منفی عدد راست سمت اگر کنیم می

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

خط دوتهی متقاطع یا موازی خط دو



دایره : نکته ، هذلولی ، بیضی ها گزینه شود خواسته مخروطی مقطع نوع تست یک در اگرتشکیل به نیازی باشد سهمی ماتریس ∆و فقط و .Aنیست است کافی قضاوت برای

مخروطی : نکته مقطع استاندارد شکل آوردن بدست است برای کافی

معادله های را ریشه آنها و آوریم بدست این 2λو 1λرا در که گیریم می

: است مقابل مقطع دو از یکی آن استاندارد شکل یا صورت

اندازه( 1تست به را مختصات محورهای مختصات اگر ، دهیم دوران مثلثاتی جهت در

شود؟ (m)1,1نقطه می (4 (3 (2 ( 1چه

نقطه( 2تست مختصات دوران Aاگر از به پس مختصات ، محورهای شود تبدیل

نقطه اولیه است؟ Aمختصات (4 ( 3 ( 2 ( 1کدام

اندازه( 3تست به مختصات محورهای معادله اگر تا دهیم دوران

استاندارد آنگاه بصورت ، آید دراست؟ چقدر

1 )16 2 )12 3 )8 4 )6

بصورت( 4تست مخروطی مقطع یک حاده معادله زاویه اگر باشد میθ جمله بردن بین از برای مناسب دوران است؟ θباشد xyزاویه (3 45ْ( 2 30ْ( 1کدام

60ْ 4 )90ْ

معادله( 5تست تبدیل معادالت کدام تبدیل با استاندارد فرم به توان می راکرد.

1 ) 2 )

3 ) 4 )

اندازه( 6تست به مختصات محورهای معادله اگر کنند دوران مثلثاتی جهت در

شود؟ می تبدیل ای معادله چه به

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش



1 ) 2 ) 3 ) 4)

معادله(: 81سال(7تست به مخروطی مقطع کانون دو است؟ فاصله کدام1 ) 2 ) 3) 4)

معادله(: 83سال( 8تست به مخروطی مقطع کانون دو است؟ فاصله کدام1 ) 2) 3) 4)

معادله( 9تست به نقاط هندسی است؟ مکان کدامراست( 2هذلولی( 1 خط تهی( 4نقطه( 3دو

معادله( 10تست به نقاط هندسی است؟ مکان کدامتهی( 4نقطه( 3دایره( 2بیضی( 1

است؟ معادله( 11تست منحنی کدام

نقطه( 4دایره( 3بیضی( 2سهمی( 1

معادله(: 81آزاد( 12تست هندسی است؟ نمایش شکلی چهسهمی( 4هذلولی( 3بیضی( 2دایره( 1

است؟ xy = 1معادله( 13تست منحنی کدام کننده مشخصموازی( 3هذلولی( 2بیضی( 1 خط تهی( 4دو

است؟ معادله( 14تست منحنی کدامموازی( 2بیضی( 1 خط متقاطع( 4هذلولی( 3در خط دو

اندازه(: 84سال( 15تست به مبدا حول آن محورهای دوران از پس بیضی یک در 45ْمعادلهصورت به مثلثاتی است؟ جهت کدام دوران از قبل بیضی این معادله ، است

1 ) 2 ) 3) 4)

تایپ[ : ] 09126939962پذیرش

Spiritual

هندسه تحلیلی