Embed Size (px)
Citation preview
9317581پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌های‌ریاضی‌‌‌‌‌پژوهش
(نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
های صریح تحلیلی دستگاه معادالت تحلیل تقارنی لی و تعیین جواب
ویلسون-سوکولوف-کسری زمانی درینفلد
؛علی‌زاغیان،احمد‌مجلسی،*هادی‌روحانی‌قهساره
دانشگاه‌صنعتی‌مالک‌اشتر،شاهین‌شهر،ایران
28/99/10پذیرش21/60/10دریافت
چکیده
ویلسون‌که-سوکولوف-غیرخطی‌با‌مشتقات‌کسری‌زمانی‌درینفلد‌جزئیدر‌این‌تحقیق،دستگاه‌معادالت‌دیفرانسیل
بررسی‌استتوصیف‌کننده‌انتشار‌نامتعارف‌امواج‌آب‌کم‌عمق است‌شده، تحلیل‌مدل‌‌براییک‌روش‌آنالیز‌متقارن‌لی.
است‌داده شده معادالت‌مشتقات. دستگاه تبدیالت‌تشابهی‌مناسب، از استفاده محاسبه‌و کسری‌زمانی‌به‌یک‌‌جزئیبا
برای‌عالوه،روش‌زیرفضاهای‌ناوردا‌‌به.کوبر‌کاهش‌یافته‌است-دستگاه‌معادالت‌مشتقات‌معمولی‌با‌مشتقات‌کسری‌اردلی
.است‌شدهویلسون‌استفاده-سوکولوف-یلی‌دستگاه‌کسری‌درینفلدمحاسبه‌یک‌دسته‌از‌جواب‌های‌صریح‌تحل
ویلسون‌کسری،تحلیل‌تقارنی‌لی،تبدیالت‌تشابهی،روش‌زیر‌فضاهای‌ناوردا-سوکولوف-دستگاه‌معادالت‌درینفلد :یکلیدهای واژه
مقدمه
گران‌علوم‌و‌مهندسی‌‌پژوهش،مورد‌توجه‌بسیاری‌از9کسری(مشتق‌و‌انتگرال)حسابان‌ۀاخیر،نظری‌ۀدر‌چند‌ده
چنین‌عالقه‌‌هم. [3]،[2]،[1]است‌انجام‌شدهگیری‌در‌مباحث‌نظری‌و‌کاربردی‌آن‌‌های‌چشم‌قرار‌گرفته‌و‌پیشرفت
به‌توصیف‌پدیده‌برایوافری کسری معادالت‌دیفرانسیل با طبیعی و غیرخطی از‌‌های بسیاری است‌و آمده وجود
فرآیندهای‌پ‌پدیده نظری‌ۀیچیدهای‌غیرعادی‌و با‌‌حسابان‌کالسیک‌برای‌توصیف‌آن‌ۀطبیعی‌که بودند، ناکارآمد ها
نظریه‌حسابان‌کسری‌به از دقیق‌قابل‌پیکربندی‌ریاضی‌‌استفاده هستندطور واقع‌نظری. حسابان‌کسری‌ابزاری‌‌ۀدر
طور‌ویژه،کارایی‌این‌‌به.های‌غیرعادی‌در‌طبیعت‌است‌ذاتی‌پدیده‌ۀثی‌و‌حافظوورمهای‌‌توصیف‌ویژگی‌برایقدرتمند
پدیده توصیف در کالسیک‌‌نظریه دیفرانسیل معادالت با که مشابه موارد به نسبت انتقال، و انتشار نفوذ، های
کسری‌کاری‌سخت‌و‌در‌اغلب‌‌ۀحل‌دقیق‌معادالت‌دیفرانسیل‌مرتب.[5]،[4]یید‌شده‌استأاند،ت‌بندی‌شده‌فرمول
های‌نیمه‌تحلیلی‌و‌عددی‌‌و‌اجرای‌روش‌ۀهای‌اخیر‌توجه‌محققان‌به‌توسع‌لدر‌سااز‌این‌رو،،استموارد‌غیر‌ممکن
است‌برای روش‌ۀیک‌رد.[6]-[11]حل‌تقریبی‌این‌مسائل‌معطوف‌شده از مهم تحلیل‌مسائل‌مشتقات‌‌برایها
2های‌لی‌گروه‌ۀهای‌مبتنی‌بر‌نظری‌کسری،روش سوفوس‌لیدان‌نروژی‌‌در‌ابتدای‌قرن‌نوزدهم‌میالدی‌ریاضی.هستند
ابداع‌کرد‌که‌بعدها‌شاگردانش‌دنبال3 [12]ند‌دکرروش‌تحلیل‌تقارنی‌لی‌را استفاده‌از. های‌‌تقارن‌در‌این‌روش‌با
به‌توان‌جواب‌ای‌لی‌می‌نقطه توان‌با‌کاهش‌چنین‌می‌هم.دست‌آورد‌های‌ناوردای‌گروهی‌برای‌معادالت‌دیفرانسیل‌را
*
[email protected] نویسنده مسئول
1, Fractional Calculus
2, Lie group theory 3, Sophos Lie
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد581 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
تعمیم.کسری‌تبدیل‌کرد‌ۀها‌را‌به‌معادالت‌دیفرانسیل‌معمولی‌مرتب‌ری،آنکس‌ۀمرتب‌جزئیمعادالت‌دیفرانسیل‌‌ۀمرتب
برای9ای‌نیست‌و‌نیازمند‌تعمیم‌مفهوم‌تطویل‌کسری‌کار‌ساده‌ۀصحیح‌به‌مرتب‌ۀمعادالت‌دیفرانسیل‌مرتب‌روش‌لی‌از
گزیزف‌رالیوویل‌این‌کار-کسری‌ریمان‌ۀعملگرهای‌مشتقات‌کسری‌است،که‌برای‌مشتق‌مرتب[13]همکارانشو2
روشی‌‌به‌تازگی‌هاشمی‌و‌همکارانش‌به.کار‌گرفته‌شد‌کسری‌زمانی‌به‌ۀبرای‌حل‌مسئله‌انتشار‌غیرخطی‌مرتب‌معرفی‌و
به با‌آن‌بررسی‌کردند‌دیگر،این‌فرمول‌را [14]دست‌آوردند‌و‌انواع‌معادالت‌دیفرانسیل‌مرتبه‌کسری‌را سال‌‌طی.
سینگال 3جاری،گوپتا معادالت‌دیفرانسیل4و برای‌کاهش‌مرتبه‌دستگاه کسری‌زمانی‌و‌‌ۀمرتب‌جزئیاین‌روش‌را
[15]نددمکانی‌گسترش‌دا-کسری‌زمانی‌ۀچنین‌مرتب‌هم این‌تحقیق‌تالش‌می. معرفی‌شده‌در روش‌اخیر شود
وسیلۀ‌به گوپتا تحلیل‌تقارن‌برایسینگال‌و معادالت‌درینفلد‌بررسی‌و مرتبه ویلسون-فسوکولو-های‌لی‌دستگاه
0ری-تازگی‌ساها‌کسری‌زمانی،که‌بهعمق‌‌های‌کم‌توصیف‌پدیده‌انتشار‌نامتعارف‌امواج‌آب‌در‌محیط‌برایو‌همکارش
پیاده[16]اند‌‌کردهمعرفی شود، اجرا سازی‌و صورت‌‌دینب (DSW) ویلسون-سوکولوف-دستگاه‌کالسیک‌درینفلد.
:[19]،[18]،[17]تعریف‌می‌شود
= 0t xu pvv
= 0t xxx x xv qv svu ruv (9)
آن در , که , ,p q r s ناصفرند‌ثابت هایی 7هیروتا.همکارانش سولیتونی،و 8ساختار
به ازای‌دستگاه
= 3, = 2, =1, = 2p q s r فان.[20]ند‌دکربا‌استفاده‌از‌یک‌روش‌جبری‌بررسی‌‌را با‌استفاده‌از‌روش‌تعمیم1
رسد‌نظر‌میبه.[21]ارائه‌کرد(9)های‌تحلیلی‌برای‌دستگاه‌یافته‌و‌اصالح‌شده‌بسط‌توابع‌ژاکوبی،یک‌دسته‌از‌جواب
صورت‌‌دینزمانی‌مرتبه‌کسری‌را‌ببا‌مشتق (DSW) و‌همکارانش‌دستگاه‌معادالت ری-تازگی‌ساهاکه‌اولین‌بار‌و‌به
:[16]معرفی‌کردند
= 0t xD u pvv
= 0t xxx x xD v qv ruv svu (2)
آن در , که , ,p q r s و ناصفرند پارمترهایtD مشتق عملگر ریمان‌جزئیبیانگر 96لیوویل-کسری
ۀمرتب
0 < 1 :شود‌صورت‌تعریف‌می‌دینکه‌در‌حالت‌کلی‌ب‌استt نسبت‌به‌متغیر‌زمانی
(3)
1
0
1( ) ( , ) 1 < < , ,
( )( , ) = ( ( , )) =
( ( , )) = .
nt
n
n
tn
n
t s u x s ds n n nn t
D u x t u x tt
u x s nt
)که‌در‌آن )a :صورت‌تعریف‌می‌شود‌دینب‌وتابع‌گاما‌است
1. Prolongation
2. Gazizov
3. Singla
4. Gupta
5. Drinfeld-Sokolov-Wilson (DSW)
6. Saha Ray 7. Hirota
8. Soliton
9. Fan 10. Riemann-Liouville fractional
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
581معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
1
0( ) = x aa e t
بینی‌رفتار‌پدیده‌انتشار‌‌توصیف‌و‌پیش‌براییک‌مدل‌ریاضی‌مهم‌‌مذکوردستگاه‌معادالت‌مرتبه‌کسری‌غیرخطی
استعمق‌‌های‌کم‌های‌سطحی‌در‌محیط‌نامتعارف‌امواج‌آب دلیل‌کاربرد‌گسترده‌و‌اهمیت‌زیاد‌این‌معادالت،در‌‌به.
پیرامون‌آن‌انجام‌گرفته‌شده‌استهای‌اخیر‌تحقیقات‌مهمی‌‌سال داوسون.از‌روش[22]و‌همکارانش9 استفاده با
به معادله‌گالرکین عددی کردند (DSW) طوری حل را ماتجیال‌هم. چنین‌را2 آن پایستاری همکارانش‌قوانین و
23]دست‌آوردند‌به به-ساها[. همکارش‌با و روش‌ری برای‌‌نسبتاً‌یکارگیری متناوب‌دوگانه جواب جدید تحلیلی
3های‌تعمیم‌یافته‌آنالیز‌تقارنی‌لی‌در‌این‌مقاله‌از‌ایده.[16]ارائه‌کردند DSW معادالت‌کسری‌زمانیمحاسبه‌‌برای
2.9)شود‌دستگاه‌حاکم‌‌ای‌لی‌و‌تبدیالت‌تشابهی‌مدل‌استفاده‌شده‌و‌تالش‌می‌های‌نقطه‌تقارن دستگاه‌‌صورت‌به(
.مولی‌مرتبه‌کسری‌کاهش‌داده‌شودمعادالت‌مع
غیرخطی‌و‌پیچیده‌روش‌‌جزئیبررسی‌تحلیلی‌معادالت‌دیفرانسیل‌‌برایهای‌تحلیلی‌کارا‌و‌قدرتمند‌‌از‌دیگر‌روش
گالکتینف‌راروش‌زیرفضای‌ناوردا‌‌ۀاید.است 4اموسوم‌به‌زیرفضای‌ناورد‌جزئیو‌همکارانش‌برای‌معادالت‌دیفرانسیل
غیرخطی‌با‌مشتق‌زمانی‌‌جزئیآن‌را‌برای‌حل‌معادالت[25]تازگی‌گزیزف‌و‌همکارانشبه.[24]کردند‌معرفی‌‌جزئی
نیز‌ساهادوان‌اخیراً.مرتبه‌کسری‌تعمیم‌دادندهای‌تحلیلی‌دستگاه‌‌دست‌آوردن‌جواب‌و‌همکارش‌این‌روش‌را‌برای‌به0
معادالت‌دیفرانسیل مشتق‌زمانی‌مرتبه‌کسری‌تعمیم‌دادند‌‌جزئیدستگاه [26]با این. تحقیق‌روش‌زیرفضای‌در
سازی‌و‌‌پیاده(2)دستگاه‌تحلیلی‌صریح‌های‌جواب‌از‌دسته‌یافتن‌یک‌برایکسری‌‌مسائل‌مشتقات‌یافته‌برایتعمیم‌ناوردا
.اجرا‌خواهد‌شد
ویلسون -سوکولوف-آنالیز تقارنی لی برای دستگاه کسری زمانی درینفلد
اید این‌بخش‌ابتدا معادالت‌دیفرانسیل‌‌ۀدر برای‌دستگاه یافته تقارن‌لی‌تعمیم مشتقات‌‌جزئیروش‌آنالیز با
سازی‌و‌اجرا‌و‌در‌‌پیاده (DSW) آنالیز‌تقارنی‌لی،دستگاه‌برایسپس‌روش‌معرفی‌شده.شود‌میکسری‌زمانی‌بیان
.کاهش‌یافته‌از‌مدل‌با‌استفاده‌از‌تبدیالت‌تشابهی‌متقارن‌ارائه‌خواهد‌شد‌صورتنهایت‌یک
بیان مقدمات روش آنالیز تقارنی لی برای دستگاه معادالت کسری زمانی .5
با‌مشتقات‌کسری‌زمانی‌در‌حالت‌‌جزئیدر‌این‌بخش‌روش‌آنالیز‌تقارنی‌لی‌برای‌یک‌دستگاه‌معادالت‌دیفرانسیل
داده شرح شود‌میکلی فرض‌کنید. منظور این ) برای , )u x tو ( , )v x tجواب و وابسته های‌دستگاه‌متغیرهای
:کسری‌زمانی‌زیر‌باشند‌جزئیمعادالت
1 2 2= ( , , , , ,..., , ,...) = 0x x x x
uF x t u u u v v
t
(4)
2 2 2= ( , , , , ,..., , ,...) = 0x x x x
vH x t u u u v v
t
1 Dawson
2 Matjila 3 Lie symmetry analysis
4 Invariant subspace method
5 Galaktionov, V.A 6 R. Sahadevan
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد588 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
< که‌در‌آن 0 = و i
ix i
uu
x
و
t
لیوویل‌از-ریمان‌جزئیو‌مشتقx ام‌نسبت‌بهiۀترتیب‌مشتق‌مرتب‌به
را‌یک‌گروه‌تقارنی‌لی‌یک‌پارامتری‌از‌تبدیالت‌پیوسته‌زیر‌در‌نظرG.دهد‌را‌نشان‌میt نسبت‌به کسری‌ۀمرتب
:بگیرید
* 2= ( , , , ) ( ),x x x t u v O
* 2= ( , , , ) ( ),t t x t u v O
* 2= ( , , , ) ( ),u u x t u v O
* 2= ( , , , ) ( ),v v x t u v O
*
, 2
*= ( ),tu u
Ot t
( )
*
, 2
*= ( ),tv v
Ot t
*
, 2
*= ( ), =1,2,3,
j jj x
j j
u uO j
x x
*
, 2
*= ( ), =1,2,3.
j jj x
j j
v vO j
x x
آن در , که , , کوچک بینهایت 9توابع و
, ,,t t کوچک یافته‌بینهایت تعمیم مرتب2های ۀاز و
,jx jx ۀهای‌تعمیم‌یافته‌از‌مرتب‌بینهایت‌کوچک jتحت‌تبدیالت‌گروه(4)اکنون‌فرض‌کنید‌دستگاه.هستند
G :صورت‌تعریف‌شده‌باشد‌دینمولد‌تقارنی‌بینهایت‌کوچک‌نظیر‌آن‌بV ناوردا‌باشد‌و
= ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x t u vV x t u v x t u v x t u v x t u v (0)
بنا‌به‌تعریف ,t :[15]صورت‌تعریف‌می‌شود‌‌دینب
, 1 1= ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ),t
t t x t x t t t tD D u D u D D u D u D u (7)
ۀدر‌حسابان‌کسری،برای‌محاسب[28]و‌قواعد‌زنجیری[27]دلیل‌نادرستی‌قاعده‌الیبنیتز‌که‌به,tاز‌قواعد‌تعمیم
:[15]داریم‌یافته‌مشتقات‌زنجیری‌و‌الیبنیتز‌برای‌مشتقات‌کسری‌استفاده‌کرده‌و
,
1 2= ( ( )) ( )t u vu t v
u u vD u v
t t t t t
1
=1
[ ( )] ( )1
ii iut ti
i
D D ui it
(8)
=1 =1
( ) ( ) ( )i
i i ivt t t xi
i i
D v D D ui it
که‌در‌آن
1
1
=2 =2 =2 =0
( )= ( 1) ,
! ( 1)
i j r s i j rji rs s
j i j ri j r s
i r t uu
i j s r i t t u
1. Infinitesimals 2. Extended infinitesimals
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
581معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
1
2
=2 =2 =2 =0
( )= ( 1) ,
! ( 1)
i j r s i j rji rs s
j i j ri j r s
i r t vv
i j s r i t t v
هرگاه u, بر‌حسب v 1 خطی‌باشد‌چون 2, u, دوم‌و‌مراتب‌باالتر‌شامل‌مشتقات‌مرتبه v1 هستند 2,
طور‌مشابهبه.شوند‌صفر‌می,tصورت‌محاسبه‌می‌شوند‌دینب:
,
=1
= ( ( )) ( ) ( ) ( )t i iv uv t u t t x
i
v uD v u D D v
it t t t t
1
3 4
=1 =1
[ ( )] ( ) ( )1
i ii i iv ut t ti i
i i
D D v D ui i it t
(1)
که‌در‌آن 1
3
=2 =2 =2 =0
( )= ( 1) ,
! ( 1)
i j r s i j rji rs s
j i j ri j r s
i r t uu
i j s r i t t u
1
4
=2 =2 =2 =0
( )= ( 1) ,
! ( 1)
i j r s i j rji rs s
j i j ri j r s
i r t vv
i j s r i t t v
چنین‌وقتی‌هم u, بر‌حسب v3 گاه‌خطی‌باشد‌آن 4, های‌تعمیم‌‌عملگرهای‌بینهایت‌کوچک.شوند‌صفر‌می
jx, یافته x و xشوند‌صورت‌تعریف‌می‌دیننیز‌ب.
( 1)
( 1) ,= ( ) ( ) ( ), = 2,3,...jx j x
x j x t x jx xD u D u D j
(96)
( 1)
( 1) ,= ( ) ( ) ( ), = 2,3,...jx j x
x j x t x jx xD u D u D j
9نشانگر‌عملگر‌مشتق‌کلxD که‌در‌آن :شود‌صورت‌تعریف‌می‌دیناست‌که‌ب
= .x x xx x xx
x x
D u u v vx u u v v
(99)
:شود‌صورت‌نوشته‌می‌دینب(4)محک‌ناوردایی‌برای‌معادالت‌دستگاه
, ,1 1
1 =0, =01 2
( ) | = 0,m n
Pr V
(92)
, ,2 2
2 =0, =01 2
( ) | = 0,m n
Pr V
که‌در‌آن
, , , 1, ,
( )=m n t x m x
t x mx
Pr V Vu u u
, 1, ,
( ).t x n x
t x nxv v v
معرفی‌شده‌در‌باال‌جهت‌تحلیل‌تقارنی‌لی‌‌ۀدر‌بخش‌بعد‌اید.به‌مطالب‌فوق‌مولد‌تقارنی‌محاسبه‌خواهد‌شد‌با‌توجه
.اجرا‌خواهد‌شد(2)ۀمسئل
(2) ۀتحلیل تقارنی و تبدیالت تشابهی مسئل .2-2
تبدیالت‌‌تحت(2)شود‌که‌دستگاه‌معادالت‌دیفرانسیل‌غیرخطی‌و‌کسری‌آنالیز‌تقارنی‌لی‌فرض‌می‌ۀبنابر‌اید
1. Total derivative operator
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد511 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
G گروه در )معرفی‌شده ) باشد، ناوردا اینرو، محاسباز یعنی(92)های‌مناسب‌‌تطویل‌ۀبا ، ,0,1 ( 1)Pr V و
,1,3 ( 2)Pr V ،داریم:,
=0, =01 2
[ ( )] = 0,t x
xp v v (93)
,
=0, =01 2
[ ( ) ( )] = 0.t xxx x x
x xq r u v s v u
گذاری‌مقادیر‌متناظر‌عملگرهای‌در‌ادامه‌با‌جای , ,, , ,x t t xxx و
xدر(99)-(7)معرفی‌شده‌در‌روابط
ها‌‌آن‌مشتقات‌وv وu متغیرهای‌وابسته‌های‌ضرائب‌جمالت‌شامل‌توان‌و‌معادل‌صفر‌قرار‌دادن(92)معادالت‌‌ۀدست
, کسری‌و‌کالسیک‌بر‌حسب‌جزئیاز‌معادالت‌با‌مشتقات‌‌ای‌دسته , و زمان‌این‌‌از‌حل‌هم.آید‌دست‌می‌به
, های‌دسته‌از‌معادالت‌مقادیر‌عمومی‌بینهایت‌کوچک , و :اند‌صوت‌محاسبه‌شده‌دینب
= , = 3 , = 2 , = 2 ,a c x b ct uc cv (94)
a , که‌در‌آن b گیری‌عملگر‌‌پایین‌انتگرال‌از‌طرفی‌با‌توجه‌به‌این‌که‌کران.هستندپارامترهای‌ثابت‌و‌دلخواهc و
شرط‌این( )تضمین‌ناوردایی‌دستگاه‌تحت‌تبدیالت‌‌برای‌از‌این‌رو،لیوویل‌مقدار‌ثابت‌است،-مشتق‌کسری‌ریمان
:باید‌برقرار‌باشد
=0( , , , ) | = 0,tx t u v
روابط 92)بنابراین‌از نتیجه‌می( =شود، 0b به . نتیجه فرضترتیب‌در } با =1, = 0}a cو{ = 0, =1}a cدو
:آید‌دست‌می‌بهصورت‌‌دینب(0)ۀدسته‌از‌مولدهای‌بینهایت‌کوچک‌با‌توجه‌به‌رابط
1 2= , = 3 2 2V V x t u vx x t u v
(9 )
1 2 2 2 2 1 1 1 2[ , ] = [ , ] = 0, [ , ] = = [ , ]V V V V V V V V V (90)
محاسبه‌‌مذکورهای‌برداری‌‌ازای‌هریک‌از‌میدان،تبدیالت‌تشابهی‌به(2)دستگاه‌معادالت‌‌ۀکاهش‌مرتب‌برایدر‌ادامه
.شود‌می
ازای‌میدان‌برداری‌به:5حالت1 =V
x
:استصورت‌‌دینمشخصه‌نظیر‌آن‌ب‌ۀ،معادل
= = =0 1 0 0
dt dx du dv
اینرو، )داریم،از , ) = ( )v x t h t ) و , ) = ( )u x t f tبه ) کهطوری، )f tو ( )h tزمان به وابسته و دلخواه توابع
:شود‌نتیجه‌می(2)ۀها‌در‌معادل‌گذاری‌این‌جواب،با‌جایهستند
( ) = 0, ( ) = 0t th t f t
:آید‌دست‌می‌به(2)ناوردای‌زیر‌را‌برای‌دستگاه‌کمک‌تبدیل‌الپالس،جواب‌‌از‌حل‌معادالت‌فوق‌به
1 11 2( ) = , ( ) =( ) ( )
k kf t t h t t
(97)
1 که‌در‌آن 2,k k .پارمترهای‌ثابت‌است
بردار‌مولد‌بینهایت‌کوچک‌در‌نظر‌بگیریم‌آن2V اگر‌میدان‌برداری:2حالت گاه‌معادالت‌مشخصه‌نظیرش‌عبارت‌‌را
:است‌از
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
515معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
= = =3 2 2
dx dt du dv
x t u v
z=3 که‌از‌آن xt
به‌عنوان‌متغیر‌مستقل‌جدید‌و 2 2
3 3( , ) = ( ), ( , ) = ( )u x t t F z v x t t h z
(98)
اکنون‌قبل‌از‌بررسی.نامندتشابهی‌نیز‌میهای‌ها‌را‌تبدیلآیند‌که‌آندست‌میعنوان‌متغیرهای‌وابسته‌جدید‌بهبه
اردلی انتگرالی و دیفرانسیلی عملگرهای دستگاه، مرتبه 9کوبر-کاهش‌می [29]شوندمعرفی دستگاه[30]، که
.شوند‌پس‌از‌کاهش‌مرتبه‌بر‌حسب‌این‌عملگرها‌بیان‌می(2)معادالت
, برای‌هر 2 .5تعریف > 0z ), دیفرانسیل‌کسریعملگر )P
:شود‌صورت‌تعریف‌می‌دینکوبر‌ب-اردلی
1
, ,
=0
1( )( ) = ( )( )( ),
mm
j
dP H z j z K H z
dz
(91)
و[ ] 1 if ,
=if ,
m
), که‌در‌آن )( )K H z
:[31]کوبر‌است-عملگر‌انتگرالی‌اردلی
1
1 ( )
,1
1( 1) ( ) if > 0
( )( ) = ( )
( ) if = 0
H z dK H z
H z
(26)
.کندبیان‌می(98)را‌با‌توجه‌به‌تبدیالت‌تشابهی(2)زیر‌روند‌کاهش‌مرتبه‌دستگاه‌معادالت‌‌ۀقضی
های‌تشابهیبه‌کمک‌تبدیل 2 .2قضیه 2 2
3 3( , ) = ( ), ( , ) = ( )u x t t F z v x t t h z
و‌متغیر‌تشابهی
3=z xt
.شود‌دستگاه‌تبدیل‌می‌این‌به(2)دستگاه‌معادالت
51 ,
'33( )( ) = ( ) ( )P z ph z h z
51 ,
' ' '33( )( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P z qh z sh z F z rF z h z
(29)
), که‌در‌آن )P
.معرفی‌شده‌است(2)در‌تعریف
می‌به:برهان مشاهده مرتب‌سادگی مشتق که -ریمان‌ۀشود 3)لیوویل ) تابع( , )u x t تشابهی‌به تبدیل ازای
2
3 3( , ) = ( )u x t t F xt
:شود‌صورت‌بیان‌می‌دینب 2
1 3 3
0
1= [ ( ) ( ) ],
( )
nt
n
n
ut s s F xs ds
t t n
= با‌تغییر‌متغیر t
s :آوریمدست‌میبه
553 ( 1)
1 3 3
1= [ ( 1) ( ) ],
( )
nn
nn
n
u tF z d
t t n
(22)
1. Erdelyi-Kober
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد512 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
توانیم‌می(26)ۀبا‌رابط(22)اکنون‌با‌تطبیق u
t
:کوبر‌بیان‌کرد-صورت‌بر‌حسب‌عملگر‌انتگرالی‌اردلی‌دینرا‌ب
5 21 ,
3 33= [ ( )( )].
nn n
n
ut K F z
t t
(23)
:از‌طرفی‌داریم 5 2
1 ,3 3
3[ ( )( )])n n
t K F zt
5 2 5 21 1 , 1 ,
3 3 3 33 3
5= [( ) ( )( ) ( )( ) ]
3
n n n nd zn t K F z t K F z
dz t
5 21 1 ,
3 33
5= [ ( )( )( )]
3
n nz dt n t K F z
t dz
5 21 1 ,
3 33
5= [ ( ( )( )].
3 3
n n
t n z K F zz
:صورت‌نوشت‌دینرا‌ب(23)ۀ‌توان‌رابط‌باال‌می‌ۀحال‌با‌استفاده‌از‌رابط5 21
1 ,3 3
31= ( [ ( )( )])
nn n
n
ut K F z
t t t
5 211 1 ,
3 331
5= [ ( ( )( )].
3 3
nn n
nt n z K F z
t z
دست‌آید‌که‌مشابهت‌زیادی‌با‌‌صورت‌به‌دینبار‌تکرار‌کرد‌تا‌عبارت‌سمت‌راست‌تساوی‌باال‌بn توان‌این‌فرآیند‌را‌می
.:عملگر‌دیفرانسیلی‌اردلی‌کوبر‌دارد5 2 5 51
1 , 1 ,3 3 3 3
3 3
=0
5= [ ( (1 ))( )( )] = ( )( ).
3 3
nn
j
u dt j z K F z t P F z
t dz
طور‌مشابه،به.کوبر‌حاصل‌شده‌است-تساوی‌آخر‌با‌توجه‌به‌تطبیق‌عبارت‌سمت‌راست‌با‌عملگر‌دیفرانسیلی‌اردلی
را‌برای(24)رابطۀ‌می‌توانv
t
.دست‌آورد‌به
5 51 ,
3 33= ( )( ).
vt P h z
t
(24)
اگر =3 یک‌عدد‌صحیح‌مثبت‌باشد‌برای n
z xt
n...,1,2,3= که :دست‌آورد‌توان‌به‌روابط‌را‌میاین 2 2 21 1
13 3 3
1 1
2= [ ( )] = [ ( ( ))] = [ ( ) ( )]
3 3
n n nn n n
n n n
u u n n dt F z t F z t z F z
t t t t t dz
(2 )
n بعد‌ازو :صورت‌نوشته‌شود‌دینتواند‌ب‌بار‌تکرار،رابطه‌باال‌می
5 5 511 ,
3 3 33
=0
5= (1 ) ( ) = ( )( ),
3 3
nnn n n
j n
u n dt n j z F z t P F z
t dz
(20)
= طور‌مشابه‌برای‌به =1,2,3,...n :داریم
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
511معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
5 51 ,
3 33= ( )( ).
n nn
n
vt P h z
t
(27)
2)بنابراین‌روابط ) 20)و n>1 که ازای‌هربه( n است برقرار جای. نهایت‌با گذاری‌تبدیالت‌‌در
تشابهی2
3( , ) = ( )u x t t F z
و 2
3( , ) = ( )v x t t h z
قضیه(27)و(20)و‌استفاده‌از‌روابط(2)در‌دستگاه
.شود‌ثابت‌می
با‌یک‌واحد‌کاهش‌مرتبه‌به‌یک(2)جزئیکه‌مشاهده‌شد‌با‌استفاده‌از‌تبدیالت‌تشابهی‌دستگاه‌معادالت‌‌چنان
.تبدیل‌شد(29)کوبر-دستگاه‌معادله‌دیفرانسیل‌معمولی‌کسری‌با‌عملگر‌اردلی
روش زیر فضای ناوردا و یافتن جواب دقیق
این‌بخش‌روش‌زیرفضای‌ناوردا جواب‌ۀمحاسب‌برایدر معادالت‌‌یک‌دسته تحلیلی‌دستگاه و (2)های‌صریح
کسری‌زمانی‌که‌اخیراً‌‌جزئیبرای‌این‌منظور‌ابتدا‌ایده‌روش‌برای‌حل‌تحلیلی‌دستگاه‌معادالت.شود‌میبررسی‌و‌اجرا
در‌‌را(28)کسری‌زمانی‌جزئیبرای‌این‌منظور‌دستگاه‌معادالت.شود‌طور‌مختصر‌بیان‌می‌به[26]معرفی‌شده‌است
:نظر‌بگیرید
( ) ( )1 1 21 1 2 1 2= [ , , ,..., , ]
k kuG x u u u u
t
(28)
( ) ( )2 1 22 1 2 1 2= [ , , ,..., , ]
k kuG x u u u u
t
که‌در‌آن (.)
t
1 لیوویل‌و-ام‌ریمانۀمشتق‌مرتب 2,G G 2k ۀترتیب‌از‌مرتب‌به‌قدر‌کافی‌هموار‌و‌توابع‌به 1k و
2u نسبت‌به‌متغیرهای‌وابسته 1u و 1 و‌با‌فرض 2( )k k :کنند‌ها‌صدق‌می‌شرطاین‌که‌در‌است‌بوده
2 21 1
( ) ( )1 1
1 2
( ) ( ) 0k k
G G
u u
2 22 2
( ) ( )2 2
1 2
( ) ( ) 0.k k
G G
u u
(21)
121
( )=1 2
( ) 0,
k
ii
G
u
222
( )=1 1
( ) 0.
k
ii
G
u
(36)
j{1,2} برای‌بعضی‌از :یمردا 2
( ) ( )
1 2
0 , {0,1,2,.., }j
jl s
Gl s k
u u
(39)
) در‌ادامه‌از‌نمادهای , ) = , =1,2j ju x t u j و ( )
( , )=
q
jq
j q
u x tu
x
,...,1,2= برای jq k .شود‌استفاده‌می
nW یک‌فضای‌خطی‌با‌بعد‌متناهی:[32]1 .5تعریف شود‌هرگاهناوردا‌گفته‌میG نسبت‌به‌عملگر‌دیفرانسیلی
[ ]n nG W W nu عبارتی‌دیگر،برای‌هریا‌به W . داشته‌باشیم [ ] nF u W
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد511 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
کنید فرضj
nj
W , =1,2j شده تولید خطی خطی‌وسیلۀ‌بهفضای مستقل توابع
{ ( ) |1 , =1,2}j
i jf x i n j و باشدj
nj
W ( =1,2j دیفرانسیلی ( عملگر نسبت‌به1 2[ , ]jG u u (
=1,2j برای‌هر ( باشد‌و 1,2j= ناوردا ,...,1,2= و ji n ) مشتق )j
t iD f t برای باشد‌و داشته وجود1 2
1 21 2
( , ) n nu u W W بسط، 1 2[ , ]jG u u :صورت‌باشد‌دینب
1 21 1 2 2 1 1 2 2
1 11 2
=1 =1 =1
[ ( ), ( )] = ( ,..., , ,..., ) ( )
nn n jj j
j i i i i i n n i
i i i
G a f x a f x a a a a f x (32)
:صورت‌است‌دیندارای‌جواب‌دقیقی‌ب(28)گاه‌دستگاه‌‌آن
=1
( , ) = ( ) ( ) =1,2
nj
j j
j i i
i
u x t a t f x j (33)
) که‌در‌آن‌توابع )j
ia t :[34]صدق‌می‌کنند(34)در‌دستگاه‌معادالت‌دیفرانسیل‌معمولی
1 1 2 2
1 11 2
( )= ( ( ),..., ( ), ( ),..., ( )) =1,2,...,
jji
i n n j
d a ta t a t a t a t i n
dt
(34)
=1 ناوردایدر‌ادامه‌فرض‌کنید‌فضای { ( ),..., ( )}j j j
n nj j
W f x f x های‌معادالت‌دیفرانسیل‌خطی‌توسط‌جواب
ۀمرتبjn :زیر‌تولید‌شده‌باشد
( ) ( ) 11
2 1[ ] = ( ) ... ( ) ( ) = 0 =1,2n nj j jj j
j j n j j jj
y y a x y a x y a x y j (3 )
:داشته‌باشیم‌یدناوردا‌باشد‌باG نسبت‌به‌عملگر‌دیفرانسیل‌برداریW که‌زیر‌فضای‌در‌این‌صورت‌برای‌آن
1 2 [ ] [ ]1 2
[ [ , ]] | = 0 =1,2j j H HG u u j (30)
] که‌در‌آن ]jH ] ۀمعادل‌ۀدهندنشان ] = 0j ju .استx و‌نتایج‌دیفرانسیلی‌آن‌نسبت‌به
9ترین‌بعد‌از‌طرفی‌برآورد‌بیشتوانیم‌یک‌‌کمک‌آن‌می‌از‌زیر‌فضاهای‌ناوردا،نقش‌مهمی‌در‌این‌روش‌دارد‌و‌به
این‌برآورد‌به.دست‌آوریم‌ها‌جواب‌دقیق‌معادالت‌مورد‌نظر‌را‌به‌های‌ناوردا‌و‌متناظر‌با‌آن‌بندی‌کامل‌از‌زیر‌فضای‌رده
:ارائه‌شده‌است2.3ۀ‌بستگی‌دارد‌و‌در‌قضی(30)شرط‌ناوردایی
1 فرض‌کنید[33]1 .2قضیه 2= ( , )G G Gکند‌و‌را‌برآورد‌می((39)-(21)یک‌عملگر‌برداری‌باشد‌که‌شرایط
1 2k k 1 اگر 2
1 21 2
( > 0) n nn n W W G نسبت‌به‌عملگر نگاه‌ناوردا‌باشد،آ
1 2 2 1 1 2, 2( ) 1n n k n k k
2G فرض‌کنید[33]1 .1قضیه Gیک‌عملگر‌دیفرانسیلی‌غیر‌خطی‌و G(28)یک‌دستگاه‌معادالت‌مشابه
1 نکه‌خللی‌به‌عمومیت‌مسئله‌وارد‌شود‌فرض‌می‌کنیم‌‌بدون‌آ.باشد 2k k 1 اگر. 2
1 21 2
( > 0) n nn n W W
G نسبت‌به‌عملگر گاه‌ن‌ناوردا‌باشد،آ
2 1 2 2 1 12( ) 1, .n k k n n k
،برای‌این‌منظور‌با‌توجه‌به‌شود‌میاستفاده(2)حل‌تحلیلی‌دستگاه‌معادالت‌‌برایاکنون‌از‌روش‌معرفی‌شده‌در‌باال
1. maximal dimension
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
511معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
:گیریم‌صورت‌در‌نظر‌می‌دینرا‌ب(2)های‌دستگاه‌‌لفهؤم‌مذکورمطالب
1 3= x x xG qv svu ruv
2 = xG pvv (10.3)
. که‌در‌آن 2 1=1, = 3k k1 شود‌که‌عملگرهای‌در‌ادامه‌مشاهده‌میG کنند،صدق‌می(39)-(21)در‌شرایط2G و
:زیرا
2 2 2 21 1
3 3
( ) ( ) = ( ) (0) 0,x x
G Gq
v u
2 2 2 22 2( ) ( ) = ( ) (0) 0,x x
G Gpv
v u
32 2 2 21
=1
( ) = ( ) (0) (0) 0,i i x
Gsv
u
12 22
=1
( ) = ( ) 0,i i x
Gpv
v
2
1 2= ( ) = 0x x
G Gr
u v u v
1 بنابراین‌زیر‌فضایی‌مثل 2
1 2= n nW W W 1 چنان‌موجود‌است‌که‌تحت 2= [ , ]G G G کهطوریناوردا‌است،به
1 9n 1 و 2 1n n 1 بنابراین‌ابعاد 2
1 2n nW W :صورت‌زوج‌های‌مرتب‌زیر‌داده‌شوندتوانند‌بهمی
1 2( , ) ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),..., (9,8),(9,9)}n n
فرضبه با 1عنوان‌مثال 2( , ) = (2,2)n nفضای‌ناوردای زیر ، 1 2
1,2 2 1=W W Wمعادالت‌دیفرانسیل‌معمولی با
:محاسبه‌می‌شوند(37)1 ' '
2 1 0={ | [ ] = = 0}W y y y a y a y (37)
2 ' '
1 2 1 0={ | [ ] = = 0}W z z z b z b z
1 که‌در‌آن‌باید‌پارامترهای‌ثابت 1 0 0, , ,b a a b :صورت‌نمایش‌داد‌دینتوان‌بشرایط‌ناوردایی‌را‌می.تعیین‌شوند 2
1 1 1 0 1 1 2,2 1
( ) | = 0v W u W
D G a DG a G
(38)
2
2 1 1 0 1 1 2,2 1
| = 0v W u W
D G b DG b G
آن 1 که‌در 2,G G 27)در تعریف‌شدند( شرط‌ناوردایی‌باال‌اگر‌ضرایب. ,2 در , ,x x x xuv u v v vقرار برابر‌صفر را
:آوریمدست‌میترتیب‌بهبهدهیم
2
1 0 1 1 1 0 0= 0, 3 = 0, 2 = 0, = 0a b b b ab a ra
0 ها‌که‌از‌حل‌آن 0 1 1= = = = 0a b a b ,1}= پس.شود‌نتیجه‌می } {1, }W x xزیر‌فضای‌ناوردای‌تحتG
, که‌شرطی‌به‌است ,r p qباشند ناصفر . دستگاه بنابراین 2)معادالت جواب( به‌باید تحلیلی صورت‌های
1 2( , ) = ( ) ( )u x t c t xc t3 و 4( , ) = ( ) ( )v x t c t xc t جای با بنابراین باشند جواب‌داشته های‌‌گذاری
:داریم(2)پیشنهادی‌در‌دستگاه‌معادالت
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد511 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
13 4= ( ) ( )
cpc t c t
t
224= ( )
cpc t
t
(31)
32 3 1 4= ( ) ( ) ( ) ( )
csc t c t rc t c t
t
42 4= ( ) ( ) ( )
cr s c t c t
t
لیویل‌فوق‌حل‌شود،برای‌این‌منظور‌از-شود‌دستگاه‌معادالت‌معمولی‌با‌مشتقات‌کسری‌ریمان‌در‌ادامه‌تالش‌می
ریمان کسری انتگرال و مشتق -روابط توابع شد‌چندجملهلیویل خواهد استفاده ای کلی. حالت در روابط این
::استصورت‌‌دینب( 1)
=( 1)
I t t
(46)
( 1)=
( 1)D t t
D, که I با‌توجه‌به‌معادالت‌دوم‌و.دهندرا‌نشان‌می ۀلیویل‌مرتب-ترتیب‌انتگرال‌و‌مشتق‌کسری‌ریمانبه
4 رود‌تابع،انتظار‌می(46)چهارم‌دستگاه ( )c t صورت‌به 4( ) =c t At باشد،که‌در‌آن Aو پارامترهای‌ثابتی
:شود‌میسادگی‌نتیجه‌‌به(46)با‌این‌فرض‌از‌سطر‌دوم‌دستگاه‌معادالت‌از‌این‌رو،.دشوند‌میاست‌که‌در‌ادامه‌تعیین2
2
2
(2 1)( ) =
(2 1)
pAc t t
(49)
2 گذاری‌مقادیر‌اکنون‌با‌جای ( )c t 4 و ( )c t :شود،نتیجه‌می(46)را‌در‌سطر‌چهارم‌از‌دستگاه‌معادالت 3
3( 1) ( ) (2 1)=
( 1) (2 1)
A r s pAt t
= ازایاین‌تساوی‌تنها‌به 3 = یا :چنین‌و‌هم
(1 ) 1=
(1 2 ) ( )A
p r s
:بنابراین‌داریم.برقرار‌است
2
1 (1 )( ) =
(1 2 )c t t
r s
(42)
4
(1 ) 1( ) =
(1 2 ( )c t t
p r s
(43)
طور‌مشابه‌با‌فرض‌به 3 1( ) =c t k t گذاری‌آن‌در‌دسته‌اول‌از‌دستگاه‌معادالت‌دیفرانسیل‌معمولی‌کسری‌‌و‌جای
3گذاری‌مقادیر‌محاسبه‌شده،نهایت‌از‌جایو‌در(13.3) 2( ), ( )c t c t 4 و ( )c t توابع‌ۀدر‌دست سوم‌از‌معادالت،
1( )c t )3 و )c t :شوند‌صورت‌محاسبه‌می‌دینب
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
511معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
11 3 1( ) = ( ) = .
( )
pkc t t c t k t
p r s
:شود‌صورت‌محاسبه‌می‌دینب(2)معادالت‌بنابراین‌جواب‌دستگاه
1 (1 )( , ) =
(1 2 )( )
pk xu x t t t
r sp r s
1
(1 )( , ) =
(1 2 )( )
xv x t k t t
p r s
1k که‌در‌آن .یک‌ثابت‌دلخواه‌است
گیری نتیجه
های‌‌انتشار‌نامتعارف‌امواج‌آب‌در‌محیط‌ۀدر‌این‌تحقیق‌یک‌مدل‌مهم‌در‌مهندسی‌که‌توصیف‌کننده‌رفتار‌پدید
ویلسون‌معروف‌است،بررسی-سوکولوف-با‌مشتقات‌کسری‌زمانی‌درینفلد‌جزئیو‌به‌دستگاه‌معادالت‌‌استکم‌عمق
ای‌لی‌‌های‌نقطه‌بررسی‌ناوردایی‌معادالت‌و‌تشکیل‌تقارن‌براییک‌تحلیل‌قوی‌ریاضی‌مبتنی‌بر‌نظریه‌تقارن‌لی.شد
ها‌‌تبدیالت‌تشابهی‌مهم‌برای‌مسئله‌محاسبه‌و‌با‌استفاده‌از‌آنای‌لی،برخی‌‌های‌نقطه‌متناظر‌به‌تقارن.مدل‌ارائه‌شد
در‌ادامه‌از‌یک‌روش‌تحلیلی‌قوی.کوبر‌کاهش‌یافت-مدل‌به‌یک‌دستگاه‌معادالت‌معمولی‌با‌مشتقات‌کسری‌اردلی
سبه‌صورت‌صریح‌محا‌ویلسون‌به-سوکولوف-های‌دقیق‌معادله‌درینفلد‌مبتنی‌بر‌زیر‌فضاهای‌ناوردا‌یک‌دسته‌از‌جواب
شود‌که‌هر‌دو‌تحلیل‌استفاده‌شده‌در‌این‌تحقیق‌که‌به‌تازگی‌برای‌دستگاه‌معادالت‌کسری‌گسترش‌‌مشاهده‌می.شد
.ددارمواجهه‌با‌این‌مسئله‌مهم‌‌برای‌زیادیکارآیی‌اند،داده‌شده
منابع
1. Oldham K. B., Spanier J., "The Fractional Calculus: Theory and Application of
Differentiation and Integration to Arbitrary Order", Academic Press, New York, NY, USA,
(1974).
2. Miller K. S., Ross B., "An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential
Equations" Wiley, New York (1993)
3. Podlubny I., "Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives,
Fractional Differential Equations, to Methods of their Solution and some of their
Applications", Mathematics in Science and Engineering Vol. 198, Academic Press, New
York, (1999).
4. Loverro A., "Fractional Calculus: History, Defnitions and Applications for the Engineer",
Department of Aerospace and Mechanical Engineering University of Notre Dame Notre
Dame, U.S.A, (2004).
5. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., "Theory and Applications of Fractional
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد518 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
Differential Equations", NorthHolland Mathematics Studies Vol. 204, Elsevier, Amsterdam,
(2006).
6. Jafari Hossein, Kadkhoda Nematollah, Baleanu Dumitru, "Fractional Lie group method of
the time-fractional Boussinesq equation", Nonlinear Dynamics 81.3 (2015) 1569-1574.
7. Hashemi M. S., "Group analysis and exact solutions of the time fractional Fokker- Planck
equation", Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 417 (2015) 141-149.
8. Hashemi M. S., Baleanu D., "Lie symmetry analysis and exact solutions of the time
fractional gas dynamics equation", JOURNAL OF OPTOELECTRONICS AND
ADVANCED MATERIALS 18.3-4 (2016) 383-388.
9. Pashayi S., Hashemi M. S., Shahmorad S., "Analytical lie group approach for solving
fractional integro-di erential equations" Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation, 51 (2017) 66-77.
10. Roohani Ghehsareh H., Bateni S. H., Zaghian A., "A meshfree method based on the radial
basis functions for solution of two-dimensional fractional evolution equation", Engineering
Analysis with Boundary Elements. 61 (2015) 52-60
11. Roohani Ghehsareh H., Zaghian A., Zabetzadeh S. M., "The use of local radial point
interpolation method for solving two-dimensional linear fractional cable equation", Neural
Computing and Applications (2017).
12. Ovsiannikov L.V., "Group analysis of differential equations", New York: Academic Press;
(1982).
13. Rafail K., Gazizov Alexey A., Kasatkin, Stanislav Yu Lukashchuk, "Continuous
transformation groups of fractional differential equations", (2007).
14. Hashemi M. S., Bahrami F., Najafi R., "Lie symmetry analysis of steady-state fractional
reaction-convection-diffusion equation", Optik IJLEO 59017, (2017) 3-21.
15. Komal Singla, Gupta R. K., "On invariant analysis of some time fractional nonlinear
systems of partial differential equations", I, JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS
57, 101504 (2016).
16. saha Ray S., sahoo S., "New double-periodic solutions of fractionasl Drifeld-Sokolov-
Wilson equation in shallow water waves", Nonlinear Dyn. DOI.10.1007s1007-017-3349-9,
(2017).
17. Drinfel’d V. G., Sokolov V. V., "Equations of Korteweg-de Vries type and simple Lie
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
511معادالتتحلیل‌تقارنی‌لی‌و‌تعیین‌جواب‌های‌صریح‌تحلیلی‌دستگاه
algebras", Sov. Math. Dokl. 23 (1981) 457-462.
18. Drinfel’d V.G., Sokolov V. V., "Lie algebras and equations of Korteweg-de Vries type", J.
Sov. Math. 30(2), 1975-2036 (1985).
19. Wilson G., "The affine lie algebra C(1)2 and an equation of Hirota and Satsuma", Phys.
Lett. A 89(7) (1982) 332-334.
20. Hirota R., Gramimaticos B., Rahmani A., "Soliton structure of the Drinfeld-Sokolov-
Wilson eqution", journal of Mathematical physics, Vol. 27,No. 6 ( 1986)1499-1505.
21. Fan E., "Analgebraic mathod for finding a series of exact solutions to integrable and
nonintegrable nonlinear evolution equtions", Journal of physics A:Mathmatical and General,
Vol. 36,No. 25 (2003) 7009-7026.
22. Dawson C., Santillana M., "A numerical approch to study the properties of solutions of the
diffusive wave approximation of the shallow water equations comput", Geossci.14 (1)
(2009) 31-53.
23. Matjila C., Muatjeta B., Khalique C. M., "Exact solutions and conservation laws of the
Drinfeld-Sokolov-Wilson system", Abstr, Appl. Anasl (2014) 1-6.
24. Galaktionov V. A., "Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations
with quadratic nonlinearities", In: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A
Mathematics, vol. 125 (1995) 225-246.
25. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., "Construction of exact solutions for fractional order
differential equations by invariant subspace method", Comput.Math. Appl. 66 (2013) 576-
584.
26. Sahadevan R., Prakash P., "Exact solution of certain time fractional nonlinear partial
differential equations", Nonlinear Dyn DOI 10.1007/s11071-016-2714-4 (2016).
27. Liu C.-s., "Counterexamples on Jumarie’s two basic fractional calculus formulae",
Commun,Nonlinear Sci., Numer, Simul, 22 (2015) 92-94.
28. Tarasov V. E., "On chain rule for fractional derivatives", Commun. Nonlinear Sci. Numer,
Simul, 30 (2016) 1–4.
29. Hilfer R., "Applications of Fractional Calculus in Physics", World Scientific, River Edge,
(2000).
30. Kiryakova V., "Generalized Fractional Calculus and Applications", Pitman Research Notes
in Mathematics Series, Longman Scientific Technical, Longman Group, U.K, (1994).
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد211 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
31. Sneddon I. N., "The Use in Mathematical Physics of Erdélyi-Kober Operators and Some of
their Generalizations", Lecture Notes in Mathematics Vol. 457, Springer Verlag, NewYork,
(1975) 37-79.
32. Zhu C. R., Qu C. Z., "Maximal dimension of invariant subspaces admitted by non- linear
vector differential operators", J Math Phys. 52, 043507 (2011) 15.
33. Shen S. F., Qu C. Z., Jin Y. Y., Ji LN., "Maximal dimension of invariant subspaces to sys-
tems of nonlinear evolution equations", Chin Ann Math Ser-B, 33 (2012) 161-78.
34. Sahadevan R., Prakash P., "On Lie symmetry analysis and invariant subspace methods of
coupled time fractional partial di erential equations", Chaos, Solitons, Fractals 104 (2017)
107-120.
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 18:
51 IR
ST
on
Sat
urda
y F
ebru
ary
29th
202
0
