Someteos todos a las autoridades, pues no hay más autoridad que no provenga de Dios, y las que existen por Dios han sido constituidas. Romanos, 13,1

Conceptos generales de trigonometría

CONCEPTOS GENERALES DE CONCEPTOS GENERALES DE TRIGONOMETRIA(parte a)TRIGONOMETRIA(parte a)1.1. SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARESSISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES2.2. CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL

TEOREMA DE PÍTAGORASTEOREMA DE PÍTAGORAS3.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BASICASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BASICAS4.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN

POSICIÓN NORMALPOSICIÓN NORMAL5.5. RELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOSRELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS6.6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADORELACIONADO

7.7. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOSFUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOS8.8. VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASVALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS DE 30,60 Y 45DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS DE 30,60 Y 4510.10. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTEFUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTE11.11. CONCEPTO DE ÁNGULO COTERMINALCONCEPTO DE ÁNGULO COTERMINAL

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARESRECTANGULARES

Abscisa positiva

Ordenada positiva

origen

Ordenada negativaAbscisa negativa

III

III IV

Todo sistema cartesiano esta compuesto por dos ejes que se cortan perpendicularmente en un punto Llamado origen. Al eje horizontal se le conoce como abscisa o eje de las “x”Al eje vertical se le conoce como ordenada o eje de las “y” . Existe un semi eje positivo y negativo para ambos ejes.

Localización de puntos en el planoLocalización de puntos en el plano

Las coordenadas o puntos se Las coordenadas o puntos se escriben como pares ordenados escriben como pares ordenados

(X, Y). Donde se escribe primero la (X, Y). Donde se escribe primero la abscisa y segundo la ordenadaabscisa y segundo la ordenada

Ejemplos

a.(-3,2)

b.(-1,-2)

C. (0,3)

d.(4,0)

a.(-3,2)

b.(-1,-2)

C. (0,3)

d.(4,0)

CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PÍTAGORASTEOREMA DE PÍTAGORAS

22

222

YRX

YRX

22

222

XRY

XRY

Radio Vector: Es el segmento que une el origen con un punto en el plano

Considerando que el radio vector junto a las coordenadas del punto forman un triángulo rectángulo. Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular uno de los valores faltantes de la terna Pitagórica

Microsoft Equation 3.0

22

222

YXR

YXR

Dado X, Y, para encontrar R

Dado R, Y para encontrar X

Dado R, X para encontrar Y

(X,Y)Radio Vector

R

El signo de la “X” o “Y” dependerá delCuadrante donde se ubique el punto

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas básicas se definen como las básicas se definen como las razones trigonométricas para razones trigonométricas para un triángulo rectángulo,según un triángulo rectángulo,según coincida su lado terminal con coincida su lado terminal con el eje “x” o Eje “y”.el eje “x” o Eje “y”.

c

aopuestoladoAsen

hipotenusa

a

b

c

CA

B

Microsoft Equation 3.0

Principales

Recíprocas

Funciones trigonométricas respecto al ángulo A del triángulo

c

b

hipotenusa

adyacenteladoA

cos

a

b

opuestoLado

aLadoACot

dyacente

a

chipotenusaA

opuesto lado Csc

b

a

adyacentelado

opuestoLadoATan

b

c

adyacentelado

hipotenusaASec

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN POSICIÓN NORMALPOSICIÓN NORMAL

Definiciones de ángulo:Definiciones de ángulo:

Según el sentido de giro:Según el sentido de giro:

positivo: Gira en contra de las positivo: Gira en contra de las manecillas del relojmanecillas del reloj

negativo: gira a favor de las negativo: gira a favor de las manecillas del relojmanecillas del reloj

Ángulo en posición normal:Ángulo en posición normal:

Es aquel que tiene su vértice en el origen y su Es aquel que tiene su vértice en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de las lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas o “x”abscisas o “x”

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN POSICIÓN NORMALPOSICIÓN NORMAL

1

21

270

0

360

90

180x1

y1

x2

y2

Microsoft Equation 3.0

2

1

(X1,Y1)(x2,Y2)

Un ángulo en posición normal puede estar entre o y 360

El signo de las funciones depende del cuadrante

Funciones trigonométricas de 2

2

22 r

ysen

2

22cos

r

x

2

22tan

x

y

Signo de las funciones Signo de las funciones trigonométricas según cuadrantetrigonométricas según cuadrante

(+ X ,+ Y)

(+ X ,- Y)(- X ,- Y)

(- X ,+ Y)

Todas las funciones son positivas

Sólo el sen y Csc son positivas

Sólo la Tan y Cot son positivas

Cos y sec son positivas

RELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOSRELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS

Los ángulos pueden medirse en grados io radianes. Por Los ángulos pueden medirse en grados io radianes. Por lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas unidas lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas unidas

de medidade medida..Transformación de Grados a Radianes. Para Transformación de Grados a Radianes. Para transformar de grados a radianes se debe multiplicar transformar de grados a radianes se debe multiplicar porpor

Transformación de radianes a grados: Para transformar Transformación de radianes a grados: Para transformar de radianes a grados se debe multiplicar por: de radianes a grados se debe multiplicar por:

Microsoft Equation 3.0

o

radr

180

rad

rad

Ejemplo

3180

6060

:

000

rad

1800

0

0

000

30180

6

6

22914.3

1804

18044

:

rradradrad

radrad

rradradrad

Ejemplos

Si el ángulo en grados tiene minutos y segundos debe transformar los minutos y segundos a grados

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADOEN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADO

Definición de ángulo relacionado:

Todos los ángulos mayores de 90 se pueden expresar en términos de ángulos agudos positivos. Esto se hace mediante la utilización de ángulo de referencia o relacionado.

El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje “x”, con el cual se puede expresar cualquier ángulo, que no sea multiplo de 90 y se encuentre en posición normal.

Ejemplos de ángulos relacionadosEjemplos de ángulos relacionados

Ø=135

A = 45

A = 45

225

A = 180-ØA = 180-135A = 45

A = Ø-180A = 225-180A = 45

Sen135= sen45Cos135=-cos45Tan135=-tan45

Caso: 90<Ø<180

Caso: 180<Ø<270

Sen225= -sen45Cos225=-cos45Tan225= tan45

A = 30

330

A = 60420

Caso: 270<Ø<360

A=360-ØA=360-330A=30

Sen330= -sen30Cos330= cos30Tan330= -tan30

Caso:360<Ø<450

A = Ø-360A = 420-360A = 60

Sen420= sen60Cos420= cos60Tan420= tan60

FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOSGRADOS

Para determinar las funciones de los ángulos de 30 y 60 basta dibujar un triángulo equilátero y trazar la bisectriz a uno de sus ángulos. Considerando que los lados son iguales, tendremos la hipotenusa y uno de los catetos para un triángulo con ángulos agudos de 60 y 30 grados

Procedimiento para determinar las Funciones de ángulos de 30 y 60:

3030

60 60

1/2 1/2

1 1

Microsoft Equation 3.0

2

3

4

3

4

11

2

11

22

22

Y

Y

Y

XRY

3

3

3

3*

3

160ot

260sec

3

32

3

3*

3

260 sc

360 tan

2

160cos

2

360

o

o

c

c

sen

o

o

o

o

330ot

3

32

3

3*

3

230sec

230 sc

3

3

3

3*

3

130 tan

2

330cos

2

130

o

o

c

c

sen

o

o

o

o

2

3 Y

Procedimiento para determinar las Funciones de ángulos de 45

grados

Para determinar las funciones de los ángulo de 45 grados se debe dibujar un cuadrado y trazar su diagonal. Como el cuadrado tiene sus lados iguales , al trazar la diagonal la misma representa la hipotenusa de los dos triángulos formados. Calculando la hipotenusa y teniendo los catetos que son los lados del triangulo podemos calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45 dado que la diagonal divide el ángulo de 90 en dos ángulos de 45 grados

45

4545

45

1

1

1

1

Microsoft Equation 3.0

2

11

1)1( 22

22

222

R

R

R

YXR

YXR

2R

11

145ot

21

245sec

21

2sc45

11

145 tan

2

2

2

2*

2

145cos

2

2

2

2*

2

145

o

o

c

c

sen

o

o

o

o

Procedimiento para determinar las Funciones de ángulos de

cuadrante

Para determinar las funciones de los ángulo de cuadrante se debe dibujar un circulo trigonométrico de radio uno. Ubicando el radio vector en cada uno de los ejes o ángulo de cuadrante, podemos determinar las funciones de cada uno de estos ángulos considerando. que en cada eje el radio vector será igual al mismo cateto, siendo cero el cateto restante.

FUNCIONES DEFUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTEÁNGULOS DE CUADRANTE

(1,0)

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

00

090

0180

0270

0360

X = 0, y = 1, R = 1 X = 1, y = 0, R =1

X =-1, y = 0, R = 1 X = 0, y = -1 , R = 1

0

10ot

11

10sec

0

10 sc

01

00 tan

11

10cos

01

00

o

o

Y

Xc

X

RY

Rc

X

YR

XR

Ysen

o

o

o

o

01

0270ot

0

1270sec

11

1027 sc

0

1270 tan

01

0270cos

11

1027

o

o

Y

Xc

X

RY

Rc

X

YR

XR

Ysen

o

o

o

o

0

1180ot

11

1180sec

0

1018 sc

01

0180 tan

11

1180cos

01

0018

o

o

Y

Xc

X

RY

Rc

X

YR

XR

Ysen

o

o

o

o

01

090ot

0

190sec

11

109 sc

0

190 tan

01

090cos

11

109

o

o

Y

Xc

X

RY

Rc

X

YR

XR

Ysen

o

o

o

o

Tabla : Funciones de ángulos Tabla : Funciones de ángulos especialesespeciales

1/-1=11/0=∞1/1=11/0=∞√22/√32csc

1/0=∞1/-1=-11/0=∞1/1=1√222/√3Sec

0/-1=0-1/0=∞0/1=01/0=∞11/√3 √3Cot

-1/0=∞0/-1=01/0=∞0/1=1√31/√3Tan

0/1=0-1/1=-10/1=01/1=11/√21/2√3/2Cos

-1/1=-10/1=01/1=10/1=01/√2√3/21/2Sen

270180900456030Ø