Tiết 27: Bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG

Chương trình chuẩn

Môn: Đại số 10

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

(Sai)b)

a)

c)

− >− 15 44

. <3 25 4

− ≤2 3

(Đúng)

(Đúng)

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng

a) 32 2

b) 4 23 3

c) ( )1+ 2 + 23 2 2

d) 2 +1 0a Với a là một số đã cho

<

>

=

>

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

- Ngược lại a<b là bất đẳng thức hệ quả của c<d thì 2 bất đẳng thức tương đương với nhau.

KH:

- Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b.

KH:

"a b c d"< ⇒ <

a b c d< ⇒ <

"a b c d"< ⇔ <

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Các bất đẳng thức đã học:

và < <a b b ca b, c< tùy ý ⇒ a c b c+ < +

⇒ a c<

Hãy chứng minh

a b a b< ⇔ − < 0

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Chứng minh a b a b< ⇔ − < 0

cộng -b vào hai vế bđt a<b ta được bđt hệ quả a-b<0

cộng b vào 2 vế của bđt a-b<0 ta được bất đẳng thức hệ quả a<b.

Vì vậy a b a b 0< ⇔ − <

Đảo lại:

Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó.

Như vậy

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC3. Tính chất của bất đẳng thức:

khai căn hai vế của một bđt

a>0

Nâng hai vế của bđt lên một luỹ thừa

n nguyên dương

Nhân hai bđt cùng chiềua>0, c>0

Cộng hai bđt cùng chiều

c<0

Nhân hai vế của bđt với một số

c>0

Cộng hai vế của bđt với một số

Nội dungĐiều kiệnTên gọi

Tính chất

a b a c b c< ⇔ + < +

a b ac bc< ⇔ <a b ac bc< ⇔ >

và c< < ⇒ + < +a b d a c b d và c< < ⇒ <a b d ac bd

n na b a b+ +< ⇔ <2 1 2 1

n na b a b< < ⇒ <2 20a b a b< ⇔ <a b a b< ⇔ <3 3

a < b hoặc a > b : gọi là bất đẳng thức ngặt

a b≥Các mệnh đề hoặc cũng được gọi là bất đẳng thức

a b≤

a b≤ hoặc : gọi là bất đẳng thức không ngặta b≥

Chú ý:!

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

a bab , a,b

+≤ ∀ ≥02

Đẳng thức a b

ab+=2

xảy ra khi và chỉ khi a = b

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Hãy chứng minh bất đẳng thức cô-si

Nhắc lại:

Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó.

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b

ab+≤2

Ta cần chứng minha b

ab+− ≤ 02

1. Bất đẳng thức Cô-si

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Thật vậy

a bab (a b ab) ( a b)

+− = − + − = − − ≤21 12 02 2 2

Ta có:

Vậy a bab

+≤2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tức là khi a = b

( )a b− =20

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Cho một số dương a và số nghịch đảo của nó là a

1

Hãy áp dụng bất đẳng thức cô- si cho 2 số dương nàya aa a

+ ≥ =1 12 2Ta có

vậy

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2

a , aa

+ ≥ ∀ >1 2 0

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y

Chứng minh: Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô-si ta có:

x y Sxy

+≤ =2 2

Do đóS

xy ≤2

4Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Sx y= =

2Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng

S2

4Khi và chỉ khi

Sx y= =

2

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Hệ quả 2Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

2cm1

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hãy chứng minh tương tự

Củng cố bài học

Tính chất của bất đẳng thức.

Định lý cô-si và các hệ quả của định lý cô-si

Ý nghĩa hình học của chúng

Làm các bài tập trong sách giáo khoa