Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt

Trêng THCS B¾c Hång Phßng GD ThÞ x· Hång LÜnh

¸p dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó g¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh

I, Lý do chän ®Ò tµi.

1. C¬ së lý luËn: Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n vµ båi dìng HSG to¸n ë trêng THCS. Çc bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh rÊt ®a d¹ng phong phó. §ã lµ mét kho tµng bÝ mËt mµ ai yªu to¸n còng thÝch t×m tßi vµ kh¸m ph¸, nhng nh÷ng vÊn ®Ò kh¸m ph¸ ®îc chØ lµ mét phÇn nhá tromg kho tµng tri thøc. Chóng ta lµ nh÷ng ngêi yªu to¸n kh«ng thÓ kh«ng b¾t tay t×m hiÓu mét vÊn ®Ò g× ®ã ®Ó gãp phÇn vµo sù phong phó cña to¸n häc nãi chung vµ gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh nãi riªng. Trong ch¬ng tr×nh nµy t«i muèn tr×nh bµy mét sè hiÓu biÕt cña m×nh vÒ “ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó g¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh”. 2. C¬ së thùc tiÔn: Qua qu¸ tr×nh d¹y to¸n vµ båi dìng to¸n ë trêng THCS. Çc bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh biÕt ®îc b¾t ®Çu tõ líp 7, 8, 9 nhÊt lµ sau khi häc sinh líp 8 häc xong h»ng ®¼ng thøc th× çc bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh còng ®îc n©ng cao vÇ ph¸t triÓn. VÊn ®Ò ®Æt ra trong qu¸ tr×nh båi dìng HSG çc líp 8, 9 th× viÖc t×m ra çch gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh nh thÔ nµo ®Ó häc sinh nhanh chãng t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i t¹o cho HS cã høng thó t×m hiÓu vÒ bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. ChÝnh v× vËy mµ mÊy n¨m t×m tßi, nghiªn cøu thÓ nghiÖm qua d¹y båi dìng t«i d· t×m ra mét sè ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gióp HS t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i. Trong ®ã cã ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh.

II, Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu. Môc ®Ých lµ ®Ó n©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n phôc vô gi¶ng d¹y m«n to¸n nãi chung vµ båi dìng HSG vÒ lÜnh vùc gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. NhiÖm vô nghiªn cøu ®Ó t×m ra çc tÝnh chÊt ®Æc trng cña mét sè ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh ®Ó gi¶i nã b»ng ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc nh»m ph¸t triÓn t duy to¸n häc tõ cô thÓ ®Õn tæng qu¸t vµ tõ tæng qu¸t ®Õn cô thÓ. III, ph¹m vi nghiªn cøu + Ch¬ng tr×nh to¸n ë trêng THCS + §èi tîng HS ë khèi 8, 9.

IV, ph ¬ng ph¸p nghiªn cøu.

Ngêi thùc hiÖn: Phan §×nh L¬ng 1

Trêng THCS B¾c Hång Phßng GD ThÞ x· Hång LÜnh + §iÒu tra kh¶o s¸t thùc tÕ ®Ó n¾m ®îc chÊt lîng gi¶ng d¹y m«n to¸n ë trêng THCS nhÊt lµ trong lÜnh vùc gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh vµ båi dìng HSG. + §iÒu tra sù ph¸t triÓn t duy to¸n qua qu¸ tr×nh häc to¸n cña mét sè HS kh¸ giái vÒ m«n to¸n. + §äc vµ nghiªn cøu kÜ SGK vµ çc tµi liÖu tham kh¶o vÒ m«n to¸n. + Thùc hµnh thÓ nghiÖm qua HS kh¸ giái. V, §iÒu tra thùc tÕ.

T×nh h×nh çc n¨m qua vÒ viÖc HS t×m ra çch gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh:

N¨m häc Khèi Sè HS kh¸ giái

Sè HS lµm ®îc nhanh chãng dùa vµo tÝnh chÊt

®Æc trng cña ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng

tr×nh2003 – 2004

8 30 15

9 30 202004 – 2005

8 33 20

9 33 252005 – 2006

8 35 22

9 35 272006 – 2007

8 38 25

9 38 30

VI. néi dung A, Çc kiÕn thøc c¬ b¶n:1, Cho A lµ biÓu thøc chøa Èn th×: + A2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn + víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó A ≥ 0 + cã nghÜa khi chØ khi A ≥ 0 + víi mäi giÝa trÞ cña biÕn. 2, BÊt ®¼ng thøc C«si cho a1, a2, a3, …… an > 0 th×

DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi a1 = a2 = a3 = … an

3, BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki:


Trêng THCS B¾c Hång Phßng GD ThÞ x· Hång LÜnhCho hai bé sè bÊt k×: a1, a2, …, an

b1, b2, …., bn

Ta cã: ( a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 ≤ ( a12 + a2

2 + … + an2 )( b1

2 + b22

+ … + bn2)

DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi:

B, ¸p dông çc biÓu thøc d¬ng gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

(*)Gi¶i:

Ta cã: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2 + 9 9 víi mäi x. 5x2+ 10x + 9 = 5x2+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2+ 4 4 víi mäi x.

(1)Mµ 3 - 4x - 2x2 = 5 - 4x- 2x2- 2 = 5 - 2(x2 + 2x + 1)

= 5 - 2(x+1)2 5 víi mäi x (2)Tõ (1) vµ (2) suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -1 Thö x = -1 lµ nghiÖm cña (*) Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

§K

(1)

Do dÊu “=” x¶y ra khi y = 2

dÊu “=” x¶y ra khi x = 2

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x = 2


Trêng THCS B¾c Hång Phßng GD ThÞ x· Hång LÜnh y = 2 Bµi 4:

Ta cã:

DÊu “=” x¶y ra DÊu “=” x¶y ra DÊu “=” x¶y ra

VËy S =

Bµi 5:

a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

§K: mµ

b, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

§K:



“=” xÈy ra xy =

“=” xÈy ra z = 0

z = 0 hoÆc

Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:



a,

Mµ pt cã



b, Gi¶i:

DÊu “=’

Bµi 9: Gi¶i

Bµi 10: Gi¶i : (1)

Tõ (1)

2, ¸p dông B§T C« si: Bµi 1:



Ta cã §K:

Khi ®ã ¸p dông:

ta cã:

MÆt kh¸c:

VËy

VËy x=1 lµ nghiÖm Bµi 2:

(1)

Ta cã x2 - x + 1 > 0 víi mäi x suy ra §K

¸p dông C«si cho 2 sè x2 – x + 1 > 0 2x + 1 > 0

Ta cã:

VËy dÊu “=” x¶y ra x2 – x + 1 = 2x +1 x2 – 3x = 0 x = 0 TM hoÆc x = 3 TMVËy S =

Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

(1) Víi x, y, z > 0

Tõ (1) ta cã:

V× x, y, z > 0 ta ¸p dông B§T C«si cho 2 sè

(1) dÊu “=” x¶y ra khi





Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã:

dÊu “=” x¶y ra khi TM

vËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ: S =

Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2007 x2008 – 2008 x2007 + 1 = 0

1 + 2007 x2008 = 2008 x2007 x > 0¸p dông B§T C«si cho 2008 sè d¬ng 1; x2008 ; x2008; x2008 …; x2008 ( 2007 sè x2008 )Ta cã: x2008 + x2008 + … + 1 2008 = 2008. x2007

dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi 1 = x2008 x = 1 v× x > 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – x2 – 8x + 40 = 8 §K 4x + 4 0 x -1Víi § K x -1 ta ¸p dông B§T C«si cho bèn sè: 4; 4; 4; x+1 ta cã:4 + 4 + 4 + x + 1 4 = 8

13 + x 8 13 + x x3 – 3 x2 – 8x + 40 x3 – 3 x2 – 9 x + 27 0 ( x – 3 )2( x + 3 ) 0 Do x - 1 x + 3 > 0 ( x – 3 )2 0 x = 3 TMVËy x = 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) § K 5 x 7 Khi ®ã ¸p dông B§T ¸p dông B§T C«si cho hai sè

7 – x vµ 1 ta cã:

x – 5 vµ 1 ta cã:

dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi 7 – x = 1 x – 5 = 1 x = 6

Ta l¹i cã: x2 – 12x + 38 = ( x – 6 )2 + 2 2 dÊu “=” x¶y ra khi chØ khi x = 6VËy S = Bµi tËp t ¬ng tù:



Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

3, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

§K:

¸p dông Bu nhi a cèp xki cho (1:1) vµ ( : )

DÊu “=” x¶y ra

dÊu”=” xÈy ra x = 2VËy pt cã nghiÖm duy nhÊt x = 2 Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

a,

§K:

Ta cã :

xÈy ra (TM§K)

b,

PT x¶y ra

c,



Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh :

DÊu “=” x¶y ra khi x = 6

Ta cã

D©u “=” xÈy ra x = 6 (TM)

Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (1)¸p dông B§T Bunhiac«pxki cho ; x – 3 vµ 1 ; 1 ta cã:

(2)

(1)vµ (2) x¶y ra khi chØ khi: x2 – 6x + 9 = x – 1 x2 – 7x + 10 = 0 x = 2 hoÆc x = 5 x = 2 kh«ng tho¶ m·n; x = 5 tho¶ m·n

vËy

Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh :

§ K : x4 2

( x 0 )

Ta cã: dÊu “=” x¶y ra (1)

MÆt kh¸c:

(2)

DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi x = 1Tõ (1) vµ (2) suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm cña nã lµ 1 TMVËy S =



Bµi tËp t ¬ng tù:

Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

Bµi tËp 2:

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

C. Tæng kÕt :Trªn ®©y lµ mét sè suy nghÜ cña b¶n th©n vÒ çc bµi to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh mµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc t«I ®· rót ra ®îc vµ m¹nh d¹n ®a ra trao ®æi cïng b¹n bÒ ®ång nghiÖp, cïng çc thÇy gi¸o, c« gi¸o ®Ó ®i ®Õn môc ®Ých chung lµ n©ng cao chÊt lîng d¹y häc. Vµ bíc ®Çu ®· gÆt h¸i ®îc nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng tr©n träng. Cô thÓ lµ häc sinh tiÕp thu vµ lÜnh héi tri thøc mét çch linh ho¹t, chñ ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n . Çc bµi to¸n ®a ra lµm vÝ dô cã thÓ cha l«gic, phï hîp; khai th¸c cha triÖt ®Ó, ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu lêi gi¶i hay vµ hÊp dÉn h¬n. VÊn ®Ò t«i t«i biÕt ®îc qua bµi viÕt nµy chØ lµ nh÷ng kinh nghiÖm nhá trong qu¸ tr×nh d¹y häc. MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng, song nh÷ng kinh nghiÖm Ýt ái cña b¶n th©n, ch¾c ch¾n trong qu¸ tr×nh viÕt kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt vµ h¹n chÕ.kÝnh mong ®îc quý thÇy c« gi¸o vµ b¹n ®äc gãp ý söa ch÷a ®Ó ®Ò tµi ngµy cµng thiÕt hùc vµ bæ Ých h¬n.

D. kiÕn nghÞ:

* §èi víi gi¸o viªn:+ CÇn cã nh÷ng tµi liÖ phong phó vÒ bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.+ §îc nghª b¸o ço çc chuyªn ®Ò cña bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.+ D¹ng to¸n nµy cÇn ®îc nghiªn cøu vµ më réng. * §èi víi häc sinh: + CÇn tham gia ®Çy ®ñ çc chuyªn ®Ò vÒ d¹ng to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.+ Tæ choc cho HS ®¨ng kÝ häc tù chän chuyªn ®Ò ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.+ Cã çc tµi liÖu liªn quan ®Õn bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.



T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!

Hµ TÜnh, th¸ng 4 n¨m 2008


Art & Photos

Ap dung bat dang thuc de giai phuong trinh he pt