Bµi 1: Chøng minh r»ng > víi Gi¶i

XÐt hµm sè = - - liªn tôc vµ kh¶ vi víi mäi = - , nÕu th× ®ång biÕn > - 1 - > 0 > (1) NÕu th× nghÞch biÕn

> -1- > 0 > (2) Tõ (1),(2) > víi ®pcm.Bµi 2 : ( §H KiÕn Tróc Hµ Néi )

Chøng minh r»ng bÊt ®¼ng

®óng víi mäi Gi¶i

Yªu cÇu bµi to¸n < 0

XÐt .Ta cã = ,

Do ®ã nghÞch biÕn trong < =0 víi

nghÞch biÕn trong <

<0 hay víi ®pcm.

Bµi 3: Chøng minh r»ng < víi

Gi¶i Ta híng dÉn cho häc sinh chøng minh bÊt ®¼ng thøc chøng minh víi Ta chøng minh víi XÐt = - , = <0 nghÞch biÕn

< víi - <o (1)

Ta chøng minh <

XÐt = =

víi mäi >0 ®ång biÕn > =0 víi hay >0 víi ®ång biÕn > =0 víi

< víi (2)

Tõ (1),(2) < víi ®pcm.

Bµi 4: Chøng minh r»ng víi

Gi¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si: =

Yªu cÇu bµi to¸n ViÖc chøng minh

víi

xÐt hµm sè = víi ,

=

(v× víi )

®ång biÕn víi

=

hay víi

®pcm.Bµi 5: (§H Dîc )

Víi , chøng minh r»ng

Gi¶i

XÐt hµm sè víi

Ta cã

®ång biÕn

trong kho¶ng

. §¼ng thøc x¶y ra

Mµ

§¼ng thøc chØ x¶y ra

2

.Do ®ã víi

®pcm.

Bµi 6 Cho , Chøng minh r»ng

Gi¶i

XÐt hµm sè trªn ,

Ta cã <0 víi

gi¶m trªn ,

,

Hay ®pcm.

Bµi 7: Chøng minh r»ng víi th×

Gi¶i

XÐt hµm sè víi

Ta cã vµ

®ång biÕn víi

®pcm.

Bµi 8: ( §Ò thi thö §H Qu¶ng X¬ng I)

Cho

Chøng minh r»ng > Gi¶i

Yªu cÇu bµi to¸n >

XÐt hµm sè = víi 0<

,

(v× th× ) nªn do ®ã khi 0<

3

lµ hµm sè gi¶m trªn kho¶ng víi 0

> hay >

®pcm.

Bµi 9: Chøng minh r»ng Gi¶i

XÐt hµm sè víi

Ta cã ( v× ta ®· cã nÕu )

hµm sè lµ ®ång biÕn trªn

víi 5<6 th× < , tøc lµ

( 2)

chøng minh t¬ng tù ta còng cã (3)Nh©n tõng vÕ (2) vµ (3) ta suy ra ®pcm.

Bµi 10: Cho z>0 chøng minh

Gi¶i

BÊt ®¼ng thøc

®Æt u= , v = ta cã u

nªn bÊt ®¼ng thøc cã d¹ng (2)

NÕu v=1 th× (2) cã d¹ng tøc lµ (2) ®óngNÕu xÐt hµm sè víi Ta cã (do vµ ) lµ hµm sè ®ång biÕn khi nªn mäi ta cã mµ = >0 nªn 0 f (u) lµ hµm sè ®ång biÕn khi u 1 Tøc lµ 1 ta cã f(u) f(1) = v2 - 2v + 1 = (v- 1)2 > 0

4

VËy u3(1 - v) + u2v2 - u2v3 - uv (1 + v2) + v2 0 1 > v > 0

Hay víi ®pcm.

Bµi 11: Chøng minh víi mäi

Gi¶i

Ta chøng minh

XÐt = , =

Suy ra ®ång biÕn víi mäi

, víi mäi (1)

Ta chøng minh §Æt g víi ,

, khi

, khi , víi (2)

Tõ (1),(2) < ,víi mäi ®pcm.

Bµi 12 Chøng minh r»ng víi

Gi¶i

Do nªn ,

Híng dÉn häc sinh ®a vÒ chøng minh

Ta chøng minh

V× nªn (1)

Ta chøng minh

§Æt ,

, víi hµm sè ®ång biÕn víi

víi

5

VËy , ®pcm.

Bµi 13: Chøng minh r»ng : víi

Gi¶i

Yªu cÇu bµi to¸n

XÐt hµm sè = víi .

Ta cã =-2 víi

do c¸c vÕ ®Òu d¬ng

®Æt = ,

,

víi = 0 víi

®ång biÕn > ®ång biÕn

. > ®ång biÕn

víi

Do ®ã Hay

®pcm. Bµi 14: Cho a,b,c>0 vµ chøng minh r»ng

(1)

Gi¶iTõ gi¶ thiÕt , vµ

thay vµo (1) ta cã

6

( do a, b ,c ®Òu d¬ng )XÐt hµm sè ,

>0 vµ <0

0<

Do ®ã 0<

T¬ng tù

Do ®ã ®pcm.

.

Bµi 15: Cho vµ

chøng minh

Gi¶i

XÐt hµm sè víi ta cã khi

Nªn lµ hµm sè nghÞch biÕn Tõ gi¶ thiÕt ta cã

Tõ ®ã ta cã

………………….

Hay (1)

7

L¹i cã

………………

(2)

Tõ (1) vµ (2)

hay ®pcm.

Lo¹i 2: Dïng ®Þnh lý lagrange:

1.C¬ së ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò §Þnh lý lagrange: NÕu hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n vµ kh¶

vi th× tån t¹i mét sè c sao cho a<c<b khi ®ã

2.Bµi tËp

Bµi1: Chøng minh r»ng. víi 0<a<b

Gi¶i :

xÐt hµm sè : ,

Hµm sè tho· m·n c¸c yªu cÇu cña ®Þnh lý Larange trªn

ta cã:

Do a<c <b nªn

®pcm.

Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi x;y R ta cã:

8

Gi¶i : XÐt hàm sè f , Hàm sè f liªn tôc vµ kh¶ vi trªn víi mäi x;y R tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý lagrange ta cã:

do

Bµi 3: Chøng minh r»ng: víi 0<a<b<

Gi¶i:XÐt hµm sè liªn tôc vµ kh¶ vi trªn

,

sao cho

.

Do a<c<b vµ nghÞch biÕn trªn nªn

víi 0<a<b<

Bµi 4: Cho vµ chøng minh r»ng

Gi¶i:

XÐt hµm sè víi ta cã

Theo ®Þnh lý lagrange th× tån t¹i tho¶ m·n

=

( v× )

bÊt ®¼ng thøc ®óng víi c> vµ - >0

hay víi vµ

®pcm.

Bµi 5 : Chøng minh r»ng: ln < mäi >0

9

Gi¶i XÐt hµm sè víi t theo ®Þnh lý lagrange

sao cho = ,

ln

hay ln < mäi >0 ®pcm.

Trêng hîp gÆp bµi to¸n cha thÓ vËn dông ®Þnh lý lagrange ®îc ngay viÖc chän hµm sè tho· m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý lagrange rÊt quan träng

Bµi 6: Cho chøng minh r»ng: (1)

Gi¶i:

§©y lµ d¹ng bµi to¸n cha thÓ vËn dông ®Ýnh lý lagr¨nge ®îc ngay.

Ta híng dÉn häc sinh ®a vÒ chøng minh

víi x>0

XÐt hµm sè f =

f (2)

XÐt hµm sè G trªn theo ®Þnh lý lagrange th× tån t¹i

c : sao cho G ln

V× c<x+ > >

- >0 f >0 ®ång biÕn

trªn >

hay víi x>0 ®pcm.

Bµi 7: Cho n chøng minh r»ng : < víi mäi

Gi¶i Híng dÉn häc sinh chøng minh bÊt ®¼ng thøc t¬ng t¬ng víi

chøng minh bÊt ®¼ng thøc <

10

< víi mäi

ta cã

.

tõ vµ ta sÏ chøng minh <

> ln >

XÐt hµm sè kh¶ vi trªn theo ®Þnh lý lagrang

®Ó .

Do nªn ln >

VËy < víi mäi vµ n ®pcm.

Bµi 8: Cho 0<a<b ,n>1 ,chøng minh r»ng -

Gi¶i: XÐt hµm sè: ( ) theo ®Þnh lý lagrage th× tån t¹i c tho· m·n

Nªn tõ (1) - ( v× ) BÊt ®¼ng thøc ®óng v× o<a<c<b vµ n-1>0 VËy ®· ®îc chøng minh.

II KÕt qu¶ thùc nghiÖm.+ Sau khi ®îc bæ sung thªm nh÷ng d¹ng bµi tËp to¸n,häc sinh ®· biÕt më réng ®Ó gi¶i quyÕt thªm c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c khau nh gi¶i ph¬ng tr×nh ,gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt........+ Trong c¸c kú thi thö ®¹i häc §¹i häc, thi §¹i häc + Líp häc båi dìng ®· vËn dông t¬ng ®èi tèt chuyªn ®Ò ®¹o hµm vµ ®Þnh lý lagrange.

11

III KÕt luËn:

HiÖn nay s¸ch tµi liÖu, s¸ch tham kh¶o, n©ng cao rÊt nhiÒu ,nhÊt lµ m«n to¸n ,m«n häc ®îc nhiÒu ngêi yªu thÝch vµ ®· cã bÒ dµy truyÒn thèng Nªn viÖc hÖ thèng c¸c d¹ng bµi tËp cho häc sinh lµ rÊt quan träng.Trªn ®©y chØ lµ mét trong c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó gióp häc sinh gi¶i quyÕt nh÷ng bµi tËp thuéc d¹ng chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p ®¹o hµm vµ ®Þnh lý lagrange . ChÝnh v× suy nghÜ nh trªn nªn t«i ®· tr×nh bµy ®Ò tµi trªn ®©y cña m×nh coi ®ã lµ mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®Ó cïng ®ång nghiÖp trong viÖc d¹y vµ n©ng cao cho häc sinh «n thi ®¹i häc vµ thi häc sinh giái. Lµ gi¸o viªn h¬n 15 n¨m tuæi nghÒ ,víi nh÷ng kiÕn thøc ®· ®îc häc víi nh÷ng cè g¾ng næ lùc cña b¶n th©n céng víi sù häc hái cña ®ång nghiÖp t«i lu«n nghÜ r»ng ®iÒu quan träng nhÊt lµ truyÒn thô nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cho häc sinh nhng bªn c¹nh ®ã t«i rÊt coi träng sù t×m tßi ,ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña c¸c em ®Ó t¹o cho c¸c em høng thó say mª trong viÖc häc to¸n Trong ®Ò tµi cña m×nh t«i ®· ®a ra mét sè bµi to¸n nhá ,mÆc dï c¸c bµi to¸n cha phong phó vµ ®a d¹ng , nhng do thêi lîng cña ®Ò tµi , t«i xin ®îc t¹m dõng ë ®©y vµ sÏ tiÕp tôc híng dÉn cho häc sinh häc tËp cã kÕt qu¶ cao h¬n .Do ý muèn ®i s©u h¬n nghiªn cøu to¸n häc phæ th«ng t«i rÊt mong muèn ®îc sù gãp ý ,bæ sung cña c¸c thÇy, c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó ®Ò tµi cã t¸c dông vµo viÖc n©ng cao båi dìng trÝ tuÖ cho häc sinh trong viÖc häc tËp to¸n ë trêng THPT hiÖn t¹i vµ t¬ng lai.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !

Qu¶ng X¬ng, ngµy th¸ng 5 n¨m 2007 Ngêi viÕt s¸ng kiÕn

12