1

LỜI NÓI ĐẦU

Kể từ khi Hertz bằng thực nghiệm đã chứng tỏ năng lượng điện có thể bức

xạ trong không gian và sự tồn tại của trường điện từ đã mở đầu kỷ nguyên ứng

dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện,

điều khiển từ xa ... Hệ thống thông tin vô tuyến này ngày càng trở nên quan

trọng và thiết yếu trong xã hội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản chất của sóng

điện từ, tính chất lan truyền của trường điện từ cũng như các ứng dụng của nó là

rất cần thiết. Để tích luỹ phần kiến thức này người học cần phải có kiến thức nền

tảng về giải tích vector, phép tính tensor, phương trình vi phân và đạo hàm

riêng, giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến trong Toán học cao cấp; quang

học sóng và điện học trong Vật lý đại cương.

Giáo trình Lý thuyết trường điện từ được biên soạn trong khuôn khổ của

chương trình hoàn thiện bộ sách giáo trình dùng để giảng dạy và học tập của

Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao

gồm các nội dung được trình bày trong 5 chương như sau:

Chương 0 Một số công thức toán học

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell

Chương 3 Sóng điện từ phẳng

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ

Do thời gian và tài liệu tham khảo còn nhiều hạn chế, cho nên chắc chắn

giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong có sự đóng góp, phê bình của bạn đọc

để giáo trình được hoàn thiện hơn.

Tác giả

Võ Xuân Ân

2

MỤC LỤC

Trang Lời nói đầu

1

Chương 0 Một số công thức toán học

3

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ

8

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell

32

Chương 3 Sóng điện từ phẳng

60

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ

90

Tài liệu tham khảo

107

3

Chương 0

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

1. Vector

zyxzyx akajaia,a,aarrrr

++==

zyxzyx bkbjbib,b,bbrrrr

++==

zyxzyx ckcjcic,c,ccrrrr

++==

• zzyyxx bababab.a ++=rr

• ( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx babakbabajbabai

bbb

aaa

kji

ba −+−+−==×rrr

rrr

rr

• ( )b,acosbab.arrrrrr

=

• cbarrr

=×

Phương: ( )b,acrrr

⊥

Chiều: theo qui tắc vặn nút chai

Độ lớn: ( )b,asinbacrrrrr

=

• ( ) ( ) ( )b.a.cc.a.bcbarrrrrrrrr

−=××

2. Toán tử nabla

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇

z ,

y ,

x

3. Gradient

z

Uk

y

Uj

x

UiU.gradU

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇=

rrr

4. Divergence

z

a

y

a

x

aa.adiv zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇=

rr

5. Rotary

4

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=×∇=

y

a

x

ak

x

a

z

aj

z

a

y

ai

aaazyx

kji

aarot xyzxyz

zyx

rrr

rrr

rr

Số phức

Hàm mũ

( )ysiniycoseee xiyxz +== +

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có

1k2sinik2cose ik2 =π+π=π

Suy ra zik2zik2z ee.ee == ππ+

Công thức Euler

eiy = cosy +isiny

Khi đó số phức z = r eiϕ = r(cosϕ +isinϕ)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

)x(fyayay 21 =+′+′′ (1)

Trong đó:

a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a1, a2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0yayay 21 =+′+′′ (2)

a1, a2 là các hàm của biến x

5

Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2

(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.

Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi ( )( )

constxy

xy

2

1 ≠ , ngược lại là phụ

thuộc tuyến tính

Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi

phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2

hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.

Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ

trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của

phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

)x(fyayay 21 =+′+′′ (3)

Trong đó:

a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0

Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm

riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).

Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất

)x(f)x(fyayay 2121 +=+′+′′ (4)

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình

)x(fyayay 121 =+′+′′ (5)

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình

)x(fyayay 221 =+′+′′ (6)

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

6

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0qyypy =+′+′′ (7)

p, q là các hằng số

Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng

kxey = (8)

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định

Suy ra

kxkey =′ , kx2eky =′′ (9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

( ) 0qpkke 2kx =++ (10)

Vì ekx ≠ 0 nên

0qpkk2 =++ (11)

Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi

phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

phân (7)

Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1

và k2 như sau

- k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình

vi phân (7) là xk

11ey = , xk

22ey = (12)

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì

( ) constey

y xkk

2

1 21 ≠= − (13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là xk

2xk

12121 eCeCyyy +=+= (14)

- k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: xk1

1ey = , xk2

1xey =

7

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

( ) xk21

xk2

xk1

111 exCCxeCeCy +=+= (15)

- k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 = αααα + iββββ và k2 = αααα - iββββ

Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

( )

( ) xixxi2

xixxi1

eeey

eeey

β−αβ−α•

βαβ+α•

==

== (16)

Theo công thức Euler ta có

xsinixcose

xsinixcosexi

xi

β−β=

β+β=β−

β

(17)

Suy ra

( )

( )xsinixcoseeey

xsinixcoseeey

xxix2

xxix1

β−β==

β+β==

αβ−α•

αβα•

(18)

Nếu •

1y và •

2y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm

xsinei2

yyy

xcose2

yyy

x212

x211

β=+

=

β=+

=

α

••

α

••

(19)

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì

constxtgy

y

2

1 ≠β= (20)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

( )xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21xx

2x

1 β+β=β+β= ααα (21)

8

Chương 1

CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1. Vector cường độ điện trường

• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện

trường

EqFrr

= (1.1)

Hay:

q

FE

rr

= (1.2)

• Cđđt Er

tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số

bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó

• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q

20

0 r

r

4

QqF

rr

πεε= (1.3)

- m/F10.854,8 120

−=ε - hằng số điện

- ε - độ điện thẩm tương đối

- 0rr

- vector đơn vị chỉ phương

• Hệ đt điểm n21 q,...,q,q

∑∑== πεε

==n

1i2

i

i0i

0

n

1ii r

rq

4

1EE

rrr

(1.4)

i0rr

- các vector đơn vị chỉ phương

• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:

∫ρπεε=

l2l

0

l r

rdl

4

1E

rr

(1.5)

9

∫ρπεε=

S2S

0

S r

rdS

4

1E

rr

(1.6)

∫ρπεε=

V2V

0

V r

rdV

4

1E

rr

(1.7)

1.1.2. Vector điện cảm

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector điện cảm Dr

ED 0

rrεε= (1.8)

1.1.3. Vector từ cảm

• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển

động hay dòng điện theo định luật Lorentz

BvqFrrr

×= (1.9)

• Từ trường do phần tử dòng điện lIdr

tạo ra được xác định bởi định luật thực

nghiệm BVL

( )rlIdr4

Bd2

0 rrr×

π

µµ=

(1.10)

- m/H10.257,110.4 670

−− =π=µ - hằng số từ

- µ - độ từ thẩm tương đối

• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l

∫×

π

µµ=

l2

0

r

rlId

4B

rrr

(1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector cường độ từ trường Hr

10

0

BH

µµ=

rr

(1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân

• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện

tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dqI −=

(1.13)

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn

điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

EvvenJ 0

rrrrσ=ρ== (1.14)

dạng vi phân của định luật Ohm

- n0 - mật độ hạt điện có điện tích e

- ρ - mật độ điện khối

- vr

- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện

- σ - điện dẫn suất

• Dòng điện qua mặt S được tính theo

∫∫∫ σ===SSS

SdESdJdIIrrrr

(1.15)

• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp

U, ta có

(lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và

LS

LR

ρ=ρ= )

R

ULU)EL)(L(ESEdSI

S

=σ=σ=σ=σ= ∫ (1.16)

dạng thông thường của định luật Ohm

Vì Er

và Sdr

cùng chiều, đặt

11

RL

1=σ

(1.17)

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm

1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích

• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng

không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng

điện.

• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện

tích giảm đi từ thể tích V đó.

• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có

∫ρ=V

dVQ (1.18)

sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ

∫ρ−=−=V

dVdt

d

dt

dQI (1.19)

Mặt khác

∫=S

SdJIrr

(1.20)

Suy ra

∫∫ ∂

ρ∂−=

VS

dVt

SdJrr

(1.21)

Theo định lý OG

( ) ∫∫∫ ∂

ρ∂−=∇=

VVS

dVt

dVJ.SdJvrr

(1.22)

Suy ra

0t

J. =∂

ρ∂+∇

v (1.23)

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên

tục.

1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường

12

• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ

• Các phương trình:

ED 0

rrεε= (1.24)

µµ=

0

BH

rr

(1.25)

gọi là các phương trình vật chất

• ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính

• ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

• ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường

không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng

số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường

không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

• ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.

Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến

µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,

không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

µ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớp

electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O,

thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các

nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ

lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.

• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách

điện hay điện môi

Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104

13

Chất cách điện: σ < 10-10, σ = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0

1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell

• Thông lượng của vector điện cảm Dr

qua mặt S là đại lượng vô hướng được

xác định bởi tích phân

∫=ΦS

E SdDrr

(1.26)

Sdr

: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài

dS.cos(Dr

, Sdr

) : hình chiếu của S lên phương Dr

• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của Dr

do q

tạo ra qua mặt kín S, ta có

( )Ω

π=

π==Φ d

4

q

r4

Sd,Dcos.dS.qSdDd

2

rrrr

(1.27)

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của Dr

qua toàn mặt kín S là

qd4

qSdD

S

=Ωπ

==Φ ∫∫Ω

rr

(1.28)

• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn

toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'

Dr

Sdr

S

dΩ rr

q

14

(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau.

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông

lượng của Dr

qua toàn mặt kín S bằng 0.

• Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn đặt trong mặt kín S, ta có

∑=

=n

1iiDD

rr (1.29)

Thông lượng của Dr

do hệ q1, q2, ..., qn gây ra qua toàn mặt kín S

QqSdDSdDn

1ii

n

1i Si

S

====Φ ∑∑∫∫==

rrrr (1.30)

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm Dr

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng

đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, ..., qn, do đó Φ có thể âm

hoặc dương

• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được

tính theo

QdVSdDVS

E =ρ==Φ ∫∫rr

(1.31)

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-

Gauss đối với điện trường.

Nguyên lý liên tục của từ thông

• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là

dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

Dr

Sdr

A

B

q

15

• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm Br

. Thông

lượng của Br

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số

đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của Br

được tính

theo

0SdBS

M ==Φ ∫rr

(1.32)

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương

trình cơ bản của trường điện từ

1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này

xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường Er

có chiều

là chiều của dòng điện cảm ứng đó.

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện

nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt

của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì

đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm

cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì

hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng

điện !).

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng

điện thì công phải khác 0, có nghĩa là

0ldEql

≠∫rr

(1.33)

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.

Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian

cũng tạo ra một điện trường xoáy.

16

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh

trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi

qua diện tích của vòng dây

dt

dec

Φ−=

(1.34)

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện

cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ

∫=ΦS

SdBrr

(1.35)

là thông lượng của vector từ cảm Br

qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra

∫∫∫

∂

∂−=

−=−=

Φ−=

SSSc Sd

t

BSd

dt

BdSdB

dt

d

dt

de

rr

rr

rr

(1.36)

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng ec theo lưu số của vector cường độ

điện trường Er

∫=l

c ldEerr

(1.37)

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn

của Br

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta

có

Sdr

Br

ldr

S

17

∫∫

∂

∂−=

Sl

Sdt

BldE

rr

rr

(1.38)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một

phương trình cơ bản của trường điện từ.

Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường

cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo

thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

( )∫∫ ×∇=Sl

SdEldErrrr

(1.39)

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)

t

BE

∂

∂−=×∇

rr

(1.40)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng

đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.

1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường

xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để

đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell

đưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ

trường.

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không

gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

18

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,

Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường Hr

dọc theo một đường cong kín bất

kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

IIldHn

1ii

l

==∑∫=

rv (1.41)

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện Jr

thì

∫∫ =Sl

SdJldHrrrv

(1.42)

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường

điện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện

toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ

giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.

Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức

dP0d0d JJt

P

t

E

t

DJ

rrvrr

r+=

∂

∂+

∂

∂ε=

∂

∂=

(1.43)

Trong đó:

Jr

ldr

Sdr

Ii

S

19

t

PJdP

∂

∂=

vr

- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các

điện tích

t

EJ 00d

∂

∂ε=

rr

- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng

điện dịch

Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt

kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ

điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên Er

và dòng điện biến thiên chạy

qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản

tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

t

ESI 00d

∂

∂ε′=

r

(1.44)

Theo định luật Gauss

SESdEq 0S

0′ε=ε= ∫

rr (1.45)

SSdS

′=∫r

vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

S S' +q

-q

Er

~

20

t

ESSdE

dt

d

dt

dqI 0

S0

∂

∂ε′=ε== ∫

rrr

(1.46)

Suy ra

I = Id0 (1.47)

Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch

ngoài tụ điện.

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta

có

(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương

đương dòng điện dẫn)

∫∫∫ ∂

∂+=

SSl

Sdt

DSdJldH

rr

rrrv

(1.48)

Hay

∫∫

∂

∂+=

Sl

Sdt

DJldH

rr

rrv

(1.49)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

( )∫∫ ×∇=Sl

SdHldHrrrv

(1.50)

Suy ra

dJJt

DJH

rrr

rr+=

∂

∂+=×∇

(1.51)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một

phương trình cơ bản của trường điện từ

Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)

thì do 0EJ =σ=rr

, ta có:

0d0 Jt

EH

rr

r=

∂

∂ε=×∇

(1.52)

21

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra

từ trường như dòng điện dẫn.

1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra

điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ

trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại

và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một

trường thống nhất gọi là trường điện từ.

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các

hạt mang điện.

- Phương trình Maxwell-Faraday

Dạng tích phân

∫∫

∂

∂−=

Sl

Sdt

BldE

rr

rr

(1.53)

Dạng vi phân

t

BE

∂

∂−=×∇

rr

(1.54)

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến

thiên và điện trường xoáy.

- Phương trình Maxwell-Ampere

Dạng tích phân

∫∫

∂

∂+=

Sl

Sdt

DJldH

rr

rrv

(1.55)

Dạng vi phân

t

DJH

∂

∂+=×∇

rrr

(1.56)

22

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn.

- Định lí OG đối với điện trường

Dạng tích phân

qSdDS

=∫rr

(1.57)

Theo giải tích vector: ∫∫ ∇=VS

dVD.SdDrrr

và ∫ρ=V

dVq , ta có

Dạng vi phân

ρ=∇ D.r

(1.58)

Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ

các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn

- Định lí OG đối với từ trường

Dạng tích phân

0SdBS

=∫rr

(1.59)

Dạng vi phân

0B. =∇r

(1.60)

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình

Maxwell

t

BE

∂

∂−=×∇

rr

t

DJH

∂

∂+=×∇

rrr

(1.61)

ρ=∇ D.r

0B. =∇r

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

23

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian.

Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập

với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn

ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho

nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài OJr

.

Đ.luật Ohm dạng vi phân:

( )OO EEJJrrrr

+σ=+ (1.62)

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại

những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường

điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại

t

BE

∂

∂−=×∇

rr

t

DJJH O

∂

∂++=×∇

rrrr

(1.63)

ρ=∇ D.r

0B. =∇r

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là

môi trường điện môi: ED 0

rrεε=

môi trường dẫn điện: EJrr

σ=

môi trường từ hoá: HB 0

rrµµ= , ta có

t

HE 0

∂

∂µµ−=×∇

rr

t

EJEH 0O

∂

∂εε++σ=×∇

rrrr

(1.64)

0

E.εε

ρ=∇

r

0H. =∇r

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

24

• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện

dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài 0JJ O =ρ==rr

t

HE 0

∂

∂µµ−=×∇

rr

t

EH 0

∂

∂εε=×∇

rr

(1.65)

0E. =∇r

0H. =∇r

Nhận xét: Er

và Hr

đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

• Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối

xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức

MJr

- mật độ dòng từ ngoài

ρM - mật độ từ khối

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không

điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài

t

HJE 0M

∂

∂µµ−−=×∇

rrr

t

EJH 0E

∂

∂εε+=×∇

rrr

, JE ≡ JO (1.66)

0

E.εε

ρ=∇

r

0

MH.µµ

ρ=∇

r

Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì

sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn

điện), mà không cần phải giải cả hai.

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

25

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc ω nên có thể

biểu diễn dưới dạng phức, ta có

•

= EreErr

•

= HreHrr

(1.67)

•

= JreJrr

•

ρ=ρ re

Với:

Trong đó: ( ) zyx imz

i

myi

mxmm eEkeEjeEiz,y,xEE ϕϕϕ••

++=≡rrrrr

gọi là biên độ phức

của •

Er

; ϕx, ϕy, ϕz là các pha ban đầu

Khi đó

m0m HiE••

ωµµ−=×∇rr

Emm0m JEiEH••••

+ωεε+σ=×∇rrrr

(1.69)

0

mmE.

εε

ρ=∇

••r

0H. =∇•r

1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián

đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường

D1n - D2n = ρS

ρS mật độ điện mặt

(1.70)

tim e ω

••

ρ=ρ ; tim eEE ω

••

=rr

; tim eHH ω

••

=rr

; tim eJJ ω

••

=rr

(1.68)

26

Khi ρS = 0 ta có: D1n = D2n hay 1

2

n2

n1

E

E

ε

ε=

- đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường

E1τ = E2τ, 1

2

2

1

D

D

ε

ε=

τ

τ (1.71)

- đối với thành phần pháp tuyến của từ trường

B1n = B2n, 1

2

n2

n1

H

H

µ

µ= (1.72)

- đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường

H1τ - H2τ = IS

IS dòng điện mặt

Khi IS = 0 ta có: H1τ = H2τ hay 1

2

2

1

B

B

µ

µ=

τ

τ

(1.73)

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn

lí tưởng có σ2 = ∞. Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa

là 0HE 22 ==rr

.

Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ 0H;E 22 ≠rr

thì dưới tác

dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó

cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả

trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí

tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn.

Khi đó ta được

E1n = 1

S

ε

ρ

E1τ = 0

H1n = 0

H1τ = IS

(1.74)

27

Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành

phần pháp tuyến của Er

và thành phần tiếp tuyến của Hr

1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

W = WE + WM = ( )∫ ω+ωV

ME dV = ∫

µµ+

εε

V

20

20 dV

2

H

2

E

- Định lí Umov Poynting

Đã chứng minh được

OtS

PPdt

dWSd −−−=Π∫rr

(1.75)

Trong đó

HErrr

×=Π (W/m2) vector Poynting

Phương trình = ∫∫ σ=V

2

V

dVEdVEJrrr

công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn

Jr

gây ra trong V

PO = ∫V

E dVEJrr

công suất của nguồn ngoài trong thể tích V

(1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ

trong thể tích V

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn

hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của

vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó.

Vector Poynting Πr

biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ.

1.10. Định lí nghiệm duy nhất

Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn

các điều kiện sau

28

1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t0 = 0 ở tại bất

kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu,

tức là

( )0,z,y,xEE 0

rr= khi t = 0

( )0,z,y,xHH0

rr= (1.76)

2. Biết thành phần tiếp tuyến của Er

và thành phần tiếp tuyến của Hr

tại mặt

giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞ hay

còn gọi là điều kiện biên

E = Eτ|S hoặc H = Hτ|S với 0 < t < ∞ (1.77)

Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào

đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các

điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất.

1.11. Nguyên lí tương hỗ

Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và

các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian.

1. Bổ đề Lorentz

Dạng vi phân

−−

−−=

×∇−

×∇

••••

••••••••

m1m2Mm2m1M

m1m2Em2m1Em1m2m2m1

HJHJ

EJEJHE.HE.

rrrr

rrrrrrrr

(1.78)

Dạng tích phân

∫

∫

−−

−=

=

×−

×

••••••••

••••

V

m1m2Mm2m1Mm1m2Em2m1E

S

m1m2m2m1

dVHJHJEJEJ

dSHEHE

rrrrrrrr

rrrr

(1.79)

V → ∞, ta có

29

0dVHJHJEJEJV

m1m2Mm2m1Mm1m2Em2m1E =

−−

−∫

•••••••• rrrrrrrr

(1.80)

2. Nguyên lí tương hỗ

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân

bố trong V1, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V2 và 2 thể tích này không có

miền chung. Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V → ∞

chia thành 3 miền V1, V2 và miền còn lại. Tuy nhiên tích phân trong miền còn

lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được

viết lại

∫∫

−=

−

••••••••

2V

m1m2Mm1m2E

1V

m2m1Mm2m1E dVHJEJdVHJEJrrrrrrrr

(1.81)

gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác

nhau.

1.12. Nguyên lí đồng dạng điện động

Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định

mối quan hệ giữa trường điện từ. Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và

môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau.

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ

665544M33E2211 at;al;aJ;aJ;aE;aH α=α=α=α=α=α=rrrrrrrr

(1.82)

4321 a;a;a;arrrr

là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của

cường độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian

65 a;a là các đơn vị vô hướng xác định toạ độ không gian và thời gian

Các hệ số tỉ lệ αi có thứ nguyên tương ứng là

α1 [A/m], α2 [V/m], α3 [A/m2], α4 [V/m2], α5 [m], α6 [s]

Thay các đại lượng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây

t

EJEH 0E

∂

∂εε++σ=×∇

rrrr

, JE ≡ JO (1.83)

30

t

HJE 0M

∂

∂µµ−−=×∇

rrr

Ta được

33

6

2211 ac

a

acca

rr

r+

∂

∂+=×∇

(1.84)

6

15442 a

acaca

∂

∂−−=×∇

rrr

Các hệ số tỉ lệ ci không có thứ nguyên tương ứng với các biểu thức sau

1

521c

α

ασα= ;

6

522c

α

αεα= ;

1

533c

α

αα= ;

2

544c

α

αα= ;

62

515c

αα

αµα=

Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ

khác nhau qua hệ số ci. Hai hệ điện từ có các hệ số ci tương ứng bằng nhau gọi

là 2 hệ đồng dạng điện động với nhau.

1.13. Trường tĩnh điện

Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi

theo thời gian, ta có hệ phương trình Maxwell như sau

0E =×∇r

ρ=∇ D.r

(1.85)

ED 0

rrεε=

1.14. Từ trường của dòng điện không đổi

0E =×∇r

ρ=∇ D.r

(1.86)

ED 0

rrεε=

JHrr

=×∇

0B. =∇r

(1.87)

HB 0

rrµµ=

31

Nhận xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện

trường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện

không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn EJrr

σ= , còn điện trường tĩnh thì không

tồn tại bên trong vật dẫn.

32

Chương 2

TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường

Lưu ý:

- ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường

- µ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường

Đặt ε’ = εε0 và µ’ = µµ0

- ε’ là độ điện thẩm tuyệt đối

- µ’ là độ từ thẩm tuyệt đối

Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả

nguồn điện và từ ngoài

t

EJEH 0E

∂

∂εε++σ=×∇

rrrr

(1)

t

HJE 0M

∂

∂µµ−−=×∇

rrr

(2) (2.1)

0

E.εε

ρ=∇

r (3)

0

MH.µµ

ρ=∇

r (4)

Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm Er

, Hr

và các nguồn điện và

từ nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn.

Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)

( ) ( ) ( ) ( )Et

JEHH.H 0E2

rrrrrr×∇

∂

∂εε+×∇+×∇σ=∇−∇∇=×∇×∇ (1)

( ) ( ) ( )Ht

JEE.E 0M2

rrrrr×∇

∂

∂µµ−×−∇=∇−∇∇=×∇×∇ (2)

(2.2)

Suy ra

33

MM

0M

0

E02

2

002 J

t

J1J

t

H

t

HH

rr

rrr

rσ+

∂

∂εε+ρ∇

µµ+×−∇=

∂

∂σµµ−

∂

∂µµεε−∇ (1)

t

J1J

t

E

t

EE E

0

0

M02

2

002

∂

∂µµ+ρ∇

εε+×∇=

∂

∂σµµ−

∂

∂µµεε−∇

rr

rrr

(2)

Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn Er

hoặc Hr

. Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế

phải là các hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn

và điện môi lí tưởng σ = 0, ta có

0t

HH

2

2

002 =

∂

∂µµεε−∇

rr

(1)

0t

EE

2

2

002 =

∂

∂µµεε−∇

rr

(2) (2.4)

2.2. Phương trình cho các thế điện động

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và

từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau.

2.2.1. Đối với nguồn điện

Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng σ = 0 hệ phương trình

Maxwell (2.1) được viết lại

t

EJH 0E

∂

∂εε+=×∇

rrr

(1)

t

HE 0

∂

∂µµ−=×∇

rr

(2) (2.5)

0

E.εε

ρ=∇

r (3)

0H. =∇r

(4)

Đặt:

( )E

0

A1

Hrr

×∇µµ

= (2.6)

34

EAr

gọi là thế vector điện

Dễ thấy rằng: ( ) 0A.1

H. E

0

=×∇∇µµ

=∇rr

Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được

0t

AE E =

∂

∂+×∇

rr

(2.7)

Suy ra

EE

t

AE ϕ∇−

∂

∂−=

rr

(2.8)

Lưu ý

0E =ϕ∇×∇ (2.9)

ϕE là thế vô hướng điện

EAr

và ϕE được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện

Như vậy: Hr

và Er

được biểu diễn qua EAr

và ϕE theo các công thức (2.6) và

(2.8) tương ứng.

Tìm EAr

và ϕE ?

Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay Hr

và Er

vào (1) của (2.5) ta có

E0E

00E2E

2

00E2 J

tA.

t

AA

rrr

rµµ−=

∂

ϕ∂µµεε+∇∇−

∂

∂µµεε−∇

(2.10)

EAr

và ϕE được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ

0t

A. E00E =

∂

ϕ∂µµεε+∇

r (2.11)

(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn

Phương trình sóng (2.10) được viết lại

E02E

2

00E2 J

t

AA

rr

rµµ−=

∂

∂µµεε−∇

(2.12)

Từ công thức (2.8) thay Er

vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có

35

02

E2

00E2

t εε

ρ−=

∂

ϕ∂µµεε−ϕ∇

(2.13)

Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không

thuần nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường

điện từ đối với nguồn điện. EAr

và ϕE

2.2.2. Đối với nguồn từ

Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ

= 0 có dạng

t

EH 0

∂

∂εε=×∇

rr

(1)

t

HJE 0M

∂

∂µµ−−=×∇

rrr

(2) (2.14)

0E. =∇r

(3)

0

MH.µµ

ρ=∇

r (4)

Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có

( )M

0

A1

Err

×∇εε

−=

MM

t

AH ϕ∇−

∂

∂−=

rr

(2.15)

M02M

2

00M2 J

t

AA

rr

rεε−=

∂

∂µµεε−∇

0

M2M

2

00M2

t µµ

ρ−=

∂

ϕ∂µµεε−ϕ∇

(2.16)

0t

A. M00M =

∂

ϕ∂µµεε+∇

r (2.17)

MAr

và ϕM là các thế điện động đối với nguồn từ

36

Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và

nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và

nguồn từ, có nghĩa là

( ) EM

0

E A1

t

AE ϕ∇−×∇

εε−

∂

∂−=

rr

r

( ) MM

E

0 t

AA

1H ϕ∇−

∂

∂−×∇

µµ=

rrr

(2.18)

Nhận xét: Er

và Hr

được biểu diễn qua EAr

và ϕE hoặc MAr

và ϕM làm cho hệ

phương trình Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp

dùng các thế điện động.

2.2.3. Đối với trường điều hoà

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc

ω thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng

biên độ phức như sau

Em02

Em2

2Em

2 Jt

AkA

••

•

µµ−=∂

∂−∇

rr

r

0

m2Em

22

Em2

tk

εε

ρ−=

∂

ϕ∂−ϕ∇

••

Mm02

Mm2

2Mm

2 Jt

AkA

••

•

εε−=∂

∂−∇

rr

r

(2.19)

0

Mm2Mm

22

Mm2

tk

µµ

ρ−=

∂

ϕ∂−ϕ∇

••

Trong đó: 00k µµεεω= là số sóng trong môi trường

(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình

Hemholtz

Biểu thức của Er

và Hr

có dạng

37

EmMm

0

Em A1

AiE•••

ϕ∇−

×∇

εε−ω−=

rrr

(2.20)

Mm

MmEm

0 t

AA

1H

•

••

ϕ∇−∂

∂−

×∇

µµ=

rrr

Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau

Em

00

Em A.1 ••

∇µµωεε

=ϕr

(2.21)

Mm

00

Mm A.1 ••

∇µµωεε

=ϕr

Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều

hoà chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector

EmA•r

và MmA•r

2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz

2.3.1 Vector Hertz điện

Đặt

tA E

00E∂

Γ∂µµεε=

rr

(2.22)

Trong đó: EΓr

gọi là vector Hertz điện

Thay (2.22) vào (2.6) ta được

( ) ( )E0E

0 tA

1H Γ×∇

∂

∂εε=×∇

µµ=

rrr (2.23)

Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được

( ) 0.t EE =ϕ+Γ∇

∂

∂ r

(2.24)

Suy ra

EE .Γ−∇=ϕr

(2.25)

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được

38

( )2E

2

00EEE

t.

t

AE

∂

Γ∂µµεε−Γ∇∇=ϕ∇−

∂

∂−=

rr

rr

(2.26)

Nhận xét: Er

và Hr

đươc biểu diễn qua vector Hertz điện EΓr

Tìm EΓr

?

Thay (2.22) vào (2.12) ta được

E02E

2

00E2

002E

2

00E2 J

ttt

AA

rr

rr

rµµ−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

∂

∂µµεε=

∂

∂µµεε−∇

(2.27)

Hay

E

02E

2

00E2 J

1

tt

rr

r

εε−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

∂

∂

(2.28)

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được

∫εε−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

t

0E

02E

2

00E2 dtJ

1

t

rr

r

(2.29)

Đặt

∫=t

0EE dtJPrr

(2.30)

EPr

gọi là vector phân cực của nguồn điện

Phương trình (2.29) được viết lại

0

E2E

2

00E2 P

t εε−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

rrr

(2.31)

Như vậy: vector phân cực EPr

là nguồn tạo ra vector Hertz điện EΓr

. Do đó

EΓr

còn gọi là thế vector phân cực điện.

2.3.2 Vector Hertz từ

Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn

của hệ phương trình Maxwell ta có

tA M

00M∂

Γ∂µµεε=

rr

(2.32)

39

Trong đó: MΓr

gọi là vector Hertz từ

MM .Γ−∇=ϕr

(2.33)

( )M0 tE Γ×∇

∂

∂µµ−=

rr (2.34)

( )2M

2

00M t.H

∂

Γ∂µµεε−Γ∇∇=

rrr

(2.35)

Nhận xét: Er

và Hr

đươc biểu diễn qua vector Hertz từ MΓr

Tìm MΓr

?

M

02M

2

00M2 J

1

tt

rr

r

µµ−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

∂

∂

(2.36)

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được

∫µµ−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

t

0M

02M

2

00M2 dtJ

1

t

rr

r

(2.37)

Đặt

∫=t

0MM dtJPrr

(2.38)

MPr

gọi là vector từ hoá của nguồn từ

(2.37) được viết lại

0

M2M

2

00M2 P

t µµ−=

∂

Γ∂µµεε−Γ∇

rrr

(2.39)

Như vậy: vector từ hoá MPr

là nguồn tạo ra vector Hertz từ MΓr

. Do đó MΓr

còn gọi là thế vector từ hoá.

Nhận xét: Er

và Hr

được biểu diễn qua vector Hertz điện EΓr

hoặc vector

Hertz từ MΓr

đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động.

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ

40

Trường hợp các vector Hertz điện EΓr

và vector Hertz từ MΓr

chỉ có một

thành phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện EΓr

và vector Hertz từ

MΓr

theo phương z là

EE kΓ=Γrr

(2.40)

MM kΓ=Γrr

(2.41)

- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện EΓr

một thành phần) sẽ

có Hr

theo phương z bằng 0 (Hz = 0), còn các thành phần khác của Hr

nói chung

khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM

- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ MΓr

một thành phần) sẽ có

Er

theo phương z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của Er

nói chung khác

0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE

Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường

điện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ

2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình

d’ Alambert chỉ cần xác định Er

hoặc Hr

. Do đó có thể sử dụng một hàm vô

hướng để đại diện cho ϕE và ϕM hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ

Decac của EΓr

, MΓr

, EAr

và MAr

, phương trình d’ Alambert được viết lại

gt 2

2

002 −=

∂

ψ∂µµεε−ψ∇

(2.42)

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V

Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất

không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức

là tìm nghiệm của phương trình sau

0t 2

2

002 =

∂

ψ∂µµεε−ψ∇

(2.43)

41

Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính

đối xứng cầu nên hàm ψ chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có

( )ψ∂

∂=

∂

ψ∂+

∂

ψ∂=ψ∇ r

rrr

1

rr

2

r 2

2

2

22

(2.44)

Đặt φ = rψ ta có

0tr 2

2

002

2

=∂

φ∂µµεε−

∂

φ∂

(2.45)

Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là

++

−=φ

v

rtf

v

rtf 21

(2.46)

Suy ra

rv

rtf

rv

rtf 21

+

+

−

=ψ

(2.47)

Trong đó: 00

1v

µµεε= là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f1 và f2 là

các hàm tuỳ ý

rv

rtf1

−

mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn → vô cùng

rv

rtf2

+

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng → nguồn

Điều kiện bức xạ tại vô cùng:

0Eikt

Erlim

r=

+

∂

∂∞→

rr

0Hikt

Hrlim

r=

+

∂

∂∞→

rr

(2.48)

Trong đó: 00k µµεεω= là số sóng

42

Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên

theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43)

cho nguồn điểm là hàm f1 và loại bỏ hàm f2

Vậy

rv

rtf1

−

=ψ

(2.49)

Nếu r → 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình

sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải

chọn dạng của f1 sao cho ψ là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và

phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng.

Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại

g2 −=ψ∇ (2.50)

gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là

∫π=ψ

V

dVr

g

4

1 (2.51)

Lưu ý :

r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo

(2.49) và (2.51) ta chọn dạng hàm của f1 như sau

−

π=

−

v

rtg

4

1

v

rtf1

(2.52)

Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là

( ) ∫

−′

π=ψ

V

dVr

v

rt,rg

4

1t,r

(2.53)

Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở

thời điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là

v

rt =′ (2.54)

43

Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời

gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ.

Tương tự như nghiệm (2.53) ta có

( ) ∫

−′

π

µµ=

V

E0

E dVr

v

rt,rJ

4t,rA

r

r

(2.55)

( ) ∫

−′

π

εε=

V

M0

M dVr

v

rt,rJ

4t,rA

r

r

(2.56)

Đối với trường điều hoà ta có

ikrtiikrm

v

rti

m egeegegv

rtg −

•ω−

•

−ω••

===

−

(2.57)

( ) ikrE

v

rti

EmE etAeAv

rtA −

•

−ω••

==

−

rrr

(2.58)

( ) ikrM

v

rti

MmM etAeAv

rtA −

•

−ω••

==

−

rrr

(2.59)

Các thế chậm ME A ,A ,•••

ψrr

được tính là

( ) ( )∫

−•

• ′

π=ψ

V

ikr

dVr

et,rg

4

1t,r

(2.60)

( ) ( )∫

−•

• ′

π

µµ=

V

ikrE0

E dVr

et,rJ

4t,rA

rr

(2.61)

44

( ) ( )∫

−•

• ′

π

εε=

V

ikrM0

M dVr

et,rJ

4t,rA

rr

(2.62)

2.5. Trường điện từ của lưỡng cực điện

Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của

anten.

Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng

điện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài

Để đơn giản ta có giả thiết như sau

- đặt trong điện môi lí tưởng: σ = 0; ε, µ = const

- l << λ, l là chiều dài của lưỡng cực điện và λ là bước sóng của trường

điện từ do nó phát ra

- Dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện biến thiên điều hoà với tần số góc

ω

- r >> l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực

điện

Ứd phương pháp thế chậm để tính trường

2.5.1. Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện

Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục

lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có

dạng

tim

tim SeJkeIkI ω

•ω

••

==rrrr

(2.63)

Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện

Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl

nên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz. Thế

chậm của lưỡng cực điện là

ikrm0

l

ikrm0

V

ikrm0

EmEm er4

lIkdl

r

eI

4kdV

r

eJ

4kAkA −

•−

•−

•••

π

µµ=

π

µµ=

π

µµ== ∫∫

rrrrr

(2.64)

45

Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của

dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên

khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường

đều bằng r.

Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức

θθ−θ= sincosrk 00

rrr (2.65)

0rr

và 0θr

là các vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu

Khi đó (2.64) được viết lại

( )θθ−θπ

µµ=

−•

•

sincosrr4

leIA 00

ikrm0

Em

rrr

(2.66)

Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là

( )

θθ−θ×∇

π=

×∇

µµ=

−•

••

sincosrr

e

4

lIA

1H 00

ikrm

Em

0

m

rrrr

(2.67)

Suy ra

r

esinik

r

1

4

lIH

ikrm

0m

−•

•

θ

+

πϕ=rr

(2.68)

0ϕr

là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu

Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có

m0m EiH••

ωεε=×∇rr

(2.69)

Khi đó cường độ điện trường của lưỡng cực điện được tính là

θ

+−θ+θ

+

ωεεπ=

×∇

ωεε=

−•

••

sinr

ikk

r

1cos

r

ik

r

1r2.

.r

e

i4

lIH

i

1E

2

2020

ikr

0

mm

0

m

rr

rr

(2.70)

46

Nhận xét: Các biểu thức tính •

Er

và •

Hr

trong (2.68) và (2.70) của bức xạ

lưỡng cực điện đều có thừa số r

e ikr−

và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng

pha là mặt cầu bán kính r.

Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu. Vận tốc

dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha vph

Ta có phương trình của mặt đẳng pha là

φ = ωt – kr = const

dφ = ωdt – kdr = 0

(2.72)

Và

kdt

drvph

ω== (2.73)

Nếu nhân các biểu thức của (2.68) và (2.70) với eiωt và lấy phần thực của •

Er

và •

Hr

ta có giá trị tức thời của chúng là

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0HHE

krtcoskr

1krtsin1

rk

1sin

r4

lkIE

krtcoskr

1krtsin

rk

1cos

r2

lkIE

krtsinkrtcoskr

1sin

r4

lkIH

r

220

2m

220

2m

r

m

===

−ω−−ω

−θ

πωεε=

−ω−−ωθ

πωεε=

−ω−−ωθ

π=

θϕ

θ

ϕ

(2.74)

2.5.2. Trường ở vùng gần

Khi r << λ nhưng vẫn đảm bảo giả thiết r >> l thì gọi là trường ở vùng gần

Do r << λ nên kr = r2

λ

π << 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé

bậc cao so với kr

1 và độ lệch pha kr ta có

47

tsinsinr4

lIE

tsincosr2

lIE

tcossinr4

lIH

30

m

30

mr

2m

ωθπωεε

=

ωθπωεε

=

ωθπ

=

θ

ϕ

(2.75)

Nhận xét: Hϕ lệch pha so với Er và Eθ một góc 2

π nên vector Poynting

trung bình tbΠr

= re•

Πr

= 0, có nghĩa là năng lượng trường điện từ của lưỡng cực

điện ở vùng gần chủ yếu là của dao động xung quanh nguồn, không mang tính

chất sóng, gọi là vùng cảm ứng . Hình 2.1 trình bày cấu trúc đường sức của Er

và

Hr

2.5.3. Trường ở vùng xa

Khi r >> λ thì thì gọi là trường ở vùng xa

Do r >> λ nên kr = r2

λ

π >> 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé

bậc cao so với kr

1 ta có

( ) ( )

( ) ( )krtsinsinr2

lIkrtsinsin

r4

lkIE

krtsinsinr2

lIkrtsinsin

r4

lkIH

0

0m

0

2m

mm

−ωθεε

µµ

λ−=−ωθ

πωεε=

−ωθλ

−=−ωθπ

=

θ

ϕ

(2.76)

Nhận xét:

I Er

Er

Hr

Er

Er

Er

48

- Trường ở vùng xa của lưỡng cực điện chỉ gồm 2 thành phần Hϕ và Eθ

đồng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector

Poynting phức chỉ có phần thực tbΠr

= re•

Πr

≠ 0, năng lượng trường điện từ bức

xạ vào trong không gian. Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ

- Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với ω, tỉ lệ nghịch với λ. Nếu có cùng giá trị

dòng điện Im, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì Hϕ và Eθ càng lớn

- Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với sinθ nên trường bức xạ của lưỡng cực điện

có tính định hướng trong không gian. Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng 2

π và

bằng 0 theo phương của lưỡng cực điện θ = 0.

- Trường bức xạ có tính định hướng, thường được mô tả bằng giản đồ

hướng. Giản đồ hướng của lưỡng cực điện, kí hiệu F(θ, ϕ), là hàm được xác

định bởi biểu thức:

( ) θ==ϕθ sinE

E,F

max

(2.77)

2.5.4. Công suất bức xạ, trở bức xạ

Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức

SdPS

tbbx

rr

∫Π= (2.78)

θ

θ = 0

0

θ = 900

E = 0

E = Emax

Mặt phẳng kinh tuyến

ϕ

Mặt phẳng vĩ tuyến

Z

49

Trong đó

θωεεπ

=Π 2

032

322m

tb sinr32

klIrrr

(2.79)

Vi phân mặt cầu

dS = r2sinθdθdϕ

Suy ra

bx

2m

0

0222

m

0

32

0032

322m

bx R2

I

12

klIdsind

r32

klIP =

εε

µµ

π=θθϕ

ωεεπ= ∫∫

ππ

(2.80)

Trong đó 2

0

0

0

02

bx

1

3

2

6

lkR

λεε

µµ=

εε

µµ

π=

(2.81)

Rbx - trở bức xạ của lưỡng cực điện

Đặt

0

0cz

εε

µµ= [Ω]

(2.82)

zc - trở sóng của môi trường

Trong chân không hoặc không khí, ta có ε = µ = 1, do đó

Ω=π=ε

µ= 377120z

0

00c

dθ

dϕ

Hr

Er

Sdr

I

r

50

Ω

λ=

λπ=

22

20bx

1790

180R

W1

I395P2

2m0bx

λ=

2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ

Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten

Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ

biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài. Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực

điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay

Hr

bằng Er

, thay Er

bằng Hr

, thay µ bằng - ε và thay mI•

bằng MmI•

−

r

esinik

r

1

4

lIE

ikrMm

0m

−•

•

θ

+

πϕ−=rr

(2.83)

θ

+−θ+θ

+

ωµµπ=

−•

•

sinr

ikk

r

1cos

r

ik

r

1r2

r

e

i4

lIH 2

2020

ikr

0

Mmm

rrr

(2.84)

Theo (2.83) và (2.84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là

sóng cầu,

Er

, Hr

~ r, ω

Er

, Hr

có tính định hướng trong không gian

I Er

Er

Er

Er

Er

Hr

51

Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực

điện thay thế cho nhau. Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với

Er

và Hr

đổi chỗ cho nhau

2.6.1 Trường điện từ của vòng dây

Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1

vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi Im chạy qua tương tự như lưỡng cực

từ. Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố.

Giả sử:

- mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu

- kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó

phát ra

- dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc ω: tim eII ω

••

= với

biên độ và pha dọc theo đường dây có giá trị như nhau

Theo (2.61) thế chậm tại điểm Q thuộc trường điện từ do vòng dây phát ra

∫−

••

′π

µµ=

V

ikrm0Em dVe

r

J

4A

rr

(2.85)

Trong đó: r’ là khoảng cách từ điểm Q đến yếu tố vi phân ldr

Ta có:

lSddVr

= , ldIlSdJdVJ mmm

rrrr •

== (2.86)

Suy ra

∫ ′π

µµ=

−•

•

l

ikrm0

Em ldr

e

4

IA

rr

(2.87)

Vì dòng điện chạy trong dây dẫn chỉ theo phương vĩ tuyến ϕ nên thế chậm

EmA•r

của nó cũng chỉ có 1 thành phần hướng theo phương vĩ tuyến

Thí dụ:

52

Xét 2 yếu tố vi phân ldr

của vòng dây đặt đối xứng với nhau qua mặt phẳng

P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (mặt phẳng

P gọi là mặt phẳng kinh tuyến). Mỗi một yếu tố vi phân ldr

lại phân tích thành 2

yếu tố vi phân: ld ′′r

// (P) và ld ′r

⊥ (P).

Nhận xét:

- thế vector do các yếu tố vi phân ld ′′r

tạo ra tại Q có cùng giá trị nhưng

hướng ngược nhau nên bị triệt tiêu

- thế vector do các yếu tố vi phân ld ′r

tạo ra tại Q có cùng giá trị và cùng

hướng với nhau nên tăng gấp đôi.

Do đó tích phân trong (2.87) chỉ cần lấy theo yếu tố vi phân ld ′r

. Hơn nữa

do tính đối xứng của ld ′r

đối với mặt phẳng P nên tích phân trên chỉ cần lấy theo

nửa vòng dây và nhân đôi

Ta có:

dl’ = dl cosϕ = Rcosϕ dϕ (2.88)

Trong đó: R là bán kính của vòng dây

Suy ra:

∫ ϕ′

ϕ

π

µµϕ=

−•

•

V

ikrm0

0Em dr

cose

2

RIA

rr

(2.89)

P

ϕ

θ

r r’

O a a’

b

R I

Q

O a’

R

I

ϕ ϕ

dl

dl’’

dl’

dl’

dl’’

dl

53

Trong đó: 0ϕr

là vector đơn vị hướng theo phương vĩ tuyến, theo hình vẽ

trên ta có các hệ thức sau

222 abaQr +=′ , ϕ−+= cosROa2ROaab 222 (2.90)

Hay ϕθ−+=ϕ−++=′ cossinRr2RrcosROa2ROaaQr 222222 (2.91)

Trong đó: r là khoảng cách từ O đến Q

Theo giả thiết r’ >> R nên cho R2 = 0 và từ (2.91) ta có

ϕθ−≈ϕθ−=ϕθ−=′ cossinRrcossinr

R21rcossinRr2rr 2

Suy ra

ϕθ+=

ϕθ+≈

≈

ϕθ−

=ϕθ−

=′

cossinr

R

r

1cossin

r

R1

r

1

cossinr

R1

1

r

1

cossinRr

1

r

1

2

Và ( )

( ) ( )( )ϕθ+ϕθ=

==≈−

ϕθ−ϕθ−−′−

cossinkRsinicossinkRcose

eeeeikr

cossinikRikrcossinRrikrik

Khi λ >> R thì kR << 1, do đó có thể xem

( ) 1cossinkRcos ≈ϕθ

( ) ϕθ≈ϕθ cossinkRcossinkRsin

Suy ra

( )ϕθ+≈ −′− cossinikR1ee ikrrik

Thay vào tích phân trong (2.89) ta có

+θ

π=ϕϕ

′

−−

∫ ikr

1sin

r

e

2dcos

r

e ikr

V

ikr

(2.92)

Và

54

2ikr

m00Em Rik

r

1sin

r4

eIA

+θ

µµϕ=

−•

•rr

(2.93)

θ

+−θ+θ

+=

−•

•

sinr

ikk

r

1cos

r

ik

r

1r2

r

e

4

RIH 2

2020

ikr2m

m

rrr

(2.94)

+θ

ωεεϕ=

×∇

ωεε=

−•

••

ikr

1sin

ri4

lekRIH

i

1E

0

ikr22m

0m

0

mrrr

(2.95)

Dễ thấy rằng trường bức xạ của vòng dây dẫn có tính chất tương tự như

trường bức xạ của lưỡng cực từ và sẽ hoàn toàn giống nhau nếu thoả mãn điều

kiện sau

2m0

MmRI

i

lIπµµ=

ω

••

(2.96)

Đặt

ω==

•••

i

lIlqP

Mm

MmM

rrr

(2.97)

MP•r

gọi là moment lưỡng cực từ

Đặt

2m00m00Mv RISSISP πµµ=µµ=

••• rrr

(2.98)

MvP•r

gọi là moment từ của vòng dây dẫn có dòng điện mI•

và diện tích S

Khi đó trường bức xạ của lưỡng cực từ và vòng dây dẫn là tương đương

nhau

MvM PP••

=rr

(2.99)

Từ các biểu thức (2.94) và (2.95) ta tính được thành phần trường bức xạ

của vòng dây ở vùng xa là

55

( )

( )krtcossinr4

kRIE

krtcossinr4

kRIH

0

022

m

22m

−ωθεε

µµ==

−ωθ−=

ϕ

θ

(2.100)

Công suất bức xạ và trở bức xạ của vòng dây được tính là

bxv

2m

bxv R2

IP =

(2.101)

c

2

3bx z

S

3

8R

λπ=

(2.102)

2.7. Trường điện từ của yếu tố diện tích mặt

Xét trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích mà trên đó có dòng điện và

từ mặt chảy vuông góc với nhau.

Giả sử yếu tố vi phân diện tích nằm trong mặt phẳng xOy có dạng hình chữ

nhật kích thước a, b

Dòng điện mặt hướng theo trục x: IESx bthiên điều hoà theo thời gian

Dòng từ mặt hướng theo trục y: IMSy bthiên điều hoà theo thời gian

S << λ nên biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là giống nhau trên toàn

bộ yếu tố vi phân diện tích S, còn gọi là nguyên tố Huyghens

Áp dụng các nghiệm thế chậm cho trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích với dòng điện mặt IESx và dòng từ mặt IMSy ta có

IESx

IMSy

O

a

b

x

z

y

56

∫−

••

π

µµ=

S

ikrESxm0

Exm dSr

eI

4A

(2.103)

∫−

••

π

εε=

S

ikrMSym0

Mym dSr

eI

4A

(2.104)

Vì dòng điện mặt IESx hướng theo trục x nên ExmA•

cũng chỉ có thành phần

này, tương tự dòng từ mặt IMSy hướng theo trục y nên MymA•

cũng chỉ có thành

phần này

Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên

toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố

diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể

đưa các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài

r4

eISA

ikrESxm0

Exmπ

µµ=

−•

•

(2.105)

r4

eISA

ikrMSym0

Mymπ

εε=

−•

•

(2.106)

Trong đó:

r là khoảng cách từ điểm quan sát trường đến gốc toạ độ

S = ab là diện tích của yếu tố mặt

Các thành phần của thế vector trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ Decac liên

hệ với nhau như sau

θ+ϕθ+ϕθ= cosAsinsinAcossinAA zyxr

θ+ϕθ+ϕθ=θ sinAsincosAcoscosAA zyx (2.107)

ϕ+ϕ−=ϕ cosAsinAA yx

Do chỉ có ExmA•

và MymA•

khác 0, ta có

ϕθ=••

cossinAA ExmErm

57

ϕθ=•

θ

•

coscosAA ExmmE (2.108)

ϕ−=•

ϕ

•

sinAA ExmmE

ϕθ=••

sinsinAA MymMrm

ϕθ=•

θ

•

sincosAA MymmM (2.109)

ϕ=•

ϕ

•

cosAA MymmM

Áp dụng các công thức (2.6) và công thức 1 của (2.15) cho (2.108) và

(2.109), ta được

×∇

µµ=

••

Em

0

A1

Hrr

×∇

εε−=

••

Mm

0

A1

Err

Khảo sát trường bức xạ của yếu tố diện tích ở vùng xa

Khi tính trường ta chỉ quan tâm đến số hạng suy giảm r

1, bỏ qua các số

hạng bậc cao hơn n

r

1

. Do đó khi tính rot trong hệ toạ độ cầu của (2.108) và

(2.109) ta chỉ giữ lại các thành phần với đạo hàm r

A m

0∂

∂ϕ

θ

•

r và

r

A m

0∂

∂θ

ϕ

•r

được giữ

lại, còn các số hạng bậc cao hơn được bỏ qua và ta có

ikrESxmmE e

r4

coscosIikSH −

•

ϕ

•

π

ϕθ=

ikrESxmmE e

r4

sinIikSH −

•

θ

•

π

ϕ−=

(2.110)

ikrMSymmM e

r4

sincosIikSE −

•

ϕ

•

π

ϕθ=

58

ikrMSymmM e

r4

cosIikSE −

•

θ

•

π

ϕ−=

Sử dụng các phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai

×∇

ωεε−=

••

Em

0

Em Hi

1E

rr

×∇

ωµµ−=

••

Mm

0

Mm Ei

1H

rr

cho các biểu thức (2.110) ta có

ikrESxm00mE e

r4

sinISikE −

•

ϕ

•

π

ϕεεµµ=

ikrESxm00mM e

r4

coscosISikE −

•

θ

•

π

ϕθεεµµ−=

(2.111)

ikr

00

MSymmM e

r4

cosIikSH −

•

ϕ

•

πεεµµ

ϕ−=

ikr

00

MSymmM e

r4

sincosIikSH −

•

θ

•

πεεµµ

ϕθ−=

Lấy tổng các biểu thức của (2.110) và (2.111) theo các thành phần của Eθ

và Eϕ ta được

( )θα+π

ϕεεµµ−=+= −

•

ϕ

•

ϕ

•

ϕΣ

•

cos1er4

sinIikSEEE ikrESxm00

mMmEm

(2.112)

Trong đó: 00ESxm

MSym

I

I

εεµµ=α

Tương tự, theo các thành phần của Hθ và Hϕ ta được

θ

α+

πεεµµ

ϕ−=+= −

•

ϕ

•

ϕ

•

ϕΣ

•

cos1

1er4

cosIikSHHH ikr

00

MSymmMmEm

59

( )θα+π

ϕ−=+= −

•

θ

•

θ

•

θΣ

•

cos1er4

sinIikSHHH ikrESxm

mMmEm (2.113)

Nhận xét:

- Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa

của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng

dạng đường cong cardioid

- Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ

của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung điểm giữa

mặt phẳng

C(1+αcosθ)

z

60

Chương 3

SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG

• Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng

• Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ

• Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu

• Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng

trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ.

• Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong

môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và

khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn

sóng điện từ là điều hoà với ω và rất xa với điểm khảo sát.

3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng

3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave)

- Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của Er

và Hr

bằng

nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất

- Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng

nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của Er

và Hr

trong hệ toạ độ Decac có

dạng

xmP

ymzmEi

z

H

y

H •••

ωε=∂

∂−

∂

∂ (1)

ymP

zmxmEi

x

H

z

H •••

ωε=∂

∂−

∂

∂ (2)

zmP

xmymEi

y

H

x

H •••

ωε=∂

∂−

∂

∂ (3)

xm0

ymzmHi

z

E

y

E •••

ωµµ−=∂

∂−

∂

∂ (4)

61

ym0

zmxmHi

x

E

z

E •••

ωµµ−=∂

∂−

∂

∂ (5)

zm0

xmymHi

y

E

x

E •••

ωµµ−=∂

∂−

∂

∂ (6)

Trong đó:

• Oz ≡ phương truyền sóng

• mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P //

mặt phẳng xOy và có phương trình z = l

ωεε

σ−εε=ε

0

0P i1

Er

và Hr

có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và ∉ x, y; chỉ ∈ z, t. Khi

đó:

0y

H

x

H

y

E

x

E=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ (3.1)

0HE zmzm ==••

(3.2)

Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng

hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của Er

và Hr

.

Các Er

và Hr

nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng

phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng

TEM.

3.1.2. Nghiệm phương trình sóng

Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có:

P

O l

y z

62

0Ekz

Exm

2P2

xm2

=+∂

∂ ••

(7)

0Ekz

Eym

2P2

ym2

=+∂

∂ ••

(8)

0Hkz

Hxm

2P2

xm2

=+∂

∂ ••

(9)

0Hkz

Hym

2P2

ym2

=+∂

∂ ••

(10)

Trong đó:

0

0

00PP i1k µµ

ωεε

σ−εε=µµεω= - số sóng phức

Nhận xét:

- vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm

nghiệm của một trong số các phương trình sóng này.

- đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số

không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là

zikxmpx

zikxmtxm

PP eEeEE•

−••

+= (3.3)

Trong đó:

- zikxmt

PeE −•

biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt

phẳng P

P

O l

y z

63

- zikxmpx

PeE•

biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt

phẳng P

- xmtE•

, xmpxE•

là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng

Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là

zikympx

zikymtym

zikxmpx

zikxmtxm

zikympx

zikymtym

PP

PP

PP

eHeHH

eHeHH

eEeEE

•−

••

•−

••

•−

••

+=

+=

+=

(3.4)

Suy ra

++

+=+=

++

+=+=

•−

••−

••••

•−

••−

••••

zikympx

zikymt

zikxmpx

zikxmtymxmm

zikympx

zikymt

zikxmpx

zikxmtymxmm

PPPP

PPPP

eHeHjeHeHiHjHiH

eEeEjeEeEiEjEiE

rrrrr

rrrrr

(3.5)

Để tìm mối liên hệ giữa mE•r

và mH•r

cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách

quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x // Er

, do đó trục y // Hr

, ta có

mxmymxmm EiEiEjEiE•••••

==+=rrrrr

vì 0E ym =•

mymymxmm HjHjHjHiH•••••

==+=rrrrr

vì 0Hxm =•

(3.6)

Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta

có mối liên hệ giữa mE•r

và mH•r

cho sóng tới và sóng phản xạ như sau

x

y

mH•r

mE•r

ymH•

xmE•

O

64

mpxPympx

P

0ympx

P

xmpxmpx

mtPymt

P

0ymt

P

xmtmt

HZHz

H

i

1EE

HZHz

H

i

1EE

•••

••

•••

••

−=ε

µµ−=

∂

∂

ωε−==

=ε

µµ=

∂

∂

ωε−==

(3.7)

Trong đó:

( )EE0

0

P

0P

itg1

1Z

itg1Z

δ−=

δ−εε

µµ=

ε

µµ= (3.8)

Từ (3.7) dạng của mE•r

và mH•r

cho sóng phẳng TEM được viết lại

zikmpx

zikmtm

zikmpx

zikmtPm

PP

PP

eHeHH

ekHekHZE

•−

••

•−

••

+=

×−

×=

rrr

rrrrr

(3.9)

Hoặc

( ) ( )

( ) ( )zktimpx

zktimt

tim

zktimpx

zktimtP

tim

PP

PP

eHeHeHH

ekHekHZeEE

+ω•

−ω•

ω••

+ω•

−ω•

ω••

+==

×−

×==

rrrr

rrrrrr

(3.10)

Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền

trong môi trường rộng vô hạn.

β

α γ

O

x

y

z

l

65

Dạng của mE•r

và mH•r

của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z

được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với

Ox, Oy và Oz tạo thành các góc α, β và γ. Ta có:

( )lktimtt

PeHH −ω••

=rr

(3.11)

mtH•r

nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l.

Và

( )lktimtPt

PelHZE −ω••

×=rrr

(3.12)

lr

là vector đơn vị của phương truyền sóng l.

Số sóng phức kP và trở sóng phức ZP có thể viết lại

ψ=

α−β=i

PP

P

eZZ

ik (3.13)

Trong đó

α, β và ψ là các số thực

α là hệ số tổn hao của môi trường

β là hệ số pha của sóng

ψ argument của trở sóng phức

Khi đó α, β, PZ và ψ biểu diễn qua ω, ε, µ và thời gianδE như sau

E2

00 tg12

1

2

1δ++−µµεεω=α (3.14)

E2

00 tg12

1

2

1δ++µµεεω=β (3.15)

4E

2Ptg1

ZZ

δ+= (3.16)

66

E2

E2

tg11

tg11arctgarctg

δ++

δ++−=

β

α=ψ (3.17)

Vận tốc pha vph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha

của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao α = 0,

mặt đồng pha của sóng tới có dạng

constzt =β−ω=φ (3.18)

Suy ra

0dzdtd =β−ω=φ (3.19)

Cho nên vận tốc pha vph được xác định bởi

E2

E200

ph

tg12

1

2

1

v

tg12

1

2

1

1.

1

dt

dzv

δ++

=

δ++µµεε

=β

ω==

(3.20)

Trong đó

v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn

Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được

tính là

P

2

mt2

mtPmt*

mttb Z

E

2

1kHZ

2

1kHEre

2

1re

rrrrrr==

×=Π=Π

•••

(3.21)

Lưu ý: Vì •

Er

và •

Hr

đồng pha nên ψ = 0 ⇒ 1e i =ψ

3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng

3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng

• Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới)

trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn.

67

• Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên σ = 0,

0

0

0P i1 εε=

ωεε

σ−εε=ε , kP = k và ZP = Z. Từ các biểu thức (3.14) –

(3.21) ta có

Z

E

2

1HZ

2

1

v1

v

ZZ

k

0,0

2

mt2

mttb

00

ph

0

0P

00

==Π

=µµεε

=

εε

µµ==

µµεεω==β

=ψ=α

r

(3.22)

mE•r

và mH•r

có dạng là

zimtm

zimtm

ekHZE

eHH

β−••

β−••

×=

=

rrr

rr

(3.23)

Hoặc

( )

( )ztimt

tim

ztimt

tim

ekHZeEE

eHeHH

β−ω•

ω••

β−ω•

ω••

×==

==

rrrr

rrr

(3.24)

Nhận xét:

• Er

và Hr

vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng

• Er

và Hr

luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền

sóng

• Vận tốc pha vph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường

• Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở

sóng Z là một số thực

68

3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện

• Trong môi trường dẫn điện σ ≠ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng

phức,

α−β=µµ

ωεε

σ−εεω=µµεω= ii1k 0

0

00PP

ψ=

ωεε

σ−εε

µµ=

ε

µµ= i

P

0

0

0

P

0P eZ

i1

Z

Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13) •

Er

và •

Hr

có dạng

( ) ( ) ( ) zztimt

ziztimt

zktimt eeHeHeHH P α−β−ω

•α+β−ω

•−ω

••

===rrrr

.......

( ) ( )

( ) zztimtP

ziztimt

iP

zktimtP

eekHZ

ekHeZekHZE P

α−ψ+β−ω•

α+β−ω•

ψ−ω••

×=

=

×=

×=

rr

rrrrr

(3.25)

Hr

Er

69

Nếu môi trường có điện dẫn suất σ rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một

cách gần đúng xem σ → ∞, do đó thời gian δE >> 1 nên theo các biểu thức

(3.14) – (3.21) ta có

0

EE2 tgtg1

ωεε

σ=δ≈δ+

2tg1

2

1

2

1 0E

200

σωµµ≈δ++−µµεεω=α

2tg1

21

21 0

E2

00

σωµµ≈δ++µµεεω=β

σ

ωµµ=≈ 0

P ZZ

0E

200

ph

2

tg12

1

2

1v

σµµ

ω≈

δ++µµεε

ω=

β

ω=

( )4

1arctgtg11

tg11arctgarctg

E2

E2

π=≈

δ++

δ++−=

β

α=ψ

(3.26)

• góc tổn hao α ≠ 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của •

Er

và •

Hr

suy giảm theo quy luật hàm mũ e-αz dọc theo phương truyền sóng z.

•

•

Er

và •

Hr

lệch pha nhau một góc ψ = argZP

0mE z

0mm eEE α−=

z

x

y

70

• vph là hàm số phụ thuộc tần số ω, có nghĩa là ω thay đổi trong quá trình

lan truyền sóng điện từ ⇒ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán

sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc.

3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn

Nhận xét:

Theo công thức 2

0σωµµ≈α nhận thấy rằng

• Trong vật dẫn điện tốt σ rất lớn và nếu tần số sóng điện từ ω càng cao thì

α càng lớn. Do đó biên độ của Er

và Hr

suy giảm rất nhanh khi truyền vào

bên trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng

sát bề mặt của vật dẫn điện tốt.

• Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài.

Chẳng hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm.

Ứd: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần

• Hiện tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn

điện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay

hiệu ứng skin

• Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay

độ dày lớp skin δ, đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu

⊕

⊕

Br B

r

cBr cB

r

Thép

Cu

71

bên trong vật dẫn mà tại đó biện độ của Er

và Hr

giảm đi e = 2,718... lần

so với giá trị tại bề mặt.

Theo (3.25) và (3.26) ta có

z0mm

z0mm

eHH

eEEα−

α−

=

= (3.27)

Trong đó:

Em0 và Hm0 là biên độ của Er

và Hr

tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định

nghĩa độ thấm sâu của trường ta có

eeE

E

m

0m == αδ (3.28)

Suy ra

σωµµ=

σωµµ=

α=δ

00

2

2

11

(3.29)

Nhận xét:

• Trong công thức (3.29), σ và µ là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ

thấm sâu của trường δ tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số ω và điện

dẫn suất σ của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al ... có độ thấm sâu của

trường rất bé cỡ δ = 0,5 µm ở dải sóng vô tuyến f = 106 Hz. Do đó các

kim loại này dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt.

• Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều

trong cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không

đều nhau tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở

kháng mặt riêng của vật dẫn

• Trở kháng mặt riêng của vật dẫn, kí hiệu ZS, là tỉ số điện áp của trường rơi

trên một đơn vị chiều dài theo chiều dòng điện và giá trị dòng điện chạy

qua một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó

72

Xét vật dẫn phẳng, rộng vô hạn và bề dày đủ lớn. Chọn hệ toạ độ Decac có

trục z trùng với phương truyền sóng, mặt phẳng vật dẫn trùng với mặt phẳng

xOy.

Giả sử Er

≡ Ox. Theo định luật Ohm ta có:

( )

β+α

σ=σ=== β+α−

∞∞

∫∫∫ i

EdzeEdzJSdJI 0mzi

00m

0x

S

rr (3.30)

Lưu ý: Tích phân (3.30) được lấy từ 0 → ∞, mặt dù bề dày vật dẫn là hữu

hạn nhưng dòng điện cao tần chỉ chạy trên lớp bề mặt rất mỏng nên bề dày vật

dẫn có thể xem là vô hạn.

Cường độ điện trường Er

tại bề mặt vật dẫn bằng điện áp rơi trên một đơn

vị chiều dài dọc theo chiều dòng điện nên ta có

( ) ( ) SS0

0m

0mS iRi1

2i1

i1

EE

IU

Z χ+=+σ

ωµµ=+

σ

α=

α

β+α

σ==

do α = β

(3.31)

Trong đó:

σ

ωµµ=

2R 0

S là điện trườngở mặt riêng của vật dẫn. (3.32)

x

y

z

Er

Jr

O

Πr

73

RS chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn. Năng

lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn.

χS là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn ZS.

Nhận xét: Biểu thức (3.32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng

sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện tốt như

Au, Ag, Cu ...

3.4. Sự phân cực của sóng phẳng

Sóng điện từ có các vector Er

và Hr

dao động theo phương xác định gọi là

sóng phân cực. Ngược lại nếu các vector Er

và Hr

dao động theo mọi phương

ngẫu nhiên gọi là sóng không phân cực.

Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực

tròn và phân cực thẳng.

3.4.1. Phân cực elip

Trong quá trình truyền sóng nếu ngọn của vector Er

vạch một hình elip

trong không gian gọi là sóng phân cực elip. Sóng phân cực elip chính là tổng

hợp của 2 sóng thành phần cùng tần số, cùng phương truyền, nhưng phương của

Er

vuông góc nhau.

Giả sử có 2 sóng phẳng như sau:

( )

( )ϕ+β−ω=

β−ω=

ztcosEjE

ztcosEiE

my2

mx1rr

rr

(3.33)

Sóng tổng hợp có dạng

ϕ=ϕ−

+

2

mymx

21

2

my

2

2

mx

1 sinEE

EEcos2

E

E

E

E (3.34)

Đây là phương trình mô tả đường elip trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trục

lớn của elip hợp với trục Ox một góc ψ được tính theo:

ϕ−

=ψ cosEE

EE22tg

2my

2mx

mymx (3.35)

74

Trong đó: Emx > Emy

Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector Er

tổng hợp vạch

nên một đường elip xoắn trong không gian

3.4.2. Phân cực tròn

Nếu 2 sóng thành phần có biên độ bằng nhau: Emx = Emy = Em và lệch pha

nhau một góc 2π

±=ϕ . Suy ra 1sin 2 =ϕ , 0cos =ϕ và phương trình (3.34) trở

thành 2m

22

21 EEE =+ (3.36)

Đây là phương trình mô tả đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2).

Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector Er

tổng hợp vạch nên

một đường tròn xoắn trong không gian, gọi là sóng phân cực tròn.

Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector Er

tổng hợp quay thuận chiều kim

đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay phải. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng

vector Er

tổng hợp quay ngược chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn

quay trái. Chiều quay của vector Er

tổng hợp phụ thuộc vào dấu của góc lệch

pha 2

π

3.4.3. Phân cực thẳng (tuyến tính)

Trong quá trình truyền sóng theo trục z, vector Er

luôn hướng song song

theo một đường thẳng gọi là sóng phân cực thẳng hay sóng phân cực tuyến tính.

trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần có giá trị ϕ = 0, ±π, ±2π, ...

Suy ra sinϕ = 0, cosϕ = ±1 và phương trình (3.34) trở thành

0E

E

E

E2

my

2

mx

1 =

+ (3.37)

Hay

75

1

mx

my

2 EE

EE ±= (3.38)

Đây là phương trình mô tả đường thẳng đi qua gốc toạ độ hợp với trục Ox

một góc ψ’ được tính theo

mx

my

E

Etg =ψ′ (3.39)

Nhận xét: Tuỳ thuộc vào hướng của vector Er

người ta còn phân thành 2

trường hợp phân cực ngang và phân cực đứng.

3.5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng

Mục tiêu phần này nghiên cứu qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt

phẳng phân cách rộng vô hạn giữa 2 môi trường có tham số điện khác nhau. Để

đơn giản ta chỉ xét đối với sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng.

3.5.1. Sóng tới phân cực ngang

Nếu vector Er

của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới, gọi là sóng phân

cực ngang. Trong trường hợp này vector Er

của sóng tới sẽ song song với mặt

phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ?

Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy ≡ mặt phẳng phân cách 2 môi trường,

trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Hai môi

trường là điện môi có các tham số điện ε1, µ1, ε2, µ2 tương ứng.

Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương zt, lập với pháp tuyến z một

góc ϕt nên có thể quay trục toạ độ quanh trục z để cho trục x của nó chỉ phương

của vector Er

của sóng tới. Tại mặt phẳng phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi

x

y

ψ’

Er

Emx

Emy O

76

trường 1 với góc phản xạ ϕphản xạ truyền theo hướng zpx, còn sóng khúc xạ tại mặt

phẳng phân cách với góc khúc xạ ψ đi vào môi trường 2 theo phương zkx. Theo

h.vẽ nhận thấy rằng Er

của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1

thành phần theo trục x, còn Hr

của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và

z. Áp dụng các biểu thức (3.4) và (3.5) ta có:

Sóng tới

t1

t1

zikmz1my11

zikmx11

eHkHjH

eEiE

−•••

−••

+=

=

rrr

rr

(3.40)

Sóng phản xạ

px1

px1

zikmz1my11

zikmx11

eHkHjH

eEiE

−•••

−••

′+′−=′

′=′

rrr

rr

(3.41)

Sóng khúc xạ

kx2

kx2

zikmz2my22

zikmx22

eHkHjH

eEiE

−•••

−••

+=

=

rrr

rr

(3.42)

Trong đó:

01011k µµεεω= và 02022k µµεεω= là số sóng của môi trường 1 và 2 tương

ứng. Các phương truyền sóng zt, zpx và zkx biểu diễn qua x, y, z như sau:

ψ+ψ−=

ϕ−ϕ−=

ϕ+ϕ−=

coszsinyz

coszsinyz

coszsinyz

kx

pxpxpx

ttt

(3.43)

77

Vì các môi trường đều là điện môi nên áp dụng điều kiện biên cho Er

và Hr

tại mặt phẳng phân cách xOy (z = 0) ta có:

my22my1my11

mx22mx1mx11

HHHHH

EEEEE•

τ

•••

τ

•

•

τ

•••

τ

•

==′+=

==′+= (3.44)

Thay các biểu thức (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có:

ψ•

ϕ•

ϕ•

ψ•

ϕ•

ϕ•

=′−

=′+

sinyikmy2

sinyikmy1

sinyikmy1

sinyikmx2

sinyikmx1

sinyikmx1

2px1t1

2px1t1

eHeHeH

eEeEeE (3.45)

(3.45) luôn thoả mãn ∀y ta lại có:

ψϕϕ

•••

•••

==

=′−

=′+

sinyiksinyiksinyik

my2my1my1

mx2mx1mx1

2px1t1 eee

HHH

EEE

(3.46)

Từ biểu thức cuối của (3.46) suy ra:

pxt ϕ=ϕ (3.47)

ψ=ϕ sinksink 2t1 (3.48)

Nhận xét:

(3.47) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt phẳng phân cách.

(3.48) mô tả định luật khúc xạ sóng điện từ.

Đặt

ϕpx ϕt

ψ

1Er

1E′r

1Hr

1H′r

zpx

zt

zk

y

z

2Er

2Hr

O

78

011n εε= và 022n εε= (3.49)

lần lượt là chiết suất của môi trường 1 và 2. Giả sử µ1 = µ2 = µ thì định luật khúc

xạ của sóng điện từ phẳng có dạng giống như trong quang học

ψ=ϕ sinnsinn 2t1 (3.50)

Để mô tả giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ

người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ.

Hệ số phản xạ (reflective modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng

phản xạ và sóng tới tính cho Er

, kí hiệu R. Hệ số khúc xạ (refractive modulus)

là tỉ số giữa biên độ phức của sóng khúc xạ và sóng tới tính cho Er

, kí hiệu T.

Đối với sóng phân cực ngang ta có:

m1

m1

ng

E

ER

•

•

′= và

m1

m2

ng

E

ET

•

•

= (3.51)

Theo hvẽ đối với sóng phân cực ngang ta có:

ψ=ϕ′=′

ϕ==

′=′=

••••

••••

••••

cosHH ,cosHH

cosHH ,EE

EE ,EE

m2my2tm1my1

tm1my1mx2m2

mx1m1mx1m1

(3.52)

và

2

m2m2

1

m1m1

1

m1m1

Z

EH

Z

EH

Z

EH

••

••

••

=

′=′

=

(3.53)

79

Trong đó: 01

011Z

εε

µµ= và

02

022Z

εε

µµ= là trở sóng của môi trường 1 và 2

tương ứng. Thay các biểu thức (3.52) và (3.53) vào (3.46) rồi chia cả 2 vế của

chúng cho m1E•

ta có

( )2

ng

1

tng

ngng

Z

cosT

Z

cosR1

TR1

ψ=

ϕ−

=+

(3.54)

Suy ra:

ψ+ϕ

ϕ=

ψ+ϕ

ψ−ϕ=

cosZcosZ

cosZ2T

cosZcosZ

cosZcosZR

1t2

t2ng

1t2

1t2ng

(3.55)

(3.55) gọi là công thức Fresnel

Góc khúc xạ ψ có thể tính được qua góc tới ϕt theo định luật khúc xạ (3.48)

như sau:

t2

2

1

2

t

2

1 sin1sink

k1cos ϕ

ε

ε−≈

ϕ−=ψ (3.56)

Nếu 2 môi trường là điện môi có µ1 = µ2 = µ thì (3.55) được viết lại

t2

2

12t1

t1ng

t2

2

12t1

t2

2

12t1

ng

sin1cos

cos2T

sin1cos

sin1cos

R

ϕε

ε−ε+ϕε

ϕε=

ϕε

ε−ε+ϕε

ϕε

ε−ε−ϕε

=

(3.57)

3.5.2. Sóng tới phân cực đứng

Nếu vector Er

của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực

đứng. Trong trường hợp này vector Hr

của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng

phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ?

80

Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy ≡ mặt phẳng phân cách 2 môi trường,

trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường và trục x chỉ

phương của vector Hr

của sóng tới.

Theo h.vẽ nhận thấy rằng Hr

của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ

chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn Er

của các sóng trên có 2 thành phần theo

trục y và z. Tiến hành tương tự như đối với sóng phân cực ngang ta có:

ψ+ϕ

ϕ=

ψ+ϕ

ψ−ϕ=

cosZcosZ

cosZ2T

cosZcosZ

cosZcosZR

2t1

t2đ

2t1

2t1đ

(3.58)

Tđ và Rđ liên hệ với nhau theo công thức:

2

1đđ Z

ZTR1 =+ (3.59)

Nếu 2 môi trường là điện môi có µ1 = µ2 = µ thì (3.58) được viết lại

t2

2

11t2

t1đ

t2

2

11t2

t2

2

11t2

đ

sin1cos

cos2T

sin1cos

sin1cos

R

ϕε

ε−ε+ϕε

ϕε=

ϕε

ε−ε+ϕε

ϕε

ε−ε−ϕε

=

(3.60)

ϕpx ϕt

ψ

1Er

1E′r

1Hr

1H′r

zpx

zt

zk

y

z

2Er

2Hr

O

81

3.5.3. Sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách

Khi sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách 2 môi trường, tức là ϕt =

0, theo định luật khúc xạ ta có cosψ = 1 và do đó góc khúc xạ ψ = 0. Hệ số khúc

xạ và hệ số phản xạ trong các biểu thức của (3.55) và (3.58) có dạng đơn giản

như sau:

21

2đ

21

21đ

12

2ng

12

12ng

ZZ

Z2T ,

ZZ

ZZR

ZZ

Z2T ,

ZZ

ZZR

+=

+

−=

+=

+

−=

(3.61)

3.5.4. Sự phản xạ toàn phần

Nếu môi trường 1 có chiết suất lớn hơn môi trường 2 n1 > n2, theo (3.50) ta

có:

t

2

1 sinn

nsin ϕ=ψ (3.62)

có nghĩa là ψ > ϕt. Khi đó ta sẽ có góc tới giới hạn 0 < ϕ0 < 2

π để đạt được điều

kiện:

1sinn

nsin 0

2

1 =ϕ=ψ (3.63)

và ψ = 2

π. Khi đó sóng khúc xạ sẽ truyền sát mặt phẳng phân cách 2 môi trường.

Nếu tiếp tục tăng ϕt > ϕ0 thì sóng khúc xạ không đi vào môi trường 2 mà quay

trở lại môi trường 1 (ứng với ψ > 2

π), gọi là hiện tượng phản xạ toàn phần. Góc

ϕ0 gọi là góc giới hạn được xác định theo công thức:

1

20 n

narcsin=ϕ (3.64)

Hiện tượng phản xạ toàn phần được ứng dụng để truyền ánh sáng trong sợi

quang.

82

3.5.5. Sự khúc xạ toàn phần

Nếu sóng tới truyền đến mặt phẳng phân cách vào môi trường 2 mà không

phản xạ trở lại môi trường 1 gọi là sự khúc xạ toàn phần. Trong trường hợp này

hệ số phản xạ bằng 0. Góc tới ứng với hiện tượng khúc xạ toàn phần gọi là góc

Brewster, kí hiệu là ϕb. Từ (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster đối với 2 trường

hợp phân cực ngang và đứng của sóng tới như sau:

0sin1ZcosZ 0R

0sin1ZcosZ 0R

b2

2

12b1đ

b2

2

11b2ng

=ϕε

ε−−ϕ→=

=ϕε

ε−−ϕ→=

(3.65)

Nhận xét:

- 2 phương trình trong (3.65) không thể có nghiệm đồng thời, tức là chỉ có

1 trong 2 trường hợp xảy ra hiện tượng khúc xạ toàn phần. LT và TN đã chỉ ra

rằng chỉ có sóng phân cực đứng mới có hiện tượng khúc xạ toàn phần và góc

Brewster ϕb được xác định như sau:

2

1btg

ε

ε=ϕ (3.66)

- Các kết quả đã nhận được đối với sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng

phân cách 2 môi trường là điện môi cũng đúng đối với các môi trường bất kì có

điện dẫn suất σ ≠ 0. Khi đó các công thức Fresnel trong (3.55) và (3.58) chỉ cần

thay ε = εP và Z = ZP.

3.6. Điều kiện biên gần đúng Leontovic

Xét sóng phẳng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường từ điện môi

(môi trường 1) vào môi trường có điện dẫn suất lớn σ2 (môi trường 2), ta có:

2E212P1 tg hay kk δε<<ε<< (3.67)

Theo định luật khúc xạ (3.48) ta có:

83

t

2E2

1 sintg

sin ϕδε

ε≈ψ (3.68)

Như vậy: với mọi góc tới ϕt khi thoả mãn điều kiện (3.67) thì góc khúc xạ

ψ ≈ 0, có nghĩa là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có điện dẫn suất lớn theo

phương pháp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường không phụ thuộc vào

góc tới ϕt.

Nếu chọn trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt phẳng phân cách thì

Er

và Hr

của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạng:

( ) ( ) ττ

τ

×τ=×τ=

τ=

2022P02

202

EkHZkE

HHrrrrr

rr

(3.69)

Trong đó:

- 0τr

là vector đơn vị tiếp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường

- H2τ, E2τ là các thành phần tiếp tuyến của Hr

và Er

của sóng khúc xạ ở sát

mặt phẳng phân cách

Theo điều kiện biên tổng quát tại mặt phẳng phân cách ta có:

ττ

ττ

=

=

21

21

HH

EE (3.70)

Suy ra:

ττ = 12P1 HZE (3.71)

(3.71) mô tả quan hệ giữa các thành phần tiếp tuyến của Hr

và Er

của sóng điện

từ phẳng truyền từ môi trường điện môi qua môi trường dẫn điện có điện dẫn

suất lớn, gọi là điều kiện biên gần đúng Leontovic. Trong thực tế điều kiện

biên gần đúng Leontovic được ứng dụng để tính tổn hao của sóng điện từ truyền

dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt.

3.7. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng

3.7.1. Môi trường không đẳng hướng

84

Môi trường đẳng hướng có các tham số điện từ ε, µ, σ là các hằng số;

Er

// Dr

; Br

// Hr

theo các phương trình vật chất:

ED 0

rrεε= , HB 0

rrµµ= (3.72)

Trong tn ngoài các môi trường đẳng hướng còn có các môi trường không

đẳng hướng, ở đó theo các hướng khác nhau các tham số điện từ ε, µ có giá trị

khác nhau. ε, µ được biểu diễn dưới dạng tensor độ từ thẩm µt

và tensor độ điện

thẩm εt

như sau:

εεε

εεε

εεε

=ε

µµµ

µµµ

µµµ

=µ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

,tt

(3.73)

Các phương trình vật chất trong môi trường không đẳng hướng sẽ là:

EDrtr

ε= , HBrtr

µ= (3.74)

Hay:

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

HHHB

HHHB

HHHB

EEED

EEED

EEED

µ+µ+µ=

µ+µ+µ=

µ+µ+µ=

ε+ε+ε=

ε+ε+ε=

ε+ε+ε=

(3.75)

Nhận xét:

- (3.75) cho thấy rằng Er

# Dr

; Br

# Hr

- Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả ε, µ đều là tensor, chỉ

có các môi trường không đẳng hướng như sau:

Môi trường có ε, σ là hằng số và độ từ thẩm là tensor µt

, gọi là môi trường

không đẳng hướng từ quay. Thí dụ: ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi là

môi trường từ quay đối với sóng điện từ, được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao

tần làm các tbị điều khiển sự truyền sóng.

85

Môi trường có µ, σ là hằng số và độ điện thẩm là tensor εt

, gọi là môi

trường không đẳng hướng điện quay. Thí dụ: chất khí bị ion hoá (plasma) dưới

tác dụng của từ trường không đổi là môi trường điện quay đối với sóng điện từ.

Tầng ion của khí quyển trái đất cũng là môi trường điện quay đối với sóng điện

từ, khi truyền sóng vô tuyến trong tầng ion cần xét đến tính không đẳng hướng

của nó.

3.7.2. Tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm

Ferrite chính là hợp chất Fe3O4 và một số oxide kim loại khác như MnO,

MgO, NiO ... vừa có tính chất điện môi vừa có tính chất sắt từ, ε = 5 – 20, σ =

10-4 – 10-6 (Ωm)-1. Khi không có từ trường không đổi , 0Hr

= 0, ferrite biểu hiện

như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ. Khi có từ

trường không đổi, 0Hr

≠ 0, ferrite biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng

hướng từ quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ từ thẩm có dạng như

sau:

µ

µ

−µ

=µ

0

x

x

00

0ia

0iat

(3.76)

Trong đó:

Mme

Hm

e

a

ia

1

0

0

00

0

M

2M

20

0

yxxy

2M

20M

0yyxxx

=ω

µ=ω

ω−ω

ωωµ=

−=µ−=µ

ω−ω

ωω−µ=µ=µ=µ

(3.77)

Với:

- e là điện tích của electron

86

- m0 là khối lượng của electron

- M là độ lớn của vector từ hoá của ferrite

- ω là tần số của sóng điện từ

- ωM là tần số cộng hưởng từ quay

- µ0 là hằng số từ

Khí bị ion hoá có một số lượng lớn các đ/tích tự do gồm electron và ion,

gọi là môi trường plasma, có σ rất lớn. Khi không có từ trường không đổi , 0Hr

=

0, plasma biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện

từ. Khi có từ trường không đổi, 0Hr

≠ 0, plasma biểu hiện tính chất của môi

trường không đẳng hướng điện quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ

điện thẩm có dạng như sau:

ε

ε

−ε

=ε

z

x

x

00

0ib

0ibt

(3.78)

Trong đó:

00

220

00

0

M

2

20

0zzz

2M

20M

0

yxxy

2M

2

20

0yyxxx

m

Ne

Hm

e

1

b

ib

1

ε=ω

µ=ω

ω

ω−ε=ε=ε

ω−ω

ωωε=

−=ε−=ε

ω−ω

ω−ε=ε=ε=ε

(3.79)

Với:

- ωM là tần số cộng hưởng từ quay

- e là điện tích của electron

87

- m0 là khối lượng của electron

- N là số electron trong 1 đơn vị thể tích

- ε0 là hằng số điện

- µ0 là hằng số từ

- ω là tần số của sóng điện từ

3.7.3. Sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá

Xét sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo phương của vector từ trường

không đổi từ hoá vật liệu ferrite rộng vô hạn. Chọn trục z trùng với phương

truyền sóng và vector 0Hr

, sử dụng tensor độ từ thẩm (3.76) và điều kiện ngang

của sóng phẳng TEM (3.1) cho các phương trình Maxwell ta có:

0E

HiaHiz

E

HiaHizE

0H

Eiz

H

Eiz

H

z

xyx

x

yxx

y

z

yx

xy

=

+µω−=

∂

∂

−µω=

∂

∂

=

ωε=∂

∂

ωε−=∂

∂

•

•••

•••

•

••

••

(3.80)

Nghiệm của (3.80) có dạng:

ikzmymx

ikzmymx

eHjHiH

eEjEiE

−•••

−•••

+=

+=

rrr

rrr

(3.81)

Thay (3.81) vào (3.80) ta có:

ak 2x

22 εω±=εµω− (3.82)

Suy ra:

88

( )

( )ak

ak

x

x

−µεω=

+µεω=

−

+

(3.83)

Khi đó vận tốc pha và trở sóng được tính theo công thức:

( )

( )

ε

−µ=

ε

+µ=

−µε=

ω=

+µε=

ω=

−

+

−

−

+

+

aZ

aZ

a

1

kv

a

1

kv

xP

xP

x

ph

x

ph

(3.84)

Các thành phần của Hr

và Er

của sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá:

+•+

+•

+•+

+•

+•+•

−=

=

=

xPy

yPx

xy

HZE

HZE

HiH

(3.85)

Và

−•−

−•

−•−

−•

−•−•

−=

=

−=

xPy

yPx

xy

HZE

HZE

HiH

(3.86)

Hay dưới dạng vector:

( ) ( )

+•+•

+•+

+•

−ω+•

+•

=

×=

+=+

mxm

P

zktim

HH

kHZE

ejiiHH

rrr

rrr

(3.87)

Và

89

( ) ( )

−•−•

−•−

−•

−ω−•

−•

=

×=

−=−

mxm

P

zktim

HH

kHZE

ejiiHH

rrr

rrr

(3.88)

Nhận xét:

- (3.85) và (3.87) mô tả sóng phân cực tròn quay phải

- (3.86) và (3.88) mô tả sóng phân cực tròn quay trái

Như vậy: khi sóng phẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá bởi từ

trường không đổi, môi trường này thể hiện các tham số điện từ khác nhau đối

với sóng phân cực tròn quay phải và quay trái ứng với các số sóng k+ và k-; vận

tốc pha vph+, vph

- và trở sóng ZP+, ZP

- khác nhau. Do đó độ từ thẩm của môi

trường ferrite bị từ hoá có giá trị khác nhau đối với sóng phân cực tròn quay

phải và quay trái như sau:

a

a

x

x

−µ=µ

+µ=µ−

+

(3.89)

Nhận xét: khi sóng phân cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá

dọc theo từ trường không đổi 0Hr

hướng theo trục z thì vector Hr

của sóng điện

từ sẽ quay đi một góc θ. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực của sóng phân

cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá gọi là h/ứng Faraday. Góc

quay mặt phẳng phân cực của Hr

trong 1 đơn vị chiều dài trong ferrite gọi là

hằng số Faraday, kí hiệu là θ’ và được tính theo công thức:

( )aa22

kkxx −µ−+µ

εω=

−=θ′

−+

(3.90)

90

Chương 4

NHIỄU XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ

4.1. Khái niệm

• Nếu trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có một hay một nhóm vật

thể mà các kích thước của chúng cỡ bước sóng của sóng điện từ thì tại đó

có thể xảy ra hiện tượng sóng phản xạ lại môi trường, sóng khúc xạ truyền

vào các vật thể và sự đi vòng của sóng tới qua các vật thể làm cho cấu

trúc của trường sóng tới thay đổi. Hiện tượng trên gọi là sự nhiễu xạ sóng

điện từ tại các vị trí bất đồng nhất của môi trường. Các vật thể này gọi là

vật chướng ngại, sóng tới gọi là sóng sơ cấp, sóng phản xạ gọi là sóng thứ

cấp. Trường điện từ nhiễu xạ toàn phần là trường tổng hợp của các sóng

sơ cấp, sóng thứ cấp và sóng khúc xạ

• Mục tiêu: xác định trường thứ cấp hoặc trường toàn phần tại một điểm bất

kì trong không gian môi trường đồng nhất và đẳng hướng tại thời điểm t

bất kì khi đã biết các tham số điện và dạng hình học của vật chướng ngại,

và cấu trúc của trường sóng sơ cấp.

• Vì vật chướng ngại có dạng hhọc rất phức tạp và ở những vị trí khác nhau

so với nguồn sơ cấp, do đó bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể giải

gần đúng. Trong thực tế người ta thường dùng các đại lượng vật lí như tiết

diện phản xạ tương đương, tiết diện hấp thụ toàn phần ... đặc trưng cho sự

nhiễu xạ sóng điện từ.

• Việc giải chính xác bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể thực hiện đối

với vật chướng ngại có dạng hhọc đơn giản như htrụ tròn nhỏ dài vô hạn,

hcầu đặt rất xa nguồn sóng sơ cấp, có nghĩa là cấu trúc của nguồn và

trường sóng sơ cấp không phụ thuộc vào vật chướng ngại.

4.2. Nhiễu xạ của sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn

4.2.1. Bài toán

91

- Giả sử có một vật dẫn điện tốt dạng trụ tròn bán kính a dài vô hạn đặt

trong kk và có sóng phẳng điều hoà truyền tới vuông góc với trục của vật dẫn.

Xác định trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn.

- Chọn hệ toạ độ trụ có trục z trùng với trục của vật dẫn và sóng phẳng điều

hoà truyền dọc theo trục Ox và vuông góc với trục của vật dẫn. Khi đó sự phân

cực của sóng tới có thể xảy ra 2 trường hợp: tEr

// Oz và tEr

⊥ Oz. Nếu sóng tới là

sóng phân cực thẳng bất kì của tEr

thì nó được xem như là tổng hợp của 2 trường

hợp trên. Do đó việc giải bài toán nhiễu xạ sóng điện từ phẳng chỉ cần xét đối

với dạng sóng phẳng phân cực đã nêu.

- Vì sóng tới vuông góc với z nên đối với trường sóng phản xạ ta có:

( ) 0H,Ez

=∂

∂ và các phương trình Maxwell có dạng:

mz0

mrm

m0

mz

mr0

mz

EiH

Hrrr

1

Hir

E

HriE

••

ϕ

•

ϕ

••

••

ωεε=

ϕ∂

∂−

∂

∂

ωµµ=∂

∂

ωµµ−=ϕ∂

∂

(4.1)

tEr

tHr

tEr

tΠr

tΠ

r

tHr

Oz//E t

rOzE t ⊥

r

z

x

a2

92

và:

mz00

mrm

m0

mz

mr0

mz

HiE

Errr

1

Eir

H

EriH

••

ϕ

•

ϕ

••

••

µµωεε−=

ϕ∂

∂−

∂

∂

ωεε−=∂

∂

ωεε=ϕ∂

∂

(4.2)

Nhận xét:

- Hệ phương trình (4.1) chỉ gồm các thành phần mzE•

, mrH•

, ϕ

•

mH và mrE•

= 0

(phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp điện ngang hay từ dọc,

kí hiệu là TE hoặc H, ứng với trường hợp sóng tới phân cực mtE•

// Oz.

- Hệ phương trình (4.2) chỉ gồm các thành phần mzH•

, mrE•

, ϕ

•

mE và mrH•

= 0

(phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp từ ngang hay điện dọc,

kí hiệu là TH hoặc E, ứng với trường hợp sóng tới phân cực mtE•

⊥ Oz.

- Hai hệ phương trình (4.1) và (4.2) có dạng tương tự nhau nên chỉ cần xét

một trong 2 hệ phương trình trên là được, cụ thể là hệ phương trình (4.1). Vì vật

dẫn điện tốt có σ rất lớn nên trường sóng khúc xạ hầu như không tồn tại trong

vật dẫn. Để đơn giản, xem vật dẫn có σ → ∞. Đối với sóng tới phân cực có mtE•

//

Oz thì điều kiện biên của phương trình (4.1) như sau:

0EE zzt =+••

(4.3)

tại:

r = a ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; -∞ < z < ∞

- Sóng phản xạ từ bề mặt vật dẫn truyền ra xa vô hạn theo phương r phải có

đặc trưng sóng tại vô cùng, có nghĩa là phải thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô

cùng:

93

0Hikr

Hlim

0Eikr

Elim

r

r

=

+

∂

∂

=

+

∂

∂

∞→

∞→

rr

rr

(4.4)

Vậy: bài toán nhiễu xạ sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn qui về

việc xác định nghiệm của phương trình (4.1) và các điều kiện (4.3) và (4.4).

4.2.2. Trường thứ cấp

Để tìm nghiệm của phương trình (4.1) với các điều kiện (4.3) và (4.4), ta

chuyển (4.1) sang dạng phương trình sóng. Đặt các giá trị của mrH•

, ϕ

•

mH từ 2

phương trình đầu vào phương trình cuối của hệ (4.1) ta có:

0EkE

r

1

r

E

r

1

r

Emz

2

2

mz2

2

mz

2

mz2

=+ϕ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ••••

(4.5)

Nghiệm của (4.5) có dạng:

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )∑

∑

∑

∞

−∞=

ϕ

•

ϕ

•

∞

−∞=

ϕ

••

∞

−∞=

ϕ••

∂

∂−

ωµµ−=

−ωµµ

=

−−=

m

im2

m2

m

mm

0

mztm

m

im2m2

m

mm

0

mztmr

m

im2m2

m

mmmztmz

er

krH

kaH

kaJi

r

EH

ekrHkaH

kamJi

r

EH

ekrHkaH

kaJiEE

(4.6)

Trong đó:

Jm(kr) là hàm Bessel cấp m ( )( )krH 2m là hàm Hanken cấp m loại 2

4.2.3. Giản đồ hướng

Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn có thể biểu diễn trực

quan bằng giản đồ hướng như sau:

94

- Tìm cường độ trường thứ cấp ở vùng xa thoả mãn kr >> 1. Áp dụng dạng

tiệm cận của hàm Hanken cấp m loại 2 khi kr → ∞ và bỏ qua số hạng nhỏ bậc

cao 2/3r

1 so với

2/1r1

của (4.6) ta có:

( )( )( )

( )( )( )

0H

ekaH

kaJe

kr

2EH

ekaH

kaJe

kr

2EE

mr

m

im

2m

m4kri

0

0

mztm

m

im

2m

m4kri

mztmz

≈

π

εε

µµ≈

π−≈

•

∞

−∞=

ϕ

π−−

•

ϕ

•

∞

−∞=

ϕ

π−−••

∑

∑

(4.7)

Nhận xét:

- Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn chỉ có 2 thành phần

mzE•

, ϕ

•

mH vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r.

- Theo (4.7) giản đồ hướng của trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn

dài vô hạn như hvẽ (xem tài liệu KKL, trang 97, hình 4.2) với các tham số ka

khác nhau.

- Từ giản đồ hướng nhận thấy rằng khi ka ≈ 1, a << λ thì trường thứ cấp có

cường độ gần đều theo mọi phương, do đó nó làm méo đều trường sơ cấp theo

mọi phương. Khi ka >> 1, a >> λ thì trường thứ cấp bắt đầu xh các cực đại ở

phía đối diện với nguồn sóng tới và làm méo trường sóng tới ở phía này mạnh

hơn. Khi ka → ∞, a → ∞ thì trường thứ cấp có cực đại quay về phía sóng tới và

có một vùng tối ở phía đối diện, cường độ trường ở vùng này bằng 0.

Để đánh giá tính chất của trường bức xạ thứ cấp khi trường sơ cấp truyền

qua vật chướng ngại, người ta đưa ra đại lượng diện tích phản xạ tương đương.

Đối với vật dẫn trụ tròn dài vô hạn thì diện tích phản xạ tương đương tính theo 1

đơn vị chiều dài của htrụ là σ0 được xác định theo công thức:

tbt0bxP Πσ= (4.8)

Trong đó:

95

Pbx là công suất bức xạ của trường thứ cấp tính theo 1 đơn vị chiều dài

Πtbt là mật độ công suất bức xạ trung bình của sóng tới

2

mzt

0

0

tbt E

2

1 •

εε

µµ=Π

(4.9)

∫∫π

ϕΠ=Π=2

0tb

Stbbx rddSP (4.10)

2

mz

0

0

2

m

0

0mmztb E

1

2

1H

2

1H.Ere

2

1 •

ϕ

•

ϕ

•∗

•

εε

µµ=

εε

µµ=

=Π

(4.11)

Từ các biểu thức (4.7) – (4.11), diện tích phản xạ tương đương σ0 được tính

theo:

( )( ) ( )

2

m2

m

m0 kaH

kaJ

ka4

a4∑

∞

−∞=

=σ (4.12)

4.3. Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff

Tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với hàm vô hướng ψ sau

đây:

0k 22 =ψ−ψ∇ (4.13)

tại điểm P bất kì trong thể tích V được giới hạn bởi mặt kín S. Giả thiết rằng

hàm ψ, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó liên tục trong V và trên S.

Áp dụng định lí Green ta có:

( ) ∫∫

∂

ψ∂φ−

∂

φ∂ψ=ψ∇φ−φ∇ψ

SV

22 dSnn

dV (4.14)

Trong đó hàm φ, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó cũng liên tục trong V và

trên S. Chọn hàm φ có dạng:

r

e ikr−

=φ (4.15)

Trong đó: r là khoảng cách từ điểm P đến một điểm bất kì trong thể tích V.

96

Nhận xét:

- Hàm φ dạng (4.15) thoả mãn định lí Green tại mọi vị trí trừ điểm P, vì tại

điểm P: φ → ∞ khi r → 0. Để áp dụng định lí Green đối với điểm P, bao điểm P

bằng mặt cầu đủ nhỏ S0 bán kính R0. Khi đó miền V được giới hạn bởi các mặt S

và S0. Vì hàm φ dạng (4.15) cũng thoả mãn phương trình sóng (4.13) nên vế trái

của (4.14) bằng 0 và ta có:

∫∫

∂

ψ∂φ−

∂

φ∂ψ−=

∂

ψ∂φ−

∂

φ∂ψ

SS

dSnn

dSnn

0

(4.16)

- Các đạo hàm theo pháp tuyến n∂

∂ trên S và S0 lấy theo pháp tuyến 0n

r

hướng ra ngoài thể tích V. Do đó trên mặt cầu S0 ta có:

rn ;

rn ∂

ψ∂−=

∂

ψ∂

∂

φ∂−=

∂

φ∂ (4.17)

nên:

r

e

r

1ik

r

e

rn

ikrikr −−

+=

∂

∂−=

∂

φ∂ (4.18)

Suy ra:

20

tb0

ikR

tb

0

ikR

0S0 R4

rR

e

R

e

R

1ikdS

nnI

00

0

π

∂

ψ∂+ψ

+=

∂

ψ∂φ−

∂

φ∂ψ=

−−

∫ (4.19)

Trong đó:

tbψ và tbr

∂

ψ∂ là các gtừ trườngb của hàm ψ và đạo hàm riêng của nó trên

mặt cầu S0 có giá trị hữu hạn. Do đó xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S0 thu

nhỏ thành 1 điểm ta có:

( )( ) 0R khi P4I

P

00

tb

→πψ=

ψ→ψ (4.20)

Theo (4.16) suy ra:

97

( ) ∫

∂

ψ∂−

∂

∂ψ

π−=ψ

−−

S

ikrikr

dSnr

e

r

e

n4

1P (4.21)

Nhận xét:

- (4.21) là biểu thức của nguyên lí Huyghens-Kirchhoff. Từ biểu thức

(4.21) có thể tìm được hàm ψ tại một điểm bất kì trong thể tích V. Nếu các giá

trị của ψ và n∂

ψ∂ trên mặt S được coi là phân bố của các nguồn nguyên tố, thì giá

trị của ψ tại một điểm bất kì trong thể tích V là chồng chất của các sóng cầu

nguyên tố bức xạ ở trên mặt S bao quanh thể tích V.

- (4.21) cũng áp dụng được đối với trường hợp mặt S là giới hạn trong của

miền V’ bên ngoài, thực vậy:

Miền V’ được xem như giới hạn bởi mặt kín S và mặt cầu S’ có tâm nằm

trong V với bán kính R∞ → ∞, khi đó:

0dSnn

IS

→

∂

ψ∂φ−

∂

φ∂ψ= ∫

′

∞ (4.22)

Vì R∞ >> r’, r’ là khoảng cách từ tâm hình cầu S’ đến điểm P, nên có thể

xem R∞ // r, r là khoảng cách từ điểm P đến điểm bất kì của mặt cầu S’ rộng vô

hạn, ta có:

α′−=≈ ∞

∞

cosrRr ,r

1

R

1 (4.23)

Nên:

P

R0

S0

S

S

R∞ α

r’ r

V’

S’

P

V

V

98

α′−

∞

−

∞≈=φ cosrikikRikr

eeR

1

r

e (4.24)

Trong đó: α là góc giữa R∞ và r’.

Đối với mặt cầu S’ ta có: rn ∂

∂=

∂

∂

Do đó:

∫′

α′

∞

−

∞∞

∞

∂

ψ∂+

+ψ−=

∞

S

cosrikikR

dSeR

e

RR

1ikI (4.25)

Trong trường hợp giới hạn, khi R∞ → ∞ thì I∞ → 0 nếu thoả mãn điều kiện sau:

0R

1ik

Rlim

R=

ψ

++

∂

ψ∂

∞∞∞→∞

(4.26)

hay:

∞→∞∞→∞∞∞

ψ

+−=

∂

ψ∂

RRR

1ik

R (4.27)

Nhận xét:

- Điều kiện (4.26) hoặc (4.27) dễ dàng được thoả mãn nếu ψ thoả mãn điều

kiện bức xạ tại vô cùng, tức là hàm ψ tại vô cùng có dạng:

( )∞

−

∞→

∞

∞

ϕθ=ψR

e,f

ikR

R (4.28)

Vì hàm ψ dạng (4.15) thoả mãn phương trình (4.13) nên cũng đúng đối với

miền ngoài V’.

- Phương trình (4.13) có dạng tương tự như dạng của phương trình sóng

thuần nhất cho Er

và Hr

trong hệ toạ độ Decac. Do đó có thể áp dụng nguyên lí

Huyghens-Kirchhoff để giải các bài toán nhiễu xạ.

- Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff đối với hàm vô hướng có thể xem như là

trường hợp riêng của nguyên lí dòng tương đương.

4.4. Nguyên lí dòng tương đương

99

Giả sử có các nguồn q1, q2, ..., qn đặt trong miền V trong mặt kín S, xác

định trường tại điểm P bất kì trong không gian V’ ngoài mặt S. Theo nguyên lí

H-K có thể xác định trường tại P trong V’ của các nguồn đã cho qua các nguồn

bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương

(dòng điện mặt và dòng từ mặt). Trường do các nguồn dòng tương đương tạo ra

tại điểm P bất kì trong V’ trùng với trường do các nguồn đã cho trong V tạo ra

cũng tại điểm P. Còn trường do nguồn dòng tương đương tạo ra trong miền V

bằng 0. Do đó điều kiện biên cho trường của nguồn dòng tương đương là

0HESin Sin =′=′

ττ (4.29)

Theo định lí nghiệm duy nhất, muốn để trường của nguồn đã cho và trường

của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P bất kì trong V’ trùng nhau phải có

điều kiện là:

0HH

0EE

Sout Sout

Sout Sout

≠=′

≠=′

ττ

ττ (4.30)

Nhận xét: Theo (4.29) và (4.30) nhận thấy rằng các thành phần tiếp tuyến

của Er

và Hr

của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ 0 sang khác 0

khi qua mặt S. Theo điều kiện biên tổng quát, sự biến đổi nhảy vọt của các thành

phần tiếp tuyến τ′E , τ

′H của trường trên mặt S tương đương với sự tồn tại của

dòng điện mặt IS và dòng từ mặt ISM chạy trên mặt S. Sự phụ thuộc của dòng

điện mặt và dòng từ mặt vào Er

và Hr

như sau:

q1 •

0nr

V

V’

q2 •

qn •

P •

H ,Err

S

10

( )

( )Sout0SM

Sout0S

EnI

HnIrrr

rrr

×−=

×= (4.31)

Trong đó: 0nr

là vector đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S.

Áp dụng phương pháp thế điện động ta xác định được biểu thức cho các thế

chậm của vector điện và từ do các nguồn dòng tương đương SIr

và SMIr

trên S tạo

ra tại điểm P trong V’ theo (2.61), (2.62) và (4.31) ta có:

( )

( )∫∫

∫∫−−••

−•

•

′×π

εε−=

π

εε=

′×π

µµ=

π

µµ=

S

ikr

out00

S

ikr

SM0

M

S

ikr

out00

S

S0E

dSr

eEn

4dS

r

eI

4A

dSr

eHn

4dS

r

I

4A

rrrr

rrr

r

(4.32)

Nhận xét:

- Trong (4.32) các tham số điện từ ε, µ và số sóng k phải tính đối với môi

trường ngoài miền V’.

- Các biểu thức (4.31) và (4.32) là biểu thức của nguyên lí dòng tương

đương của trường điện từ. Nguyên lí này ứng dụng để giải các bài toán nhiễu xạ

sóng điện từ rất tiện lợi.

- Trường nhiễu xạ được tính dựa trên các biểu thức của nguyên lí H-K và

nguyên lí dòng tương đương có chính xác hay không tuỳ thuộc vào giá trị của

nguồn thứ cấp nguyên tố hay nguồn dòng tương đương phân bố trên bề mặt S.

Nói chung chỉ có thể giải gần đúng bài toán nhiễu xạ sóng điện từ.

4.5. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ trên màn chắn phẳng rộng vô hạn

Giả sử có sóng phẳng truyền theo phương của trục z đi tới vuông góc với

một lỗ trên mặt phẳng dẫn điện lí tưởng rộng vô hạn, xác định trường nhiễu xạ

của sóng phẳng qua lỗ tại vùng bên kia của màn chắn trong môi trường đồng

nhất đẳng hướng.

10

Chọn hệ toạ độ Decac với trục z trùng với phương truyền của sóng tới, mặt

phẳng màn chắn trùng với mặt xOy và tEr

của sóng tới hướng theo trục x. Biểu

thức của cường độ trường sóng tới có dạng:

ikzmtmt

ikzmtcmtmt

eHjH

eHziEiE

−•

−••

=

==rr

rrr

(4.33)

Chia màn chắn phẳng ra làm 2 phần là phần lỗ S0 và phần mặt kim loại S1.

Áp dụng nguyên lí dòng tương đương để tính trường nhiễu xạ qua lỗ S0, tức là

phải xác định các dòng điện và dòng từ mặt chạy trên S0 và S1. Một cách gần

đúng xem màn chắn S trùng với mặt sóng của sóng tới. Khi đó trên lỗ S0 cường

độ các vector Er

và Hr

của nguồn dòng tương đương được xem bằng cường độ

trường của sóng tới cũng tại mặt lỗ này (z = 0) nên:

mtSout

mtcmtSout

HjH

HziEiE

0

0

•

τ

••

τ

=′

==′

rr

rrr

(4.34)

Còn trên phần S1 của màn chắn dẫn điện lí tưởng (σ → ∞) về phía bên kia

của sóng tới thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường nguồn dòng

tương đương bằng 0.

tHr

tEr

tΠr

S

S0

O

y

x

z

S1

10

0H

0E

1

1

Sout

Sout

=′

=′

τ

τ

r

r

(4.35)

Chọn 0nr

≡ Oz và áp dụng các biểu thức (4.32) của nguyên lí dòng tương

đương ta được các thế chậm của trường nhiễu xạ ở nửa không gian z > 0 qua lỗ

trên màn chắn như sau:

∫∫

∫∫

−•

−••

−•−••

π

εε−=

×

π

εε−=

π

µµ−=

×

π

µµ=

S

ikrmtc0

S

ikr

mtc0

Mm

S

ikr

mt0

S

ikr

mt0

Em

dSr

e

4

HzjdS

r

eHzik

4A

dSr

eH

4idS

r

eHjk

4A

00

rrrr

rrrr

(4.36)

Trong đó: ( ) ( ) 222 zyyxxr +′−+′−= là khoảng cách từ điểm tính trường

P(x, y, z) tới một điểm bất kì trên lỗ S0 có toạ độ (x’, y’, 0).

Gọi khoảng cách từ tâm O của lỗ S0 đến điểm tính trường P là R, ta có:

( ) 222 yxyy'xx2Rr ′+′+′+−= với 2222 zyxR ++=

Trong trường hợp xét trường nhiễu xạ ở vùng xa, tức là khoảng cách r, R

lớn hơn nhiều so với bước sóng λ và kích thước lỗ S0 tương ứng với điều kiện

y,xR

R

′′>>

λ>> (4.37)

và

( )yyxxR

1Rr

R

1

r

1

′+′−≈

≈

(4.38)

Áp dụng (4.38) tích phân theo mặt lỗ S0 trong các biểu thức của thế chậm

(4.36) có dạng:

∫∫′+′−−

==φ00 S

R

yyxxik

S

ikRikr

dSeR

edS

r

e (4.39)

Nhận xét: nếu tích phân (4.39) xác định được thì trường điện từ nhiễu xạ

qua lỗ S0 sẽ là

10

MmMm

00

Em

0

m

Mm

0

EmEm

00

m

AiA.i

1A

1H

A1

AiA.i

1E

••••

••••

ω−

∇∇

µµωεε+

×∇

µµ=

×∇

εε−ω−

∇∇

µµωεε=

rrrr

rrrr

(4.40)

Xét trường hợp lỗ S0 có dạng chữ nhật kích thước a, b trên màn chắn phẳng

rộng vô hạn dẫn điện lí tưởng. Đối với trường nhiễu xạ ở vùng xa trong trường

hợp này điều kiện (4.37) viết lại:

R >> a, b >> λ (4.41)

Tích phân (4.39) đối với lỗ dạng chữ nhật có dạng là:

yR2

kb

yR2

kbsin

xR2

ka

xR2

kasin

R

eab

eiky

Re

ikx

R

R

eydxde

R

e

ikR

2/b

2/b

R

ykyi

2/a

2/a

R

xkxi

ikR2/a

2/a

2/b

2/b

R

yyxxik

ikR

=

==′′=φ

−

−

′

−

′−

− −

′+′−

∫ ∫

(4.42)

Các thế chậm vector điện và từ có dạng

M

mt0mt0Mm

Emt0

mt0

Em

4

HZ

4

HZjA

H4

H4

iA

φπ

εε−=φ

π

εε−=

φπ

µµ−=φ

π

µµ−=

•••

•••

rrr

rrr

(4.43)

Trong đó:

φ=φφ=φ j ,i ME

rrrr (4.44)

Chuyển sang hệ toạ độ cầu ta có:

ϕϕ−ϕθθ+ϕθ=

ϕϕ−ϕθθ+ϕθ=

ϕθ=

ϕθ=

cossincossinsinrj

sincoscoscossinri

sinsinry

cossinrx

000

000

rrrr

rrrr (4.45)

Khi đó:

10

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

=φ−

sinsinR2

kb

sinsinR2

kbsin

cossinR2

ka

cossinR2

kasin

R

eab

ikR

(4.46)

Nhận xét: vì hàm φ chứa thừa số dạng R

e ikR−

nên từ các biểu thức (4.40),

(4.43), (4.44) và (4.46) cho thấy trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật ở vùng xa có

dạng sóng cầu. Khi bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao so với r

1 và đối với trường ở

vùng xa (r → ∞) thì các biểu thức (4.43), (4.44) và (4.46) biểu diễn theo các

toán tử grad, div và rot trong hệ toạ độ cầu ta có:

( )( )θϕ φϕ−φθ=φ×∇

φ−=φ∇∇

M,E0M,E0M,E

Mr,E2

0M,E

ik

kr.rrrrr

rrr

(4.47)

Trong đó: Mr,Eφr

, ϕφ M,E

r và θφ M,E

r là các thành phần của các vector Eφ

r và

Mφr

theo phương bán kính, kinh tuyến và vĩ tuyến trong hệ toạ độ cầu.

Trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật ở vùng xa theo (4.40), (4.43), (4.44), (4.46) và

(4.47) như sau:

( )( )

( )( )ϕϕ−ϕθθ+φπ

=

ϕϕ−ϕθθ+φπ

=

•

•

cossincos14

HikH

sincoscos14

HzikE

00mt

m

00mtc

m

rrr

rrr

(4.48)

Từ biểu thức (4.48) chúng ta thấy rằng trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có

tính định hướng trong không gian theo các toạ độ θ và ϕ.

x

y

S0

a b

0 z

x

y

ϕ

θ

r M

10

Giản đồ hướng của trường nhiễu xạ: ở vùng xa và kích thước lỗ lớn hơn

nhiều so với bước sóng thì hàm φ biến đổi nhanh hơn hàm cosθ nên một cách

gần đúng giản đồ hướng của trường được xác định chủ yếu qua hàm φ. Xác định

hàm đặc trưng hướng của trường tại 2 mặt phẳng đặc biệt:

- Tại mặt phẳng ϕ = 0 (mặt phẳng E) giản đồ hướng có dạng

( )θ

θ

=θ

sin2

ka

sin2

kasin

FE (4.49)

- Tại mặt phẳng ϕ = 2

π(mặt phẳng H) giản đồ hướng có dạng

( )θ

θ

=θ

sin2

kb

sin2

kbsin

FH (4.50)

Nhận xét: Vì giản đồ hướng FE(θ) và FH(θ) có dạng hoàn toàn giống nhau

nên chỉ cần vẽ đồ thị cho FE(θ) hoặc FH(θ). Đồ thị của giản đồ hướng dạng FH(θ)

được vẽ trong hệ toạ độ Decac và hệ toạ độ cực như hình vẽ

Từ giản đồ hướng trên cho thấy rằng trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có 1

búp sóng chính và nhiều búp phụ nhỏ khác. Điều này có thể giải thích bằng sự

2θ*

θ

0

F(θ)

2

sinkb θ

π

10

giao thoa của sóng bức xạ từ các diện tích nguyên tố trên mặt S0. Độ rộng của

búp sóng chính là góc 2θ* được xác định từ điều kiện:

02

sinkbsin =

θ∗

(4.51)

Nếu lấy không điểm đầu tiên ta có:

π=θ∗

2

sinkb (4.52)

Với góc θ* nhỏ thì θ* ≈ sinθ* và độ rộng của búp sóng chính là

b

2sin22

λ=θ≈θ ∗∗ (4.53)

Nếu kích thước lỗ b tăng so với bước sóng λ hoặc khi λ → 0 thì búp sóng

chính sẽ hẹp lại thành một tia giống như trong quang hình.

10

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, NXB Giáo Dục,

2006

2. Tôn Thất Bảo Đạt, Dương Hiển Thuận, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN

TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông,

2007

3. Ngô Nhật Ảnh, Trương Trọng Tuấn Mỹ, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, NXB Đại

học Quốc gia TPHCM, 1995

4. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, NXB

Giáo Dục, 1978

5. Bo Thidé, ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY, Uppsala University

Press, 2000

6. Landau L.D., Lifshitz E.M., THE CLASSICAL THEORY OF FIELDS,

Pergamon Press, 1975

7. Low F.E., CLASSICAL FIELD THEORY, John Wiley & Sons, Inc.,

1997