**Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado*.*.

*..*..SON LAS QUE TIENEN LA INCOGNITA SON LAS QUE TIENEN LA INCOGNITA AL CUADRADO Y TODAS TIENEN TRES AL CUADRADO Y TODAS TIENEN TRES TERMINOS UNO CUADRÁTICO, OTRO TERMINOS UNO CUADRÁTICO, OTRO

CONSTANTE Y OTRO LINEAL..CONSTANTE Y OTRO LINEAL..*..*..ESTAS SE RESUELVEN POR ESTAS SE RESUELVEN POR FACTORIZACION, CUADRADOS FACTORIZACION, CUADRADOS

PERFECTOS , TERMINO LINEAL Y PERFECTOS , TERMINO LINEAL Y CONSTANTE ..*CONSTANTE ..*

*-.Ecuaciones.-**-.Ecuaciones.-*

Este método consiste en factorizar la Este método consiste en factorizar la ecuación de segundo grado ecuación de segundo grado

1). x1). x²+4x+4=0²+4x+4=0 (x+2) (x+2) =0(x+2) (x+2) =0 x+2 = 0 x+2=0x+2 = 0 x+2=0 x1= -2 x2=-2x1= -2 x2=-2

Se despeja el término independienteSe despeja el término independiente xx²+6x=7²+6x=7 Se completa el trinomio cuadrado Se completa el trinomio cuadrado

perfectoperfecto xx²+6x+(3)²=7+(3)²²+6x+(3)²=7+(3)² x²+6x+9=16x²+6x+9=16Se factorizaSe factoriza

(x+3)(x+3)²=16²=16Se saca la raíz cuadrada de la Se saca la raíz cuadrada de la

ecuaciónecuación X+3=X+3=± 16± 16

Se despeja la incógnitaSe despeja la incógnita

xx¹=-3+4¹=-3+4

x¹=1x¹=1

x²=-3-4x²=-3-4

x²=-7x²=-7

**..[[....FFiiiiiinn....]]..** *…*…

xx²+4x=285²+4x=285

X=15 x= 19X=15 x= 19 X=14 x=19X=14 x=19

X=15 x= -19X=15 x= -19X=-15 x=19

Respuesta IncorrectaRespuesta Incorrecta

TRATA DE NUEVOTRATA DE NUEVO

xx²+12x+35=0²+12x+35=0

X=1 x=2X=1 x=2

X=2 x=1X=2 x=1 X=-1 x=2X=-1 x=2

X=1 x=-2X=1 x=-2

Respuesta Incorrecta

TRATA DE NUEVOTRATA DE NUEVO

xx² =81² =81

X=9 x=-9X=9 x=-9

X=9 x=9X=9 x=9 X=-9 x=9X=-9 x=9

X=-8 x=-9X=-8 x=-9

Respuesta Incorrecta

TRATA DE NUEVOTRATA DE NUEVO

X -3x+2=0X -3x+2=0

X=0 x=-5X=0 x=-5

X=1 x=2X=1 x=2 X=1 x=-2X=1 x=-2

X=-1 x=2X=-1 x=2

Respuesta Incorrecta

TRATA DE NUEVOTRATA DE NUEVO

X =7xX =7x

X=7X=7

X=-7 x=1X=-7 x=1 X=7 x=1X=7 x=1

X=-7

Respuesta Incorrecta

TRATA DE NUEVOTRATA DE NUEVO

Utilizar estrategias como la estimación, Utilizar estrategias como la estimación, elaboración de gráficas, entre otras que elaboración de gráficas, entre otras que permitan al alumno resolver problemas permitan al alumno resolver problemas que conduzcan al planteamiento de que conduzcan al planteamiento de ecuaciones cuadráticas y así dominar los ecuaciones cuadráticas y así dominar los procedimientos algebraicos de soluciónprocedimientos algebraicos de solución

La ecuación La ecuación 3x3x22 + 9x = 0 + 9x = 0 se se resuelve de la siguiente resuelve de la siguiente manera:manera:Se saca Se saca xx como factor común: como factor común: x (3x + 9) = 0x (3x + 9) = 0

(A)FACTORIZACION

(B) MIXTA

(C) 256

(D) DIVICION

g) X(4 – x ) + 5x =x2 + 3x

f) x2 –51x = 0

e) 2x2 -3x = 0

d) -6x2 + 12x =0

c) -8x2 – 16x = 0

b) x2 + 34x = 0

a) 4x2 - 12x = 0

Las ecuaciones mixtas. Se le conoce así a este tipo de ecuaciones donde a = 0. Ejemplo ax2+bx+ = 0

Este tipo de ecuación consta de un termino cuadrático y uno lineal

•FACTORIZACION

•RAIZ CUADRADA O DESPEJE

• FORMULA GENERAL

• COMPLETANDO CUADRADOS

(A)4x2-12x=0 (C) –8x2-16x=0

(E) x2+ 34x= 0 (D) –6x2+ 12x=0

Caso 1.-Caso 1.- Para resolver la ecuación Para resolver la ecuación -3x-3x22 + 8 = 2(x + 8 = 2(x22 + 4) + 4),, se debe se debe transformar a la forma axtransformar a la forma ax22 + c = 0. + c = 0.

Caso 2.-Caso 2.- Para resolver la ecuación Para resolver la ecuación -5x-5x22 – 20 = 0 – 20 = 0, se usa el procedimiento , se usa el procedimiento anterior.anterior.

Como no se puede obtener la raíz Como no se puede obtener la raíz cuadrada de un número negativo para cuadrada de un número negativo para obtener un número real, se dice que la obtener un número real, se dice que la ecuación -5xecuación -5x22 – 20 = 0 no tiene – 20 = 0 no tiene soluciones reales.soluciones reales.

Caso 3.-Caso 3.- Si la ecuación es Si la ecuación es -3x-3x22 + 108 = 0 + 108 = 0, , se buscan las solucionesse buscan las soluciones..

En este caso se obtienen dos soluciones, En este caso se obtienen dos soluciones, que también reciben el nombre deque también reciben el nombre de raíces raíces de la ecuaciónde la ecuación..

JORGE BALBOA GARCIA No 5

TEMA ECUACIONES TEMA ECUACIONES INCOMPLETASINCOMPLETASSON ECUACIONES DE SEGUNDO SON ECUACIONES DE SEGUNDO

GRAQUELLOS EN LOS QUE LAS QUE LA GRAQUELLOS EN LOS QUE LAS QUE LA INCOGNITA APARECE AL MENOS UNA VEZ INCOGNITA APARECE AL MENOS UNA VEZ

ELEVADA AL CUADRADOELEVADA AL CUADRADO(x2)(x2)

PRESENTACIONPRESENTACION

EN ESTAS ECUACIONES EN ESTAS ECUACIONES CONOCEREMOS COMO SE CONOCEREMOS COMO SE

RESUELVEN LAS ECUACIONES RESUELVEN LAS ECUACIONES INCOMPLETASINCOMPLETAS

Posemos al primer miembro de Posemos al primer miembro de laecuacion todos los terminos de la forma laecuacion todos los terminos de la forma que en el segundo miembro quede a que en el segundo miembro quede a cero.obtenemos a 3x2-4xcero.obtenemos a 3x2-4x+1=0,que es la +1=0,que es la forma en que deberemos de expresar forma en que deberemos de expresar todas las ecuacionesde segundo grado todas las ecuacionesde segundo grado para resolvelas.para resolvelas.

En muchas cosas,una vez conseguida En muchas cosas,una vez conseguida esta la ecuacion, se puede simplificar,lo esta la ecuacion, se puede simplificar,lo cual es muy conveniente por ejemplocual es muy conveniente por ejemplo::

Ejercicio 1Ejercicio 1:expresar en la forma mas :expresar en la forma mas simple y simplificada posible,la simple y simplificada posible,la ecuacion:3x2-3x/2=x/2-x+2x2.ecuacion:3x2-3x/2=x/2-x+2x2.

Primer haremos de denominador comun Primer haremos de denominador comun para eliminar los denominadores para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos aexistentes. Llegaremos a:6x2-3x=x-:6x2-3x=x-2x+4+2x22x+4+2x2

Expresando todos los terminos enel Expresando todos los terminos enel primer miembro 4x2primer miembro 4x2-2-4=0 y -2-4=0 y simplificando(dividiendo todo por 2):2x2-x-simplificando(dividiendo todo por 2):2x2-x-2=0 2=0

11)se identifica los coeficientes a y c…2)se )se identifica los coeficientes a y c…2)se reemplaza la forma y se efectua las reemplaza la forma y se efectua las operaciones indicadas . Para resolver este tipo operaciones indicadas . Para resolver este tipo de ecuacciones se puede factorizar mediante de ecuacciones se puede factorizar mediante una diferncia de cuadros despejados la una diferncia de cuadros despejados la incognita y sacando la raiz cuadrada .ejemplo:incognita y sacando la raiz cuadrada .ejemplo:

9x2-81=0 (3x+9)=09x2-81=0 (3x+9)=0 (3x=-9)=0 3x=-9 (3x=-9)=0 3x=-9 3x=9 x=-33x=9 x=-3 x=3x=3

Resuelve lo siguientesResuelve lo siguientes

11)x2+9=0 6)3x2-81=0)x2+9=0 6)3x2-81=0 7)x2+92=07)x2+92=0 2)x2-16=02)x2-16=0

3)5x2+25=0 8)17x2+64=03)5x2+25=0 8)17x2+64=0

4)3x2+169=0 9)10x2-56=04)3x2+169=0 9)10x2-56=0

5)16x2-54=0 10)25x2-49=455)16x2-54=0 10)25x2-49=45

Utilizar estrategias como la estimación, Utilizar estrategias como la estimación, elaboración de gráficas, entre otras que elaboración de gráficas, entre otras que permitan al alumno resolver problemas permitan al alumno resolver problemas que conduzcan al planteamiento de que conduzcan al planteamiento de ecuaciones cuadráticas y así dominar los ecuaciones cuadráticas y así dominar los procedimientos algebraicos de soluciónprocedimientos algebraicos de solución

Es un tipo de ecuación Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable particular en la cual la variable o incógnita está elevada al o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de cuadrado, es decir, es de segundo gradosegundo grado

Ax2 + c = 0 . Este tipo de ecuaciones se les nombra “ECUACIONES PURAS”, estas ecuaciones constan de un termino cuadrático y un termino constante

ESTAS ECUACIONES SE CLASIFICAN DE LA SUIGUIENTE MANERA.

PURAS, COMPLETAS, MIXTAS

Ax2 + bx + c = 0 . Este tipo de ecuaciones lo regularmente se le conoce como “Ecuaciones completas”, estas ecuaciones constan de un termino constante, cuadrático , y lineal.

A este otro tipo de ecuaciones se le conoce como “Ecuaciones Mixtas”, este tipo de ecuaciones consta de un termino cuadrático y lineal.

Ejemplo: ax2+bx=0

•Por Factorizacion.

•Por raíz cuadrada o despeje

•Por formula general

•Completando cuadrados

(A)456

(B) 56

(C) 89

(D) 2

e) ( x-1) (x-2)

d) 3x (x-4) = 0

c) (x- 3)2 = 0

b) (x-1)(x+1)

a) X (x – 3) = 0

nosiEcuaciones 2º grado

(A)45

(B) constante lineal y cuadrática

(C) ax2+45=0

(D) 568

q) 49x2 – 112 + 64 = 0l) 49x2 – 64 = 0f) X2 – 17x + 70 = 0

p) 4x2 – 12x = 0k) X2 – 3x – 40 = 0e) 2x2 – 6x + 3 = 0

o) 3x2 – 75 = 0j)16x2 + 48x + 36 = 0d) x2 + 27 = 0

ñ) x2 + 34x = 0i) 64x2 – 9 = 0c) x2 + 5 = 0

n) 16x2 + 56 x = 0h) x2 – 36 =0b) x2 + 5x =0

m) x2 + 12x +1 = 0g) 36x2 – 36x + 9 = 0a) x2 – 81 =0

ELABORADO POR

ECUACIONES MIXTASECUACIONES MIXTAS

¿Define una ecuación de la forma ax2 ¿Define una ecuación de la forma ax2 + bx = 0 ?+ bx = 0 ?

R=Ecuacion mixta.R=Ecuacion mixta.

¿Cuál es el método para su solución?¿Cuál es el método para su solución?

R=La factorizacion.R=La factorizacion.

¿factoriza cada uno de los siguientes ¿factoriza cada uno de los siguientes ejercicios de ecuaciones completas?ejercicios de ecuaciones completas?

A)A) 4x2 -12x = 04x2 -12x = 04x(x-3)=04x(x-3)=0

4x=0 x-3=04x=0 x-3=0x=-4 x=3x=-4 x=3b)x2+34x=0b)x2+34x=0

x(x+34)=0 x(x+34)=0 x=0 x+34=0x=0 x+34=0x=0 x=-34x=0 x=-34

c)-8x2-16x=0c)-8x2-16x=0-8x(x-2)=0 -8x(x-2)=0

-8x=0 x-2=0-8x=0 x-2=0x=8 x=-34x=8 x=-34

d)-6x2+12x=0d)-6x2+12x=0-6x(x+2)=0-6x(x+2)=0

-6x=0 x+2=0-6x=0 x+2=0x=6 x=-2x=6 x=-2

e)2x2-3x=0e)2x2-3x=02x(x-1.5)=02x(x-1.5)=0

2x=0 x-1.5=02x=0 x-1.5=0x=-2 x=1.5x=-2 x=1.5f)x2-51x=0f)x2-51x=0x(x-51)=0x(x-51)=0

x=0 x-51=0x=0 x-51=0x=-0 x=51x=-0 x=51

g)x(4-x)+5x=x2+3xg)x(4-x)+5x=x2+3x