GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Paralelismo entre Rectas e Planos

© antónio de campos, 2009

O paralelismo entre uma recta e um plano é semelhante ao paralelismo entre rectas.

Uma recta é paralela a um plano se não estiver contida nesse plano e for paralela a uma recta desse plano.

Recta paralela a um planoO seguinte plano oblíquo α é paralelo a uma recta r, que passa pelo ponto P. A projecção horizontal da recta r faz 30º (a.e.) com o eixo x.

A projecção horizontal da recta, r1, passa por P1, e faz com o eixo x o ângulo pretendido. Depois, uma recta s que pertence ao plano α, estabelece o paralelismo na projecção horizontal.

A projecção frontal da recta r, r2, terá que ser paralela à projecção frontal da recta s, s2. A recta r é paralela ao plano α, pois não está contida no plano α e é paralela a uma recta do plano α, a recta s.

Um plano de rampa, ρ, tem os traços horizontal e frontal com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota, respectivamente. É dado um ponto P (5; 2). Determina as projecções de uma recta r, passando pelo ponto P, sabendo que a recta r é paralela ao plano ρ e que a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º (a.d.).

x

r1

hρ

P1

P2

r2

fρ

s2

F1

F2

H2

H1

s1

Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 2 cm de abcissa e fazem, com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 45º (a.d.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta horizontal (de nível) h, paralela ao plano α e passando pelo ponto P, sabendo que as coordenadas do ponto P são (1; 4; 3)

x

y ≡ z

P2

P1

h2

h1

hα

fα

Plano paralelo a uma rectaQuando é conhecido os dados de uma recta oblíqua r, e um ponto P exterior à recta r, pretendem-se os traços de um plano α, paralelo à recta r e contendo o ponto P. O traço frontal do plano α faz, com o eixo x, um ângulo de 45º (a.d.).

Para que o plano α seja paralelo è recta r, tem que conter uma recta paralela (recta s) à recta r, aonde o ponto P se situa.

Qualquer plano que contenha a recta s será necessariamente paralelo à recta r. Assim, o traço frontal (F) e traço horizontal (H) da recta s, vêm auxiliar a definição da condição paralela entre o plano α e a recta r. O traço frontal do plano α, fα contém F e faz com o eixo x um ângulo de 45º (a.d.). O traço horizontal do plano α, hα contém H e é concorrente com fα no eixo x.

Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.d.).

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

C1

C2

r2

r1

fα

s2

s1

F1

F2

H1

H2

hα

A mesma recta r é definida pelos mesmos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado o mesmo um ponto C com as mesmas coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano de rampa ρ, paralelo à recta r e contendo o ponto C.

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

C1

C2

r2

r1

fρ

s2

s1

F1

F2

H1

H2

hρ

Rectas paralelas aos planos bissectoresPara que uma recta seja paralela ao β1,3 terá que ser paralela a uma recta do bissector. Como o bissector é um plano passante (de rampa), rectas fronto-horizontais e rectas passantes (oblíquoas ou de perfil) estão contidas no bissector β1,3. Logo, uma recta não contida no bissector, mas que seja fronto-horizontal ou passantes (oblíqua ou de perfil) é paralela ao bissector β1,3.

Pretende-se as projecções de uma recta s oblíqua passante pelo ponto M, que seja paralela ao bissector β1,3.

A recta b e uma recta oblíqua passante.

As projecções da recta s são paralelas à recta b, possibilitando ser paralela ao bissector β1,3.

Para que uma recta seja paralela ao β2,4 terá que ser paralela a uma recta do bissector. Como o bissector é um plano passante (de rampa), rectas fronto-horizontais e rectas passantes (oblíquoas ou de perfil) estão contidas no bissector β2,4. Logo, uma recta não contida no bissector, mas seja fronto-horizontal ou passantes (oblíquoa ou de perfil) é paralela ao bissector β2,4.

É dado um ponto P, não contido no β2,4. Pretendem-se as projecções de uma recta r, oblíqua, passando pelo ponto P e paralela ao β2,4.

A recta r terá de ser paralela a uma recta do β2,4, a recta a.

As projecções das rectas r e a são paralelas entre si, portanto as rectas r e s são paralelas, e a recta r é paralela ao β2,4, via a sua recta a.

Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ.

x

P1

P2

fρ

hρ

a1

a2

F1

F2

H1

H2

fα

≡ hα ≡ i1

i2

I2

I1

A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

Duas rectas h e r, são concorrentes no ponto P (3; 2). A recta h é horizontal (ou de nível) e faz com o Plano Frontal de Projecção xz um ângulo de 45º (a.d.). A recta r é paralela ao β2,4 e a sua projecção horizontal é perpendicular à projecção horizontal de h. Determina os traços do plano definido pelas suas rectas.

x

P1

P2

r1

h2

h1

r2

Porque a recta r é paralela ao β2,4, as suas projecções são paralelas entre si.

A seguir vêm os traços das duas rectas (os traços frontais F e F’, e horizontal h) para definir os traços do plano α (hα é concorrente com fα no eixo x.

F1

F2

F’1

F’2

H1

H2

fα

hα

O hα é paralelo a h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si) e contém H (o traço horizontal da recta r).

Com rectas de perfil, é necessário a utilização de rectas auxiliares, para desenhar as projecções paralelas da recta p em relação ao β1,3. A recta p’ é uma recta de perfil do β1,3.

Um ponto M não contido no β1,3. Pretendem-se as projecções de uma recta p, de perfil, paralela ao β1,3 e passando pelo ponto M.

Rebatendo o plano α, para ver os traços paralelos da recta p, de perfil, com o β2,4.

Um ponto A não contido no β2,4. Pretendem-se as projecções de uma recta p, de perfil, paralela ao β2,4 e passando pelo ponto A.

Rebatimento do plano de perfil π, juntamente com a recta de perfil p; utilizando uma recta i, de intersecção do plano π com o β2,4 e um ponto B da recta p, para obter a relação de paralelismo entre a recta de perfil p e o β2,4 .

Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas.

x

h2

h1

p1 ≡ p2

R1

R2

Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p’, contido no β1,3.

Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’ e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p, o ponto S.

p’1 ≡ p’2

A1

A2

B2

B1

r1

r2

s1

s2

S1

S2

Para determinar os traços do plano θ, recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h’, paralela a h e concorrente com a recta p em S.

h’2

h’1

F1

F2

F’1

F’2

fθ ≡ hθ

A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os traços frontais das rectas h e h’) e hθ é concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si).

Nota que os traços de θ ficam coincidentes.

Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β1 ,3, e os traços de p nos planos de projecção.