New Method Said to Solve Key Problem In Math

- NewYork Times August 8, 2002

This algorithm is beautiful It's the best result I've heard in over ten years

AKS algorithm

PRIMES Is in P

박상혁

아꿈사

: A Breakthrough for "Everyman"

AKS algorithm

• Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena of Indian Institute of Technology

• 헤드라인이 뜨기 4일 전 - 일요일, 세 명의 저자는 "PRIMES is in P" 라는 이름의 9페이지짜리 논문을 15명의 전문가에게 보냄

• 같은 날 저녁 Jaikumar Radhakrishnan 과 Vikraman Arvind 가 축하를 보내옴.

• 다트머스(dartmouth) 에서 학과장을 맡고 있던 Carl Pomerance 는 다음날인 월요일 일찍 결과를 확증하고, 그날 오후 즉흥적으로 세미나를 조직한 뒤, NewYork Times 에 알림

• 화요일, 논문을 인터넷에 공개. 누구나 볼 수 있게함.

• 목요일, NewYork Times에 개제.

• 금요일, 기존 결과에 대한 개선된 증명법이 올라옴.

Sieve of Eratosthenes

• N 이 소수인지 확인하기 위해 N과 비례하는 시간이 소요 즉, O(N)

• PRIMES 에서 '입력길이' n은 숫자의 비트수이다.

• N의 이진 비트수는 log2 𝑁 = 𝑛.

• O(N) = O(2log2 𝑁) = O(2𝑛)

• 즉 지수에 비례한다.

PRIMES is in P ?

• N이 소수인지 판단할 수 있는, 고정된 지수 𝜅 에대해 O(𝑙𝑜𝑔𝜅𝑁) 를 만족하는 '결정적' 알고리즘이 존재할 때.

Before August 2002

• '가우스' 시대에 '소인수분해'와 '소수판정' 문제가 분리됨

• 소수판정의 시작점은 '페르마의 소정리' 모든 소수 n, 이와 서로소인 임의의 숫자 a 사이에는

𝑎𝑛 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛 가 성립한다.

• 불행히도 역은 성립하지 않음.

Probabilistic Algorithm

• 1976 Miller and Robin

• 합성수 이거나, 높은 확률로 소수

• 틀릴 확률은 4−𝜅 보다 작고, O(𝜅 𝑙𝑜𝑔2𝑁)

• PRIMES ∈ co-RP

Deterministic Algorithm

• 1983 Adleman, Pomerance, Rumely

• 수많은 이론과, 일반화된 페르마 소정리를 이용하여 완전하게 소수임을 판정함

• 2002년이 되기전 까지는 최고의 결정적 알고리즘

• 시간 복잡도는 (log 𝑛)𝑂(log log log 𝑛). (super-polynomial order)

And...

• 최근 알고리즘은 elliptic curve 나 abelian varieties of high genus 이용

• 𝜅 번 반복 후, 결정적 대답을 제공. 아니면 답이 없음

• 답을 못낼 확률은 2−𝜅

• PRIMES ∈ ZPP

Manindra Agrawal

• 1991년 IITK Computer Science and Engineering 박사학위

• 1999. "Primality and identity testing vis Chinese remaindering"

• Generalization of Fermat's Little Theorem a 와 n 이 서로 소 일때, n 이 소수이면, 그리고 소수일 때만

(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∈ 𝑥𝑛 − 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛 in ring of polynomials ℤ[𝑥]

• 소수에 대한 우아한 정의이긴 하지만 사용하기 어렵다.

Two Bachelor's Project

• (𝑥 − 𝑛)𝑛 대신에 이를 𝑥𝑟 − 1 로 나눈 나머지를 이용.

• r 이 x의 로그로 표현될 때, 이 나머지는 적당한 알고리즘으로 다항식 시간 내에 계산 가능함

• n 이 소수라면, a와 서로 소인 모든 r 과 n에 대해

𝑇𝑟,𝑎 (𝑥 − 𝑎)𝑛 ≡ 𝑥𝑛 − 𝑎 𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑟 − 1, 𝑛)

• a=1 로 고정하고 r의 요구사항을 조사함

• r≤100, n≤1010 일 때, r 과 n 이 서로 소이고,

𝑇𝑟,1 (𝑥 − 1)𝑛≡ 𝑥𝑛 − 1 𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑟 − 1, 𝑛)

이면, n은 소수이거나 𝑛2 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑟

• 소수일 경우 O(𝑙𝑜𝑔3+ℇ𝑁)

Two Bachelor's Project

• Neeraj Kayal and Nitin Saxena

• 𝑇𝑟,1 과 기존의 소수테스트의 연관성을 조사

• 리만 가설이 옳다면, 𝑇𝑟,1 은 소수성 증명을 위해

r = 2, ..., 4𝑙𝑜𝑔22𝑛 으로 제한 가능함.

• 이런 방식으로 O(𝑙𝑜𝑔6+ℇ𝑁) 인 결정적 알고리즘을 얻을 수 있다.

• 이 내용이 2002.04 "Towards a deterministic polynomial time primality test" 라는 이름으로 발표됨

Changing the Viewpoint

• 𝑇𝑟,𝑎 에서 r을 고정하고 a 가 변하게 하면?

AKS algorithm again..

• 1. Decide if n is a power of a natural number. If so, go to step 5.

• 2. Choose (q,r,s) satisfying the hypotheses of the theorem.

• 3. For a = 1, . . . , s−1 do the following: – (i) If a is a divisor of n, go to step 5.

– (ii) If (𝑥 − 𝑎)𝑛 ≢ 𝑥𝑛 − 𝑎 𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑟 − 1, 𝑛), go to step 5.

• 4. n is prime. Done.

• 5. n is composite. Done

And..

• Fermat's Last Theorem

• Sophie Germain Prime

• ...

• 𝑂 (𝑙𝑜𝑔6𝑁)

• Õ(g(n)) 은 O(g(n) logk g(n)) for some k 의 축약형

But..

• 아직 실용성은 적다

• 이론적으로는, 즉 n이 무한대로 갈때는 빠르지만,

• 실제 쓰이는 범위(512비트)의 소수 판정에는 다른 빠른 알고리즘들이 있다.

참고자료

• http://www.ams.org/notices/200305/fea-bornemann.pdf

• http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf