Lugar geométrico de las raíces (2)

M.I. Ricardo Garibay Jiménez

Noviembre 2006

(*) (*) (*)c pG G H

(*)(*) (*)

(*)

QKG H K

P=

Para la función de transferencia de Malla

Para la función de transferencia de malla cerrada (*) (*)

(*) 1 (*) (*)

Y KG

R KG H=

+

1 (*) (*) 0KG H+ =

Quedando como ecuación característica

Gc(*) Gp(*)Σ

CONTROLADORPROCESO

R(*) U(*) Y(*)

SEÑAL DECONTROL

+

-

H(*)

1 2

1 2

( )( )....( )1 0

( )( )...( )m

n

z z z z z zKz p z p z p

− − −+ =− − −

( )1 0

( )

q zKp z

+ =

( ) q(z) = 0p z K+

La ecuación característica se ordena de manera que el parámetro de interés aparezca como factor multiplicador en la forma

Lo cual se enuncia como:

O también:

n m≥

Los puntos z1 que satisfacen la ecuación característica son los polos de malla cerrada y conforman el Lugar Geométrico de las Raíces.

( )( ) 0

p zq z

K+ =

Donde q(z) y p(z) son polinomios en z, de orden m y n respectivamente y

CONDICIONES DE ANGULO Y MAGNITUD

1( ) ( )G z H z

K= −

La ecuación característica se puede escribir como:

Lo que significa que si se evalúa la función de transferencia de malla G(z)H(z) en un punto que pertenece al LGR (un polo de malla cerrada), se obtiene un valor real negativo.

Es importante recordar que un número real negativo es una cantidad compleja de la misma magnitud y ángulo de -180° o sus múltiplos impares.

Entonces la ecuación característica puede descomponerse en sus términos de ángulo y magnitud, de acuerdo con lo siguiente

( )( ) ( ) 180 2 1 , 0,1, 2,3G z H z l l∠ = ± ° + = K Condición de ángulo

Condición de magnitud1

( ) ( )G z H zK

=

Para los polos se define el ángulo o dirección del inicio del despliegue del lugar geométrico; mientras que para los ceros, se define la dirección del lugar en su parte final.

ÁNGULOS DE PARTIDA Y LLEGADA DEL LUGAR GEOMÉTRICO A RAÍCES

COMPLEJAS

En ambos casos el procedimiento de cálculo es similar y consiste en tomar un punto de prueba ubicado en la vecindad inmediata de la raíz compleja.

El ángulo del vector que va de la raíz compleja al punto de prueba, puede ser calculado restando de la suma de las contribuciones angulares de todas las otras raíces, polos y ceros, respecto al polo o cero complejo en cuestión, incluyendo los signos adecuados.

Lo anterior puede expresarse como:

a) El ángulo de partida del Lugar Geométrico desde un polo complejo se determina:

ángulos de otros polos ángulos de los ceros

b) El ángulo de llegada del Lugar Geométrico a un cero complejo se determina:

ángulos de los polos ángulos de otros ceros

180θ °= −∑ +∑

180φ °= + ∑ −∑

Ejemplo 4. La aplicación de las expresiones de ángulo de partida y de llegada se proporciona en este ejemplo, tomando el sistema de control II. En la figura 5 se muestra el desarrollo que se requiere para evaluar la aportación angular de las raíces sobre el punto de prueba , el cual se asume ubicado en el entorno cercano del polo complejo (.5 .5 )j+

1z B=

Los vectores que van desde cada una de las raíces al punto son los siguientes:

1 1 .5 <P1B= 26.56P B j °= + ⇒

2 .41 .5 <P2B= 128.66P B j °= − + ⇒

3P B = Angulo de partida que se busca

4 <P4B= 90P B j °= ⇒

1 .2 .5 <Z1B= 68.2Z B j °= + ⇒2 1.5 .5 <Z2B= 18.43Z B j °= + ⇒

3 = 180 -(<P1B + <P2B + <P4B + (<Z1B + <Z2B= P B °⇒<

180 (26.56 128.66 90 ) (68.2 18.43 ) 21.41° ° ° ° ° ° °= − + + + + =

el ángulo de partida del lugar de raíces desde el polo complejo θ .5 .5 j+

es igual a 21.41°

Debido a la simetría de la configuración de las raíces y del lugar geométrico, solamente es necesario un cálculo por cada par de polos complejos conjugados siendo el otro valor y los ángulos de llegada a ceros complejos se determinan con un procedimiento similar.

21.41°−

RAÍCES MÚLTIPLES

Teniendo polos complejos conjugados el punto donde las raíces coinciden sobre el eje real y brotan de este, se vuelven complejas conjugadas y tienden a las asintotas es conocido como Punto de Ruptura. Para encontrarlo se plantea lo siguiente:

Los puntos de raíces múltiples satisfacen la ecuación

0)()( =zHzGdz

d

El cruce del LGR con la circunferencia unitaria es fundamental en el análisis de sistemas de control digital, cuando ocurre dicho cruce para cierto valor de k el sistema se hace inestable y lo podemos determinar con el criterio de Jury.

Si el sistema es continuo el LGR se construye en el plano de Laplace y se calcula el cruce con el eje en cuyo caso se emplea el criterio de Routh.

ωj

El punto para el cual existen raíces múltiples en el lugar geométrico puede determinarse de acuerdo con la ecuación característica, dada en la expresión

oz

( ) q(z) = 0p z K+

Se pueden determinar los puntos de ruptura de acuerdo con el siguiente despeje:

( ) 1 1

( ) / ( ) ( ) H(z)

p zK

q q z p z G z=− = =

2

( ) (́ ) ( ) (́ )0

( )

dK q z p z p z q z

dz q z

−=− =

[ ] - q(z)p (́z) - p(z)q (́z) 0⇒ =

CRUCE CON LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA

El cruce del lugar de las raíces con la circunferencia unitaria es fundamental en el análisis y diseño de sistemas continuos de control, ya que hace referencia a la condición de estabilidad del sistema.

El valor de derivado del criterio Jury corresponde a una ganancia crítica respecto a estabilidad. A partir de éste y empleando la ecuación característica se determinan los puntos de cruce con la circunferencia unitaria, en donde, evidentemente, el módulo de es igual 1.

( )JuryKK

Z

0.015 ( )( ) H(z)=

(z - .9) (z - .7) (z - .5) ( )

q zG z

p z=Ejercicio

A) Hallar el o los puntos de raíces múltiples, indicando si pertenecen al lugar geométrico y si se trata de puntos de llegada o salida.

B) Los puntos de cruce con la circunferencia unitaria y la ganancia correspondiente, aplicando el criterio de Jury.

Solucion

A) Puntos de Ruptura.

( ) (́ ) - q(z)p´(z) = 0p z q z

d 1 (z - .9) (z - .7) (z - .5) = 0

dz .015⇒

3 2 2d (z - 2.1z + 1.43z - 0.315) = 3z - 4.2z + 1.43 = 0

dz

01 = 0.81547z

02 = 0.5845z0 0 0

0 0 0

( - .9) (z .7)( .5)1

.015.015( .9)( .7)( .5)

z zK

z z z

− −= = =

− − −

Siendo La solucion al pertenecer al LGR en el eje real

(.8154 .9)(.8154 .7)(.8154 .5) ( .0846)(.1154)(.3154)

.015 .015

− − − −= = =

.0030810.205

.015

−= =

B) Cruce con la circunferencia unitaria.

Para determinarlos se recurre al criterio de Jury, el cual opera con la ecuación característica

1 + K G (z) H(z) = 0

0.015 1 + K 0

(z - .9) (z - .7) (z - .5)⇒ =

3 2 - 2.1z + 1.43z - (.315 - 0.15K) = 0z Resultan dos cruces con la circunferencia unitaria para 5.67.K =

Sustituyendo este valor en la misma ecuación característica se obtienen los puntos de cruce: 0.935 j 0.352±

Figura 3 LGR

Ejercicio usando Matlab

Sistemas discretos

Dada

numDz=[1 -0.3]; denDz=[1 -1.6 0.7]; rlocus (numDz,denDz) axis ([-1 1 -1 1]) zeta=0.4;

Wn=0.3;

zgrid (zeta,Wn)

Ejercicio usando Matlab

Sistemas continuos

num=[1 7];

den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20]));

rlocus(num,den)

axis([-22 3 -15 15])

Dada