Γραμμική Άλγεβρα 2

(Συνέχεια από προηγούμενο μάθημα)

Αποδεικνύω ότι η < , > ικανοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwartz: 2 2 2u v u v u v u v± ≤ + ⇒ + +

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1, 2 24 4

u v u v u v u v u v u v< > = + − − = + + + −

( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1 22 2

u v u v u v u v u v u v= + − − ≤ + + − − =

Έδειξα ότι ,u v u v< > ≤

Για a∈ ( )r∈ θέλω να δείξω ότι , ,cu v c u v< >= < > Αρκεί να δείξω ότι

, , , , , ,

( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,

, ( )

2

c u v cu v c u v r u v r u v cu v

c r u v c r u v c r u v c r u v

c r u v c r u r c r u v c r u v

c r u v

< > − < > = < > + < > − < > − < > =

= − < > − < − > ≤ − < > + < − > =

= − < > + − ⋅ ≤ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅

Είναι 2, ,u v σταθ

Για r c→ έχω αρχική ποσότητα = 0

Επαλήθευση: Η δοθείσα στάθμη προέρχεται από το εσωτερικό γινόμενο 2,u u u< >=

Έστω cV και έστω ότι [ ], εσωτερικό γινόμενο πραγματικό στο χώρο V όταν αυτός θεωρηθεί δ.χ. επί του

, με [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈

Έστω , η μιγαδικών τιμών συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: [ ] [ ], , , , ,x y x y i x iy x y V= + ∀ ∈

Αποδείξτε ότι , είναι ένα ερμιτιανό γινόμενο στο V

Παρένθεση:

cV , { }1 2 3 4, , ,B u u u u= βάση του V και K =

dim 4V B= =

Αν Vω∈ τότε υπάρχουν 1 2 3 4, , ,C C C C ∈ τ.ώ. 1 1 2 2 3 3 4 4w C u C u C u C u= + + +

Αν C iλ λ λα β= + τότε ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4w i u i u i u i uα β α β α β α β= + + + + + + +

1 1 4 4 1 1 4 4.... ( ) .... ( )u u iu iuα α β β= + + + + +

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πράγματι,

α) Θδό: , ,x y y x=

[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= +

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , , ,y x y x i y ix y x y x i y ix y x x y i y ix= + ⇒ = − ⇒ = −

Αρκεί νδό [ ] [ ], ,i y ix i y ix= −

Όμως [ ] [ ]0 , ,x y ix iy x ix= + + = [ ] [ ], ,x iy y iy+ +

β) Θδο: , ,x ay a x y= [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , ,x ay ay x ay x i ay ix a y x i y ix a y x a x y= = + = + = =

γ) Θδο: , , ,x y z x y x z+ = +

Αποδεικνύω την προηγούμενη πρόταση και για τη μιγαδική περίπτωση, δηλ. αν V

εφοδιασμένος με

στάθμη που ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου υπάρχει εσωτερικό γινόμενο που την ικανοποιεί.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την πραγματική περίπτωση, μπορώ να προσδιορίσω εσωτερικό γινόμενο πραγματικό [ ], που προκύπτει από τη δοθείσα στάθμη.

Σε μια δεύτερη φάση, αποδεικνύοντας ότι το [ ], ικανοποιεί την [ ], 0x ix = προσδιορίζω το

[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= + από το οποίο η αρχική στάθμη δινόταν [ ] ( )2 21,4

x y x y x y= + − −

Θα δείξω για αυτό το εσωτερικό γινόμενο την ιδιότητα: [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈

Όμως [ ] ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1, 2 04 4 2

x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix= + − − = + − − − − = + − − =

(ισχύει από κανόνα παραλληλογράμμου)