бройни системи

БРОЙНИ СИСТЕМИ

Броенето се е появило тогава, когато на човека му е било необходимо да информира себеподобните за количеството на откритите от него предмети.

Отначало хората просто различавали един предмет от няколко. Ако предметът не бил един, то казвали «много».

Първите понятия в математиката били «по-малко», «повече» и «също толкова». Ако едно племе разменяло хванатите риби за направените от хората на друго племе каменни ножове, не било нужно да се брои, колкото риби донесеш, толкова ножа ще вземеш. Достатъчно било да се подредят до всяка риба по нож, за да може да се извърши обмен между племената.

Най-простите инструменти за броене били пръстите на ръцете на човека

С тяхна помощ можело да се брои до 5, а ако се вземат и двете ръце то даже и до 10.

Една от тези системи за броене впоследствие станала общоупотребявана - десетичната.

В древни времена хората ходили боси. Затова те могли да използват за броене пръстите както на ръцете, така и на краката. Така те можели, да броят даже до двадесет.

С помоща на тези «босоноги машини» хората можели да достигат и значително големи числа, 1 човек – това е 20,2 човека – това е два пъти по 20 и т.н.

И днес съществуват в Полинезия племена, които за броене използват 20-ична бройна система

Да се запомнят големи числа било трудно, затова към «бройните машини» ръце и крака добавяли механически приспособления.

Начините за броене които съществуват са много : На различни места се използвали различин способи за предаване на числена информация .

Например, перуанците употребявали за запомняне на числа разноцветни връзки със завързани на тях възли.

=

За запомняне на числа се използвали камъчета, зърна, раковини и т.н.

С операциите събиране и изваждане хората имали работа дълго време, докато числата получили имена. Когато няколко групи събирачи на корени или риболовци складирали на едно място своя улов, те извършвали операцията събиране.

С операцията умножение хората се запознали, когато започнали да сеят жито и видели, че събраната реколта е няколко пъти повече от количеството на посетите семена.

Когато добито месо от животни или събраните орехи се разделяли поравно между всички се извършвала операцията делене.

Потребността от записване на числата се появила много отдавна, още когато хората се научили да броят.

Количеството предмети се изобразявало с нанасянето на чертички или засечки на някаква твърда повърхност : камък, глина и т.н.

=

Хората рисували резки на стените или събирали кости от животни и клечки от клоните на дърветата.

Археолозите намерили такива "записки" при разкопки на културни слоеве, отнасящи се към периода на палеолита (10 - 11 хил. год. пр. н. е.) .

Този способ на запис на числа се нарича единична ("пръстова”, “унарна”) система за броене. Произволно число в нея се образува от повторението на един знак - единица.

Единичния запис за такива числа бил вече труден и неудобен, затова хората започнали да търсят по - компактни способи за обозначени ена големи числа.

Появило се специално обозначение за «петица», «десетица», «стотица» и т.н.

=

Колкото повече зърно събирали хората от полето, колкото по многочислени ставали техните стада, толкова повече числа им били необходими.

Много нагледна била системата на знаци при египтяните.

Те измислили тази система преди около 5 000 год. Това е една от най-старите системи за записване на числа, известна на човечеството.

Египетска номерация

Както и повечето хора за преброяване на неголямо количество предмети Египтяните използвали пръчици, клечки, пръсти. Всяка единица се изобразявала с отделна пръчица.

По такъв начин египтяните връзвали кравите.Ако е нужно да се изобразят няколко десетици, то йероглифа се повторял нужното количество пъти. Това се отнасяло и към останалите йероглифи.

1

10

Това е мерна връвчица, с която измервали земните участъци след разлив на река Нил.

100

1000 Цветове на лотос

Египетска номерация

головастик100 000

1 000 000

10 000 000Египтяните се покланяли на бог Ра, бога на Слънцето и затова така изобразявали най-голямото свое число

Виждайки такова число, обикновения човек много ще се учуди и ще вдигне ръце към небето.

1000 Вдигнат палец - бъди внимателен

Числото 1 245 386 в древноегипетския запис ще изглежда така :

1 2 4 5 3 8 6

Как египтяните са пресмятали ?

Оказва се, че умножението и делението те извършвали по пътя на последователнотоудвояване на числата - фактически представяли числата в двоична система.

В средата на V в. пр н. е. се появява запис на числа от нов тип, така наречената азбучна номерация.

Азбучна номерация

В тази система записването на числа се извършвало с помоща на буквите от азбуката., над които се поставяли чертички: с първите девет букви обозначавали числата от 1 до 9, следващите девет - числата 10, 20, 30, ..., 90, и следващите девет - числата 100, 200, ..., 900.

По този начин, можело да се обозначи произволно число до 999.

Записа на азбучните символи можел да се направи в произволен порядък, така както числото се получава като сума от значението на отделни букви. Например, записите – са еквивалентни и означават числото 532. Но да се извършват аритметически изчисления в такава система е било доста трудно, тъй че без използването на някакви приспособления това се оказало практически невъзможно .

500 -

30 -

2 -

j 500 30 2

2 500 30

500 2 30

Древногръцка номерация

90 900

Тази форма на запис на числата получила голямо разпространение поради това, че имала пълно сходство с гръцкия запис на числа. Ако погледнем внимателно, то ще видим, че след "а" идва буква "в", а не "б" както следва по славянската азбука, то се използват само буквите, които ги има и в гръцката азбука.

Азбучната система била приета и в Древна Русия.

Славянско кирилическа номерация

За да могат да се различават букви и цифри, над числата се поставял особен знак — тилда ( ~ ).

До XVII век тази форма на запис на числа била официална за територията на Русия, Белорусия, Украйна, България, Унгария, Сърбия и Хърватия. И до днес в православните църковни книги се използва тази номерация.

Така можело да бъдат записвани числата до 999. За по-големи числа се използвал знак хиляда , който се поставял пред символа, обозначаващ числото .

Римска номерацияТази номерация е възникнала в древния Рим, но

се използва често и днес за номериране главите в книгите, указване на вековете, означаване числата на часовниците и много други. В нея има възлови числа: едно, пет и т. н. Останалите числа се получават по пътя на прибавяне или изваждане на едно от възловите числа.

Например, Четири се записва като IV, т. е. пет минус едно, осем — VIII (пет плюс три),четиредесет—XL (петдесет минус десет),деветдесет и шест—XCVI (сто минус десет плюс пет и плюс още едно) и т. н.

Това е най – разпространената в днешно време номерация, която се използва.Използваните днес цифри 1234567890 са се използвали в Индия около 400 г.н.е. Арабите започнали да използват подобна номерация около 800 г.н.е., а някъде около 1200 г.н.е. започнали да я прилагат и в Европа, понеже в Европа станала известна благодарение на труда на арабските математици, и затова за тази цифри се утвърдило името «арабски», макар, че самите араби и до днес използват съвсем други символи. Арабските цифри:В Русия арабската номерация започнала да се използва при Петър I (до края на XVII век се запазила и славянската номерация).

Арабска номерация

В древна Индия и Китай съществували системи за запис, построени на МУЛТИПЛИКАТИВЕН ПРИНЦИП.В тези системи за запис на еднакво число единици, десетици,стотици или хиляди се използвали едни и същи символи, но след всеки символ се пишело названието на съответстващия разряд. Ако десетиците се обозначавали със символа Д, а стотиците с - С, то

числото 325 ще изглежда така : 3С2Д5.

Индийците съединили гръците принципи на номерации със своята десетична мултипликативна система.

От арабския език е заимствана и думата "цифра" (на арабски "сифр"), означаваща буквално "празно място" .Тази дума се използвала за название на знака на празния разряд, и този смисъл се запазил до XVIII век, макар, че още в XV век се появил латинския термин "нула" (nullum - нищо). Формата на индийските цифри претърпела многообразни изменения. Тази форма, която ние днес използваме се установила в XVI век. По мнение на мароканския историк Абделкари Боунжир при арабските цифри в техния първоначален вариант било придадено значение в строго съответствие на числата с броя на ъглите, които образуват фигурите при изписване.

Система за броене (изчисления) — това е съвкупност от правила, наименования и изображения на числата с помощта на набор от символи, наречени цифри. Количеството цифри (знаци), използвани за представяне на числата се нарича

основа на бройната система .

Днес ние сме свикнали да работим с 10-ичната бройна система, в която има десет цифри.

Така и не си представяме други способи за броене.

Но до наши дни са се съхранили и следи за броене и пресмятане в шейсетична система.

И до днес ние делим часа на 60 минути, а минутата на 60 секунди. Окръжността се дели на 360, тоест 6*60 градуса, градуса - на 60 минути, а минутата - на шестдесет секунди.

в денонощието има 24 часа, а в годината 365 дни. По този начин,

• Времето (часове и минути) ние броим и отчитаме в 60-тична бройна система,

• Денонощието - в 24-тична,

• Седмицата в 7-ична,

Бройни системи

Непозиционни Позиционни

Бройни системи, в които на всяка цифра съответствува величина, не зависеща от нейното място в в записа на числото

Бройни системи, при които стойността на всяка цифра, като величина на числото зависи от нейното положение (позиция) в последователноста на цифрата, изобразяваща числото

Древногръцка, кирилическа, римска

Десетична, двоична и т.н.

Най – съвършенни се явяват позиционните бройни системи, т.е. системи за запис на числа, при които величината на всяка цифра зависи от нейното положение (позиция) в последователността от цифри, изобразяващи числото . Например, в числото 53 цифрата "5" в разряд десетици дава на числото стойност от 50 единици (5*10). Позиционните бройни системи са резултат от продължително историческо развитие на непозиционните бройни системи.

Например, числото 444 е записано с три еднакви цифри, но всяка от тях има свое значение: четири стотици, четири десетици и четири единици. То може да се запише и така :444 = 4 × 100 + 4 × 10 + 4 × 1. или 444 = 4 × 102 + 4 × 101 + 4 × 100.Не е трудно да се забележи, че ако обозначим цифрите на числата като a2, a1 и a0, то произволно тризначно число може да бъде представено във вида :N = a2 × 102 + a1 × 101 + a0 × 100.Числото 10, степените на което се използват в тази формула (и именно толко различин цифи има в десятичната система), се нарича основа на бройната система, а степените на десет - тегло на разрядите.

Осмична

Бройната система, използвана в компютъра е Двоичната бройна система и се представя с 0 и 1.

Шестнадесетична

0,1,2,3,4,5,6,7

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Официалното рождение на двоичнната аритметика се свързва с името на Г.В. Лайбниц, публикувал през 1703 г. статия, в която разглежда правилата за изпълнение на аритметически действия над двоични числа. Двоичната система е проста, тъй като за представяне на информацията в нея се използват само две състояния или две цифри.

Такова представяне на информацията е прието да

се нарича двоично кодиране. Представянето на информация в двоична система се използва от човечеството от древни времена. Така, жителите на остров Полинезия предавали необходимата информация с помощта на барабани : чрез редуване на звънки и глухи удари.

Защо хората използват десетична система, а компютрите — двоична ?

Компютрите използват двоична система понеже тя има редица предимства пред другите системи : - за нейната реализация са нужни технически устройства с две устойчиви състояния (има ток — няма ток, намагнитен — не намагнитен и т.н.), а не, например, с десет, — както при десетичната - представянето на информацията посредством само две състояния е надеждно и шумоустойчиво; - двоичната аритметика е по-проста от десетичната.

Недостатък на двоичната система — Бързо нарастване броя на разрядите, необходими за записване на числата.

Защо в компютрите се използват също и осмична и шестнадесетична бройна система ?

Двоичната система е удобна за компютрите, но за човека е неудобна поради своя непривичен запис. Преобразуването на числата от десетична система в двоична и обратно се извършва от машина. За програмистите е удобно да работят с по компактен запис.Такива системи се явяват 8- ична и 16 – ична.