ภาค ก ว ทยาทาน

ตวเตอรลกหม มหาดไทย (วาท ร.ต.พชย โคมละ)

เพอนองๆ บณฑต และ ขาราชการทตองการเปลยนสายงานทกคน

อนกรม

เปนลกษณะการวางเรยงตวเลขอยางเปนระบบ มกฎเกณฑอยางใดอยางหนงเปนชด ๆ แลวตด

ตวเลขตวใดตวหนงในระบบออกหรอตดตวถดไปแลวใหดวานาจะเปนตวเลขใดมหลายแบบเชน

1.1 ตวเลขอนกรมธรรมดา เปนอนกรมแนวเดยว

ก. ระบบเดยว ตวอยาง 2 3 5 8 ….?

แนวคด :- ตวระบบคอ +1 +2 +3 ตอไปตองเปน 8 + 4 = 12

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 4 = 12

12 + ……(5) = 17

ข. ระบบซอน เปนระบบทเขยนใหซอนกนอยางนอย 2 ระบบขนไป เชน +1 +2 +1

+3 +1 +4 หรอ +3 -1 +4 -2 +5 -3 ระบบซอนน อาจจะเปน + กบ - หรอสลบเครองหมายทาง

คณตศาสตรแบบตาง ๆ แมกระทงการยกกาลง หรอใส log กสามารถมาสรางเปนอนกรม

ได ตวอยาง 5 4 6 4 8 5 11 7 …….?

แนวคด. เปนดงน -1 +2 -2 +4 -3 +6 -4 +8

คาตอบทไดคอ 8 + 11 แบบนเปน 2 ระบบเทานน

5 - 1 = 4

4 + 2 = 6

6 - 2 = 4

4 + 4 = 8

8 - 3 = 5

5 + 6 = 11

11 - 4 = 7

7 + 8 = 15

ข. แบบเตมหลง หลกการเหมอนขอ ก. เพยงแตสรางอนกรมใหสมบรณแลวหาตวตอไปสดทาย

เทานนเอง ตวอยาง

1. 5 7 4 7 5 9 ……..? ทคาเทาไร

ก. 4 ข. 6 ค. 7 ง. 8 จ. 10

แนวคด. ระบบจะเปน 2 ระบบ คอ +2 -3 +3 -2 +4

ตอไปจาก -3 -2 เปน -1 ดงนน 9-1 = 8 คาตอบถก คอ ง. 8

5 + 2 = 7

7 - 3 = 4

4 + 3 = 7

7 - 2 = 5

5 + 4 = 9

9 - 1 = 8

1. 3 5 7 9 …….?

ก. 10 ข. 11 ค. 13 ง. 14 จ. 16

เพมขนทละ 2 คอ +2 +2 +2 ไปเรอย ๆ ดงนนถดจาก 9+2 จงเปน 11

คาตอบถก ข.

2. 3 4 6 9 ……..?

ก. 12 ข. 13 ค. 15 ง. 16 จ. 17

เพมขนไมเทากน คอ +1 +2 +3……เปน +4 ดงนน 9 + 4 = 13

คาตอบถก ข.

3. 7 8 10 11 14 15 …..?

ก. 16 ข. 17 ค. 18 ง. 19 จ. 21

ระบบบวกแบบนคอ +1 +2 +1 +3 +1 +4 ….. เรยกวาระบบบวกซอน

ตวเลขถดไป เปน 15 + 1 = 16 คาตอบถก ก.

ข. วธลบ ใชวธคลายกบวธบวก เพยงแตระบบเกดจากการลบเปนหลก ดงตวอยาง

1. 25 22 19 16 ……?

ก. 9 ข. 12 ค. 13 ง. 14 จ. 15

ระบบนคาลบเทากนตลอด คอ -3 -3 -3 ไปเปน -3

เลขถดไปจงเกดจาก 16-3 = 13 คาตอบถก ค.

2. 25 24 21 19 16 13 ……?

ก. 7 ข. 9 ค. 10 ง. 11 จ. 12

เปน -1 -3 -2 -3 -3 -3 เปนลกษณะระบบซอน

ระบบตอไปเกดจาก 13 – 3 = 10 คาตอบถก ค.

ค. วธคณ ระบบเปนผลของการคณ นนคอตวเลขเกดจากการคณ ตวอยาง

1. 3 6 12 24 …… ?

ก. 26 ข. 32 ค. 40 ง. 48 จ. 58

ระบบนใชระบบคณคงท คอ 2 คณกนตอไปเรอย ๆ

ตวสดทายเกดจาก 24 x 2 = 48 คาตอบถก ง.

2. 3 3 6 6 18 …… ?

ก. 18 ข. 24 ค. 32 ง. 54 จ. 72

ระบบนซบซอนมากขน เกดจาก x1 x2 x1 x3 เปนระบบ x1 x1

กบระบบ x2 x3 x4 ไปเรอย ๆ ดงนน 18 x 1 = 18 คาตอบถก ก.

ง. วธหาร เปนแบบเดยวกบวธคณ วธคดคอคดกลบขางกบวธคณ นนคอทาวธคณกอน

1. 100 50 10 5 ……?

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 จ. 5

เกดจากเอา 2 หาร แลวเอา 5 หารสลบกนไป คอ

หาร 2 หาร 5 หาร 2 หาร 5 ดงนน 5 หาร 5 = 1 คาตอบถก ก.

2. 120 40 20 5 5 ……?

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3 จ. 4

เปนการหาร 2 ระบบ สงเกตดจะเหนวา หาร 3 หาร 2 หาร 4 หาร 1 หาร 5

นนคอ ระบบหารดวย 3 4 5 และ 2 1 0 คาตอบถก ข.

ไดจาก 5 หาร 5 = 1

จ. วธผสม เปนวธการสรางระบบโดยอาศยวธการทางคณตศาสตร แตกตางกนออกไป เชน บวก

กบลบ บวกกบหาร บวกกบยกกาลง ลบกบคณ สามารถนามาเกยวของกนอยางนอย 2 ระบบขนไป

ตวอยาง

1. 2 5 4 8 7 ……?

ก. 10 ข. 12 ค. 13 ง. 14 จ. 16

ขอน ม 2 ระบบคอ บวกกบลบ +3 –1 +4 –1 ตอไป +5

เลขถดไปจะเปน 7 + 5 = 12 คาตอบถก ข.

2. 5 5 2 4 1 1 ……?

ก. 0 ข. 1 ค. -2 ง. -3 จ. -5

ขอน ม 2 ระบบแบบผสมคอ ยกกาลงกบการลบ นนคอยกกาลง 1 –3

ยกกาลง 2 - 3 ยกกาลง 3 -3 อยางนไปเรอย ๆ คาตอบของเลขถดไป

จงเปน 1 - 3 = -2 คาตอบถก ค.

อนกรมหลายชน

ตวเลขอนกรมหลายชน หมายถง อนกรมธรรมดา อยางนอย 2 อนกรมเกยวของกน ในอนกรม

ธรรมดายงมหลายระบบ ดงนนถาม 2 อนกรม ผตอบอาจตองคดถง 4 ระบบ จะทาใหยากขนกวาอนกรม

ธรรมดา อนกรมแบบนมอย 3 ชนด

แบบท 1 กาหนดอนกรมให 2 อนกรม แตละอนกรมม 5 ตว อนกรมหนงจะถกทกตว สวนอก

อนกรมหนงจะมตวเลขเรยงผดอยตวหนง และถาอนกรมเรยงถกทงสองอนกรมแลวจะมผลรวมเทากบ

ตวเลขทกาหนดให ดงนนอนกรมแบบนตองการใหผตอบหาตวผดนนเอง ดงตวอยาง

ก ข ค ง จ

อนกรมหนง

อนกรมสอง

1

1

2

3

3

6

4

7

5

9

ผลรวมเมออนกรมถก 40

แนวคด :

1. อนกรมหนงถก รวมกนได 15

2. อนกรมสองจะตองรวมกนได 25 จงจะถก แตอนกรมสองทกาหนดปรากฏวารวมกนได 26

เกนไป 1 ซงมทผด

3. พจารณาด 1 ถง 3 แปลวาเพม 2 , 3 ถง 6 เพม 3, 6 ถง 7 เพม 1 และ 7 ถง

9 เพม 2 แสดงวาอนกรมนตองเพมทละ 2 จงจะถก ดงนนจดทผดคอ 6 ทถกตององเปน 5

คาตอบถกจงเปน ค. ผลรวมทงหมดเทากบ 40 พอด

ก ข ค ง จ

อนกรมหนง

อนกรมสอง

5

3

6

4

6

6

5

9

7

13

ผลรวมเมออนกรมถก 62

แนวคด :

1. ขอนผลรวมทถกคอ 62 แตอนกรมหนงและสองรวมกนได 64 แสดงวาตวเลขทผดนนเกน 2

2. พจารณาอนกรมทตวเลขเรยงคาตามลาดบดกอนวาเพมขนเปนระบบหรอไม ในทนเพมขน

+1, +2, +3, +4 อนกรมสองถก

3. อนกรมหนงจะตองรวมได 27 จงจะถก ขณะนรวมกนได 29 ยงเกนไป 2 ใหดระบบความ

แตกตางของแตละชวง จะเปน +1 , +0 , -1 ,+2 เอา 2 ระบบนมาพจารณา +1 , +0 กตองเปน –1,

+1 คาตอบคอ ข.

แบบท 2 เปนแบบอนกรมทมาเขาคกน 2 อนกรม จะมตวเลข 5 ตว หรอมากกวานนกได และ

ใหมผดทงสองอนกรม คาตอบใหเอาตวเลขทผดในอนกรมมาไวเปนค ตวอยาง

อนกรมหนง 2 3 4 5 7

อนกรมสอง 1 3 5 6 9

ก . 2 , 3 ข . 3 , 5

ค. 5 , 7 ง. 7 , 6 จ. 7 , 9

แนวคด :

1. อ น ก ร ม ห น ง เ พ ม ข น ท ล ะ 1 ต ว เ ล ข ท ผ ด ค อ 7

2. อนกรมสองเพมขนทละ 2 ตวเลขทผดคอ 6 คาตอบถกจงเปน 7, 6

แบบท 3 เปนแบบกาหนดแนวโนมของอนกรมใหเปนชด ๆ แลวหาระบบการเรยงทเกยวพนกน

เพราะทกอนกรมจะเชอมโยงแนวคดใหซงกนและกน การพจารณาระบบการเรยงหรอแนวโนมของตวเลข

เปนสงสาคญมาก วธนบางโครงสรางเปนลกษณะหลายมต คอสมพนธหรอเกยวพนกนทงแนวตงและ

แนวนอน ดงตวอยาง

(1)

8 4 20

4 2 2 1 10 ?

ก. 2 ข. 4 ค. 5 ง. 6 จ. 7

แนวคด :

1. ชดแรก เกดจาก 2 คณ จาก 2 เปน 4 จาก 4 เปน 8

2. ชดท 2 เปนลกษณะ 2 คณ เชนเดยวกน เพยงแตตวเลขเปลยนไป

3. ชดท 3 ตอง 2 คณเหมอนกน คาตอบถกคอ 5

วธคดอาจจะเอา 2 หาร จากเลขหลกบนมากไดเชนกน

ห.ร.ม. ยอมาจาก ตวหารรวมมาก ………ออกสอบ กทม. ป 2542

นยาม : ห.ร.ม ของจานวนสองจานวน คอ จานวนเตมบวกทมากทสดทไปหารจานวนทงสองนนลงตว

วธหา ห.ร.ม. อาจทาไดหลายวธ ดงน

1. โดยวธแยกตวประกอบในรปผลคณของจานวนเฉพาะ

ห.ร.ม. คอ ตวประกอบทสมพนธกน

2. โดยวธตงหารสน

ห.ร.ม. คอ ผลคณของจานวนทเปนตวหารรวมทกจานวน

ตวอยาง

(1) จงหา ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 ……..ออกสอบ สปจ. ป 2542

12 = 2 x 2 x 3

18 = 2 x 3 x 3

ดงนน ห.ร.ม ของ 8 และ 12 คอ 2 x 2 x 2 x 3

ตวประกอบทมากทสดของ 12 และ 18 คอ 2 x 3 หรอ 6

(2) นนคอ ห.ร.ม ของ 12 และ 18 คอ 6

ค.ร.น. ยอมาจาก ตวคณรวมนอย ………ออกสอบ สปจ. ป 2542

นยาม : ค.ร.น ของจานวนสองจานวน คอจานวนเตมบวกทนอยทสดทจานวนทงสองนนหารลงตว

วธหา ค.ร.น อาจทาไดหลายวธ ดงน

1. โดยวธแยกตวประกอบ ในรปผลคณของจานวนเฉพาะ

ค.ร.น. คอผลคณของตวประกอบรวมกนกบตวประกอบทเหลอทกจานวน

การหา ค.ร.น.

2. โดยวธหารสน

ค.ร.น. คอผลคณของตวหารรวมทกตวกบผลหารสดทายทกตว

3. โดยวธใชสตร ผลคณของจานวนสองจานวน = ห.ร.ม. x ค.ร.น.

ค.ร.น. = ผลคณขอจานวนสองจานวน/ ห.ร.ม.

ตวคณรวมนอย ค.ร.น ……..ออกสอบ สปจ. ป 2542

(1) หา ค.ร.น. ของ 8 และ 12

8 = 2 x 2 x 2

12 = 2 x 2 x 3

(2) จงหา ค.ร.น. ของ 30 และ 42

30 = 2 x 3 x 5

42 = 2 x 3 x 7

เพราะฉะนน ค.ร.น. = 2 x 3 x 5 x 7 = 210

(3) จงหา ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ 8, 12 และ 60

8 = 2 x 2 x 2

12 = 2 x 2 x 3

60 = 2 x 2 x 3 x 5

เพราะฉะนน ห.ร.ม. = 2 x 2 = 4

ค.ร.น. = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

(4) จานวนใดทนอยทสดทหาร 6, 8 และ 12 แลวเหลอเศษ 3

แนวคด. หา ค.ร.น. ของทง 3 จานวน แลวบวกดวย 3 ดงน

ค.ร.น. 6 = 2 x 3

8 = 2 x 2 x 2

ค.ร.น. 12 = 2 x 2 x 3

และ ค.ร.น. 12 = 2 x 2 x 3

= 24

เพราะฉะนนเลขจานวนนน คอ 24 + 3 = 27 Ans.

(5) จงหาจานวนทมากทสดทหาร 162, 246 และ 282 แลวเหลอเศษ 6 เทากน

แนวคด. เอาเศษ 6 ลบออกจากสามจานวน แลวหา ห.ร.ม. ดงน

162 - 6 = 152 = 2 x 2 x 2 x 13

246 - 6 = 240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5

282 - 6 = 272 = 2 x 2 x3 x 23

เพราะฉะนน ห.ร.ม. = 2 x 2 x3 = 12

เลขจานวนนนคอ 12 Ans.

จานวนตวประกอบของจานวนนบ

ตวประกอบ ………ออกสอบ สปจ. ป 2543

(1) ตวประกอบของ 12 คอ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12

(2) ตวประกอบของ 18 = 2 x 3 x 3

(3) ตวประกอบของ 40 = 2 x 2 x 2 x 5

ผลคณของจานวนสองจานวน = ห.ร.ม x ค.ร.น.

ตวอยางแนวขอสอบ

1. 25% ของ 240 เทากบเทาไร

ก. 20 ข. 30 ค. 50 ง. 60

แนวคด.

100% = 240

25% = x 25 = 60 Ans.

2. 60% ของ 15 กบ 50 % ของ 16 ตางกนเทากบเทาไร

ก. 0 ข. 1 ค. 4 ง. 5

แนวคด.

100% = 15

60% = x 60 = 9

ทานองเดยวกน 50% ของ 16 = x 50 = 8

ตางกน = 9 – 8 = 1 Ans.

3. เหลา 1 ถง มแอลกอฮอล 60 % เอาไปผสมกบน าเปลา ถง อยากทราบวาเหลาใหมนม

แอลกอฮอลกเปอรเซนต

ก. 25 % ข. 50% ค. 75% ง. 100%

แนวคด.

เหลา 1 ถง มแอลกอฮอล = ถง

เหลา 1 ถง เอาไปผสมกบนาเปลา ถง เปนเหลาผสมใหม = 1 + = ถง

เหลา ถง มแอลกอฮอล ถง

เหลา 100 ถง มแอลกอฮอล x = 50 ถง = 50 % Ans.

4. 10% ของนกเรยนหญงเทากบ 5% ของนกเรยนชาย ถานกเรยนชายม 300 คน อยากทราบ

วานกเรยนหญงมกคน

ก. 120 ข. 130 ค. 140 ง. 150

แนวคด.

5% ของนกเรยนชาย = 300 x = 15 คน แต 10% ของนกเรยนหญง

เทากบ 5% ของนกเรยนชาย 10% ของนกเรยนหญงเทากบ 15 คน

ซงกคอ นกเรยนหญงทงหมด = 15 x = 150 คน Ans.

5. 30% ของ 1 ชวโมง เทากบกนาท

ก. 20 ข. 19 ค. 18 ง. 17

แนวคด.

30% ของ 1 ชวโมง (60 นาท) = x 60 = 18 Ans.

6. 35% ของ 40 % ของ 1200 เทากบเทาไร

ก. 178 ข. 168 ค. 158 ง. 148

แนวคด.

x = 168 Ans.

7. พอคาปดราคาสนคาไว 190 บาท เมอไมมลกคามาซอเขาจงลดราคาลง 20 % ถาเขาตองการ

ขายสนคาในราคาเดมเขาจะตองเพมอกกเปอรเซนต

ก. 25% ข. 24% ค. 15% ง. 14%

แนวคด.

ปดราคาสนคาไว 190 บาท ลดราคาลง 20 % เหลอ 190 x = 152 บาท ถาตองการ

ขายในราคาเดมเขาตองเพมเงนอก 190 - 152 = 38 บาท

152 บาท ตองเพม 38 บาท ถา 100 บาท ตองเพม = 25% Ans.

8. 5% ของเลขจานวนใดเทากบ 500

ก. 2,500 ข. 10,000 ค. 20,000 ง. 52,000

แนวคด.

5% = 500

100% = = 10,000 Ans.

9. คนหมบานหนงม 300 คน เปนผชาย 180 คน จะเปนผหญงกเปอรเซนต

ก. 10% ข. 40% ค. 20% ง. 50%

แนวคด.

คน 300 คน เปนชาย 180 คน ทเหลอเปนหญง 300 - 180 = 120 คน

จานวนคนทงหมด 300 คน เปนผหญง = 40

= 40 % Ans.

10. 30% ของ 1 ชวโมง ตางกบ 20% ของ 1 ชวโมง กนาท

ก. 6 นาท ข. 8 นาท ค. 5 นาท ง. 4 นาท

แนวคด.

30% ของ 1 ชวโมง (60 นาท) = x 60 = 18

20% ของ 1 ชวโมง (60 นาท) = x 60 = 12

30% ของ 1 ชวโมง ตางกบ 20% ของ 1 ชวโมง อย 18 – 12 = 6 นาท Ans.

สมการ (Equation) คอประโยคสญลกษณทมเครองหมายเทากบ (=) แสดงการเทากนของจานวน

ใด ๆ ตงแต 1 จานวนขนไป เชน x – 9 = 7

คาตอบของสมการ (Solution of the Equation)

จากสมการ x – 9 = 7

เรยก x ซงเปนสญลกษณทไมทราบคาวา ตวแปร (Variable)

เรยกจานวนใด ๆ ทแทนคาตวแปรในสมการแลวทาใหสมการนนเปนจรงวา คาตอบของสมการ

ดงนน ถาแทน x = 16 ในสมการ

จะได 16 – 9 = 7 ซงเปนจรง

เพราะฉะนน 16 เปนคาตอบของสมการ x – 9 = 7

คณสมบตของการเทากน (Properties of Equality)

กาหนดให a b และ c เปนจานวนใด ๆ

1. คณสมบตการบวกและลบ

1.1 ถา a = b แลว a + b = b + c

1.2 ถา a = b แลว a - c = b – c

1.3 ในทางกลบกน จะไดวา

ถา a + c = b + c หรอ a - c = b - c แลว a = b

2. คณสมบตของการคณและหาร

2.1 ถา a = b แลว a x c = b x c

2.2 ถา a = b แลว a÷c = b÷c เมอ c ไมเทากบ 0

2.3 ในทางกลบกนจะไดวา

ถา a x c = b x c หรอ a÷c = b÷c เมอ c ไมเทากบ 0 แลว a = b

3. การแกสมการ (Solving the Equation)

การแกสมการ คอการหาคาตอบของสมการนน หรอการหาคาตวแปร ซงทาใหสมการนนเปน

จรง การแกสมการ ทาได 2 วธ คอ

1. โดยการทดลองแทนคาตวแปรลงในสมการ เพอใหสมการนนเปนจรง

2. โดยการใชคณสมบตของการเทากน ในการหาคาตอบ

ตวอยางท 1 จงหาคาตอบของสมการ 2x + 1 = 5

วธทา จากสมการ 2x + 1 = 5

นา 1 มาลบทงสองขางของสมการ

จะได 2x + 1 - 1 = 5 - 1

2x = 4

นา 2 มาหารทงสองขางของสมการ

จะได 2x÷2 = 4÷2

เพราะฉะนน x = 2

ตรวจคาตอบ แทนคา x ดวย 2 ในสมการ 2x + 1 = 5

จะได 2(2)+1 = 5 เปนจรง

ดงนน 2 เปนคาตอบของสมการ 2x + 1 = 5

ตวอยางท 2 เชอกเสนหนงมความยาว 210 เซนตเมตร แบงออกเปน 2 เสน โดยให 3 เทาของ เชอกเสนยาว

เทากบ 4 เทาของเสนสน

จงหาความยาวของเชอกเสนยาว

สมมตใหเชอกเสนยาวมความยาว x เซนตเมตร

ดงนน เชอกเสนสนมความยาว 210 – x เซนตเมตร

3 เทาของเชอกเสนยาว = 3x เซนตเมตร

4 เทาของเชอกเสนสน = 4 ( 210 – x ) เซนตเมตร

แต 3 เทาของเชอกเสนยาว = 4 เทาของเชอกเสนสน

ดงนน 3x = 4 ( 210 – x )

3x = 840 – 4x

3x + 4x = 840

7x = 840

x = 840

7

= 120

ตรวจคาตอบ แทนคา x = 120 ลงในสมการ 3x = 4(210 – x)

จะได 3(120) = 4 (210 – 120)

360 = 4(90) ซงเปน

จรง

ดงนน ความยาวของเชอกเสนยาวเทายาวเทากบ 120 เซนตเมตร

ตวอยางแนวขอสอบ

อนกรมเลข

1.) 3 6 11 18 …

ก. 25 ข. 27 ค. 30 ง. 32

เฉลย ข. 27

วธคด

+3 +5 +7 +9

3 6 11 18 27

2.) 2 6 12 20 …

ก. 25 ข. 27 ค. 30 ง. 32

เฉลย ค.30

วธคด

(1²+1) (2²+2) (3²+3) (4²+4) (5²+5)

2 6 12 20 30

3.) 20 17 13 8 …

ก. 5 ข. 4 ค. 3 ง. 2

เฉลย ง. 2

วธคด

-3 -4 -5 -6

20 17 13 8 2

4.) 60 56 48 36 20 …

ก. 24 ข. 16 ค. 8 ง. 0

เฉลย ง. 0

วธคด

-4 -8 -12 -16 -20

60 56 48 36 20 0

5.) 15 1 13 2 11 3 9 …

ก. 7 ข. 6 ค. 4 ง. 3

เฉลย ค. 4

วธคด

-2 -2 -2

15 1 13 2 11 3 9 4

+1 +1 +1

6.) 2 3 5 4 5 9 6 7 13 8 9 …

ก. 10 ข. 17 ค. 21 ง. 30

เฉลย ข.17

วธคด

(2+3) (4+5) (6+7) (8+9)

2 3 5 4 5 9 6 7 13 8 9 17

7.) 1 2 2 3 4 12 5 6 30 7 … …

ก. 8, 56 ข. 7, 49 ค. 6, 42 ง. 5, 35

เฉลย ก. 8, 56

วธคด

(1×2) (2×3) (5×6) (7×8)

1 2 2 3 4 12 5 6 30 7 8 56

8.) 2 5 3 10 4 17 5 …

ก. 25 ข. 26 ค. 27 ง. 28

เฉลย ก. 8, 56

วธคด

(2²+1) (3²+1) (4²+1) (5²+1)

2 5 3 10 4 17 5 26

9.) 19 4 16 5 13 6 10 …

ก. 7 ข. 8 ค. 16 ง. 17

เฉลย ก. 7

วธคด

-3 -3 -3

19 4 16 5 13 6 10 7

+1 +1 +1

10.) 25 5 49 7 81 9 121 …

ก. 10 ข. 11 ค. 12 ง. 13

เฉลย ข. 11

วธคด

√25 √49 √81 √121

25 5 49 7 81 9 121 11

11.) 21 1 20 19 3 16 17 5 12 15 7 …

ก. 13 ข. 11 ค. 9 ง. 8

เฉลย ง. 8

วธคด

(21-1) (19-3) (17-5) (15-7)

21 1 20 19 3 16 17 5 12 15 7 8

12.) 21 1 22 19 3 22 17 5 22 15 7 22 13 … 22

ก. 11 ข. 10 ค. 9 ง. 7

เฉลย ค. 9

วธคด

(21+1) (19+3) (17+5) (15-7) (13+9)

21 1 22 19 3 22 17 5 22 15 7 22 13 9 22

13.) 1 2 2 9 3 28 4 65 5 …

ก. 120 ข. 126 ค. 130 ง.136

เฉลย ข. 126

วธคด

(1³+1) (2³+1) (3³+1) (4³+1) (5³+1)

1 2 2 9 3 28 4 65 5 126

14.) 3 4 9 8 12 12 15 16 … 20

ก. 17 ข. 18 ค. 19 ง. 20

เฉลย ข.18

วธคด

3×3 3×4 3×5 3×6

3 4 9 8 12 12 15 16 18 20

4×2 4×3 4×4 4×5

15.) 3 A 5 C 7 E 9 G … …

ก. 10 H ข. 10 I ค. 11 H ง. 11 I

เฉลย ง. 11 I

วธคด

+2 ตวอกษร +2 ตวอกษร +2 ตวอกษร +2 ตวอกษร

A 5 C 7 E 9 G 11 I

+2 +2 +2

16.) 1 14

19

116

…

ก. 120

ข. 124

ค. 125

ง.132

เฉลย ค. 125

วธคด

1 14

19

116

125

17.) 2𝑋 4𝑋2 8𝑋3 16𝑋4 …

ก. 32𝑋4 ข. 36𝑋4 ค. 32𝑋5 ง.36𝑋5

เฉลย ค. 32𝑋5

วธคด

×2X ×2X ×2X ×2X

2𝑋 4𝑋2 8𝑋3 16𝑋4 32𝑋5

18.) 3 -6 12 -24 48 …

ก. -56 ข. 56 ค. -58 ง. 58

เฉลย ก. -56

วธคด

× (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2)

3 -6 12 -24 48 -56

19.) 1000 200 50 16.67 8.34 …

ก. 4.17 ข. 4.34 ค. 8.17 ง. 8.34

เฉลย ง. 8.34

วธคด

÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1

1000 200 50 16.67 8.34 8.34

11²

12²

13²

14²

15²

20.) 1000 200 40 8 …

ก. 1.8 ข. 1.7 ค. 1.6 ง. 1.5

เฉลย ค. 1.6

วธคด

÷5 ÷5 ÷5 ÷5

1000 200 40 8 1.6

การบวกเลขหลายจานวนเรยงกน

1. จงหาผลลพธของ 1 + 2 + 3 + … + 40

ก. 815 ข. 818 ค. 820 ง. 825

เฉลย ค. 820

วธคด จากสตร ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

= 402

×(1 + 40)

= 20× 41

= 820

2. จงหาผลลพธของ 15 + 16 + 17 + … + 35

ก. 520 ข. 525 ค. 530 ง. 540

เฉลย ข. 525

วธคด จากสตร ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

โดย N = (จานวนสดทาย – จานวนแรก) +1

N = (35- 15)+1

= 20 + 1

= 21

ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

=212

× (15 + 35)

=212

× (50)

∴ ผลรวม=525

3. จงหาผลบวกของเลขคเรยงกนจาก 10 ถง 45

ก. 504 ข. 505 ค. 514 ง. 515

เฉลย ก. 504

วธคด

จากสตร ผลรวม =N2

× (จานวนแรกทเปนเลขค + จานวนสดทายทเปนเลขค)

โดย N = �จานวนสดทายทเปนเลขค− จานวนแรกทเปนเลขค

2� +1

N = �45− 112

� +1

= 342

+1

= 17 + 1

∴ N = 18

ผลรวม =N2

× (จานวนแรกทเปนเลขค + จานวนสดทายทเปนเลขค)

=182

× (11 + 45)

=9 × 56

∴ ผลรวม=504

4. เมอเลข 6 จานวนเรยงกนรวมกนได 201 จงหาจานวนท 3

ก. 32 ข. 33 ค. 34 ง. 35

เฉลย ข. 33

วธคด

คาทอยตาแหนงตรงกลาง = ผลรวม

จานวนทงหมด

= 2016

= 33.5

ตาแหนงท 1 ตาแหนงท 2 ตาแหนงท 3 ตาแหนงท 4 ตาแหนงท5 ตาแหนงท6

¦

คาทอยตาแหนงตรงกลาง

เทากบ 33.5

1 2 3 4 5 6

ดงนน เลขทง 6 จานวน คอ 31 32 33 34 35 36

เพราะฉะนน จานวนท 3 คอ 33

5. เมอเลข 5 จานวนเรยงกน รวมกนได 110 จงหาจานวนท 2

ก. 19 ข. 20 ค. 21 ง. 22

เฉลย ค. 21

วธคด

คาทอยตาแหนงตรงกลาง = ผลรวม

จานวนทงหมด

= 1105

= 22

ตาแหนงท 1ตาแหนงท 2 ตาแหนงท 3ตาแหนงท 4ตาแหนงท5

22

1 2 3 4 5

ดงนน เลขทง 5 จานวน คอ 20 21 22 23 24

เพราะฉะนน จานวนท 2 คอ 21

6. เมอเลข 4จานวนเรยงกน ถาผลบวกของเลขจานวนนอยทสดกบเลขจานวนมากทสด เทากบ 238 จง

หาเลขจานวนมากทสดคอเลขอะไร

ก. 58 ข. 59 ค. 60 ง. 61

เฉลย ง. 61

วธคด

คาทอยตาแหนงตรงกลาง = ผลรวม

จานวนทงหมด

= 2384

= 59.5

ตาแหนงท 1 ตาแหนงท 2 ตาแหนงท 3 ตาแหนงท 4

¦

คาทอยตาแหนงตรงกลาง

เทากบ 59.5

1 2 3 4

ดงนน เลขทง 4 จานวน คอ 58 59 ¦ 60 61

59.5

เพราะฉะนน เลขจานวนมากทสดคอ 61

7. ผลบวกของเลข 2 จานวนเทากบ 87 ผลตางเทากบ 43 เลขจานวนมากคอเลขอะไร

ก. 60 ข. 63 ค. 65 ง. 67

เฉลย ค. 65

วธคด

เลขจานวนนอย = ผลบวก− ผลตาง

2

= 87−432

= 442

= 22

เลขจานวนมาก = ผลบวกของเลข 2 จานวน - เลขจานวนนอย

= 87– 22

= 65

8. จงหาผลบวกของ 4 + 8 + 12 + … + 60

ก. 480 ข. 484 ค. 488 ง. 494

เฉลย ก. 480

วธคด

จากสตร ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

โดย N = (จานวนสดทาย− จานวนแรก

ระยะหางของแตละจานวน)+ 1

N =�60− 44�+ 1

=�564�+ 1

=14+ 1

∴N=15

ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

=152

× (4 + 60)

=152

× 64

∴ ผลรวม=480

9. จากลาดบ 10 15 20 … จงหาจานวนท 32 คอเลขอะไร

ก. 160 ข. 165 ค. 180 ง. 185

เฉลย ข. 165

วธคด

จากสตร จานวนสดทาย = จานวนแรก + [(N - 1) × ระยะหางของแตละจานวน]

=10+ [(32 - 1) × 5]

=10+ [31 × 5]

=10+ 155

∴จานวนสดทาย =165

10. จากลาดบ 8 16 24 … จงหาวา 120 เปนพจนทเทาใด

ก. 12 ข. 13 ค. 14 ง. 15

เฉลย ง. 15

วธคด

จากสตร จานวนสดทาย = จานวนแรก + [(N - 1) × ระยะหางของแตละจานวน]

120 = 8 + [(N - 1) × 8]

120 = 8 + [8N - 8]

120 – 8 + 8 = 8N

120 = 8N

1208

= N

∴N = 15

การนบจานวนเสาไฟฟา/เสารว และความสงของเงา

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 5 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. เสารวสนามเดกเลนแหงหนงปกหางกนตนละ 5 เมตร ระยะจากเสาตนแรกถงตนท 20จะเปน

ระยะทางกเมตร

ก. 90 เมตร ข. 95 เมตร ค. 100 เมตร ง. 110 เมตร

เฉลย ข. 95 เมตร

วธคด

จากสตร จานวนเสา = ระยะทางทงหมด

ระยะหางระหวางเสา+ 1

20 = ระยะทางทงหมด

5+ 1

20-1 = ระยะทางทงหมด

5

19 = ระยะทางทงหมด

5

19 × 5 = ระยะทางทงหมด

95 = ระยะทางทงหมด

2. ถนนสายหนงยาว 1,800 เมตร จะปกเสาไฟฟาขางถนนในแนวเดยวกน หางกนตนละ 30 เมตร

จะตองใชเสาไฟฟากตน

ก. 60 ตน ข. 61 ตน ค. 120 ตน ง. 121 ตน

เฉลย ข. 61 ตน

วธคด

จากสตร จานวนเสา = ระยะทางทงหมด

ระยะหางระหวางเสา+ 1

= 1,80030

+ 1

= 60+ 1

∴ จานวนเสา = 61

3. ตองการปกเสารวรอบสนามในแนววงกลม ระยะทางโดยรอบ 3,600 เมตร โดยปกเสารวหางกน

ตนละ 40 เมตร จะตองใชเสารวทงหมดกตน

ก. 70 ตน ข. 80 ตน ค. 90 ตน ง. 100 ตน

เฉลย ค. 90 ตน

วธคด

จากสตร จานวนเสา = ระยะทางทงหมด

ระยะหางระหวางเสา

= 3,60040

= 90

∴ จานวนเสา = 90

4. เสาไฟฟาตนหนงสง 10 เมตร ทอดเงายาว 15 เมตร ถาเสาไฟฟาสง 20เมตร จะทอดเงายาวกเมตร

ก. 300 เมตร ข. 150 เมตร ค. 45 เมตร ง. 30 เมตร

เฉลย ง. 30 เมตร

วธคด

ตนไมสง 10เมตร ทอดเงายาว 15เมตร

ตนไมสง 20เมตร ทอดเงายาว 20×1510

เมตร

= 30 เมตร

5. อาคารเรยนสง 30 เมตร ทอดเงายาว 45 เมตร ถาอาคารเรยนสง 30 เมตร กวาง 90 เมตร จะทอดเงา

ยาวเทาไหร

ก. 135 เมตร ข. 120 เมตร ค. 90 เมตร ง. 45 เมตร

เฉลย ง. 45 เมตร

วธคด

เงาของสงตางๆ มการแปรผนตรงกบความสง สวนความกวางจะคงเดม

ดงนน ตกสง 30 เมตร ทอดเงายาว 45เมตร คงเดม

การนบการสมผสมอ การจดของขวญ/การดอวยพร และการจดการแขงขนกฬา

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 5ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. นกเรยน 25 คน เขารวมกจกรรม ทกคนตางสมผสมอซงกนและกน อยากทราบวาจะมการ

สมผสมอกนทงหมดกครง

ก. 250 ครง ข. 275 ครง ค. 300 ครง ง. 325 ครง

เฉลย ค. 300 ครง

วธคด

จากสตร การสมผสมอซงกนและกนทกคน

จานวนการสมผสมอ = 𝑛 (𝑛−1)

2

= 25 (25−1)

2

= 25 ×24

2

∴ จานวนการสมผสมอ = 300 ครง

2. นกเรยนชน ม.6/1 ของโรงเรยนแหงหนง ทกคนสมผสมอซงกนและกน ปรากฎวามการสมผส

มอกนทงสน 780 ครง อยากทราบวามนกเรยนในหองทงหมดกคน

ก. 37 คน ข. 38 คน ค. 39 คน ง. 40 คน

เฉลย ง. 40 คน

วธคด

จากสตร การสมผสมอซงกนและกนทกคน

จานวนการสมผสมอ = 𝑛 (𝑛−1)

2

780 = 𝑛 (𝑛−1)

2

780 × 2 = 𝑛 (𝑛 − 1)

1560 = 𝑛² − 𝑛

0 = 𝑛² − 𝑛 −1560

0 = (𝑛 − 40)(𝑛 + 39)

จาก (𝑛 − 40) = 0

𝑛 = 40

จาก (𝑛 + 39) = 0

𝑛 = −39 (คาตดลบใชไมได)

∴ จานวนครทเขารวมประชมคอ 40 คน

3. นกเรยนชน ม.3 ของโรงเรยนแหงหนง มจานวน 65 คน ไดจดงานปใหม และมการแจก

ของขวญซงกนและกน อยากทราบวาจะมของขวญทงหมดกชน

ก. 4,160 ชน ข. 4,165 ชน ค. 4,169 ชน ง. 4,174 ชน

เฉลย ก. 4,160 ชน

วธคด

จากสตร จานวนของขวญ = 𝑛 (𝑛 − 1)

= 65 (65 − 1)

= 65 × 64

∴ จานวนของขวญ = 4,160 ชน

4. ในการแขงขนกฬาบาสเกตบอล มทมทสงเขาแขงขนจานวน 8 ทม โดยแขงขนแบบพบกน

หมดครงเดยว อยากทราบวาจะตองจดแขงขนกนทงหมดกครง

ก. 21 ครง ข. 28 ครง ค. 35 ครง ง. 42 ครง

เฉลย ข. 28ครง

วธคด

จากสตร การแขงขนกฬาแบบพบกนหมดครงเดยว

จานวนครงทแขงขน = 𝑛 (𝑛−1)

2

= 8 (8−1)2

= 8 ×72

∴ จานวนครงทแขงขน เทากบ 28 ครง

5. ในการแขงขนกฬาวอลเลยบอล มทมทสงเขาแขงขน จานวน 12 ทม โดยจดการแขงขนแบบ

เหยา-เยอน อยากทราบวาจะตองจดการแขงขนกครง

ก. 120 ครง ข. 121 ครง ค. 132 ครง ง. 144 ครง

เฉลย ข. 121 ครง

วธคด

จากสตร การแขงขนกฬาแบบเหยา – เยอน

จานวนครงทแขงขน = 𝑛 (𝑛 − 1)

= 12(12 − 1)

= 12 × 11

∴ จานวนครงทแขงขน เทากบ 132 ครง

การนบหว ตวหรอขาสตว และการนบอาย

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 7 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. หม วว และมา มจานวนอยางละเทาๆกน ถานบขารวมกนได 360 ขา อยากทราบวามมาอยกตว

ก. 30 ตว ข. 36 ตว ค. 40 ตว ง. 42ตว

เฉลย ก. 30 ตว

วธคด

จานวนสตวแตละชนด เมอสตวมอยางละเทาๆกน

= จานวนขาทงหมด

ผลรวมของจานวนขาของสตวอยางละ1 ตว

= 360

4+4+4

= 36012

= 30 ตว

แสดงวา มมาอย 30 ตว

2. ขาเปดและขาไก รวมกนม 36 ขา ถาเปดมจานวนมากกวาไกอย 2 ตว อยากทราบวามไกอยกตว

ก. 5 ตว ข. 6 ตว ค. 7 ตว ง. 8ตว

เฉลย ง. 8 ตว

วธคด

จานวนสตว = จานวนขาทงหมด

จานวนขา

= 362

จานวนสตว = 18 ตว

จากโจทย นามาเขยนในรปสมการได คอ

จานวนไก +2 = จานวนหม และไก + หม = 18

นาคาตอบแตละตวเลอกมาแทนคา

จาก ก. แทนจานวนไก = 5 ; 5+2 = 7 และ 5+7 = 12 ผด

จาก ข. แทนจานวนไก = 6 ; 6+2 = 8 และ 6+8 = 14 ผด

จาก ค. แทนจานวนไก = 7 ; 7+2 = 9 และ 7+9 = 16 ผด

จาก ง. แทนจานวนไก = 8 ; 8+2 = 10 และ 8+10 = 18 ถก

ดงนน มไกอย 8 ตว

3. ถานบหวเปดมากกวาจานวนหม 4 หว ถานบขาหมมากกวาจานวนเปดอย 8 ขา อยากทราบวามหม

อยกตว

ก. 5 ตว ข. 6 ตว ค. 7 ตว ง. 8ตว

เฉลย ข. 6 ตว

วธคด

จานวน หว ขา

หม 1

𝑥

3

4 𝑥

เปด 2

𝑥 + 4

4

2(𝑥 +4) = 2 𝑥 + 8

จากโจทยกาหนดให หวเปดมากกวาหวหม 4 หว

นาขาสตวมาเขยนในรปสมการ หม – 4 = เปด

จะได 4𝑥 − 4 = 2𝑥 − 8

4𝑥 − 2𝑥 = 8 + 4

2𝑥 = 12

𝑥 = 122

𝑥 = 6

เนองจากหมมจานวน 𝑥 ตว เมอ 𝑥 = 6

ดงนน หมมจานวน 6 ตว

4. เมอ 5 ปทแลว ดารนมอาย 12 ป อก 3 ปขางหนา ดารนมอายเทาไหร

ก. 16 ป ข. 18 ป ค. 20 ป ง. 22 ป

เฉลย ค. 20 ป

วธคด

5 ปทแลว ปจจบน 3 ปขางหนา

1

12

2

12 + 5 = 17

3

17 + 3 = 20

ดงนน ดารนมอาย 20 ป

5. เมอ 10 ปทแลว ศรลกษณมอายเปนครงหนงของอายแม ถาปจจบน ศรลกษณมอาย 30 ป จงหาอาย

ของแมในปจจบน

ก. 40 ป ข. 50 ป ค. 60 ป ง. 70 ป

เฉลย ข. 50 ป

วธคด

10 ปทแลว ปจจบน

แม

3

12

แม = 20 ; แม = 20 × 2

= 40

4

40 + 10 = 50

ศรลกษณ 2

30 − 10 = 20

1

30

ดงนน อายของแมในปจจบน คอ 50 ป

6. ปจจบนลงสมชายมอาย 48 ป อก 7 ปขางหนา ลงสมชายจะมอายเปน 5 เทาของสวนนท ปจจบน

สวนนทมอายเทาใด

ก. 4 ป ข. 5 ป ค. 6 ป ง. 7 ป

เฉลย ก. 4 ป

วธคด

ปจจบน 7 ปขางหนา

ลงสมชาย 1

48

2

47 + 7 = 55

สวนนท

4

11 − 7 = 4

3

5(สวนนท) = 55

สวนนท =555

= 11

ดงนน ปจจบนสวนนท มอาย 4 ป

7. อก 4 ปขางหนา อายของจารณจะเปน 2 เทาของอายของจารวรรณ ถาปนจารณอายมากกวา

จารวรรณ 6 ป อยากทราบวาปจจบน จารณมอายเทาใด

ก. 2 ป ข. 4 ป ค. 6 ป ง. 8 ป

เฉลย ง. 8 ป

วธคด

ปจจบน อก 4ขางหนา

จารณ 3

𝑥 + 6 4

𝑥 + 6 + 4 = 𝑥 + 10

จารวรรณ 1

𝑥

2

𝑥 + 4

จากโจทยกาหนดให อก 4 ปขางหนา อายของจารณจะเปน 2 เทาของอายของจารวรรณ

สมการ คอ อายจารณ = 2× อายจารวรรณ

จะได 𝑥 + 10 = 2(𝑥 + 4)

𝑥 + 10 = 2𝑥 + 8

10 − 8 = 2𝑥 − 𝑥

2 = 𝑥

จากตาราง ปจจบน จารณมอาย 𝑥 + 6ป และ 𝑥 = 2

ดงนน ปจจบน จารณมอาย 2 + 6 = 8 ป

นาฬกา การหาคากลางของขอมล ค.ร.น./ห.ร.ม. และเลขยกกาลง

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 10 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. เวลา 17.00 น. เขมสนทามมกบเขมยาวกองศา

ก. 120 องศา ข. 130 องศา ค. 140 องศา ง. 150 องศา

เฉลย ง. 150 องศา

วธคด

เวลา 17.00 น. เขมสนชเลข 5 เขมยาวชเลข 12

ระยะหางระหวางเขมสนกบเขมยาว คอ 5ชองชวโมง

เนองจาก 1ชองชวโมง มคาเทากบ 30 องศา

ดงนน 5 ชองชวโมง มคาเทากบ 5 × 30 = 150องศา

เพราะฉะนน เขมสนทามมกบเขมยาว 90องศา

2. นกเรยนกลมหนงมคะแนนเฉลยเทากบ 6 โดยขอมลคะแนน คอ 4 7 8 และ X จงหาคะแนนของ

นกเรยนคนทส (X)

ก. 5 คะแนน ข. 6 คะแนน ค. 8 คะแนน ง. 9 คะแนน

เฉลย ก. 5 คะแนน

วธคด

คาเฉลยเลขคณต = ผลรวมของขอมลทงหมด

จานวนขอมล

6 = 4+7+8+𝑋4

6 × 4 = 4 + 7 + 8 + 𝑋

24 = 19 + 𝑋

24 − 19 = 𝑋

5 = 𝑋

∴ คะแนนของนกเรยนคนทสคอ 5 คะแนน

3. จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน 10 7 9 10 8 9 11 8 12 9 10

ก. 9 ข. 10 ค. 9 และ 10 ง. ไมมฐานนยม

เฉลย ค. 9 และ 10

วธคด

ฐานนยม คอ ขอมลทมความถมากทสดของขอมลชดนน

9 มความถ คอ 3

10 มความถ คอ 3

แสดงวา ฐานนยม คอ 9 และ 10

4. จงหา ค.ร.น. ของ 6 และ 15

ก. 3 ข. 10 ค. 30 ง. 60

เฉลย ค. 30

วธคด

ใชวธหารสน 3 6 15

2 5

ค.ร.น. ของ 6 และ 15 คอ 3 × 2 × 5 เทากบ 30

5. นาฬกา 3 เรอน ตงปลกทกๆ 10 นาท 15 นาทและ 30 นาท ตามลาดบ อยากทราบวา อกกนาท

นาฬกาทง 3 เรอน จะปลกพรอมกนอกครง

ก. 10 นาท ข. 15 นาท ค. 30 นาท ง. 45 นาท

เฉลย ค. 30 นาท

วธคด

หา ค.ร.ม. โดยวธการหารสน

5 10 15 30

2 2 3 6

3 1 3 3

1 1 1

ค.ร.น. ของ 10 15 และ 30 คอ 5 × 2 × 3 = 30

6. เลขจานวนมากทสดทหาร 8 และ 11 แลวเหลอเศษ 2 เทากน คอเลขอะไร

ก. 2 ข. 3 ค. 6 ง. 18

เฉลย ข. 3

วธคด

1. นาคาทเหลอเศษ (คอ 2) มาลบออกจาก 8 และ11

8 − 2 = 6 11 − 2 = 9

2. หา ห.ร.ม.

ใชวธหารสน 3 6 9

2 3

ห.ร.ม. ของ 6 และ 9 คอ 3

7. 𝑎4 × 𝑎5 มคาเทาใด

ก. 𝑎 ข. 𝑎9 ค. 𝑎20 ง. 1𝑎

เฉลย ข. 𝑎9

วธคด

จากสตร 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

ดงนน 𝑎4 × 𝑎5 = 𝑎4+5

= 𝑎9

8. 34 ÷ 32 มคาเทาใด

ก. 32 ข. 34 ค. 38 ง. 316

เฉลย ก. 32

วธคด

จากสตร 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

ดงนน 34 ÷ 32 = 34−2

= 32

9. 1000 มคาเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 100 ง. หาคาไมได

เฉลย ก. 0

วธคด

จากสตร 𝑎0 = 1

ดงนน 1000 = 1

10. √20 มคาเทาใด

ก. 2 ข. 5 ค. 2√5 ง. 5√2

เฉลย ค. 2√5

วธคด

√20 = √2 × 2 × 5

= 2√5

สดสวน/อตราสวน/รอยละ ดอกเบย ทฤษฎพทากอรส

และการหาเสนทแยงมม

คาชแจง 1. มขอสอบทงหมด 7 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. นกเรยนชน ป. 1 ของโรงเรยนแหงหนง มนกเรยนทไมมสมด 5 คน จากนกเรยนทงหมด 25 คน จง

ทาใหอยในรปรอยละ

ก. 105

ข. 2050

ค. 10100

ง. 20100

เฉลย ง. 20100

วธคด

เขยนใหอยในรปสดสวน คอ 525

ทาใหอยในรปรอยละ จะได 525

× 44

= 20100

2. ขนมราคา 30 บาท ถาแมคาประกาศลดราคา 20% ปรากฏวามลกคาพเศษมาซอ แมคาจงลดใหอก

10% เขาขายสนคาไปราคาเทาใด

ก. 20 บาท ข. 21.5 บาท ค. 21.6 บาท ง. 23.7 บาท

เฉลย ค. 21.6 บาท

วธคด

ใชวธเทยบบญญตไตรยางศ

จากโจทย ขนมราคา 30 บาท แมคาลดราคา 20%

สมมตให ขนมราคา 100 บาท ขายไป 80 บาท

จะไดวา ขนมราคา 30 บาท ขายไป 30×80100

= 24 บาท

จากโจทย มลกคาพเศษ แมคาลดใหอก 10%

สมมตให ขนมราคา 100 บาท ขายไป 90 บาท

จะไดวา ขนมราคา 24 บาท ขายไป 24×90100

= 21.6 บาท

3. พอคาซอของมาชนหนง ปดปายราคาขายไวสงกวาทน 10% แตจะลดใหผซอ 10%พอคาขายไปได

กาไรหรอขาดทนเทาไหร

ก. ขาดทน 1 บาท ข. ขาดทน 3 บาท ค. ไดกาไร 1 บาท ง. ไดกาไร 3 บาท

เฉลย ก. ขาดทน 1 บาท

วธคด

ใชวธเทยบบญญตไตรยางศ

จากโจทย ปดปายราคาขายไวสงกวาทน 10%

สมมตให ทน 100 บาท ปดปายราคา 110 บาท

จากโจทย ลดใหผซอ 10%

สมมตให ทน 100 บาท ขายไป 90 บาท

จะไดวา ทน 110 บาท ขายไป 110×90100

= 99 บาท

4. นายไวภพไดรบดอกเบยเปนเงน 500 บาท จากการใหนายไววทยกเงน 15,000 บาท ในเวลา 4 เดอน

จงหาอตราดอกเบยตอป

ก. 10% ข. 12% ค. 15% ง. 20%

เฉลย ก. 10%

วธคด

จากสตร ด = ต × ป × อ

100

จะได 500 = 15,000 × 412 × อ

100

500 × 12 × 100 = 15,000 × 4 × อ

500 × 12 × 100

15,000 × 4 = อ

10 = อ

ดงนน อตราดอกเบยตอป คอ 10%

5. นายสมพลฝากเงนกบธนาคารจานวน 50,000 บาท โดยธนาคารคดดอกเบยให 8% นายสมพล

จะตองฝากเงนนานเทาไหร จงจะไดดอกเบย 40,000 บาท

ก. 5 ป ข. 7 ป ค. 10 ป ง. 12 ป

เฉลย ค. 10 ป

วธคด

จากสตร ด = ต × ป × อ

100

จะได 40,000 = 50,000 × ป × 8100

40,000 × 100 = 50,000 × ป × 8

40,000 × 100

50,000 × 8= ป

10 = ป

ดงนน นายสมพลจะตองฝากเงนนาน 10 ป

6. รปสามเหลยมมมฉากรปหนง กาหนดใหดาน b ยาว 4 หนวย ดาน c ยาว 6 หนวย จงหาความยาว

ของดาน a

ก. 2 หนวย ข. 2√5 หนวย ค. 3√2 หนวย ง. 4√5 หนวย

เฉลย ข. 2√5 หนวย

วธคด

จากสตร c2 = 𝑎2 + 𝑏2

เปลยนเปน a2 = 𝑐2 − 𝑏2

จะได a2 = 62 − 42

a2 = 36 + 16

a2 = 20

a2 = √2 × 2 × 5 = (2√5)2

∴ a = 2√5

7. รป 12 เหลยมมเสนทแยงมมกเสน

ก. 45 เสน ข. 50 เสน ค. 54 เสน ง. 60 เสน

เฉลย ค. 54 เสน

วธคด

จากสตร การหาเสนทแยงมมของรปเหลยม = 𝑛(𝑛−3)2

= 12(12−3)2

= 54 เสน

ความนาจะเปน แฟกทอเรยล บญญตไตรยางศ และการเปรยบเทยบมาตรา

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 10 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. ในการโยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง โอกาสทเหรยญจะหงายดานกอยทงคเปนเทาใด

ก. 14

ข. 12

ค. 34

ง. 1

เฉลย ก. 14

วธคด

จากโจทย จานวนเหตการณทงหมด N(S) = 4 ; {HH, HT, TH, TT}

โอกาสทเหรยญจะหงายดานกอยทงค N(E) = 1 ; {TT}

P(E) = N(E)N(S)

= 14

2. ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง โอกาสทลกเตาจะหงายดานทเปนเลขมากกวา 4 เปนเทาใด

ก. 12

ข. 13

ค. 14

ง. 25

เฉลย ข. 13

วธคด

จากโจทย จานวนเหตการณทงหมด N(S) = 6 ; {1, 2, 3, 4, 5, 6}

โอกาสทลกเตาหงายดานมากกวา 4 N(E) = 2 ; {5, 6}

P(E) = N(E)N(S)

= 26

= 13

3. นกเรยน 5 คน ยนเขาแถวเคารพธงชาต มวธสบเปลยนทงหมดกวธ

ก. 100 วธ ข. 110 วธ ค. 120 วธ ง. 140 วธ

เฉลย ค. 120 วธ

วธคด

วธเรยงสบเปลยน = 𝑛! (กรณไมมตวใดซ ากนเลย)

= 5!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 120วธ

4. นาคาวา CHOCO มาเรยงสบเปลยนใหมไดทงหมดกวธ

ก. 15 วธ ข. 30 วธ ค. 60 วธ ง. 120 วธ

เฉลย ข. 30 วธ

วธคด

วธเรยงสบเปลยน = 𝑛!𝑛1! 𝑛2! 𝑛3!

(กรณทมการซ ากน)

= 5!2! 1! 2!

= 5×4×3×2×12×1×1×2×1

= 30 วธ

5. จานวนวธทจะใหเดก 3 คน วยรน 2 คน และผใหญ 4 คน ยนเรยงแถวใหเปนแถวตรง โดยใหเดก

เขาแถวกอน จากนนตามดวยวยรนและผใหญ

ก. 24 วธ ข. 48 วธ ค. 280 วธ ง. 288 วธ

เฉลย ง. 288 วธ

วธคด

วธเรยงสบเปลยน = 𝑛1! 𝑛2! 𝑛3!

= 3! 2! 4!

= 3 × 2 × 1 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

= 288 วธ

6. ในการเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการ จากนกเรยนทงหมด 15 คน จะมวธทนกเรยนจะ

ไดรบเลอก โดยนกเรยนแตละคนจะมโอกาสถกเลอกเทาๆกน

ก. 210 วธ ข. 630 วธ ค. 2730 วธ ง. 5460 วธ

เฉลย ค. 2730 วธ

วธคด

วธเรยงสบเปลยน P𝑛,𝑟 = 𝑛!(𝑛−𝑟)!

(กรณเลอกคราวละ rสง)

P𝑛,𝑟 = 15!(15−3)!

= 15!12!

= 15×14×13×12!12!

= 15 × 14 × 13

= 13,800 วธ

7. แมคาตดปายลดราคา 10% ถาของชนหนงราคา 350 บาท แมคาจะลดราคาลงกบาท

ก. 20 บาท ข. 25 บาท ค. 30 บาท ง. 35 บาท

เฉลย ง. 35 บาท

วธคด

จากโจทย ลดราคา 10%

แสดงวา ราคา 100 บาท ลดราคาลง 10 บาท

ราคา 350 บาท ลดราคาลง 350×10100

= 35 บาท

8. สม 1 กโลกรม แบงใหนกเรยนได 4 คน ถามสมอย 10.5 กโลกรม จะแบงใหนกเรยนไดกคน

ก. 42 คน ข. 45 คน ค. 48 คน ง. 50 คน

เฉลย ก. 42 คน

วธคด

จากโจทย สม 1 กโลกรม แบงใหนกเรยนได 4 คน

สม 10.5 กโลกรม แบงใหนกเรยนได 10.5×4

1 = 42 คน

9. 45 ตารางฟต เทากบกตารางหลา

ก. 5 ตร.หลา ข. 7 ตร.หลา ค. 9 ตร.หลา ง. 11 ตร.หลา

เฉลย ก. 5 ตร.หลา

วธคด

9 ตารางฟต เทากบ 1 ตารางหลา

45 ตารางฟต เทากบ 45×19

= 5 ตารางหลา

10. 40 เมตร เทากบกวา

ก. 40 วา ข. 20 วา ค. 10 วา ง. 5 วา

เฉลย ข. 20 วา

วธคด 2 เมตร เทากบ 1 วา

40 เมตร เทากบ 40×12

= 20 วา

22. สมการ/อสมการ

สมการ คอ ประโยคสญลกษณทมเครองหมายเทากบ (=) แสดงการเทากนของตวเลข

ทงสองขาง แบงออกเปน 2 ชนด คอ

1) สมการทเปนจรง เชน 5 + 2 = 7

2) สมการทเปนเทจ เชน 5 + 3 = 6

อสมการ คอ ประโยคสญลกษณทมเครองหมายมากกวา (>) นอยกวา (<)

มากกวาหรอเทากบ (≥) นอยกวาหรอเทากบ(≤) หรอไมเทากบ (≠)

โดยสมการทมตวไมทราบคา เรยกตวทไมทราบคานนวา “ตวแปร”

เชน 𝑥 + 3 = 5 เรยก 𝑥 วา “ตวแปร”

ตวอยางท 1 𝑥 + 4 = 10 จงหาคาของ 𝑥

วธคด 𝑥 + 4 = 10

𝑥 = 10 − 4 𝑥 = 6

ตวอยางท 2 3𝑥 + 5 = 14 จงหาคาของ 𝑥

วธคด 3𝑥 + 5 = 14

3𝑥 = 14 − 5

3𝑥 = 9

𝑥 = 93

𝑥 = 3

ตวอยางท 3 2𝑥+16

5= 4จงหาคาของ 𝑥

วธคด

2𝑥+16

5 = 4

2𝑥 + 16 = 4 × 5

2𝑥 + 16 = 20

2𝑥 = 20 − 16

2𝑥 = 4

𝑥 = 42

𝑥 = 2

สมการ/อสมการ เศษสวน/ทศนยม การหาพนท/เสนรอบรป

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 10 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1. จากสมการ 2𝑥 + 3 = 21 จงหาคาของ 𝑥

ก. 9 ข. 10 ค. 11 ง. 12

เฉลย ก. 9

วธคด

จากสมการ 2𝑥 + 3 = 21

2𝑥 = 21 − 3 2𝑥 = 18

𝑥 = 182

𝑥 = 9

2. จากสมการ 3𝑥 + 4 = 15 − 5 จงหาคาของ 𝑥

ก. 1 ข. 2 ค. 4 ง. 5

เฉลย ข. 2

วธคด

จากสมการ 3𝑥 + 4 = 15 − 5

3𝑥 + 4 = 10

3𝑥 = 10 − 4

3𝑥 = 6

𝑥 = 63

= 2

3. จากสมการ 4𝑥 + 6 = 20𝑥2 จงหาคาของ 𝑥

ก. 1 ข. 2 ค. 4 ง. 5

เฉลย ก. 1

วธคด

จากสมการ 4𝑥 + 6 = 20𝑥2

2(4𝑥 + 6) = 20𝑥

8𝑥 + 12 = 20𝑥

12 = 20𝑥 − 8𝑥

12 = 12𝑥

1212 = 𝑥

1 = 𝑥

4. จากสมการ 8𝑥+35

= 7 จงหาคาของ 𝑥

ก. 1 ข. 2 ค. 4 ง. 5

เฉลย ค. 4

วธคด

จากสมการ 8𝑥+35

= 7

8𝑥 + 3 = 7 × 5

8𝑥 + 3 = 35

8𝑥 = 35 − 3

8𝑥 = 32

𝑥 = 328

𝑥 = 4

5. จากสมการ 10𝑥+20

7= 2𝑥 จงหาคาของ 𝑥

ก. 1 ข. 2 ค. 4 ง. 5

เฉลย ง. 5

วธคด

จากสมการ 10𝑥+20

7= 2𝑥

10𝑥 + 20 = 7(2𝑥)

10𝑥 + 20 = 14𝑥

20 = 14𝑥 − 10𝑥

20 = 4𝑥

20 4

= 𝑥

5 = 𝑥

6. จงหาคาของ

3025×5

623

ก. 12

ข. 32

ค. 45

ง. 65

เฉลย ข. 32

วธคด

จากโจทย

3025×5

623

= 3025

× 56

× 32

= 55

× 32

= 1 × 32

= 32

7. จงหาคาของ 0.3 × 0.003 มคาเทากบเทาไหร

ก. 0.9 ข. 0.09 ค. 0.009 ง. 0.0009

เฉลย ง. 0.0009

วธคด

ใชหลกการ การคณทศนยม

โดยเตมทศนยมเทากบ จานวนทศนยมทมการคณกนทงหมด

ดงนน 0.3 × 0.003 = 0.0003

8. จงหาคาของ 0.11 × 0.111 มคาเทากบเทาไหร

ก. 0.001221 ข. 0.01221 ค. 0.1221 ง. 1.221

เฉลย ข. 0.01221

วธคด

ใชหลกการ การคณทศนยม

โดยเตมทศนยมเทากบ จานวนทศนยมทมการคณกนทงหมด

ดงนน 0.11 × 0.111 = 0.01221

9. วงกลมรปหนง มรศมเทากบ 7 เซนตเมตร จงหาคาของพนทวงกลม

ก. 154 ตร.ม ข. 156 ตร.ม ค. 158 ตร.ม ง. 160 ตร.ม

เฉลย ก. 154 ตร.ม

วธคด

จากสตร พนทวงกลม = π𝑟2

จากโจทย 𝑟 = 7, 𝜋 = 227

จะได พนทวงกลม = 22

7× 72

= 227

× 7 × 7

= 154 ตร.ม

10. รปสเหลยมจตรสรปหนง มพนท 36 ตร.ซม จงหาความยาวรอบรป

ก. 12 ซม. ข. 18 ซม. ค. 24 ซม. ง. 36 ซม.

เฉลย ค. 24 ซม.

วธคด

จากสตร พนทสเหลยมจตรส = ดาน × ดาน

จากโจทย พนทสเหลยมจตรส = 36 = 6 × 6 ตร.ม

ดงนน ความยาวดานละ 6 ซม.

ความยาวรอบรป (ความยาวทง 4 ดาน) = 6 × 4

= 24 ซม.

ความสามารถทางดานการคดคานวณ

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 35 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1.) 2 6 12 20 …

ก. 25 ข. 27 ค. 30 ง. 32

เฉลย ค.30

วธคด

(1²+1) (2²+2) (3²+3) (4²+4) (5²+5)

3 6 12 20 30

2.) 60 56 48 36 20 …

ก. 24 ข. 16 ค. 8 ง. 0

เฉลย ง. 0

วธคด

-4 -8 -12 -16 -20

60 56 48 36 20 0

3.) 1 2 2 3 4 12 5 6 30 7 … …

ก. 8, 56 ข. 7, 49 ค. 6, 42 ง. 5, 35

เฉลย ก. 8, 56

วธคด

(1×2) (2×3) (5×6) (7×8)

1 2 2 3 4 12 5 6 30 7 8 56

4.) 21 1 22 19 3 22 17 5 22 15 7 22 13 … 22

ก. 11 ข. 10 ค. 9 ง. 7

เฉลย ค. 9

วธคด

(21+1) (19+3) (17+5) (15-7) (13+9)

21 1 22 19 3 22 17 5 22 15 7 22 13 9 22

5.) 3 -6 12 -24 48 …

ก. -56 ข. 56 ค. -58 ง. 58

เฉลย ก. -56

วธคด

× (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2)

3 -6 12 -24 48 -56

6.) จงหาผลลพธของ 15 + 16 + 17 + … + 35

ก. 520 ข. 525 ค. 530 ง. 540

เฉลย ข. 525

วธคด จากสตร ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

โดย N = (จานวนสดทาย – จานวนแรก) +1

N = (35- 15)+1

= 20 + 1

= 21

ผลรวม =N2

× (จานวนแรก + จานวนสดทาย)

=212

× (15 + 35)

=212

× (50)

∴ ผลรวม=525

7.) เมอเลข 6 จานวนเรยงกนรวมกนได 201 จงหาจานวนท 3

ก. 32 ข. 33 ค. 34 ง. 35

เฉลย ข. 33

วธคด

คาทอยตาแหนงตรงกลาง = ผลรวม

จานวนทงหมด

= 2016

= 33.5

8.) เมอเลข 5 จานวนเรยงกน รวมกนได 110 จงหาจานวนท 2

ก. 19 ข. 20 ค. 21 ง. 22

เฉลย ค. 21

วธคด

คาทอยตาแหนงตรงกลาง = ผลรวม

จานวนทงหมด

= 1105

= 22

ตาแหนงท 1 ตาแหนงท 2 ตาแหนงท 3 ตาแหนงท 4 ตาแหนงท5

22

1 2 3 4 5

ดงนน เลขทง 5 จานวน คอ 20 21 22 23 24

เพราะฉะนน จานวนท 2 คอ 21

9.) เมอเลข 4 จานวนเรยงกน ถาผลบวกของเลขจานวนนอยทสดกบเลขจานวนมากทสด เทากบ 238 จง

หาเลขจานวนมากทสดคอเลขอะไร

ก. 58 ข. 59 ค. 60 ง. 61

เฉลย ง. 61

วธคด

คาทอยตาแหนงตรงกลาง = ผลรวม

จานวนทงหมด

= 2384

= 59.5

ตาแหนงท 1 ตาแหนงท 2 ตาแหนงท 3 ตาแหนงท 4

¦

คาทอยตาแหนงตรงกลาง

เทากบ 59.5

1 2 3 4

ดงนน เลขทง 4จานวน คอ 58 59 ¦ 60 61

59.5

เพราะฉะนน เลขจานวนมากทสดคอ 61

10.) จากลาดบ 10 15 20 … จงหาจานวนท 32 คอเลขอะไร

ก. 160 ข. 165 ค. 180 ง. 185

เฉลย ข. 165

วธคด

จากสตร จานวนสดทาย = จานวนแรก + [(N - 1) × ระยะหางของแตละจานวน]

=10+ [(32 - 1) × 5]

=10+ [31 × 5]

=10+ 155

∴จานวนสดทาย =165

11.) ตองการปกเสารวรอบสนามในแนววงกลม ระยะทางโดยรอบ 3,600 เมตร โดยปกเสารวหางกนตน

ละ 40 เมตร จะตองใชเสารวทงหมดกตน

ก. 70 ตน ข. 80 ตน ค. 90 ตน ง. 100 ตน

เฉลย ค. 90 ตน

วธคด

จากสตร จานวนเสา = ระยะทางทงหมด

ระยะหางระหวางเสา+ 1

= 3,60040

+ 1

= 90

∴ จานวนเสา = 90

12.) อาคารเรยนสง 30 เมตร ทอดเงายาว 45 เมตร ถาอาคารเรยนสง 30 เมตร กวาง 90 เมตร จะทอดเงา

ยาวเทาไหร

ก. 135 เมตร ข. 120 เมตร ค. 90 เมตร ง. 45 เมตร

เฉลย ง. 45 เมตร

วธคด

เงาของสงตางๆ มการแปรผนตรงกบความสง สวนความยาวจะคงเดม

ดงนน ตกสง 30 เมตร ทอดเงายาว 45เมตร คงเดม

13.) นกเรยน 25 คน เขารวมกจกรรม ทกคนตางสมผสมอซงกนและกน อยากทราบวาจะมการสมผสมอ

กนทงหมดกครง

ก. 250 ครง ข. 275 ครง ค. 300 ครง ง. 325 ครง

เฉลย ค. 300 ครง

วธคด

จากสตร การสมผสมอซงกนและกนทกคน

จานวนการสมผสมอ = 𝑛 (𝑛−1)

2

= 25 (25−1)

2

= 25 ×24

2

∴ จานวนการสมผสมอ = 300 ครง

14.) นกเรยนชน ม.3 ของโรงเรยนแหงหนง มจานวน 65 คน ไดจดงานปใหม และมการแจกของขวญซง

กนและกน อยากทราบวาจะมของขวญทงหมดกชน

ก. 4,160 ชน ข. 4,165 ชน ค. 4,169 ชน ง. 4,174 ชน

เฉลย ก. 4,160 ชน

วธคด

จากสตร จานวนของขวญ = 𝑛 (𝑛 − 1)

= 65 (65 − 1)

= 65 × 64

∴ จานวนของขวญ = 4,160 ชน

15.) ในการแขงขนกฬาบาสเกตบอล มทมทสงเขาแขงขนจานวน 8 ทม โดยแขงขนแบบพบกนหมดครง

เดยว อยากทราบวาจะตองจดแขงขนกนทงหมดกครง

ก. 21 ครง ข. 28 ครง ค. 35 ครง ง. 42 ครง

เฉลย ข. 28ครง

วธคด

จากสตร การแขงขนกฬาแบบพบกนหมดครงเดยว

จานวนครงทแขงขน = 𝑛 (𝑛−1)

2

= 8 (8−1)2

= 8 ×72

∴ จานวนครงทแขงขน เทากบ 28 ครง

16.) หม วว และมา มจานวนอยางละเทาๆกน ถานบขารวมกนได 360 ขา อยากทราบวามมาอยกตว

ก. 30 ตว ข. 36 ตว ค. 40 ตว ง. 42ตว

เฉลย ก. 30 ตว

วธคด

จานวนสตวแตละชนด เมอสตวมอยางละเทาๆกน

= จานวนขาทงหมด

ผลรวมของจานวนขาของสตวอยางละ1 ตว

= 360

4+4+4

= 36012

= 30 ตว

แสดงวา มมาอย 30 ตว

17.) เมอ 5 ปทแลว ดารนมอาย 12 ป อก 3 ปขางหนา ดารนมอายเทาไหร

ก. 16 ป ข. 18 ป ค. 20 ป ง. 22 ป

เฉลย ค. 20 ป

วธคด

5 ปทแลว ปจจบน 3 ปขางหนา

1

12

2

12 + 5 = 17

3

17 + 3 = 20

ดงนน ดารนมอาย 20 ป

18.) เวลา 17.00 น. เขมสนทามมกบเขมยาวกองศา

ก. 120 องศา ข. 130 องศา ค. 140 องศา ง. 150 องศา

เฉลย ง. 150 องศา

วธคด

เวลา 17.00 น. เขมสนชเลข 5 เขมยาวชเลข 12

ระยะหางระหวางเขมสนกบเขมยาว คอ 5ชองชวโมง

เนองจาก 1ชองชวโมง มคาเทากบ 30 องศา

ดงนน 5 ชองชวโมง มคาเทากบ 5 × 30 = 150องศา

เพราะฉะนน เขมสนทามมกบเขมยาว 90องศา

19.) นกเรยนกลมหนงมคะแนนเฉลยเทากบ 6 โดยขอมลคะแนน คอ 4 7 8 และ X จงหาคะแนนของ

นกเรยนคนทส (X)

ก. 5 คะแนน ข. 6 คะแนน ค. 8 คะแนน ง. 9 คะแนน

เฉลย ก. 5 คะแนน

วธคด

คาเฉลยเลขคณต = ผลรวมของขอมลทงหมด

จานวนขอมล

6 = 4+7+8+𝑋4

6 × 4 = 4 + 7 + 8 + 𝑋

24 = 19 + 𝑋

24 − 19 = 𝑋

5 = 𝑋

∴ คะแนนของนกเรยนคนทสคอ 5 คะแนน

20.) จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน 10 7 9 10 8 9 11 8 12 9 10

ก. 9 ข. 10 ค. 9 และ 10 ง. ไมมฐานนยม

เฉลย ค. 9 และ 10

วธคด

ฐานนยม คอ ขอมลทมความถมากทสดของขอมลชดนน

9 มความถ คอ 3

10 มความถ คอ 3

แสดงวา ฐานนยม คอ 9 และ 10

21.) จงหา ค.ร.น. ของ 6 และ 15

ก. 3 ข. 10 ค. 30 ง. 60

เฉลย ค. 30

วธคด

ใชวธหารสน 3 6 15

2 5

ค.ร.น. ของ 6 และ 15 คอ 3 × 2 × 5 เทากบ 30

22.) เลขจานวนมากทสดทหาร 8 และ 11 แลวเหลอเศษ 2 เทากน คอเลขอะไร

ก. 2 ข. 3 ค. 6 ง. 18

เฉลย ข. 3

วธคด

3. นาคาทเหลอเศษ (คอ 2) มาลบออกจาก 8 และ11

8 − 2 = 6 11 − 2 = 9

4. หา ห.ร.ม.

ใชวธหารสน 3 6 9

2 3

ห.ร.ม. ของ 6 และ 9 คอ 3

23.) 𝑎4 × 𝑎5 มคาเทาใด

ก. 𝑎 ข. 𝑎9 ค. 𝑎20 ง. 1𝑎

เฉลย ข. 𝑎9

วธคด

จากสตร 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

ดงนน 𝑎4 × 𝑎5 = 𝑎4+5

= 𝑎9

24.) นกเรยนชน ป. 1 ของโรงเรยนแหงหนง มนกเรยนทไมมสมด 5 คน จากนกเรยนทงหมด 25 คน จง

ทาใหอยในรปรอยละ

ก. 105

ข. 2050

ค. 10100

ง. 20100

เฉลย ง. 20100

วธคด

เขยนใหอยในรปสดสวน คอ 525

ทาใหอยในรปรอยละ จะได 525

× 44

= 20100

25.) ขนมราคา 30 บาท ถาแมคาประกาศลดราคา 20% ปรากฏวามลกคาพเศษมาซอ แมคาจงลดใหอก

10% เขาขายสนคาไปราคาเทาใด

ก. 20 บาท ข. 21.5 บาท ค. 21.6 บาท ง. 23.7 บาท

เฉลย ค. 21.6 บาท

วธคด

ใชวธเทยบบญญตไตรยางศ

จากโจทย ขนมราคา 30 บาท แมคาลดราคา 20%

สมมตให ขนมราคา 100 บาท ขายไป 80 บาท

จะไดวา ขนมราคา 30 บาท ขายไป 30×80100

= 24 บาท

จากโจทย มลกคาพเศษ แมคาลดใหอก 10%

สมมตให ขนมราคา 100 บาท ขายไป 90 บาท

จะไดวา ขนมราคา 24 บาท ขายไป 24×90100

= 21.6 บาท

26.) พอคาซอของมาชนหนง ปดปายราคาขายไวสงกวาทน 10% แตจะลดใหผซอ 10%พอคาขายไปได

กาไรหรอขาดทนเทาไหร

ก. ขาดทน 1 บาท ข. ขาดทน 3 บาท ค. ไดกาไร 1 บาท ง. ไดกาไร 3 บาท

เฉลย ก. ขาดทน 1 บาท

วธคด

ใชวธเทยบบญญตไตรยางศ

จากโจทย ปดปายราคาขายไวสงกวาทน 10%

สมมตให ทน 100 บาท ปดปายราคา 110 บาท

จากโจทย ลดใหผซอ 10%

สมมตให ทน 100 บาท ขายไป 90 บาท

จะไดวา ทน 110 บาท ขายไป 110×90100

= 99 บาท

27.) นายสมพลฝากเงนกบธนาคารจานวน 50,000 บาท โดยธนาคารคดดอกเบยให 8% นายสมพล

จะตองฝากเงนนานเทาไหร จงจะไดดอกเบย 40,000 บาท

ก. 5 ป ข. 7 ป ค. 10 ป ง. 12 ป

เฉลย ค. 10 ป

วธคด

จากสตร ด = ต × ป × อ

100

จะได 40,000 = 50,000 × ป × 8100

40,000 × 100 = 50,000 × ป × 8

40,000 × 100

50,000 × 8= ป

10 = ป

ดงนน นายสมพลจะตองฝากเงนนาน 10 ป

28.) รป 12 เหลยมมเสนทแยงมมกเสน

ก. 45 เสน ข. 50 เสน ค. 54 เสน ง. 60 เสน

เฉลย ค. 54 เสน

วธคด

จากสตร การหาเสนทแยงมมของรปเหลยม = 𝑛(𝑛−3)2

= 12(12−3)2

= 54 เสน

29.) ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง โอกาสทลกเตาจะหงายดานทเปนเลขมากกวา 4 เปนเทาใด

ก. 12

ข. 13

ค. 14

ง. 25

เฉลย ข. 13

วธคด

จากโจทย จานวนเหตการณทงหมด N(S) = 6 ; {1, 2, 3, 4, 5, 6}

โอกาสทลกเตาหงายดานมากกวา 4 N(E) = 2 ; {5, 6}

P(E) = N(E)N(S)

= 26

= 13

30.) จานวนวธทจะใหเดก 3 คน วยรน 2 คน และผใหญ 4 คน ยนเรยงแถวใหเปนแถวตรง โดยใหเดก

เขาแถวกอน จากนนตามดวยวยรนและผใหญ

ก. 24 วธ ข. 48 วธ ค. 280 วธ ง. 288 วธ

เฉลย ง. 288 วธ

วธคด

วธเรยงสบเปลยน = 𝑛1! 𝑛2! 𝑛3!

= 3! 2! 4!

= 3 × 2 × 1 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

= 288 วธ

31.) แมคาตดปายลดราคา 10% ถาของชนหนงราคา 350 บาท แมคาจะลดราคาลงกบาท

ก. 20 บาท ข. 25 บาท ค. 30 บาท ง. 35 บาท

เฉลย ง. 35 บาท

วธคด

จากโจทย ลดราคา 10%

แสดงวา ราคา 100 บาท ลดราคาลง 10 บาท

ราคา 350 บาท ลดราคาลง 350×10100

= 35 บาท

32.) 40 เมตร เทากบกวา

ก. 40 วา ข. 20 วา ค. 10 วา ง. 5 วา

เฉลย ข. 20 วา

วธคด 2 เมตร เทากบ 1 วา

40 เมตร เทากบ 40×12

= 20 วา

33.) จากสมการ 2𝑥 + 3 = 21 จงหาคาของ 𝑥

ก. 9 ข. 10 ค. 11 ง. 12

เฉลย ก. 9

วธคด

จากสมการ 2𝑥 + 3 = 21

2𝑥 = 21 − 3 2𝑥 = 18

𝑥 = 182

𝑥 = 9

34.) จงหาคาของ 0.11 × 0.111 มคาเทากบเทาไหร

ก. 0.001221 ข. 0.01221 ค. 0.1221 ง. 1.221

เฉลย ข. 0.01221

วธคด

ใชหลกการ การคณทศนยม

โดยเตมทศนยมเทากบ จานวนทศนยมทมการคณกนทงหมด

ดงนน 0.11 × 0.111 = 0.01221

35.) รปสเหลยมจตรสรปหนง มพนท 36 ตร.ซม จงหาความยาวรอบรป

ก. 12 ซม. ข. 18 ซม. ค. 24 ซม. ง. 36 ซม.

เฉลย ค. 24 ซม.

วธคด

จากสตร พนทสเหลยมจตรส = ดาน × ดาน

จากโจทย พนทสเหลยมจตรส = 36 = 6 × 6 ตร.ม

ดงนน ความยาวดานละ 6 ซม.

ความยาวรอบรป (ความยาวทง 4 ดาน) = 6 × 4

= 24 ซม.

การสรปหาเหตผล

คาชแจง 1. ขอสอบมทงหมด 15 ขอ

2. เลอกคาตอบทถกตองทสดในแตละขอ

1.) ฝนตกแลวแดดออก วนนฝนตก

ก. ฝนไมตก ข. แดดไมออก ค. แดดออก ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ค. แดดออก

วธคด ฝนตก แลวแดดออก ; วนนฝนตก

(p) (q) (เกด p)

ดงนน คาตอบคอ แดดออก

(เกด q)

2.) ฝนตกแลวแดดออก วนนแดดไมออก

ก. ฝนไมตก ข. แดดไมออก ค. แดดออก ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ก. ฝนไมตก

วธคด ฝนตก แลวแดดออก ; วนนแดดไมออก

(p) (q) (ไมเกด q) (~𝑞)

ดงนน คาตอบคอ ฝนไมตก

(ไมเกด p) (~𝑝)

3.) ฝนตกแลวแดดออก วนนฝนไมตก

ก. ฝนไมตก ข. แดดไมออก ค. แดดออก ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ง. สรปแนนอนไมได

วธคด ฝนตก แลวแดดออก ; วนนฝนไมตก

(p) (q) (ไมเกด p) (~𝑝)

ดงนน คาตอบคอ สรปแนนอนไมได

4.) ฉนจะกนไกหรอไข วนนฉนกนไก

ก. ฉนกนไกทอด ข. ฉนกนไขทอด ค. ฉนไมกนไข ง. ฉนไมกนไก

เฉลย ค. ฉนไมกนไข

วธคด ฉนจะกนไก หรอไข ; วนนฉนกนไก

(ตองเกด p หรอ q) (เกด p)

ดงนน คาตอบคอ ฉนไมกนไข

(ไมเกด q)

5.) ฉนจะกนไกหรอไข วนนฉนไมกนไข

ก. ฉนกนไกทอด ข. ฉนกนไก ค. ฉนไมกนไขทอด ง. ฉนกนเจ

เฉลย ข. ฉนกนไก

วธคด ฉนจะกนไก หรอไข ; วนนฉนไมกนไข

(ตองเกด p หรอ q) (ไมเกด q)

ดงนน คาตอบคอ ฉนกนไก

(เกด p)

6.) วนหยดน เขาจะไปลพบรหรอราชบร แตเขาไมไปราชบร

ก. เขาอยบาน ข. เขาไมไปลพบร ค. เขาไปเทยว ง. เขาไปลพบร

เฉลย ง. เขาไปลพบร

วธคด เขาจะไปลพบร หรอ ราชบร ; แตเขาไมไปราชบร

(ตองเกด p หรอ q) (ไมเกด q)

ดงนน คาตอบคอ เขาไปลพบร

(เกด p)

7.) แดงฉลาดกวาขาว เขยวฉลาดกวาแดงแตนอยกวาฟา ใครเปนคนฉลาดทสด

ก. ขาว ข. แดง ค. เขยว ง. ฟา

เฉลย ง. ฟา

วธคด สง ฟา

เขยว

แดง

ตา ขาว

ดงนน ฟาฉลาดทสด

8.) A สงกวา B B ตากวา C C สงกวา A และ C ตากวา D

ก. A ข. B ค. C ง. D

เฉลย ง. ฟา

วธคด สง D

C

A

ตา B

ดงนน D สงทสด

9.) ครทกคนตองสอนหนงสอ สมศกดเปนคร ดงนน

ก. สมศกดสอนหนงสอ ข. สมศกดสอนพเศษ

ค. นกเรยนของสมศกดตงใจเรยน ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ก. สมศกดสอนหนงสอ

วธคด

10.) พอเปนขาราชการ แมเปนหมอ ดงนนลกเปนอะไร

ก. เปนขาราชการ ข. เปนหมอ ค. พนกงานเอกชน ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ง. สรปแนนอนไมได

วธคด

11.) ความรกทาใหคนตาบอด ตาบอดทาใหมองไมเหน ดงนน

ก. ความรกทาใหมองไมเหน ข. คนตาบอดเทานนทมความรก

ค. ไมมความรกทาใหตาสวาง ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ง. สรปแนนอนไมได

สอนหนงสอ

คร

สมศกด

ขาราชการ

พอ

หมอ

แม

ลก

วธคด

12.) เดกฉลาด กนปลา กลยาโง ดงนน

ก. กลยาไมชอบกนปลา ข. กลยากนเจ

ค. กลยาชอบกนเนอ ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ง. สรปแนนอนไมได

วธคด

หรอ เดกฉลาด (p) กนปลา (q) กลยาโง (r)

ไมสอดคลองกน ดงนนจงสรปแนนอนไมได

13.) นามา ปลากนมด ปลากนมด ดงนน

ก. นามา ข. นาไมมา ค. นาเสย ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ง. สรปแนนอนไมได

วธคด นามา ปลากนมด ; ปลากนมด

ความรก

มองไม

ตาบอด

เดก

กนปลา

กลยาโง

(p) (q) (เกด q)

ดงนน คาตอบคอ สรปแนนอนไมได

14.) นามา ปลากนมด ปลาไมกนมด ดงนน

ก. นามา ข. นาไมมา ค. นาเสย ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ข. นาไมมา

วธคด นามา ปลากนมด ; ปลาไมกนมด

(p) (q) (ไมเกด q)

ดงนน คาตอบคอ นาไมมา

(ไมเกด p)

15.) เกดหมอกควน เพราะการเผาปา วนนไมมการเผาปา

ก. ไมเกดหมอกควน ข. เพราะฝนตก

ค. เกดพาย ง. สรปแนนอนไมได

เฉลย ก. ไมเกดหมอกควน

วธคด เกดหมอกควน เพราะการเผาปา ; วนนไมมการเผาปา

(p) (q) (ไมเกด q)

ดงนน คาตอบคอ ไมเกดหมอกควน

(ไมเกด p)

แบบทดสอบ

อปมา – อปไมย

1.) ดอกไม : แมลง หมแพนดา : ?

ก. ตนไผ ข. ตนไม ค. ตนหลว ง. ปาไม

2.) ปลา : ตว ชาง : ?

ก. อน ข. เชอก ค. รป ง. คน

3.) รถ : แลน เตา : ?

ก. วง ข. คลาน ค. แลน ง. เดน

4.) ตนไม : กง ลาธาร : ?

ก. สาย ข. ซอย ค. แยก ง. ตรอก

5.) สนข : เหา นก : ?

ก. จบๆ ข. บน ค. รอง ง. กรง

6.) คร : สอน พระ : ?

ก. เลา ข. บรรยาย ค. กฏ ง. เทศน

7.) เรอ : หางเสอ รถ : ?

ก. ลอ ข. พวงมาลย ค. เบรก ง. เกยร

เฉลย

1. ก ตนไผ 2. ข เชอก 3. ข คลาน 4. ก สาย 5. ค รอง

6. ง เทศน 7. ข พวงมาลย

8.) คน : ออกซเจน พช : ?

ก. ฟอสฟอรส ข. ไฮโดรเจน ค. คารบอนไดออกไซค ง. ไนโตรเจน

9.) คน : โรงพยาบาล รถยนต : ?

ก. ลาง อด ฉด ข. ชางซอม ค. อ ง. นามน

10.) ไทย : กรงเทพฯ สหรฐอเมรกา : ?

ก. วอชงตน ข. นวยอรก ค. แคลฟอเนย ง. ยทาร

11.) จนทร : พธ มนาคม : ?

ก. กมภาพนธ ข. เมษายน ค. พฤษภาคม ง. มถนายน

12.) นตบญญต : รฐสภา ตลาการ : ?

ก. กฎหมาย ข. สมาชกสภาผแทนฯ ค. ทนาย ง. ศาล

13.) หว : อาหาร ปวย : ?

ก. ยา ข. เขมฉดยา ค. คลนค ง. พยาบาล

14.) วนองคาร : สชมพ วนพฤหสบด : ?

ก. สแดง ข. สเขยว ค. สแสด ง. สเหลอง

15.) นา : ไหล ลม : ?

ก. ดน ข. พาย ค. หนาว ง. พด

เฉลย

8. ค คารบอนไดออกไซด 9. ค อ 10. ก วอชงตน 11. ค พฤษภาคม

12. ง ศาล 13. ก ยา 14. ค สแสด 15. ง พด

จดประสงคในการเผยแพร

เจรญเตบโตในสงคมรฐทสนคาการศกษาราคาแพง ผกขาดโดยรฐ ทาใหประชาชนพลเมองของรฐ

ขาดความร ประเทศขาดองคความร บานเมองขาดโอกาสในการพฒนา ระดบการศกษาของรฐตกยคลาดบ

และสดทายนานาชาตไมยอมรบในระบบการศกษา ประเทศขาดโอกาสในดานตางๆ อยางมหาศาล อยางนา

เสยดาย ทสาคญคอประเทศขาดโอกาสในการพฒนา เพราะประชาชนขาดองคความรในการพฒนาประเทศ

เพราะสนคาการศกษาราคาแพง เพราะผกขาดโดยรฐ และนายทนผมอานาจควบคมรฐ