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第十三章 动 能 定 理. 主讲:姚庆钊. §13-1 力的功 §13-2 质点和质点系的动能 §13-3 动能定理 §13-4 功率、功率方程、机械效率 §13-5 势力场 . 势能 . 机械能守恒定律 §13-6 普遍定理的综合应用. 教学基本要求. 理解并熟练掌握计算常见情况下的动能、功和势能;熟练掌握动能定理及机械能守恒定律,能正确选择和应用这些定理求解质点、质点系动力学问题;能正确选择和综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。. §13-1 力的功. 一、 常力在直线运动中的功. 功是代数量. - PowerPoint PPT Presentation
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第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功§13-2 质点和质点系的动能§13-3 动能定理§13-4 功率、功率方程、机械效率§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律§13-6 普遍定理的综合应用
主讲:姚庆钊
δ cosW F ds 元功
δ dW F r
二、变力在曲线运动中的功
d d d d
x y zF F i F j F k
r xi yj zk
记
d d dx y zW F x F y F z
21 ~ MM力 在 路程上的功为F
2 2
1 112 δ ·dM MM MW W F r
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
12 1 2( )
i i iW m g z z
1 、重力的功
质点系
iiC zmmz 由
重力的功只与始、末位置有关,与路径无关。
)( 2112 CC zzmgW 得
)(d 21122
1zzmgzmgW z
z 0x y zF F F mg
三、几种常见力的功
质点
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
2 、弹性力的功
弹簧刚度系数 k(N/m)
0( ) rF k r l e 弹性力
弹性力的功为
2
112 d
A
AW F r
2
10( ) d
A
rAk r l e r
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
21 1d d d( ) d( ) d
2 2r
re r r r r r r
r r r
因
022011 , lrlr 式中
rlrkW rr d)( 0122
1得
)(2
22
2112
kW即
弹性力的功也与路径无关
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
2
112 dzW M
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
)( 1212 zMW则
zM若 常量
δ d d dt tW F r F s F R
由 RFM tz
dzW M
从角 转动到角 过程中力 的功为1 2 F
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
iM iF
作用在 点的力 的元功为
力系全部力的元功之和为
d ( )d
i
i C C i
W W
F r M F
4. 平面运动刚体上力系的功
δ d d di i i i C i iCW F r F r F r
其中 d cos d ( )di iC i C iF r F MC M F
d d di C iCr r r
i C iCv v v
由 两端乘 dt, 有
d dR C CF r M
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
其中 : 为力系主失 , 为力系对质心的主矩。 RF
CM
当质心由 , 转角由 时 , 力系的功为21 ~ CC 21 ~
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
2 2
1 112 d d
C
R C CCW F r M
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
说明 :1 、对任何运动的刚体 , 上述结论都适用;
2 、 C 点不是质心,而是刚体上任意一点时 , 上述结论也成立;
3 、计算力系的主矢、主矩时,可以不包含不作功的力。
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
,SFW d1 、摩擦力 Fd 的功 S 是力在空间的位移,不是 受力作用点的位移 .
解:
d d d( ) 2S
W F F S F R FS F SR
不作功的力可不考虑 , 因此亦可如下计算 :
R
SRFRFSFFFW TT )()( dd
fsmgFS
SFFS
2
2
d
2 、可将力系向点 O 简化,即
2 2W FS F S FS mg fs d
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功
iCi mvvmTi
22
2
1
2
1
22222
2
1
2
1
2
1iiiiii rmrmvmT
( 1 )平移刚体的动能
( 2 )定轴转动刚体的动能
2
2
1 zJT 即
2
2
1CmvT 即
第十三章 动 能 定 理
§13-2 质点和质点系的动能
222 )(2
1
2
1 mdJJT Cp
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。
22
2
1
2
1 CC JmvT 得
速度瞬心为 P
( 3 )平面运动刚体的动能
上面结论也适用于刚体的任意运动。
第十三章 动 能 定 理
§13-2 质点和质点系的动能
d dt r d
dm F
t
将 两端点乘 ,
21d d( ), d
2m m F r W
由于
§13-3 动能定理
1 、质点的动能定理
21( )2
m W d因此
d dm F r 得
质点动能定理的微分形式,即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
第十三章 动 能 定 理
2 、质点系的动能定理
质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量,等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
由21
( )2 i i im W d
21( )2 i i im W d求和
iT Wd得
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
积分之 , 有:
2 1 iT T W
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
3 、理想约束 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔
索等约束的约束力作功等于零。
称约束力作功等于零的约束为理想约束。
对理想约束 , 在动能定理中只计入主动力的功即可。
内力作功之和不一定等于零。
当轮子在固定面只滚不滑时,接触处是否为理想约束?
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
思考:
已知:轮 O : R1 , m1 , 质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C : R2 ,
m2 ,纯滚动 , 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心 C 走过路程 S 时的速度和加速度。
例 13-2
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
12 2 sinW M m gS
01 T
22
222
222
21
2112 )
2
1(
2
1
2
1)(
2
1 RmmRmT
轮 C 与轮 O 共同作为一个质点系
解 :
22
11 ,
RRCC
1212 TTW
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
1R
S
)32(
)(2
211
12
mmR
SSingRmMC
2
2 1 2sin (2 3 )4CM m gS m m )(a
式 (a) 是函数关系式,两端对 t 求导 , 得
1 2 21
1(2 3 ) sin
2C
C C Cm m a M m gR
2 1
1 2 1
2 ( sin )
(2 3 )C
M m gRa
m m R
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
12 TTW 2
04
32 mmgfsFS )(a
)2(3
20 mgfFm
s
mgfsFSW 2
将式 (a) 两端对 t 求导 , 并利用 ,, 00
r
a
r
)2(3
20 mgfF
ma 得
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
已知 : , 均质 ; 杆 m 均质 , =l , M= 常量 , 纯滚动 , 处于水平面内 , 初始静止。
21OO1r 1m
例 13-5
求 : 转过 φ 角的21OO ,
§13-3 动能定理
第十三章 动 能 定 理
,01 T
221 )2
3
3(
2
1 lmm
研究整个系统
),(11
01101 r
l
rl
22
112011
22
2 )2
(2
1
2
1)
3(
2
1 rmm
mlT
解 :
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
21)92(
6
lmm
M
式 (a) 对任何 φ 均成立 , 是函数关系 , 求导得
注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点 C 是理想约束 , 其摩擦力 Fs尽管在空间是移动的,但作用于速度瞬心 ,故不作功。
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
22 2
1COBAB mTTT
12 TTW
)cos1(3
2
1 mglMmlAB
22
3
4ABml 2
02
2
1
2
1OBABC JJ
第十三章 动 能 定 理
§13-3 动能定理
d
WP
t
§13-4 功率、功率方程、机械效率
d
d t
rP F F v F v
t
1 、功率:单位时间力所作的功。
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
由 ,得
dWFr
作用在转动刚体上的力的功率为
zz M
tM
t
WP
d
d
d
单位: W (瓦特) ,1W=1J/S第十三章 动 能 定 理
2 、功率方程
1 1
n ni
ii i
WTP
t t
d
d d
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。
无用有用输入 PPPt
T
d
d
或d
d
TP P P
t 无用输入 有用
机床
第十三章 动 能 定 理
§13-4 功率、功率方程、机械效率
例 13-7
求 :切削力 F 的最大值。
5.4 ,P kw输入 %30 输入无用 PP
100 , 42 / min , ' 112 / mind n n mm r r
已知 :
解 : kw78.3 无用输入有用 PPP
·2 30
d nP F F
有用
60 60 3.7817.19
0.1 42F P
dn
kN有用
当 min/r112n 时60 3.78
6.450.1 112
F
kN
第十三章 动 能 定 理
§13-4 功率、功率方程、机械效率
s R解 :2
d
d
2
1
t
smT
2
2 d
d
2
1
t
s
R
Jm
d d,
d d
s sP mg P ks
t t 重力 弹性力
2
d
d
2
1
tJ
d
d
TP P
t 重力 弹性力
第十三章 动 能 定 理
§13-4 功率、功率方程、机械效率
t
sks
t
smg
t
s
t
s
R
Jm
d
d
d
d
d
d
d
d2
2
2
ksmgt
s
R
Jm
2
2
2 d
d
令 为弹簧静伸长,即 mg=k , 以平衡位置为原点
0 0
0s x 2
02 2
J xm mg k kx
R t
kx
d
d
0d
d2
2
2
kx
t
x
R
Jm
第十三章 动 能 定 理
§13-4 功率、功率方程、机械效率
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律1.势力场
势力场 (保守力场 ) :力的功只与力作用点的始、末位置有关 ,与路径无关。
, ,F F x y z
力场:一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用。
势力场中,物体所受的力为有势力。
2.势能 在势力场中,质点从点 M 运动到任意位置 M0 ,有势力所作的功为质点在点 M相对于 M0 的势能。第十三章 动 能 定
理
( 1 )重力场中的势能:
0
0dZ
ZV mg z mg z z
0 2 20d
2
r
r
kV F r
( 2 )弹性力场的势能:
0 ,0 为零势能点 则2
2k
V
0 0
d d d dM M
x y zM MV F r F x F y F z
0M 称势能零点
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
( 3 )万有引力场中的势能:
0 0 1 22
d dA A
rA A
fm mV F r e r
r
d dr r 由于 有re
1 1 21 22
1
1 1d
r
r
fm mV r fm m
r r r
取零势能点在无穷远 1r
r
mfmV 21
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
0
di
i
M
i iMV F r
质点系:
00 CCiii zzmgzzgmV 重力场:
( 4 )质点系受到多个有势力作用
质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置。
质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能。
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
已知 : 均质杆 l,m , 弹簧刚度系数 k, AB 水平时平衡,弹
簧变形为 。0
举例 :
求 : 杆有微小摆角时系统势能 .
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置 O 为零势能位置:
k
gmlk
lmglkV
82
1
22
1 22222
0
k
mg
20 0( ) 0
2A
lM F k l mg
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
22
2
12
1
20
220
20
20
2
lmgllk
mghkV
取杆平衡位置为零势能点 :
22
2
1lkV 即
质点系在势力场中运动 , 有势力功为:2112 VVW
对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的。
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
3. 机械能守恒定律
由 1212 WTT
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒。此类系统称保守系统。
2112 VVW
2211 VTVT 得
机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和。
质点系仅在有势力作用下 , 有
非保守系统的机械能是不守恒的。
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
已知:重物 m=250kg ,以 v=0.5m/s匀速下降,钢索 k=3.35× N/m 。 610
求 : 轮 D突然卡住时,
钢索的最大张力。
例 13-9
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
st
mg
k
1 0V
2 22 max max2 st st
kV mg
卡住前
卡住后
0,2
12
21 TmT
kN45.2 mgkF st
解 :
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
得
stst g
2
max 1
kN9.16112
max
m
k
gmg
gkkF
ststst
022
2max
2max
ststst g
即
由 有:2211 VTVT
stmg max 22mxa
2
200
2
1st
km
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
200
220 2
1
22
1 Jbk
J
取水平位置为零势能位置
0222
0 / Jkb
已知: m, , k ,水平位置平衡 , OD=CD=b 。初角速 度为 。
OJ
0
求:角速度与 角的关系。
解 :
例 13-10
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
* 4. 势力场的其他性质:
z
VF
y
VF
x
VF zyx
,,
(1) 有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标 的偏导数冠以负号。
( 2 )势能相等的点构成等势面 。
( 3 )有势力方向垂直于等势能面,指向势能减小的方向。
系统有多个有势力作用
, ,xi yi zii i i
V V VF F F
x y z
等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。
第十三章 动 能 定 理
§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律
§13-6 普遍定理的综合应用
动量、动量矩 动能矢量,有大小方向内力不能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化,应用时不考虑能量的转化与损失。当外力主矢为零时,系统动量 守恒当外力对定点 O或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。
非负的标量,与方向无关内力作功时可以改变动能
理想约束不影响动能
在保守系统中,机械能守恒
动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。
第十三章 动 能 定 理
d
d
sP mg mg
t
d
d
sm g
t
dsin
d
smg
t
2 2 21 1 3
2 2 4C C CT m J m 解 :
重力的功率
dsin
d
sm g
t
TP
t
d
d
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
( 很小)2
2
d d d, , ,sin
d d dC
C
s s s
t t t R r
03
22
2
rR
gs
t
s
d
d
d3 d2 sin
4 d dC
C
sm mg
t t
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
已知:两均质轮 m ,R ; 物块 m , k , 纯滚动 , 于弹簧原长处无 初速释放。
求:重物下降 h 时 ,v , a及滚轮与地面的摩擦力。
例 2 :
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
01 T
解 :
2 2 2 2 2 2 22
1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2T m mR m mR m
22 222
1khmghhkmghW
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
将式( a )对 t 求导:
d d3 4
d d
hm mg kh
t t
12 TTW ( a)
22
2
32 mkhmgh
m
hkhmg
3
22
得m
khga
3
4
3
RFFR
mRt s
2
2
1
d
dkhF 2其中
khmg
maFFS 3
4
62
1
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
cos
2
lCPCC
解 :
成 角时,01 T
22
222 cos3
11
2
1
2
1
2
1CCC mJmT
22cos3
11
2
1sin1
2 Cml
mg
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
l
gglC
3,3
2
1
(a)CN maFmg
(b)122
2mlJ
lF CN
时0
t nC A CA CAa a a a
由t
C CAa a、 n
A CAa a、其中 : 铅直 水平
2
laa t
CAC (c)
由 (a), (b), (c) 得 4
mgFN
Aa n
CAa
tCAa
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
已知 : 轮 I :r, m1; 轮 III :r,m3 ; 轮 II :R=2r, m2 ;压力角(即
齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角)为 20 度,物块 :mA ;在轮 I
上作用有力偶 M ,摩擦力不计。求: O1 , O2 处的约束力。
例 4 :
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
其中: 12 2
,2
1,
22
111
2 rmJr
r OA
22232
211 2
1
2
1
2
1AAOOO mJJJT
解 :
233
222 2
1,
2
1rmJRmJ OO
M
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
AW M m h d d
利用 2,
21
21
r
aA
其中: d2
1d rh
TW
td
d
rmmmm
grmMa
A
AA
321 442
22
M
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
研究 I 轮
r
ramM
r
rmMP A
t1
12
121
ttn PPP 364.020tan
压力角为 20
rPMJ tO 11
1 1 0O y tF P m g
1
10.364 AO x
M m raF
r
10O x nF P
1
11
AO y
M m raF m g
r
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
研究物块 A
1T A A A T A AF m g m a F m a m g
研究 II轮 02
nxO PF
2
10.364 AO x
M m raF
r
0322 TtyO FgmmPF
2 2 3
1
O y A
A A
MF m m m g
rm m a
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
已知: m , R , k , CA=2R 为弹簧原长, M 为常力偶 .
求 : 圆心 C 无初速度由最低点到达最高点时, O 处约束力 .
例 5 :
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
2
22202
2 Rk
RmgMW
2 1T T W
22
2 343.023
4kRRmgM
mR
2343.02 kRRmgM
01 T解 :22222
2 4
3
2
1
2
1
2
1 mRmRmRJT O
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
得 OxOx makRF 586.0
cos 45Cy Oyma F mg F
CyOy makRmgF 586.0
R
MkRmg 189.4043.1667.3
kRMR
196.03
2
cos 45Cx Oxma F F
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
已知:均质杆 AB , l , m ,初始铅直静止,无摩擦 .
求: 1.B端未脱离墙时 , 摆至 θ 角位 置时的 , ,FBx ,FBy
2. B 端脱离瞬间的 θ 1
3. 杆着地时的 vC及 2
例 6
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
2cos2sin3
4
3
cossin
2
mgmg
aammgF nC
tCBy
CyBy mamgF )2cos3(sin
4
3
)sincos(
mg
aammaF nC
tCCxBx
(2) 脱离瞬间时 0BxF
1
2arccos
3 l
g
l
g cos1
31
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
(3) 脱离后 , 水平动量守恒 ,脱离瞬时
glvv CCx 3
1cos 1
gll
vC 2
1
2 1
A
B
C
Cv
杆着地时 , AC 水平
C B CBv v v
2 2Cy CB
lv v
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
由铅直——水平全过程
2 2 22
1 1
2 2 2Cx Cy C
lmg mv v J
01 T 12 TTW
式中2
21, ,
3 2 12Cx Cy C
l mlv gl v J
2
8
3
g
l
l
gvCy 3
8
2
1
glvvv CyCxC 73
122
第十三章 动 能 定 理
§13-6 普遍定理的综合应用
本章小结
动能是物体机械运动的一种度量。
2
2
1mv
2
2
1mv 质点的动能
质点系的动能 2
2
1iivmT 2
2
1iivmT
平动刚体的动能 2
2
1CmvT 2
2
1CmvT
绕定轴转动刚体的动能 2
2
1 zJT 2
2
1 zJT
平面运动刚体的动能 22
2
1
2
1 CC JmvT 22
2
1
2
1 CC JmvT
力的功是力对物体作用的积累效应的度量。
s
dsFW cos s
dsFW cos
或
重力的功
2 2
1 112 d ( d d d )
M M
x y zM MW F x F y F z F r
2 2
1 112 d ( d d d )
M M
x y zM MW F x F y F z F r
)( 2112 zzmgW )( 2112 zzmgW
弹性力的功
定轴转动刚体上力的功
)(2
22
2112
kW )(
222
2112
kW
2
112
dMW z
2
112
dMW z
平面运动刚体上力系的功 2
1
2
1
dd'12
C
C
C CR MW rF 2
1
2
1
dd'12
C
C
C CR MW rF
本章小结
动 能 定理
微分形式积分形式
WT d WT d
1212 WTT 1212 WTT
理想约束条件下,只计算主动力的功。
注意:质点系的内力作功之和不一定等于零! 功率是力在单位时间内所作的功
vFt
WP
vF
dvF
t
WP
vF
d
MP MP (力矩的功率)
本章小结
功率方程 Pdt
dT Pdt
dTP 输入- P 有用- P 无用
机械效率 有效功率输入功率η =
η= P 有用 +
dtdTdtdT
P 输入
即
有势力的功只与物体的运动的起点和终点的位置有关,而与物体内各点轨迹的形状无关。
本章小结
物体在势力场中某位置的势能等于有势力从该位置到任选的零势能位置所作的功。
重力场中的势能 V = mg(z - z0)
弹性力场中的势能
万有引力场中的势能
)(21 2
02 kV )(
21 2
02 kV
若以自然位置为零势能点,则 2
2
1 kV 2
2
1 kV
rrmfmV
11
021
rrmfmV
11
021
若以无限远处为零势能点,则r
mfmV1
21 rmfmV
121
本章小结
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