תורת היצרן ותחרות משוכללת

1

תורת היצרן ותחרות משוכללתטכנולוגיות, פונקציות ייצור•

ייצור במינימום הוצאות •פונקציית ההוצאות–פונקציות הביקוש המותנות–

מקסום רווחים•בהינתן מבנה ההוצאות וחישוב פונקציית ההיצע בטווח הארוך –

והקצרבהינתן הטכנולוגיה וחישוב פונקציות ביקוש )לגורמי ייצור( –

והיצע )של תפוקות(ביקושים והיצעים ענפיים–

שיווי משקל ענפי תחת תחרות משוכללת•טווח קצר, טווח ארוך–

2

הייצור

טכנולוגיה ופונקציות ייצור•

הומוטתיות והומוגניות•

תשואה לגודל•

3

טכנולוגיהכיצד נתאר את הטכנולוגיה•

באופן כללי ביותר הטכנולוגיה היא האמצעי להפוך •גורמי ייצור )תשומות( לתפוקות )מוצרים(.

גורמי ייצור מסומנים ב – mבדרך כלל נניח שיש •z1,z2,…zm – ותפוקה אחת המסומנת ב q.

היא רמת q כאשר (z,q) היא נקודה תכנית ייצור•.הוא וקטור גורמי ייצור z= )z1,z2,…zm ( התפוקה, ו-

טכנולוגיה

( feasibleתכנית ייצור יכולה להיות אפשרית )•(non-feasibleאו לא אפשרית )

הטכנולוגיה של היצרן מתארת את קבוצת •תכניות הייצור האפשריות.

קבוצת , אוהקבוצה האפשריתקבוצה זו נקראת •.Yומסומנת ב הטכנולוגיה , או הייצור

Y={ (z,q) Rm+1| q can be produced by z }

4

5

דוגמה: גורם ייצור יחידq

z

Y

בלתי אפשריותתכניות ייצור

אפשריותתכניות ייצור

Y

תכניות ייצור יעילות

אם היא אפשרית יעילה הינה (z,q)תכנית ייצור )כלומר שייכת לטכנולוגיה( ולא קיימת תכנית

ייצור אפשרית אחרת )כלומר שונה ממנה( (z’,q)’ :המקיימת z’≤z – ו q’≥q

כלומר לא ניתן לייצר אותה תפוקה או יותר עם אותן או פחות תשומות.

6

7

תאור גראפי של תכניות ייצור יעילות

(zתשומה )

(qתפוקה )

תכניות ייצור אפשריות

תכניות ייצור בלתי

אפשריות

תכנית ייצור יעילה

8

תכונות הטכנולוגיה

:מונוטוניות )השלכה חופשית(•

גם אז z’ ≥ zאפשרית ו- תכנית ייצור (z,q)אם –(z’,q) אפשרית תכניות ייצור.

גם אז ’q ≥ qאפשרית ו- תכנית ייצור (z,q)אם –(z,q)’ אפשרית תכניות ייצור.

9

מונוטוניות )השלכה חופשית(q

z

(z,q)

אזי אפשרית תכניות ייצור (z,q)אם כל תכניות הייצור ברביע הדרום

מזרחי (התכולות) אפשריות

10

תכונות הטכנולוגיה:קמירות•

אזי לכל הינן תכניות ייצור אפשריות’(z’,q) ו- (z,q)אם –1≤α≥0 :תכנית הייצור ,

α )z,q(+)1- α( )z’,q’(=)αz+(1- α(z,αq+)1- α(q’(

.הינה אפשרית

שימו לב שתכנית זו אינה בהכרח יעילה.

כלומר ניתן לייצר כל נקודה על הקו הישר המחבר כל שתי תכניות

ייצור אפשריות, או לחילופין, הטכנולוגיה מכילה ביחד עם כל שתי

נקודות גם את הקו הישר המחבר ביניהן.

11

קמירותq

z

(z,q)

(z’,q’)

α )z,q(+)1- α( )z’,q’(

תכניות ייצור אפשריות’(z’,q) ו- (z,q)אם )’α )z,q(+)1- α( )z’,q גם α≥0≥1אזי לכל

.תכנית ייצור אפשרית

12

דוגמה: טכנולוגיה קמורה

q

z

Y

אפשריותתכניות ייצור

בלתי אפשריותתכניות ייצור

13

דוגמה: טכנולוגיה לא קמורהq

z

Y

אפשריותתכניות ייצור

בלתי אפשריותתכניות ייצור

14

פונקצית הייצור

נסמן את הכמות , zבהינתן צירוף גורמי ייצור, •המקסימאלית של תפוקה אותה ניתן להשיג

)f)z.באמצעות צירוף זה, ב -

לפונקציה זו שמתאימה לכל צירוף גורמי ייצור, •z , כמות התפוקה המקסימאלית שניתן את

פונקצית להשיג באמצעות צירוף זה אנו קוראים .הייצור

15

f(z) = z1/2 דוגמה:

q

z

Y={)z,q(: q ≤ z1/2}

אפשריותתכניות ייצור

בלתי אפשריותתכניות ייצור

f(z)=z1/2

16

f(z) = 2z דוגמה: q

z

Y={(z,q): q ≤ 2z}

אפשריותתכניות ייצור

בלתי תכניות ייצור אפשריות

f(z)=2z

17

f(z1, z2) = Min{z1, z2{דוגמה:

קבוצת הייצור היא•

Y={(z1,z2,q) | q ≤ Min{z1, z2 } }

אבל קשה לתאר אותה גראפית.

אוסף גורמי הייצור אז משרטטים את שמאפשרים לייצר תפוקה נתונה.

18

אוסף גורמי הייצור שמאפשרים לייצר תפוקה נתונה

, נמצא את כל צירופי qבהינתן רמת תפוקה •:qשמאפשרים לייצר את , zגורמי הייצור,

Z(q) = {z | אפשרית (z,q) }

= {z | f (z) ≥ q }

במקרה שלנו,•Z(q) = {(z1,z2) | Min (z1,z2) ≥ q }

19

אוסף גורמי הייצור שמאפשר q לייצר את

z1

z2

q

q

)(qZ

20

f(z1, z2) = z1 + z2דוגמה:

קבוצת הייצור היא•

Y={(z1,z2,q) | q ≤ z1+z2 }

אבל קשה לתאר אותה גראפית.

אוסף גורמי הייצור אז, משרטטים את שמאפשרים לייצר תפוקה נתונה.

21

אוסף גורמי הייצור שמאפשרים לייצר תפוקה נתונה

, נמצא את כל צירופי qבהינתן רמת תפוקה •:qשמאפשרים לייצר את , zגורמי הייצור,

Z(q) = {z | אפשרית (z,q) }

= {z | f (z) ≥ q }

במקרה שלנו,•Z(q) = {(z1,z2) | z1+z2 ≥ q }

22

q אוסף התשומות הנדרש לייצור

)(qZ

z1

z2

q

q

z1+ z2 = q

q’

q’

z1+ z2 = q’

)'(qZ

23

f(z1, z2) = (z1z2)1/2דוגמה:

קבוצת הייצור היא•

Y={(z1,z2,q) | q ≤ (z1z2)1/2}

אבל קשה לצייר אותה.

אוסף גורמי הייצור שמאפשרים אז, מציירים את לייצר תפוקה נתונה.

24

אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה

, נמצא את כל צירופי qבהינתן רמת תפוקה •:qשמאפשרים לייצר את , zגורמי הייצור,

Z(q) = {z | אפשרית (z,q) }

= {z | (z) ≥ q }

במקרה שלנו,•Z(q) = {(z1,z2) | (z1z2)1/2 ≥ q }

25

אוסף גורמי הייצור שמאפשר q לייצר את

)(qZ

z1

z2

21zzq

עקומה שוות תפוקה שהינה אוסף )Z)q מתאימה קבוצה qראינו כי לכל •

. qגורמי הייצור שמאפשר לייצר תפוקה השפה של קבוצה זו מתארת את אוסף גורמי הייצור •

ביעילות.qשמאפשר לייצר תפוקה הינה השפה של qהעקומה שוות תפוקה המתאימה ל •

Z)q(:וניתנת על ידי

}z Rm | f)z( = q{ ובשקף הבא נראה את ה"הקבלה" לעקומת אדישות ...•פונקצית הייצור "מקבילה" לפונקצית התועלת, ויש •

לשים לב שכאן הערך המספרי כמובן חשוב.26

27

מפונקצית ייצור לעקומה שוות תפוקה

עקומה שוות תפוקה , )f)z1,z2בהינתן פונקצית ייצור •ניתנת על ידי צירופי גורמי הייצור המקיימים: qברמה

f)z1,z2(=q

אלו קווים שווי רמה של פונקצית הייצור.•

f)z1,z2(=z1אם 0.5z2

0.4

עקומה שוות תפוקה טיפוסית ניתנת על ידי:

z10.5z2

0.4 =q0

ומושג התפוקה השולית שמופיע בשקף הבא "מקביל" •למושג התועלת השולית.

28

תפוקה שוליתʸ ʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬʹ ʺʩʬʥ́ʤʤ̫ʥɹ̋ ʤiʥʡʡʶ ʷʤʤhʩʤ

ʸ ʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬ́ ʥ̋ʥʮʫ̋ ʠʭʩʬʩʣʢʮ́ ʫʤ̫ʥɹ̋ ʤʤʬʣʢ

i.

ʸ ʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬʹ ʺʩʬʥ́ʤʤ̫ʥɹ̋ ʤiʡʺʰʮʥɦʮ–

MPi :ʩʣʩʬʲ ʺʸ ʣʢʥʮʥ

i

i zf

MP

ʺ ʬɹ ʫʤʩʣʩʬ̡ ʤ̫ʥɹ̋ ʡʬʬʥʫʤʩʥhʩ́ʤ̋ ʠʡʸ ʷʬʯ̋ ʩh

ʬ́ ʺ ʩʬʥ́ʤʤ̫ʥɹ̋ ʡʸ ʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬ́ ʥ̋ʥʮʫʡʩʥhʩ́ʤ

ʺ ʩhʮʦʥʡʭʩʩʥhʩ́ʸ ʴ ʱ ʮʭʩʬʧʭʠʥyʥʁʩʩʤʭʸ ʥʢ

ʬʡʷʺ ʮ:

∆q≈∆z1∙MP1+∆z2∙MP2

29

התפוקה השולית הצגה גראפיתאם נשרטט את פונקצית הייצור )עבור רמות מסוימות של כל גורמי הייצור •

1( כשעל הציר האופקי נמדדת כמותו של גורם ייצור 1למעט גורם ייצור 1ועל הציר האנכי נמדדת התפוקה, אזי, התפוקה השולית של גורם ייצור

q.בכל נקודה ניתנת על ידי שיפוע הקו

z1

1

211

),()(

z

zzfzMP

30

באופן פורמאלי...

שיעור גידול התפוקה כשמגדילים את כמות גורם •הוא z1הייצור

1

21211

1

),(),(

z

zzfzzzf

z

f

היא z1 גורם הייצור של והתפוקה השולית•

1

21

10

211

),(

lim),(1

z

zzf

z

fzzMP

z

31

באופן דומה

שיעור גידול התפוקה כשמגדילים את כמות גורם •היאz2 הייצור

2

21221

2

),(),(

z

zzfzzzf

z

f

היא z1 גורם הייצור של והתפוקה השולית•

2

21

20

212

),(

lim),(2

z

zzf

z

fzzMP

z

32

f)z( = z1/2דוגמה:

zzMP

zzf

2

1)(

)(

MP

z

שימו לב שפונקצית ייצור זו מקיימת תפוקה שולית פוחתת.

33

f)z1, z2( = z1 + z2דוגמה:

1),(

1),(

)(

212

211

2121

zzMP

zzMP

zzzzf

MP1

z

1

שימו לב שפונקצית ייצור זו מקיימת תפוקה שולית קבועה בכל אחד מגורמי הייצור.

34

f(z1, z2) = (z1z2)1/2דוגמה:

2

1212

1

2

21

2211

2121

2

1),(

2

1

2),(

),(

z

zzzMP

z

z

zz

zzzMP

zzzzf

MP1

z1

שימו לב שפונקצית ייצור זו מקיימת תפוקה שולית פוחתת בכל אחד מגורמי הייצור.

35

TRSשיעור התחלופה הטכנולוגי -

.(z1,z2) באמצעות qנניח שאנו מיצרים •, בכמה 1אם נוריד "קצת" את כמות גורם ייצור •

ליחידת 2נצטרך להגדיל את כמות גורם ייצור q? על מנת להמשיך ליצר 1שינוי ב

שיעור התחלופה לתשובה לשאלה זו קוראים)Technical Rate of Substitution(הטכנולוגי

הוא מתאר את הקצב בו צריכים להגדיל את כשמקטינים את כמותו של גורם 2גורם ייצור

, על מנת לשמור על רמת תפוקה קבועה.1ייצור

36

שיעור התחלופה הטכנולוגי

)(qZ

2z

1z

z1

z2

1

221 ),(

z

zzzTRS

37

באופן פורמאלי...

התפוקה Δz1 ב- 1אם נוריד את כמות גורם הייצור •תרד ב-

1211 ),( zzzMP התפוקה Δz2 ב- 2אם נגדיל את כמות גורם הייצור •

תעלה ב-

2212 ),( zzzMP

מכאן ששינוי התפוקה יהיה•

22121211 ),(),( zzzMPzzzMPq

באופן פורמאלי

0),(),( 22121211 zzzMPzzzMPq

38

נצטרך Δz1 ב- 1לכן, אם נוריד את כמות גורם הייצור • כזאת ש- Δz2 בכמות 2להגדיל את גורם הייצור

),(

),(

212

211

1

2

zzMP

zzMP

z

z

חייב לקיים Δz2במלים אחרות, •

TRSבדרך כלל נתעלם מהסימן השלילי ונאמר כי ה – •ניתן על ידי יחס התפוקות השוליות.

39

שיעור התחלופה הטכנולוגי

)(qZ

z1

z2

),(

),(),(

212

21121 zzMP

zzMPzzTRS

z1

z2

40

f(z1, z2) = z1 + z2דוגמה:

1),(1),(

1),(21

212

211

zzTRSzzMP

zzMP

)(qZ

z1

z2

q

q

q’

q’

)'(qZ

41

דוגמה:

1

221

2

1212

1

2211

),(

2

1),(

2

1),(

z

zzzTRS

z

zzzMP

z

zzzMP

2121 ),( zzzzf

42

דוגמה:

)(qZ

21zzq

z1

z2

2121 ),( zzzzf

z1

z2

1

221 ),(

z

zzzTRS

43

הערה

כאשר הטכנולוגיה קמורה אזי שיעור התחלופה •הטכנולוגי יורד.

לאורך 1ככל שמגדילים את כמות גורם הייצור •עקומת שוות-תפוקה נתונה, כך שיעור

התחלופה הטכנולוגי )בערך מוחלט( יורד )העקומה הולכת ומשתטחת משמאל לימין(.

ההקבלה למושגים מתורת הצרכןפונקצית הייצור "מקבילה" לפונקצית התועלת•גורמי הייצור "מקבילים" למוצרים•עקומה שוות תפוקה "מקבילה" לעקומת אדישות•תפוקה שולית "מקבילה" לתועלת שולית•( "מקביל" לשיעור TRSשיעור התחלופה הטכנולוגי )•

(MRSהתחלופה השולי הסובייקטיבי )בתורת היצרן, בניגוד לתורת הצרכן, יש חשיבות רבה •

לערכים המספריים של פונקצית הייצור והתפוקות השוליות, כלומר המספור עצמו של עקומות שוות

תפוקה שמייצג רמות תפוקה שונות חשוב.44

התנהגות "יפה ממש" ו – "יפה" של עקומות שוות תפוקה

העקומות שוות תפוקה מתנהגות "יפה ממש" • הולך ופוחת ממש משמאל לימין.TRSאם ה –

העקומות שוות תפוקה מתנהגות "יפה" אם ה – •TRS .הולך ופוחת משמאל לימין

ההבדל המרכזי בין שני המושגים הוא •שבהתנהגות יפה יתכנו גם "חלקים ישרים"

לאורך העקומות שוות התפוקה.

45

4646

z1

z2

: התנהגות "ממש יפה" (קמורה ממש וחלקה): התנהגות "ממש יפה" (קמורה ממש וחלקה)11מקרה מקרה

בחרו שתי נקודות על השפה שרטטו את הקו המחבר אותן הקו נמצא בתוך Z(q).

שילוב של שתי תכניות ייצור שילוב של שתי תכניות ייצורעשוי לייצר תפוקה גבוהה עשוי לייצר תפוקה גבוהה

..יותריותר

z

z

Z(q)

q<f(z) q<f(z)

q =f(z’’)

q =f(z’’)

q=f(z’)

q=f(z’)

4747

: התנהגות "יפה" אבל לא "ממש": התנהגות "יפה" אבל לא "ממש"22מקרה מקרה

z1

z2

צירוף של שתי תכניות ייצור צירוף של שתי תכניות ייצוראפשריות, אפשרי אף הוא.אפשריות, אפשרי אף הוא.

Z(q)

z

z

בחרו שתי נקודות על השפה

שרטטו את הקו המחבר אותן

הקו נמצא אף הוא על השפה

4848

: התנהגות "לא יפה": התנהגות "לא יפה"33מקרה מקרה

z1

z2

באיזור זה שילוב של באיזור זה שילוב שלתוכניות ייצור אינו אפשרי.תוכניות ייצור אינו אפשרי.

חברו שתי נקודות מצידיושל ה"שקע"

Z(q)

קחו נקודה ביניהן

הדגישו את האזור בומתרחשת תופעה זו

נקודה זו אינה אפשרית

נקודה זו אינה אפשרית

4949z1

z2

הקבוצהz(q)

ויחס גורמי ויחס גורמי TRSTRSעקומה שוות תפוקה, עקומה שוות תפוקה, ייצורייצור

קו שווה רמה שלF עקומה) ש"ת)

{z|f(z)=q} {z|f(z)=q}

נקודה על העקומה

z2°

z1°

z°

יחס גורמי הייצור בנקודה

z2 / z1= constant z2 / z1= constant

הTRSבנקודה

הגדילו את הTRS

z′

TRS21=f1(z)/f2(z)TRS21=f1(z)/f2(z)

ה הTRSTRS הולך ויורד הולך ויורד משמאל לימין.משמאל לימין.

5050

טכנולוגיה הומוטתיתטכנולוגיה הומוטתית

העקומות שוות התפוקה

Oz1

z2 שרטטו קרן דרך הראשית

הTRSקבוע לאורך כל קרן

51

תשואה לגודלReturns to Scale

±®́ £ ª£³ £®¦´¬ ±ª¦ ¦ ³ ´� � � � � � � � � � � � .«¡£ ´ ² °££ £̈ ² ¦¥́ §£ª³ ¨³ ¥� � � � � � � � �

¦ ¦ ¬ ± ³ ´� � � � � � � � �:

),...,(),...,( 11 nn zztftztzf 0 < t

¦ ¦ ¦ ¬ ³ ´� � � � � � � �:

),...,(),...,( 11 nn zztftztzf 1 <t

¦ ¦´ ² £ ³ ´� � � � � � � �:

),...,(),...,( 11 nn zztftztzf 1 < t

– תשואה עולה לגודל1מקרה

אם תשואה עולה לגודל פונקצית ייצור מקיימת •, t>1 ולכל )z =)z1,z2>0לכל צירוף גורמי ייצור

אזי tאם מכפילים את כל גורמי הייצור ב- .tהכמות המיוצרת מוכפלת ביותר מ -

f)z1,z2(=z1דוגמה: 2+z2

3

f)tz1,tz2(=)tz1(2+)tz2(3>t)z12+z2

3(=tf)z1,z2( if t>1

מקיימת תשואה עולה לגודל. fולכן

f)z1,z2(=z1דוגמה נוספת לפונקצית תע"ל 2z2

0.5

52

– תשואה יורדת לגודל2מקרה

אם תשואה יורדת לגודל פונקצית ייצור מקיימת •, t<1 ולכל )z =)z1,z2>0לכל צירוף גורמי ייצור

אזי tאם מכפילים את כל גורמי הייצור ב- .tהכמות המיוצרת מוכפלת בפחות מ -

f)z1,z2(=z1דוגמה: 0.5+z2

f)tz1,tz2(=)tz1(0.5+)tz2(<t)z10.5+z2(=tf)z1,z2( if t>1

מקיימת תשואה יורדת לגודל. fולכן

f)z1,z2(=z1דוגמה נוספת לפונקצית תי"ל 0.2z2

0.5

53

– תשואה קבועה לגודל3מקרה

תשואה קבועה לגודל פונקצית ייצור מקיימת • ולכל )z =)z1,z2>0אם לכל צירוף גורמי ייצור

t>0 -אם מכפילים את כל גורמי הייצור ב ,t אזי .tהכמות המיוצרת מוכפלת ב -

f)z1,z2(=3z1+z2דוגמה:

f)tz1,tz2(=3)tz1(+)tz2(=t)3z1+z2(=tf)z1,z2(

מקיימת תשואה קבועה לגודל. fולכן

f)z1,z2(=z1דוגמה נוספת לפונקצית תק"ל 0.2z2

0.8

54

55

פונקציות יצור הומוגניות

אםr הינה הומוגנית מדרגה )f)z1,…,zmפונקציה •

t>0 לכל )f)tz1,…,tzm(=trf)z1,…,zmאם:

מקיימת תשואה עולה לגודלr>1פונקצית ייצור הומוגנית מדרגה מקיימת תשואה יורדת לגודלr<1פונקצית ייצור הומוגנית מדרגה מקיימת תשואה קבועה r=1פונקצית ייצור הומוגנית מדרגה

לגודל

דוגמאות

f)z1,z2(=z10.6z2

.0.8 הינה הומוגנית מדרגה 0.2

f)tz1,tz2(=)tz1(0.6)tz2(0.2=t0.8)z10.6z2

0.2(=t0.8f)z1,z2(

F)z1,z2(=z10.5+z2

.0.5 הינה הומוגנית מדרגה 0.5

F)z1,z2(=z1+z2 אינה פונקציה הומוגנית.0.5

56

57

פונקציות הומוגניות – תכונות

(²¦£ ¢®³ ¨� �)

§ ��£°±ª®��F² ¨´£ª ¨� � � � � � �r£  �:

1. ),...,( 11

m

m

ii

i zzrFzF

z

2. ¦³ ´ £±¦¡ ´ ²  ª� � � � �F² ¨´£ª ¨ ©ª£� � � � � � � �r-1.

1הוכחת תכונה

מתקיים:rבפונקציה הומוגנית מדרגה

f)tz1,…,tzm(=trf)z1,…,zm(

ונקבל:tנגזור את שני האגפים לפי

ונקבל כי:t=1נעריך את שני האגפים בנקודה

58

m

im

rimi zzfrtztztzf

11

11 ),...,(),...,(

m

mimi zzrfzzzf11

11 ),...,(),...,(

2הוכחת תכונה

מתקיים:rבפונקציה הומוגנית מדרגה

f)tz1,…,tzm(=trf)z1,…,zm(

ונקבל:ziנגזור את שני האגפים לפי

ונקבל כי:tנחלק את שני האגפים ב –

59

),...,(),...,( 11 mir

mi zzfttztztf

),...,(),...,( 11

1 mir

mi zzfttztzf

60

פונקציות ייצור תק"ל - תכונות

תשואה קבועה לגודל מקיימת fאם פונקצית הייצור •, )z=)z1,z2 אזי לכל צירופי גורמי ייצור

),(),(),( 2122211121 zzMPzzzMPzzzf

61

פונקציות ייצור תק"ל - תכונות אזי תשואה קבועה לגודל מקיימת fאם פונקצית הייצור •

. כלומר, לכל 0התפוקות השוליות הן הומוגניות מדרגה מתקיים,t>0, ולכל )z=)z1,z2 צירופי גורמי ייצור

2,1 ),(),( 2121 izzMPzzMP ii

62

1מסקנה אזי תשואה קבועה לגודל מקיימת fאם פונקצית הייצור •

.z1/z2התפוקות השוליות תלויות רק ביחס גורמי הייצור

,t>0 אנו יודעים שלכל הוכחה:•

2,1 ),(),( 2121 izzMPtztzMP ii

מתקבלt= 1/z2בפרט, ל- •

2,1 )1,( ),(2

121 i

z

zMPzzMP ii

63

2מסקנה אזי השיעור תשואה קבועה לגודל מקיימת fאם פונקצית הייצור •

.z1/z2התחלופה הטכנולוגי תלוי רק ביחס גורמי הייצור

ונקבל,1נשתמש במסקנה הוכחה: •

)1,(

)1,(

)1,(

),(

),(),(

2

1

2

12

2

11

212

21121

z

zTRS

zz

MP

zz

MP

zzMP

zzMPzzTRS

64

פונקציית ייצור תק"ל – תכונות נוספות ʩʤ̋F(K,L) .ʬ"ʷʺ ʸ ʥʁʩʩ̋ʩʩʁʷʰʥɹ

ʩʦʠʺ ʩʡʥʩʧʺ ʩʬʥ́ʤ̫ʥɹ̋ ʸ ʥʁʩʩʤʩʮy ʥʢʩh́ ʬʭʠʺ ʣyʥʩyʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬʫʬ́ ʺ ʲ ʶ ʥʮʮʤʤ̫ʥɹ̋ ʤ

.ʤʬʥ̡ʥ̋ʥʮʫ́ ʫʤʧʫʥʤʪʥ̋ʮK MPK+L MPL=F(K,L)

ʬʡʷʺ ʮ(K/L)MPK+MPL=APL ʹ ʯʥʥʩʫʮ– MPKʩʫʬʡʷʺ ʮʩʡʥʩʧMPL<APL

.ʺ ʣyʥʩ̋ʲ ʶ ʥʮʮʤʤ̫ʥɹ̋ ʤʯʫʬʥ

(ʤʩʢʥʬʥhʫʨʬʫʡ )ʩʬʬʫʯɹʥʠʡʭʠʭʩ̡ʩʩɦʮʥʠʸ ʷʩyʥʁʩʩʩʮy ʥʢFKL>0 ʭʠʭʩyʧʺʮʥʠʸ ʷʩyʥʁʩʩʩʮy ʥʢFKL<0

ʩh́ ʬʭʠ ,ʸ ʥʁʩʩʩʮy ʥʢʩh́ ʭʲ ʬ "ʷʺ ʺ ʩʩʢʥʬʥhʫʨʡ

.ʭʩ̡ʩʩɦʮʭʤʩʦʠʺ ʺ ʧʥɹ̋ ʩʬʥ́ʤ̫ʥɹ̋ ʸ ʥʁʩʩʤʩʮy ʥʢʤʧʫʥʤ

ʬ́ ʤyʩʦʢK FK+L FL=F(K,L)ʩɹʬL :ʩʫ̋ ʸ ʸ ʥʢK FKL+FL+L FLL=FL

ʯʠʫʮʥFKL>0

65

פונקציות יצור הומוגניות – משמעות כלכלית של התכונות

,²¦£ ¢®³ ¨£®¦¬� �§ ��£°±ª®��F² ¨´£ª ¨� � � � � � �r£  �:

),...,( 1 m

i

i zzrFzF

z

: £  �ª�¥́ ¦³ ´£¦¥¦¥�´�¬̈ ³ ¨�� � � � � � � �£°±ª®²³ ¥� �² °£ ´� �¦"±́ £� �² ¨´£ª ¨� � � � � � � ) 1),¦¥¦§¦³ ª§ �

´ ² °££§²� � � �¤²¬ ,(©� � ) ¢ª²� � � ( ¬� � � � )²¥³ ¥ ¦³ ´£¦ ³ ±�®́�� � � � � �¤²¬±®́� � �£§ ¦³ ´ £«£¥¦± £ ±£®«� � � � � �.

¤²¬¦ ±®́� � � �«£ ¥§ ¦³ ´¦±£®� �¦³ ²±̈� � (§£«®£�£� � � � )¨ ¦ ²�̈ ´�£ª��̈ ��� � � � � � � � � � � �– 1 (´²´ £ ±®́ ¤²¬� � � � (¦ ¦ ¦ ¬ ³� � � � � � � �

¨ ª¢± ² ¨´ £ª ¨ ¦³ ²±̈� � � � � � � � � � � (§£¡ ² £ £� � � � )±£®«´²³ ¨�– 1 .(¦ ¦´ ² £ ³ ´� � � � � � � � )

² ¨´£ª ¨ £°±ª�®¦³ ´�£±¦¡�´�² �ª�� � � � � � � � � � � � � � ,²¦£ ¢®³ ¨£®¦¬� �r

² ¨´ £ª ¨ ©ª� � � � � � � � �r-1.

´ ³ ´ ¨ ±¬ £¬®£³� � � � � � ,´ £́ ¢ ¨ ©ª£ ´ £ª ¨ ´ £°±ª®́  ² ¦� � � � � � � � � � � � � � �.´£³ ² ¨´ ° £ §££ª²±¤² ¦§£¬ ± ±®́� � � � � � � � � � � �

6666

עקומות שוות תפוקה של פונקציה עקומות שוות תפוקה של פונקציה הומוגניתהומוגנית

עקומות שוות תפוקה

Oz1

z2 התשומות בz0

עקומה שוות תפוקה עבורtתשומות מוכפלות ב

O tz1°

tz2°

z2°

z1°

tz°

z°

q

trq

f הינה הומוגנית מדרגה r z ולכל t>0אם לכל

מתקייםf)tz( = t r f )z(

67

פונקציית ייצור קוב-דוגלאסʱ ʠʬʢʥʣʡʥ̫ʸ ʥʁʩʩ̋ʩʩʁʷʰʥɹ– F(K,L)=AKL

ʸ ʹ ʠʫ -ʥʤʩʁʷʰʥɹʤ ,ʣʧʠʮʭʩhʨ̫ ʥʭʩʩʡʥʩʧ

.ʺ ʺ ʧʥɹ̋ ʩʬʥ́ʤ̫ʥɹ̋ ʺ ʮʩʩ̫ʮ

ʬɦ ʧʩʡʤ̫ʥɹ̋ ʤ̋ ʥ́ʩʮʢʤhʩʤ– K. ʬɦ ʧʩʡʤ̫ʥɹ̋ ʤ̋ ʥ́ʩʮʢʤhʩʤ– L.

ʩʣʩʬ̡ ʺ ʰʺ ʩhʤʩʁʷʰʥɹʤʬ́ ʺ ʥʩhʢʥʮʥʤʤ̋ ʢy ʣ+.

(ʺ ʣyʥʩ)ʤʬʥ̡ʤʠʥ́ʺ ʺ ʮʩʩ̫ʮʥʦy ʥʁʩʩ̋ʩʩʁʷʰʥɹʸ ʹ ʠʫʬʣʥʢʬ+>1 (+<1).

ʬʣʥʢʬʤ̡ʥʡʷʤʠʥ́ʺ ʺ ʮʩʩ̫ʮʥʦy ʥʁʩʩ̋ʩʩʁʷʰʥɹ

ʸ ʹ ʠʫ+=1.

68

פונקציית ייצור קוב-דוגלאס

:ʭʩʩ̫ʺ ʮʬ "ʷʺ ʱ ʠʬʢʥʣ-ʡʥ̫ʺ ʩʩʁʷʰʥɹy ʥʡʲ ʹ ʸ ʸ ʥʢy ʬʩʥʠʨɹ ʹ ʮ

K MPK+L MPL=F(K,L)

ʯʩɹʥʬʩʧʬ )KFK+LFL=F(K,L))

ʥʦʫʤʩʁʷʰʥɹʡʯʥʤʤ̫ʬʧ )ʯʥʤʬʭʬʥ́ʮʤyʶ ʥ̋ʤʦʥʧʠʺ ʠʢʁ ʩʩʮ

-ʥ (ʸ ʶ ʥ̋ʡʤʣʥʡʲ ʤ̫ʬʧ )ʤʣʥʡʲ ʬʭʬʥ́ʮʤyʶ ʥ̋ʤʦʥʧʠʺ ʠ

.(ʸ ʶ ʥ̋ʡ

ʹ ʡʬʥʮʩ́– KxMPK=F(K,L) -ʥLxMPL=F(K,L)

69

Paul H. Douglas, 1892-1976

70

הגדרה אלטרנטיבית לפונקציות הומותטיות

אם היא הומותטית f נגיד שפונקצית ייצור•שפונקצית מתקבלת כטרנספורמציה עולה של

תק"ל. ייצור

אם קיימת פונקציה הומותטית fכלומר, •עולה ממש ופונקצית ייצור g:R→Rממשית

, )z=)z1,z2 כך שלכל צירוף גורמי ייצורhתק"ל

f)z1,z2(=g)h)z1,z2((

71

TP AP MPגורם ייצור משתנה יחיד –

(Lנניח שיש גורם ייצור משתנה יחיד )• וניתנת על TPהתפוקה הכוללת מסומנת ב – •

.fידי וניתנת על MPהתפוקה השולית מסומנת ב – •

(.fL לפי גורם ייצור זה )fידי הנגזרת החלקית של וניתנת על APהתפוקה הממוצעת מסומנת ב – •

.f/Lידי כיצד נייצג גדלים אלו גראפית ומה היחסים •

ביניהם?

72

AmountAmountTotalAverage Marginalof Labor (L)of Capital (K)Output (Q)ProductProduct

(Lייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד )

0100------

110101010

210301520

310602030

410802020

510951915

6101081813

710112164

810112140

91010812-4

101010010-8

73

כשנוספים עובדים

גדלה, מגיעה למקסימום ומתחילה לרדת.(TP)התפוקה

בתחילה גדלה ולאחר מכן יורדת. (AP=Q/L)התפוקה הממוצעת

עולה בתחילה ולאחר מכן יורדת ואף(MP=FL)התפוקה השולית

נעשית שלילית.

(Lייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד )

74

Total Product

A: slope of tangent = MP )2(B: slope of OB = AP )3(C: slope of OC= MP & AP)4(

עבודה

תפוקה

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

A

B

C

D

(Lייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד )

75

Average Product

(Lייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד )

8

10

20

תפוקה

0 2 3 4 5 6 7 9 101 עבודה

30

E

Marginal Product

שימו לב: עולה.AP ו E MP>APמשמאל ל -

יורד.AP ו E MP<APמימין ל – מגיע לשיאו.AP ו E MP=APב

מגיע לשיאו.MP=0, TPכאשר

76

MPi ו- APiהוכחת הקשרים בין

בנקודה i: אם התפוקה השולית של גורם ייצור טענה•גדולה מהתפוקה הממוצעת של אותו גורם מסויימת,

ייצור באותה הנקודה, אז בנקודה זו התפוקה הממוצעת עולה בכמות גורם הייצור.

הוכחה: •

),(),(),(),(

0

),(),(),(

21212121

2

212121

zzAPzzMPz

zzf

z

zzf

z

zzfzz

zzf

z

zzzf

z

AP

iiii

i

ii

i

i

i

i

77

בעיית מקסימום תפוקה

המגבלות – תקציב לשכירת תשומות•המטרות – מקסימום תפוקה•דרך הפעולה – שכירת צירוף תשומות )גורמי ייצור( הממקסם •

את התפוקה בהינתן מחיריהם, התקציב ופונקציית הייצור. נתונים•

תקציב ומחירי גורמי הייצור–טכנולוגיה )בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקציית ייצור(–

תוצאות•צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ותפוקה מקסימאלית–

למעשה שקול לבעיית צרכן.•