Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия»

Треугольники

Соловова Светлана Алексеевна

Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85

г. Ульяновск, 2014 г.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противопо-ложной стороны, называется медианой

А

М

АМ – медиана

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

А

А1

АА1 – биссектриса

Перпендикуляр, проведенный из вершины треуголь-ника к прямой, содержащей противоположную сторону,называется перпендикуляром

Н

А

АН - высота

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

К М

КМ – средняя линияСредняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

А

В

С

АВКМ

АВКМ2

1

Cерединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через

середину данного отрезка и перпендикулярна к нему

а

А В

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему

М

А ВО

m

m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВМ Є mАМ = ВМ

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

А

В

С

mn

p

O

ACp

BCn

ABm

,

,

m, n, p пересекаются в точке О

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

А В

С

К

СК – биссектриса <С

М

АМ – биссектриса <А

ВР – биссектриса <В

Р О

О – точка пересечения биссектрис

Точка пересечения высот треугольника

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

А С

В

К

М

Р

О

ВСАМ

АВСР

АСВК

О – точка пересечения высот

Точка пересечения медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1,

считая от вершины

А В

С

К

МРО

ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВСО – точка пересечения медиан

СО : КО = 2 : 1АО : МО = 2 :1ВО : РО = 2 : 1

Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его

стороны равны

Треугольник, все стороны которого равны, называется

равносторонним

АВ = ВС

А

В

СА

В

С

АВ = АС = ВС

Свойства равнобедренного треугольника

А

С

В

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

<А = <ВВ равнобедренном треугольнике

биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

АС = ВС

СК - биссектрисаК

АК = КВ, СК АВ

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным

АВ и АС – катетыВС - гипотенуза

А

В

С

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов

ВС² = АВ² + АС²

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

С А

В

<A + < B = 90°

< A = 30°CB = AB2

1

30°

Если CB = AB, то <A = 30°2

1

Признаки равенства треугольников

I признакПо двум сторонам и

углу между ними

II признакПо стороне и

прилежащим к ней углам

III признакПо трем сторонам

А N

М

КС

В

Если <A = <K, AB = KM, AC = KN,

то ∆ABC = ∆KMN

А C

B P

NК

Если <B = <PAB = KP, BC = PK,то ∆ABC = ∆KPN

А C

B M

K N

Если АВ = КМ, АС = KN, BC = MN,то ∆АВС = ∆KNM

Признаки равенства прямоугольных треугольников

По двум катетамЕсли АВ = КМ,

АС = KN, то ∆АВС = ∆KMN

А N

М

КС

В

По катету и прилежащему острому углу

Если AB = KM, <B = <M, то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и острому углу

Если ВС = MN, <B = <M,

то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и катетуЕсли ВС = МN, АС = KN,

то ∆АВС = ∆KMN

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

А

В

С

АВ < ВС + АСАС < АВ + ВСВС < АВ + АС

Сумма углов треугольника равна 180°

A

BC

<A + <B + <C = 180°

16

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника,

называется внешним

О

<АВО – внешний

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

<3 смежный с <4

<4 + <3 = 180°

(<1 + <2) + <3 = 180°

<1 + <2 = <4

1

2

3 4

17

Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;2) обратно, против большего угла лежит большая сторона

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника

пропорциональны сходственным сторонам другого

А С

ВВ1

А1 С1

<A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1, kАС

СА

СВ

ВС

ВА

АВ

111111k – коэффициент подобия

∆АВС ∞ ∆ A1 B1 C1

Признаки подобия треугольников1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

А

В

С К М

РЕсли <A = <K, <B = <M,то ∆АВС ∞ ∆КРМ

Если АВ : КР = АС : КМ, <А = <К,то ∆АВС ∞ ∆КРМ РМ

ВС

КМ

АС

КР

АВ

∆АВС ∞ ∆КРМ

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°

С А

ВСинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

AB

BCA sin

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

AB

ACA cos

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

AC

BCtgA

Основное тригонометрическое тождество

sin² x + cos² x = 1

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

CabS sin2

1

a

bC

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

а b

c

C

B A

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

а b

c

C

B A

Cabbaс cos2222

Решение задач по готовым чертежам

1. В треугольнике АВС угол А равен 38°. Найдите угол С.

2. В треугольнике АВС угол С равен 118°. Найдите

угол А.

3. В треугольнике АВС угол С равен 52°. Найдите внешний угол СВD.

4. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 122°. Найдите

угол С.

5. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3. Найдите наибольший из них.

6. В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 70°. Найдите разность углов АСН и ВСН.

7. В треугольнике АВС угол С равен 50°, АD – биссектриса, угол САD равен 28°. Найдите угол В.

8. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

9. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное

на

10. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

11. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

12. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

13. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

14. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АС =10, АН =8. Найдите cos B.

15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.

16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.

15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.

16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.

17. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 16. Найдите tgА.

18. В треугольнике АВС, АС = ВС, АВ =10, высота АН равна 8. Найдите sin А.

19. В треугольнике АВС, АС = ВС, АН –высота, sin А = 0,8. Найдите косинус

угла ВАН.

20. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АС = 5, СН – высота, АН = 4. Найдите . sin АСВ.

21. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АВ = 10, высота СН = 8. Найдите косинус угла АВС.

22. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение синуса, умноженное на

23. Найдите медиану треугольника АВС, прове-денную из вершины С, если стороны квадратных клеток равны 1.

24. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную на сторону ВС, если стороны квадратных клеток равны .

25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

26. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

№1. Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 15см. Найдите периметр этого треугольника.

№2. Периметр равностороннего треугольника АВС равен 90см. Найти длину средней линии этого треугольника.

№3. В равностороннем треугольнике АВС проведены средние линии. Найти периметр получившегося треугольника, если АВ=12см.

№4. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите основание треугольника.

№5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20º. Найдите градусную меру угла при вершине. Ответ укажите в градусах.

№6. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 96º? Ответ укажите в градусах.

№7. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите площадь этого треугольника.

№8. Основание равнобедренного треугольника равно 8, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника

№9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника.

№10. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине В равен 110º. Найдите величину угла А. Ответ дайте в градусах.

№11. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине С равен 117º. Найдите величину угла В. Ответ дайте в градусах.

№12. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ=8, а СН= 5. Найдите площадь этого треугольника.

№13. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8√2. Найдите катет.

№14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6. Найдите площадь этого треугольника.

№15. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота равна 3. Найдите площадь треугольника.

№16. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу.

№17. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

№18. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 его больше. Найдите площадь треугольника.

№19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите площадь треугольника.

№20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.

Тестовые задания из КИМов части 1и части 2

1.В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна . Найдите меньшую высоту.2. В прямоугольном треугольнике АВС высота, проведенная из вершины прямого угла равна 3, медиана, проведенная к гипотенузе равна 5. Найдите площадь фигуры, образованной вписанным и описанным кругами.3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.4.Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4, 5.5.Найдите площадь треугольника, медианы которого 10, 10 и 16.

6. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что угол ВАС равен 60°, АВ =20, а медиана АМ равна 14.7.Найдите площадь треугольника две стороны, которого равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 5.8.треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 10. Найдите третью сторону.9. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8, АС = 6, угол ВАС равен 60°. Найдите биссектрису АМ.10.треугольнике АВС известно, что АВ = х, АС = у, угол ВАС равен 120°. Найдите биссектрису АМ.

11. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности. Если АМ = 6 и ВМ = 24.12. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12.13. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на части, равные 6 см и 4 см. Найдите радиус этой окружности14. В прямоугольном треугольнике с углом 60° вписана окружность радиуса .Найдите площадь этого треугольника.

16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.17. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24, а радиус описанной около него окружности 13. Найдите боковую сторону треугольника..

15. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины противолежащей стороны основанию, равно 5. Боковая сторона равна 10. Найдите длину радиуса.

18.Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и углом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной окружности

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин.1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? Решение:

Пусть мальчик находится в точке пересечения осей направлений.По т. Пифагора   х=√(1202 +502) = √16900 = 130    Ответ: 130   

2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 240 м. Затем повернула на север и прошла 480 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 240 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 42  минут?1 час 42 мин = 1,7 часа4*1,7 = 6,8 км - прошел мальчик3*1,7 = 5,1 км - прошла девочка√(6,82+5,12)=√72,25 = 8,5 км - расстояние между ними

4. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 30 минут?1 час 30 мин = 1,5 часа4*1,5 = 6,0 км - прошел мальчик3*1,5 = 4,5 км - прошла девочка√(6,02+4,52)=√56,25 = 7,5 км - расстояние между ними

8. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 9 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Решение. Из подобия большого и маленького треугольников:х : (9+3) = 1,8 : 3х : 12 = 0,6х = 0,6*12= 7,2    Ответ: 7,2

9. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

10. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,2 м. Найдите длину тени человека в метрах.Пусть х - длина тени.Из подобия маленького и большого треугольников следует:х / 1,7 = (х+15) / 10,210,2х = 1,7 (х+15)8,5 х = 25,511. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.

№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

<A + <B = 90°

Пусть <A = x, тогда

<B = 2х

х + 2х = 90°

х = 30°

Ответ: 30°

А С

В

№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г)В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

<BAC = <BCA

<BCA = 180° – 123° = 57°

<ABC = 180° – 2·57° = 66°

Ответ: 66°123°

А С

В

№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

<A + <B + <C = 180°

<CAD = <BAD = 28°

<A = 2·28° = 56°

<B = 180° - 56° - 50° = 74°

Ответ: 74°

А

D

С

В

№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г)В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника

Решение:

С В

А

К

564362

1

2

1

2

1 22 ВСАСАВСК

Ответ: 5

№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А.Решение: I способ:

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно

<A + <C = 68°

<A = 68° – 28° = 40°

Ответ: 40°

А В

С

28

68

II способ:<ABC = 180° - 68° = 112°Сумма углов треугольника равна 180°.Следовательно <A + <B + <C = 180°<A = 180° – 28° – 112° = 40°.Ответ: 40°

№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.

Решение:∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу

между ними) AO = OB, DO = OC по условию,<DOB = <AOС как вертикальные,следовательно

DB = AC

А

D

С

В

О

Достроим треугольники АВС и ВАD.

∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и углу между ними)AO = OB, DO = OC по условию,<DOА = <СOB как вертикальные,следовательно АD = ВC

Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.

№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.

Решение:

Так как MN || АС,

то <ACB = <MNB (как соответственные),

<ABC – общий,

А В

С

М

N

Так как М и N середины сторон АВ и ВС, то MN – средняя линия ∆АВС

следовательно MN || АС.

следовательно ∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)

Что и требовалось доказать

№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.

Решение: ∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам

(<K – общий, <KLM = <KPL = 90°).

∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам

(<M – общий, <KLM = <MPL = 90°).

∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам

(углы при вершине P прямые, <K = <MLP).

Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то

L

M

K

P

MPKPLPKP

LP

LP

MP 2

Что и требовалось доказать.