View
56
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
ТЕОРИЯ РЯДОВ. 3 . СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 3. 5 . Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора:. где. остаточный член в форме Лагранжа. Если функция f ( x ) - бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х 0 (имеет производные любых порядков) и остаточный член R n ( x ) → 0 при n →∞ , то ряд. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ТЕОРИЯ РЯДОВ
3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.5. Ряды Тейлора и Маклорена.
Формула Тейлора:
20 00 0 0
00
...1! 2!
...!
nn
n
f x f xf x f x x x x x
f xx x R x
n
11
0 0, ,1 !
nn
n
fR x x x x x
n
остаточный член в форме Лагранжа.
где
• Если функция f(x)- бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х0 (имеет производные любых порядков) и остаточный член Rn(x)→0 при n→∞, то ряд
20 00 0 0
0 00 0
0
...1! 2!
... ...! !
n nn n
n
f x f xf x f x x x x x
f x f xx x x x
n n
называется рядом Тейлора (разложение f(x) по степеням x−x0)
• Если x0=0, то получим разложение f(x) по степеням х−ряд Маклорена:
2
0
0 0 00 ... ...
1! 2! !
0
!
nn
nn
n
f f ff x f x x x
n
fx
n
Т.е. ряд Тейлора (Маклорена) представляет данную
функцию f(x) тогда и только тогда, когда lim 0nnR x
Если же , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции) или даже оказаться расходящимся.
Т.о. вопрос о разложении функции в ряд Тейлора (Маклорена) сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при n→∞.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора (Маклорена):
lim 0nnR x
Теорема (*).
Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение
20 00 0 0
00
...1! 2!
... ...!
nn
f x f xf x f x x x x x
f xx x
n
3.6. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:
1) найти производные
2) вычислить значения производных в точке х=0;
3) написать ряд Маклорена для заданной функции и найти его интервал сходимости;
, , ,..., ....nf x f x f x f x
0 , 0 , 0 ,..., 0 ....nf f f f
4) найти интервал (−R;R) , в котором остаточный член ряда Маклорена Rn(x)→0 при n→∞. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых функций.
2
3 5 2 1
2 4 2
1 ... ... ;1! 2! !
sin ... 1 ... ;3! 5! 2 1 !
cos 1 ... 1 ... ;2! 4! 2 !
nx
nn
nn
x x xe x
n
x x xx x x
n
x x xx x
n
2 3 1
2 3
ln 1 ... 1 ... 1;12 3 1
1 1 21 1 ...
1! 2! 3!1 2 ... 1
...!
1;1 , 0
1;1 , 1 0
1;1 , 1
nn
n
x x xx x x
n
x x x x
nx
n
x
2
3 5 2 1
3 5 7
2 1
11 ... ... 1;1
1
arctan ... 1 ... 1;13 5 2 1
1 1 3 1 3 5arcsin ...
2 3 2 4 5 2 4 6 7
1 3 5 ... 2 1... ... 1;1
2 4 6 ... 2 2 1
n
nn
n
x x x xx
x x xx x x
n
x x xx x
n xx
n n
Пример 1
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) xf x e
( )
( )
( )
( )
................
( )
.................
x
x
x
n x
f x e
f x e
f x e
f x e
Решение
1) Найдем производные: 2) Найдем значения
производных в точке х=0:
( )
(0) 1
(0) 1
(0) 1
................
(0) 1
.................
n
f
f
f
f
1
1 !1 1lim lim : lim
! 1 ! !
! 1lim lim 1
!
n
n n nn
n n
naR
a n n n
n nn
n
3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости:
2
1 ... ...1! 2! !
nx x x xe
n
т.е. ряд сходится в интервале (−∞;+∞)
;x R R 4) Для всех имеем:
т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и
тем же числом Следовательно , по теореме (*)
Таким образом
n x Rf x e e M
2
1 ... ...1! 2! !
;
nx x x xe
nx
RM e
lim 0nnR x
Пример 2
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) sinf x x
( ) sin
( ) cos sin2
( ) sin sin 22
( ) cos sin 32
( ) sin
......................
( ) sin2
......................
IV
n
f x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x
f x x n
Решение
1) Найдем производные:
2) Найдем значения производных в точке х=0:
(0) 0
(0) 1
(0) 0
(0) 1
(0) 0
.................
(0) sin2
..................
IV
n
f
f
f
f
f
nf
3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости:
3 5 2 1
sin ... 1 ...3! 5! 2 1 !
nnx x x
x xn
Легко проверить, что полученный ряд сходится на
всей числовой оси, т.е при всех
(используем признак Даламбера, т.к. ряд неполный) ;x
;x R R 4) Для всех имеем:
т.е. любая производная функции по
модулю не превосходит единицы.
Следовательно , по теореме (*)
Таким образом имеет место разложение
sin 12
nf x x n
( ) sinf x x
lim 0nnR x
3 5 2 1
sin ... 1 ... ;3! 5! 2 1 !
nnx x x
x x xn
Метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования (сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование) над имеющимися разложениями .
Пример 3
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) cosf x x
Можно получить разложение cosx, воспользовавшись свойствами степенных рядов:
Продифференцируем почленно ряд:
3 5 2 1
sin ... 1 ...3! 5! 2 1 !
nnx x x
x xn
3 5 7 2 1
sin ... 1 ...3! 5! 7! 2 1 !
nnx x x x
x xn
Решение
Получим ряд, который будет сходиться при том же условии:
или
2 4 6 23 5 7 (2 1)
cos 1 ... 1 ...3! 5! 7! 2 1 !
nnx x x n x
xn
2 4 6 2
cos 1 ... 1 ...2! 4! 6! 2 !
;
nnx x x x
xn
x
Пример 4
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) ln 1f x x
Формула может быть доказана разными способами. Воспользуемся следующим разложением:
Разложим в степенной ряд функцию:
1 2 3
2 3
1 1 1 1 1 1 1 211 1 ...
1 2! 3!
1 ... 1 ... 1;1n n
x x x xx
x x x x x
Решение
2 31 1 21 1 ...
1! 2! 3!1 2 ... 1
...!
n
x x x x
nx
n
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке
или
0; , 1;1x x
2 3
0 0 0 0 0 0
... 1 ...1
x x x x x xn ndx
dx x dx x dx x dx x dxx
2 3 1
ln 1 ... 1 ... 1;12 3 1
nnx x x
x x xn
(Можно показать, что это равенство справедливо и для х=1)
Пример 5
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) arctanf x x
Воспользуемся следующим разложением: (см. пример 4)
2 4 6 22
11 ... 1 ... 1;1
1n nx x x x x
x
Решение
2 311 ... 1 ... 1;1
1n nx x x x x
x
Заменим х на х2:
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке
или
0; , 1;1x x
2 4 6 22
0 0 0 0 0 0
... 1 ...1
x x x x x xn ndx
dx x dx x dx x dx x dxx
(Можно показать, что это равенство справедливо и для х=∓1, т.е. при )
3 5 2 1
arctan ... 1 ... 1;13 5 2 1
nnx x x
x x xn
1;1x
Пример 6
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) arcsinf x x
Воспользуемся следующим разложением:
Разложим в степенной ряд функцию, заменив х на −х2:
122 2 22
2
32 2 4 6
1 11
1 1 2 21 1
2 2!1
1 1 11 2
1 3 52 2 2... 1 ...
3! 2 8 16
x x xx
x x x x
Решение
2 31 1 21 1 ...
1! 2! 3!1 2 ... 1
...!
n
x x x x
nx
n
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке
или
0; , 1;1x x
2 4 6
20 0 0 0 0
1 3 5...
2 8 161
x x x x xdxdx x dx x dx x dx
x
3 5 7
2 1
1 1 3 1 3 5arcsin ...
2 3 2 4 5 2 4 6 71 3 5 ... 2 1
... ... 1;12 4 6 ... 2 2 1
n
x x xx x
n xx
n n
(Можно показать, что это равенство справедливо и для х=∓1, т.е. при ) 1;1x
Пример 7
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
2
( ) xf x e
Воспользуемся следующим разложением:
Вместо х подставим −х2:
Решение
2
1 ... ...1! 2! !
;
nx x x xe
nx
22 4 6 2
1 ... 1 ...1! 2! 3! !
;
nnx x x x x
en
x
Пример 8
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
2( ) cosf x x
Воспользуемся следующим разложением:
Решение
Имеем 2 1cos 1 cos 2
2x x
2 4 6 2
cos 1 ... 1 ...2! 4! 6! 2 !
;
nnx x x x
xn
x
Вместо х подставим 2х:
2 2 4 4 6 6 2 22 2 2 2
cos 2 1 ... 1 ...2! 4! 6! 2 !
n nnx x x x
xn
Таким образом:
2 2 4 4 6 6 2 2
2 1 2 2 2 2cos 1 1 ... 1 ...
2 2! 4! 6! 2 !
n nnx x x x
xn
2 2 4 4 6 6 2 21 2 2 2 2
2 ... 1 ...2 2! 4! 6! 2 !
n nnx x x x
n
2 3 4 5 6 2 1 22 2 2 21 ... 1 ...
2! 4! 6! 2 !
;
n nnx x x x
n
x
Пример 9
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
1( ) ln
1
xf x
x
Воспользуемся следующим разложением:
Решение
Имеем 1ln ln 1 ln 1
1
xx x
x
Вместо х подставим −х:
2 3 1
ln 1 ... 1 ... 1;12 3 1
nnx x x
x x xn
2 3 1
ln 1 ... ...2 3 1
nx x xx x
n
Получаем:
2 3 1
ln 1 ln 1 ... 1 ...2 3 1
nnx x x
x x xn
2 3 4 1
3 5 2 1
... ...2 3 4 1
2 2 22 ... ...
3 5 2 1
n
n
x x x xx
n
x x xx
n
Т.о. 3 5 2 11 2 2 2ln 2 ... ...
1 3 5 2 1
nx x x xx
x n
Очевидно, что ряд сходится в интервале 1;1x
Пример 10
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
( ) 3xf x
Воспользуемся следующим разложением:
Решение
Имеем ln3 ln33xx xe e
Вместо х подставим х‧ln3:
2
1 ... ... ;1! 2! !
nx x x xe x
n
2 32 3ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
3 1 ... ...1! 2! 3! !
;
nx nx x x x
nx
Пример 11
Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
1( )
1f x
x
Воспользуемся следующим разложением:
Разложим в степенной ряд функцию:
1
22
3 2 32 3
1 11
1 1 2 21 1
2 2!1
1 1 11 2
1 1 3 1 3 52 2 2... 1 ...
3! 2 1! 2 2! 2 3!
x x xx
x x x x
Решение
2 31 1 21 1 ...
1! 2! 3!1 2 ... 1
...!
n
x x x x
nx
n
Таким образом:
2 32 3
1 1 1 3 1 3 51 ...
2 1! 2 2! 2 3!1
1 3 5 ... 2 1... 1 ... 1;1
2 !n n
n
x x xx
nx x
n
который приводится к виду
2
0 0 1 0 2 00
...n
nn
a x x a a x x a x x
В ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:
2 30 1 2 3
0
... ...n nn n
n
a x a a x a x a x a x
заменой х−х0=t
Recommended