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江苏省建湖高级中学高三数学组 周荣军. 直线与圆的位置关系. 判断下列直线与圆 C : 的位置关系 :. 问题 :. d > r. 直线与圆相离. 直线 l : Ax+By+C=0 (其中 A , B 不同时为零) 圆 C : (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 (r > 0 ). 的判定方法:. d = r. 直线与圆相切. d < r. 直线与圆相交. 1. 直线与圆的位置关系. 小结 :. (1) 利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判断. 直线与圆相离. n =0. △
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江苏省建湖高级中学高三数学组 周荣军
问题 :
1yx 22 判断下列直线与圆 C: 的位置关系 :
02: yx3l 3
02: yx2l 2
01: yx1l 1
(1)利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判断
d > rd = rd < r
直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
1.直线与圆的位置关系 直线 l : Ax+By+C=0(其中 A , B 不同时为零)
圆 C : (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
的判定方法:小结 :
nrbyax
CByAx解的个数为设方程组
222 )()(
0
直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
n=0
n=1
n=2
△<0
△=0
△>0
(2)利用直线与圆的公共点个数进行判断:
d > rd = rd < r
直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
△<0
△=0
△>0
直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
n=0
n=1
n=2
形的方面几何方法
数的方面代数方法
必考部分内容 要求A B C
圆的标准方程和一般方程 √
直线与圆、圆与圆的位置关系 √
2010年江苏高考数学考试说明
( 2009江苏卷)18.(本小题满分 16分) 在平面直角坐标系中,已知圆 和圆 .( 1 )若直线 l 过点 ,且被圆 C1 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程;( 2 )设 P 为平面上的点, 满足 : 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 12 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。
2 21 : ( 3) ( 1) 4C x y
2 22 : ( 4) ( 5) 4C x y
(4,0)A2 3
例 1:
91)-y1)-(x 22 (
(2) 求过点 P ( 4,7)且与圆 C: 相切的直线方程 ;
(1)若点 A(a,b) 在圆 x2+y2=1 内,试判断直线ax+by=1 与此圆的位置关系 ;
91)-y1)-(x 22 (
(3)若过点 P ( 0,5 )的直线 l 与圆 C :
24AB
交于 A 、 B 两点 , 且, 求直线 l 的方程 ;
例题精析
(2)求过点 P ( 4 , 7 )且与圆 C: 91)-y1)-(x 22 (
小结 : 2. 过定点的圆的切线问题—— 先判断定点与圆的位置关系:
(1)点在圆上,只有 _____ 切线;
(2)点在圆外,定有 _____ 切线;
(3)点在圆内,直线与圆相交, __ 切线。(若只求出一个 k ,则另一条 ____ 不存在)
一条两条
斜率无
相切的直线方程 ;
x
y
O
·(4,7)
弦心距 2+ 半弦长 2= 半径 2
(3)若过点 P ( 0 , 5 )的直线 l 且与圆 C:
, 求直线 l 的方程24AB
91)-y1)-(x 22 ( 交于 A 、 B 两点且
(0,5)·
.C(1,1)
D
A
Bx
y
o
.M( 3 ,1)
.O x
y
c
例 2: 已知圆 C: 及 直线 l:
252)-y1)-(x 22 ()(47)1( Rmmm y1)x(2m
(1) 证明 : 不论 m取什么实数,直线 l 与圆恒相交;(2) 求直线 l 被圆 C截得的弦长最短长度及此时 直线 l 的方程 .
例 3 : (1)如图 , 从点 P( 2 ,0) 向圆 引切线且切点分别为A , B,求四边形 OAPB 的面积 .
1yx 22
x
y
O P(2,0).
A
B
切线长 2+ 半径 2= 圆外点与圆心连线 2
(2) 在直线 l:x-y-2=0 上任取一点 P 向圆 1yx 22 引切线且切点分别为A , B,求四边形OAPB 面积的最小值 .
l
一、判定直线和圆的位置关系的方法: 1.几何法 2. 代数法
回顾总结:
半弦长 弦心距半径
(2) 在处理直线与圆相切以及切线长问题时 , 我们常抓住 __________ 、 _______ 、________________ 构成的直角三角形求解。
二、 (1) 在处理直线与圆相交以及弦长问题时,我们常抓住 ____ 、 _______ 、 _______
构成的直角三角形求解。切线长 半径
圆外点与圆心连线
三、基本题型1. 判断直线与圆的位置关系 ;
2. 求切线方程 ;
3. 求弦长,切线长 ;
四、注意 _______ 思想方法的运用。数形结合
( 2009江苏卷)18.(本小题满分 16分) 在平面直角坐标系中,已知圆 和圆 .( 1 )若直线 l 过点 ,且被圆 C1 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程;( 2 )设 P 为平面上的点, 满足 : 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 12 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。
2 21 : ( 3) ( 1) 4C x y
2 22 : ( 4) ( 5) 4C x y
(4,0)A2 3
【解析 】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 16分。(1)设直线的方程为: ,即由垂径定理,得:圆心 C1 到直线的距离,
结合点到直线距离公式,得:
化简得:求直线的方程为: 或 ,即 或
( 4)y k x 4 0kx y k
2 22 34 ( ) 1
2d
2
| 3 1 4 |1,
1
k k
k
2 724 7 0, 0, ,
24k k k or k
0y
7( 4)
24y x 0y
7 24 28 0x y
2) 设点 P 坐标为 ,直线 l1 、 l2 的方程分别为: 即:因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2
截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l1 与 C2 到直线 l2 的距离相等。
故有: ,
化简得:
关于 的方程有无穷多解,有:
解之得:点 P 坐标为 或 。
( , )m n1
( ), ( )y n k x m y n x mk
1 1
0, 0kx y n km x y n mk k
2
2
4 1| 5 || 3 1 |
11 1
n mk n km k kk
k
(2 ) 3, ( 8) 5m n k m n m n k m n 或
k2 0
,3 0
m n
m n
m-n+8=0或
m+n-5=03 13
( , )2 2
5 1
( , )2 2
谢谢指导!
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