江苏省建湖高级中学高三数学组 周荣军

问题 :

1yx 22 判断下列直线与圆 C: 的位置关系 :

02: yx3l 3

02: yx2l 2

01: yx1l 1

(1)利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判断

d > rd = rd < r

直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交

1.直线与圆的位置关系 直线 l ： Ax+By+C=0（其中 A ， B 不同时为零）

圆 C ： (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

的判定方法：小结 :

nrbyax

CByAx解的个数为设方程组

222 )()(

0

直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交

n=0

n=1

n=2

△<0

△=0

△>0

(2)利用直线与圆的公共点个数进行判断：

d > rd = rd < r

直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交

△<0

△=0

△>0

直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交

n=0

n=1

n=2

形的方面几何方法

数的方面代数方法

必考部分内容 要求A B C

圆的标准方程和一般方程 √

直线与圆、圆与圆的位置关系 √

2010年江苏高考数学考试说明

（ 2009江苏卷）18.（本小题满分 16分） 在平面直角坐标系中，已知圆 和圆 .（ 1 ）若直线 l 过点 ，且被圆 C1 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程；（ 2 ）设 P 为平面上的点， 满足 : 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 12 ，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。

2 21 : ( 3) ( 1) 4C x y

2 22 : ( 4) ( 5) 4C x y

(4,0)A2 3

例 1:

91)-y1)-(x 22 (

(2) 求过点 P （ 4,7）且与圆 C： 相切的直线方程 ;

(1)若点 A(a,b) 在圆 x2+y2=1 内，试判断直线ax+by=1 与此圆的位置关系 ;

91)-y1)-(x 22 (

(3)若过点 P （ 0,5 ）的直线 l 与圆 C ：

24AB

交于 A 、 B 两点 , 且, 求直线 l 的方程 ;

例题精析

(2)求过点 P （ 4 ， 7 ）且与圆 C: 91)-y1)-(x 22 (

小结 : 2. 过定点的圆的切线问题——　先判断定点与圆的位置关系：

(1)点在圆上，只有 _____ 切线；

(2)点在圆外，定有 _____ 切线；

　　

(3)点在圆内，直线与圆相交， __ 切线。（若只求出一个 k ，则另一条 ____ 不存在）

一条两条

斜率无

相切的直线方程 ;

x

y

O

·(4,7)

弦心距 2+ 半弦长 2= 半径 2

(3)若过点 P （ 0 ， 5 ）的直线 l 且与圆 C:

, 求直线 l 的方程24AB

91)-y1)-(x 22 ( 交于 A 、 B 两点且

(0,5)·

.C(1,1)

D

A

Bx

y

o

.M( ３ ,1)

.O x

y

c

例 2: 已知圆 C: 及 直线 l:

252)-y1)-(x 22 ()(47)1( Rmmm y1)x(2m

(1) 证明 : 不论 m取什么实数，直线 l 与圆恒相交；(2) 求直线 l 被圆 C截得的弦长最短长度及此时 直线 l 的方程 .

例 3 ： (1)如图 , 从点 P( ２ ,0) 向圆 引切线且切点分别为Ａ , Ｂ，求四边形 OAPB 的面积 .

1yx 22

x

y

O P(2,0).

A

B

切线长 2+ 半径 2= 圆外点与圆心连线 2

(2) 在直线 l:x-y-2=0 上任取一点 P 向圆 1yx 22 引切线且切点分别为Ａ , Ｂ，求四边形OAPB 面积的最小值 .

l

一、判定直线和圆的位置关系的方法： 1.几何法 2. 代数法

回顾总结：

半弦长 弦心距半径

(2) 在处理直线与圆相切以及切线长问题时 , 我们常抓住 __________ 、 _______ 、________________ 构成的直角三角形求解。

二、 (1) 在处理直线与圆相交以及弦长问题时，我们常抓住 ____ 、 _______ 、 _______

构成的直角三角形求解。切线长 半径

圆外点与圆心连线

三、基本题型1. 判断直线与圆的位置关系 ;

2. 求切线方程 ;

3. 求弦长，切线长 ;

四、注意 _______ 思想方法的运用。数形结合

（ 2009江苏卷）18.（本小题满分 16分） 在平面直角坐标系中，已知圆 和圆 .（ 1 ）若直线 l 过点 ，且被圆 C1 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程；（ 2 ）设 P 为平面上的点， 满足 : 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 12 ，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。

2 21 : ( 3) ( 1) 4C x y

2 22 : ( 4) ( 5) 4C x y

(4,0)A2 3

【解析 】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 16分。(1)设直线的方程为： ，即由垂径定理，得：圆心 C1 到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：求直线的方程为： 或 ，即 或

( 4)y k x 4 0kx y k

2 22 34 ( ) 1

2d

2

| 3 1 4 |1,

1

k k

k

2 724 7 0, 0, ,

24k k k or k

0y

7( 4)

24y x 0y

7 24 28 0x y

2) 设点 P 坐标为 ，直线 l1 、 l2 的方程分别为： 即：因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2

截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心 C1 到直线 l1 与 C2 到直线 l2 的距离相等。

故有： ，

化简得：

关于 的方程有无穷多解，有：

解之得：点 P 坐标为 或 。

( , )m n1

( ), ( )y n k x m y n x mk

1 1

0, 0kx y n km x y n mk k

2

2

4 1| 5 || 3 1 |

11 1

n mk n km k kk

k

(2 ) 3, ( 8) 5m n k m n m n k m n 或

k2 0

,3 0

m n

m n

m-n+8=0或

m+n-5=03 13

( , )2 2

5 1

( , )2 2

谢谢指导！