View
222
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
Т.М. Чмерева М.Р. Ишмеев
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторной работе №104 по механике «Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту»
Оренбург 1999
ББК 22.2я7 Ч 42
УДК 531.13(07)
Лабораторная работа №104
Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту
Цель работы: 1. Изучить основные понятия раздела кинематики. 2. Познакомиться с методами определения скорости скатывающихся
тел в момент отрыва от наклонной плоскости. 3. Измерить скорости в момент отрыва для двух разных тел.
1 Введение Раздел механики, изучающий движение тела относительно других тел
независимо от причин, вызывающих это движение, называется кинематикой. Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. При своем движении материальная точка описывает не-которую кривую, называемую траекторией. Пусть материальная точка пе-реместилась из положения 1, характеризуемого радиус-вектором
1rρ (радиус-
вектор – вектор, проведенный из начала координат в данную точку), в поло-жение 2, характеризуемое радиус-вектором 2r
ρ , как показано на рисунке 1. Расстояние между точками 1 и 2, отсчи-танное вдоль траектории, называется путем, обозначим его ∆S. А вектор, про-веденный из точки 1 в точку 2, называ-ется перемещением ∆ (перемещение есть приращение радиус-вектора, см. ри-сунок 1).
1 Vρ
1rρ
2rρ
rρ∆
xРисунок 1
траектория
2
y
rρ
Под средней скоростью матери-альной точки онимают отношение пе-ремещения
пrρ∆ к промежутку времени
∆t, за который произошло это переме-щение:
trVср ∆
∆=
ρρ. (1)
Мгновенной скоростью V
ρ материальной точки называется векторная
величина, равная пределу отношения перемещения rρ∆ к промежутку време-
ни ∆t, за который это перемещение произошло, когда промежуток времени 2
стремится к нулю. Т.е. скорость есть производная радиус-вектора по време-ни:
dtrd
trlimV
t
ρρρ=
∆∆
=→∆ 0
. (2)
Поскольку в пределе, при 0→∆t , перемещение совпадает с касатель-
ной к траектории, то вектор скорости направлен по касательной к траекто-рии.
Вычислим модуль скорости (2), учтя, что в пределе бесконечно алого промежутка времени модуль вектора перемещения равен пути
мrS ρ
∆=∆ :
tSlim
tr
limVVtt ∆
∆=
∆∆
==→∆→∆ 00
ρρ. (3)
Таким образом, модуль скорости равен производной пути по времени.
Если модуль скорости при движении материальной точки не изменяет-ся, то движение будет равномерным, причем направление скорости может изменяться. Когда направление вектора скорости неизменно, то движение – прямолинейное, в противном случае – криволинейное.
Скорость материальной точки может изменяться по величине и по на-правлению. Предел отношения изменения вектора скорости V
ρ∆ к промежут-
ку времени ∆t, за который произошло это изменение, когда промежуток вре-мени стремится к нулю, называется ускорением; или ускорение есть произ-водная скорости по времени:
dtVd
tVlima
t
ρρρ
=∆∆
=→∆ 0
τρ
Vρ
Рисунок 2
. (4)
Вектор скорости можно представить в виде
произведения модуля скорости V на единичный вектор τρ, направленный вдоль вектора V
ρ (см. ри-
сунок 2):
τ⋅=ρρ
VV . (5)
Подставив в формулу (4) выражение (5), получим:
( )naa
dtdV
dtdV
dtVda ρρ
ρρ
ρρ
+=τ
⋅+τ⋅=τ⋅
= τ . (6)
3
Т.е. вектор ускорения представим в виде суммы двух векторов. Один из них коллинеарен с вектором τρ и соответственно с вектором V
ρ, и носит на-
звание тангенциального ускорения τaρ . Тангенциальное ускорение равно
τ=τρρ
dtdVa , (7)
а его модуль равен dtdV , т.е. характеризует быстроту изменения величины
скорости. Если 0<dtdV , то движение является замедленным и вектор τaρ на-
правлен противоположно вектору Vρ
; если 0>dtdV , движение – ускоренное и
вектора aτρ и V
ρ сонаправлены.
Другое слагаемое в выражении (6), равное
dtdVanτ
=ρ
ρ , (8)
называется нормальным ускорением naρ . Нормальное ускорение характеризу-ет быстроту изменения скорости по направлению. Можно показать, что век-тор naρ перпендикулярен вектору скорости V
ρ (см. главу 1 учебников /1/, /2/,
/3/). Расположение векторов aρ, τaρ и naρ показано на рисунке 3. Если τaρ =0, то naa ρρ
= , движение бу-дет равномерным по окружности. Величи-на нормального ускорения определяется формулой:
RVan
2=
у
, (9)
naρ
τaρ
aρРисунок 3 где V – величина скорости точки, R – радиус окружности.
Формула (9) справедлива при любом криволинейном движении, в этом случае R является радиусом кривизны траектории. Радиус кривизны пред-ставляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кри-вой на бесконечно малом ее частке.
В случае 0=naρ , τ= aa ρρ и величина τaρ не изменяется, движение будет прямолинейным равноускоренным. При этом зависимость скорости матери-альной точки и пути, пройденного ею, от времени выражается следующими формулами:
4
atVV += 0 , (10)
2
2
0attVS += , (11)
где V0 – скорость материальной точки в начальный момент времени.
В качестве примера рассмотрим движение тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью V0
ρ (рисунок 4). Движение тела проис-
ходит с ускорением свободного падения gρ, поэтому полное ускорение тела во время движения остается по-стоянным по величине и направ-лению. А нормальное и тангенци-альное ускорения в каждой точке траектории различны. В частно-сти, в верхней точке траектория перпендикулярна вектору , сле-довательно, в ней существует
только нормальное ускорение ganρρ
= .
Рисунок 4 gρ
2 Методы определения скорости скатывающегося тела в момент отрыва от наклонной плоскости
После отрыва от наклонной плоскости движение тела является свобод-
ным падением, т.к. происходит только под действием силы тяжести. Ско-рость в момент отрыва будет начальной скоростью тела V0
ρ. Свяжем с точкой
В на рисунке 5 систему координат. вижение тела происходит с постоянным ускорением свободного падения
Дgρ, направленным вдоль оси y. Поэтому вдоль оси y движение будет равноуско-ренным, а вдоль оси x – равномерным.
Рисунок 5
Разложим начальную скорость на две составляющие α= cosVV x 00 и
α= sinVV y 00 . Тогда высота, с которой падает тело, равна:
( )22
2
0
2
0gttsinVgttVH y +⋅α=+= , (12)
а дальность полета S
( ) tcosVtVS x ⋅α== 00 . (13)
5
Выражая из уравнения (13) время t и подставляя его в (12), получим формулу для вычисления начальной скорости тела:
( )α⋅−α=
tgSHg
cosSV
20 (14)
Таким образом, зная угол наклона плоскости α, высоту падения H и
дальность полета S, можно найти скорость тела в момент отрыва от наклон-ной плоскости.
AСкорость в момент отры-ва также можно определить, используя закон сохранения энергии. В верхней точке на-клонной плоскости (в точке А на рисунке 6) тело обладает за-пасом потенциальной энергии
Vρ
l B
h
Рисунок 6
mghEпот = , (15)
где m – масса тела, h – высота наклонной плоскости, g – ускорение свободного падения.
В точке В скатывающееся тело обладает кинетической энергией посту-пательного и вращательного движений
22
22 ω+=
ImVEкин , (16)
где ω - угловая скорость тела,
I – момент инерции тела. Если качение происходит без проскальзывания, то
RV ω= , (17)
где R – радиус тела. Моменты инерции сплошного цилиндра, шара и полого цилиндра
можно найти по следующим формулам:
2
52 mRIшара = , (18)
2
21 mRI .цил.спл = , (19)
6
( )2202
1 RRmI .цил.пол += , (20)
где R0 – внутренний радиус полого цилиндра.
По закону сохранения энергии (без учета потерь на трение) имеем Eпот=Екин или
22
22 ω+=
ImVmgh , (21)
Отсюда, используя формулу (17), можно найти скорость V в момент
отрыва от наклонной плоскости
21
2
mRI
ghV+
= . (22)
В случае скатывания сплошного цилиндра и шара формулу (22) можно
упростить, подставив в нее выражения для моментов инерции (18) и (19)
ghVшара 710
= , (23)
ghV .цил.спл 34
= . (24)
3 Экспериментальная часть 3.1 Установить по заданию преподавателя наклонную плоскость в
одно из трех положений и измерить ее высоту h . 3.2 Измерить длину основания наклонной плоскости l . 3.3 Вычислить угол наклона α по формуле ( )l
harctg=α .
3.4 На откидной столик положить чистый лист бумаги и накрыть сверху копировальной бумагой.
3.5 Пустить с вершины наклонной плоскости сплошной цилиндр и по следу, оставленному на листе бумаги, определить дальность полета S. Это задание проделать 7 раз.
3.6 Вычислить среднее значение S , абсолютную ошибку S∆ и отно-сительную ошибку по формулам: ε
7
7721 S...SSS +++
= ,
( ) ( ) ( )67
32
72
22
12
⋅−++−+−
+σ⋅=∆SS...SSSSS пр ,
За принять половину цены деления линейки, прσ
SS∆
=ε
Результаты измерений S и вычислений ε∆ и S,S занести в таблицу 1.
Таблица 1 № опыта 1 2 3 4 5 6 7
Si (м)
(м), (м), =ε , ......SSS ±=∆±= (м) ...S = ...S =∆ ...
3.7 Измерить высоту падения цилиндра H и найти скорость 0V в момент отрыва по формуле
( )α−α=
tgSHg
cosSV
20 .
3.8 Принять относительную ошибку измерения скорости равной от-
носительной ошибке измерения дальности полета, т.к. другие величины, вхо-дящие в формулу для 0V , измерены с большей точностью. Вычислить абсо-лютную ошибку ε⋅∆ 0V = 0V и записать результат в виде доверительного ин-тервала 0V∆00 V ±=V .
3.9 Вычислить скорость цилиндра в момент отрыва от наклонной плоскости по формуле
hgV34
= .
3.10 Вычислить абсолютную ошибку V∆
hhVV ∆
=∆21 ,
8
абсолютную ошибку измерения высоты наклонной плоскости принять равной 0,5 см. Результат записать в виде доверительного интервала
h∆
VVV ∆±= . 3.11 Сравнить полученные результаты измерений V0 и V и сделать
вывод. 3.12 Повторить пункты 3.5-3.11 для шара (в пункте 3.9 для вычисле-
ния скорости V использовать формулу hg7
10=V ).
4 Контрольные вопросы
Вопрос 1. Дать определения траектории, пути и перемещения. Вопрос 2. Что называется средней скоростью материальной точки? Вопрос 3. Что называется мгновенной скоростью, как она направле-
на? Вопрос 4. Что такое ускорение? Вопрос 5. Какое ускорение называется тангенциальным, а какое нор-
мальным? Как они направлены? Вопрос 6. В каком случае движение будет равномерным по окружно-
сти, а в каком случае – прямолинейным равноускоренным? Вопрос 7. Написать формулы зависимости скорости и пути от време-
ни при прямолинейном равноускоренном движении. Вопрос 8. Написать формулу для величины нормального ускорения. Вопрос 9. Рассказать о двух способах определения скорости скаты-
вающегося тела в момент отрыва от наклонной плоскости.
9
Список использованных источников
1 А.А.Детлаф, Б.М.Яворский. Курс физики.-М.:Высш.шк.,1989 - 608 с. 2 И.В.Савельев. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1988-432 с. 3 Г.А.Зисман, О.М.Тодес. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1972 - 340 с.
10
Recommended