雑音のある量子ダイナミクス...

雑音のある量子ダイナミクスにおける量子・古典境界

2017.3.6-7 第５回統計物理学懇談会慶應大学

藤井啓祐東京大学大学院工学系研究科付属光量子科学研究センター

JST さきがけ

KF, arXiv:1610.03632 (QIP2017)KF-Tamate, Sci. Rep. 6 25598 (2016)Morimae-KF-Fitzsimons, PRL 112, 130502 (2014)( )

目次• はじめに：複雑な量子ダイナミクスを求めて

• どのようにして複雑さを定量化するか

• 非万能量子計算モデルの特徴づけと問題点

• 雑音のある量子サンプリング

• まとめ

} 量子計算からのアプローチ

の紹介

} 本題

はじめに量子系の自由度は指数的に増える．→古典計算機では難しい．“Nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of Nature, you'd better make it quantum mechanical, and by golly it's a wonderful problem, because it doesn't look so easy.” R. Feynman, Simulating Physics with Computers, Int. J. Theor. Phys. 21, 467 (1982).

→量子コンピュータ・量子シミュレータ

W. S. Bakr et al., Nature 462, 74 (2009)

Kelly et al., Nature 519, 66 (2015)

はじめに量子系の自由度は指数的に増える．→古典計算機では難しい．“Nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of Nature, you'd better make it quantum mechanical, and by golly it's a wonderful problem, because it doesn't look so easy.” R. Feynman, Simulating Physics with Computers, Int. J. Theor. Phys. 21, 467 (1982).

→量子コンピュータ・量子シミュレータ

W. S. Bakr et al., Nature 462, 74 (2009)

物理をシミュレートできる万能な計算機は存在するのか？

古典計算機ではシミュレーションが難しい領域は？

量子コンピュータとは

|0i|0i|0i

初期状態

・・・{N

量子ビット

(量子ビット)

・・・

時間発展

ユニタリー演算子(2N次元)

|0i|0i|0i

初期状態

・・・{N

量子ビット

(量子ビット)

・・・

時間発展

測定・・・

|0i|0i|0i

初期状態

・・・{N

量子ビット

(量子ビット)

・・・

時間発展

測定・・・ 1量子ビット

ユニタリ演算

2量子ビットユニタリ演算

|0i|0i|0i

初期状態

・・・{N

量子ビット

(量子ビット)

・・・

時間発展

測定・・・ 1量子ビット

ユニタリ演算

2量子ビットユニタリ演算

量子回路図

|0i|0i|0i

初期状態

・・・{N

量子ビット

(量子ビット)

万能量子計算|0i|0i|0i

初期状態時間発展測定

・・・

・・・{N量子ビット

任意の量子系(離散)を万能にシミュレートすることができる計算機は構成できるか？

・・・

万能量子コンピュータ

答え：YES!

=任意のユニタリ演算子

・・・

答え：YES!

H =1p2

✓1 11 �1

アダマール演算

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

π/8演算

UCNOT = |0ih0|⌦ I + |1ih1|⌦X

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

CNOT(制御NOT)

万能量子演算集合

・・・

答え：YES!

H =1p2

✓1 11 �1

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

π/8演算

UCNOT = |0ih0|⌦ I + |1ih1|⌦X

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

CNOT(制御NOT)

万能量子演算集合R. P. Feynman, Quantum Mechanical Computers, Optics News (1985)

・・・

答え：YES!

H =1p2

✓1 11 �1

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

π/8演算

UCNOT = |0ih0|⌦ I + |1ih1|⌦X

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

CNOT(制御NOT)

万能量子演算集合

万能性に必要な要素

|0i|0i|0i

・・・

・・・ユニタリー演算子(2N次元)

|0i|0i|0i

・・・

量子回路 = ハミルトニアンを時間・空間的にon-offしている．

より物理的な(対称性の高い)ダイナミクスでも複雑だろうか？

|0i|0i|0i

・・・

量子回路 = ハミルトニアンを時間・空間的にon-offしている．

Feynman量子コンピュータ R. Feynman, Quantum mechanical computers, Opt. News, vol. 11, pp. 11–46, 1985

Ut ⌦ |tiht� 1|+ U†t ⌦ |t� 1iht|

working space clock

Ut ⌦ |tiht� 1|+ U†t ⌦ |t� 1iht|

working space clock

初期状態

working space clock| ini|0i

Ut ⌦ |tiht� 1|+ U†t ⌦ |t� 1iht|

working space clock

初期状態

時間発展 TX

ct(⌧)UtUt�1 · · ·U1| ini|tie�iH⌧

clockを測定して T を得たときの working spaceの状態が量子計算の出力

(history state)

Ut ⌦ |tiht� 1|+ U†t ⌦ |t� 1iht|

working space clock

初期状態

時間発展 TX

ct(⌧)UtUt�1 · · ·U1| ini|tie�iH⌧

clockを測定して T を得たときの working spaceの状態が量子計算の出力

(history state)

KitaevによるQMA問題（NP問題の量子版）の基礎となり、ハミルトニアン複雑性の研究へと発展・より簡単なモデルへ

様々な万能量子計算モデル

量子回路型

万能計算を埋め込むために利用する自由度

時間・空間的にハミルトニアンを変動

Feynman型定常ハミルトニアン

断熱型Aharonov et al, ‘04

(QMA-hardness経由)

定常ハミルトニアン＋断熱操作(横磁場イジングはダメ Bravyi et al ‘06)

オートマトン型定常並進対称ハミルトニアン＋初期状態

[4-local: Feynman’85, 2-local: Nagaj ’10&12]

[5-local: Kitaev ‘02, 3-local: Kempe-Kitaev-Regev’06; 2D 2-local Oliveira-Terhal ’08; 2D fermions: Schuch-Verstraete ’09, 1D 2-local: Aharonov et al ‘09; 2D XY: Cubitt-Montanaro ’13, and many more]

量子ウォーク型定常ハミルトニアン[adjacency matrix: Childs’09,bosons&fermions: Childs-Gosset-Webb’13, and many more]

定常並進対称ハミルトニアン＋時間的に変動 [2D local: Janzig-Wocjan ‘04]

[1D local: Raussendorf ‘05]

量子ダイナミクスの計算複雑性の特徴づけ

[難しさ] 万能量子計算モデル（量子回路モデル）へと帰着させる←すでに述べた

[簡単さ] 古典計算機で効率よくシミュレーションできることを示す←これから少し紹介する

[やや難しさ] 非万能計算モデルの古典計算機によるシミュレーションが困難性を示す ←ちょっと難しい（けど量子と古典の境界に位置）

古典模倣可能なモデル

(1)Clifford量子回路(Gottesman-Knill定理)

(2)離散ウィグナー関数の正値性

(3)量子ディスコードのないダイナミクス

(4)Matchgate量子回路(free-fermion)

[Mari-Eisert ‘12, Vetch et al ‘12, Deflesse et al ‘15, Raussendorf et al ‘15]

[Eastin ’10, Cable-Browne ’12, (Datta-Shaji-Caves ’08)]

[Valiant ‘02; Terhal-DiVincenzo ‘02;Knill ‘01; Jozsa-Miyake ‘08, Jozsa-Kraus-Miyake ‘10, and many more]

classically simulatable

量子計算のハイゼンベルク描像Stabilizer formalism: D. Gottesman, PhD Thesis Caltech ‘97

初期状態

|0i⌦N

シュレーディンガー描像

時間発展

UU |0i⌦N

初期状態

|0i⌦N

時間発展

UU |0i⌦N

ハイゼンベルグ描像状態を”特徴付ける”演算子

{Zi}(=固有状態に持つ演算子)

{Si} Si ⌘ UZiU†

stabilize

初期状態

|0i⌦N

時間発展

UU |0i⌦N

を簡単に計算できるユニタリ演算子＝Clifford演算子(パウリ群を不変にする=正規部分群にもつ)→効率良く古典シミュレーションができる(Gottesman-Knill定理)

ハイゼンベルグ描像状態を”特徴付ける”演算子

{Zi}(=固有状態に持つ演算子)

{Si} Si ⌘ UZiU†

stabilize

(非)Clifford演算

H =1p2

✓1 11 �1

◆アダマール演算

UCNOT = |0ih0|⌦ I + |1ih1|⌦X

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

CNOT(制御NOT)

HXH = Z

HZH = XUCNOT(X ⌦ I)UCNOT = X ⌦Xand so on….Clifford演算

(非)Clifford演算

H =1p2

✓1 11 �1

◆アダマール演算

UCNOT = |0ih0|⌦ I + |1ih1|⌦X

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

CNOT(制御NOT)

HXH = Z

HZH = XUCNOT(X ⌦ I)UCNOT = X ⌦Xand so on….Clifford演算

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

◆e�i(⇡/8)ZXei(⇡/8)Z =

X + Yp2

もはやパウリ演算子ではない非Clifford演算

π/8演算

量子と古典の境界

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

π/8演算

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

π/8演算

=m = 0, 1

Xme�i(⇡/8)Z | ie�i(⇡/8)Z(|0i+ |1i)/

マジック状態+Clifford演算CNOT

量子テレポーテーション：演算子と状態(リソース)をすり替えることができるプロトコル(Choi-Jamiolkowski isomorphism)

e�i(⇡/8)Z =

✓e�i⇡/8 0

0 ei⇡/8

π/8演算

=m = 0, 1

Xme�i(⇡/8)Z | ie�i(⇡/8)Z(|0i+ |1i)/

マジック状態+Clifford演算CNOT

量子と古典の境界Bloch球 y

(Tr[X⇢],Tr[Y ⇢],Tr[Z⇢])

|1i |+i = |0i+ |1ip2

|�i = |0i � |1ip2

(Tr[X⇢],Tr[Y ⇢],Tr[Z⇢])

|1i |+i = |0i+ |1ip2

|�i = |0i � |1ip2

マジック状態

convex mixture ofPauli basis states

マジック状態蒸留=Clifford演算のみでマジック状態を純粋化[Bravyi-Kitaev’05, Reichardt’06]

x-y平面

|0i+ i|1ip2

(Tr[X⇢],Tr[Y ⇢],Tr[Z⇢])

|1i |+i = |0i+ |1ip2

|�i = |0i � |1ip2

マジック状態

convex mixture ofPauli basis states

マジック状態蒸留=Clifford演算のみでマジック状態を純粋化[Bravyi-Kitaev’05, Reichardt’06]

x-y平面

|0i+ i|1ip2

T状態によるリソース理論[Howard-Campbell ‘16]

古典シミュレーションの改善[Bravyi-Gosset ’16] ⇠ 20.23#T

回路モデル断熱モデル量子ウォーク

万能量子計算=計算の自然限界

古典で効率良く模倣できる量子系Clifford circuit[Gottesman-Knill]positive-d-Wigner function[Mari-Eisert, Vetch et al, Deflesse et al, Raussendorf et al]Matchgate (free fermion)[Valiant;Terhal-DiVincenzo;Knill;Jozsa-Miyake]Discord free dynamics[Eastin]

Jones・Tutte polynomial[Aharonov et al]

complex-valued Ising partition functions[Cuevas et al; Iblisdir et al; Matsuo-KF-Imoto]

hardHamiltonian complexity

QSZK(black hole firewall)

量子の複雑性の特徴づけ

scalar field theory[Jordan-Lee-Preskill, Jordan et al]

非万能量子計算モデル→量子スプレマシー(quantum supremacy)

BosonSampling [Aaronson-Arkhipov]

IQP [Bremner-Jozsa-Shepherd; KF-Morimae; KF-Tamate]

DQC1[Knill-Laflamme; Morimae-KF-Fitzsimons]

非万能量子計算モデル→量子スプレマシー(quantum supremacy)

BosonSampling [Aaronson-Arkhipov]

IQP [Bremner-Jozsa-Shepherd; KF-Morimae; KF-Tamate]

DQC1[Knill-Laflamme; Morimae-KF-Fitzsimons]

雑音(デコヒーレンス)のある量子ダイナミクス

雑音のある量子ダイナミクスにおける量子・古典境界

2017.3.6-7 第５回統計物理学懇談会慶應大学

藤井啓祐東京大学大学院工学系研究科付属光量子科学研究センター

JST さきがけ

KF, arXiv:1610.03632 (QIP2017)KF-Tamate, Sci. Rep. 6 25598 (2016)Morimae-KF-Fitzsimons, PRL 112, 130502 (2014)( )

• はじめに：複雑な量子ダイナミクスを求めて

• 雑音のある量子サンプリング

• まとめ

非万能量子計算モデルBoson Sampling

Experimental demonstrationsJ. B. Spring et al. Science 339, 798 (2013)M. A. Broome, Science 339, 794 (2013)M. Tillmann et al., Nature Photo. 7, 540 (2013)A. Crespi et al., Nature Photo. 7, 545 (2013)N. Spagnolo et al., Nature Photo. 8, 615 (2014)J. Carolan et al., Science 349, 711 (2015)

Universal linear opticsScience (2015)

Linear optical quantum computation

Aaronson-Arkhipov ‘13DQC1

(one-clean qubit model)

I/2n U}|0i HH

Knill-Laflamme ‘98Morimae-KF-Fitzsimons ’14KF et al, ‘16

NMR spin ensemble

IQP(commuting circuits)Bremner-Jozsa-Shepherd ‘11

Ising type interaction

|+i|+i|+i|+i

… …

Bremner-Montanaro-Shepherd ‘15Gao-Wang-Duan ‘15

KF-Morimae ‘13

Farhi-Harrow ‘16

相互作用なしボソン量子イジング模型混合状態量子計算

I/2n U}|0i HH

NMR spin ensemble

|+i|+i|+i|+i

… …

KF-Morimae ‘13

Farhi-Harrow ‘16

→万能量子計算に帰着できない

x = 0 or 1

while(y ≠ 1)

事後選択を用いた計算

事後選択するための出力

(注:もちろん、現実世界では実行できない）postselection

決定問題

(例: ある整数Nは素数か？）

x = 0 or 1

while(y ≠ 1)

事後選択を用いた計算

事後選択するための出力

(注:もちろん、現実世界では実行できない）postselection

決定問題

(例: ある整数Nは素数か？）

問題のサイズに対して指数的に小さくてよい．p(x|y = 1) = p(x, y = 1)/p(y = 1)

条件付き確率分布を用いて問題を解いていい（すごくレアなイベントをコストをかけずに利用できる）

postBQP = PPによる古典模倣困難性の証明

Bremner-Jozsa-Shepherd, Proc. Royal Soc. A: Math. Phys. and Eng. Sic. 467, 2126 (2011)

事後選択という仮想の能力を仮定することによって，古典と量子の複雑性の違いが明らかになる!!

Aaronson, Proc. of the Royal Society A: Math., Phys. and Eng. Sci. 461, 3473 (2005).

classical+ postselection quantum+ postselection

postBPP

PP=postBQP[Aaronson05]

postBPP

確率的古典計算で高い確率で正解

postBPP

量子計算で高い確率で正解

postBPP

確率的古典計算で>1/2の確率で正解

postBPP

PHがレベル３まで崩壊しない限り両者は一致しない。

PNP NP …

多項式階層(PH)PPP

PpostBPP

(レベル2までの崩壊: Fujii et al ’16)

postBPP

PHがレベル３まで崩壊しない限り両者は一致しない。

PNP NP …

多項式階層(PH)PPP

PpostBPP

(レベル2までの崩壊: Fujii et al ’16)事後選択を仮定してpostBQP(事後選択あり万能量子計算)と同等になるなら，その量子計算モデルは古典では模倣できない（PHが崩壊しないという前提で）!

I/2n U}|0i HH

NMR spin ensemble

|+i|+i|+i|+i

… …

KF-Morimae ‘13

Farhi-Harrow ‘16

→万能量子計算に帰着できない

I/2n U}|0i

http://www.cbc.ca/news/technology/waterloo-institute-seeks-to-unlock-secrets-of-subatomic-world-1.826146

one-clean qubit model (DQC1)Knill-Laflamme, PRL 81, 5672 (1998)

fidelity decay, Jones 多項式，HOMFLY多項式, Turaev-Viro不変量Poulin et al., PRL 92, 177906 (2004). Shor-Jordan, QIC 8, 681 (2008)完全混合状態

ほとんどエンタングルメントがない

Morimae-KF-Fitzsimons, PRL 112, 130502 (2014)

completely mixed state

pure inputpostselectionyes or no

DQC13(one clean qubit with three-qubit measurement)

KF-Kobayashi-Morimae-Nishimura-Tamate-Tani, ICALP2016 (arXiv:1509.07276)

Apply X to the 1st qubit, if all other qubits are 1.

If outcome is 1, the initial state is a pure state |111…> !

Simulate universal QC

|1i|1i|1i|1i|1i

postDQC13 = postBQP = PP→ Classical simulation of DQC13 is hard!

Simulate universal QC

|1i|1i|1i|1i|1i

I/2n U}|0i HH

NMR spin ensemble

|+i|+i|+i|+i

… …

KF-Morimae ‘13

Farhi-Harrow ‘16

I/2n U}|0i HH

NMR spin ensemble

|+i|+i|+i|+i

… …

KF-Morimae ‘13

Farhi-Harrow ‘16

相互作用なしボソン量子イジング模型混合状態量子計算→事後選択の議論で古典シミュレーションの困難性を示せる

事後選別を用いた議論の問題点

ideal(x) < p

samp(x) < cp

ideal(x) (c > 1)

・乗法的誤差 (or 指数的に小さい加法的誤差)

[Bremner-Jozsa-Shepherd, ’14]

要求されるサンプリングの意味

ideal(x) < p

samp(x) < cp

ideal(x) (c > 1)

・l1-normの意味で定数加法的誤差

kpsamp(x)� p

ideal(x)k1 =X

|psamp(x)� p

ideal(x)| < c

[Aaronson-Arkhipov, ’11, Bremner-Montanaro-Shepherd ‘16]

ideal(x) < p

samp(x) < cp

ideal(x) (c > 1)

各演算に無限小でも雑音のある計算モデルではこれらの条件は決して満たされない！

・l1-normの意味で定数加法的誤差

kpsamp(x)� p

ideal(x)k1 =X

|psamp(x)� p

ideal(x)| < c

[Aaronson-Arkhipov, ’11, Bremner-Montanaro-Shepherd ‘16]

• はじめに：複雑な量子ダイナミクスを求めて

• 雑音のある量子サンプリング(残りのスライドは２枚）

• まとめ

雑音のある量子回路

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

fault-tolerantversionwith noisycircuits

p(x, y, z)

classical processing

理想的な量子回路

雑音のある量子回路と事後選択によってpostBQPをシミュレートする．

詳しくは、KF, arXiv:1610.03632

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

エラーのためのフラッグ理想的な量子回路

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

エラーのためのフラッグp(x, y, |z = 0)

フラッグがたたなかったイベントのみ事後選択

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

エラーのためのフラッグp(x, y, |z = 0)

フラッグがたたなかったイベントのみ事後選択

事後選択によって理想的な計算の部分のみ抽出する→ postB(noisy)QP = postBQP

R Raussendorf1, J Harrington2 and K Goyal3

New Journal of Physics 9 (2007) 199

clean: 万能量子計算

noisy: 古典シミュレーション可能

Ann. Phys. 321 2242 (2006)

雑音のある量子サンプリングの閾値

誤り確率のしきい値(位相緩和):

2.9-3.3%Wang-Harrington-Preskill,Ann. Phys. ’03; Ohno et al., Nuc. Phys. B ‘04

トポロジカル量子誤り訂正から決まる

Ann. Phys. 321 2242 (2006)

1� 1/p2

2=14.6%

マジック状態蒸留のしきい値

(スタビライザー状態の凸結合)

マジック状態

Pauli基底の状態の凸結合 x

y1� 1/

Ann. Phys. 321 2242 (2006)

? ? ?1� 1/

2=14.6%

マジック状態

y1� 1/

Ann. Phys. 321 2242 (2006)

? ? ?事後選択による議論から，古典シミュレーションは困難

1� 1/p2

2=14.6%

マジック状態

y1� 1/

まとめ• 量子系のダイナミクスの複雑性に対する量子計算のアプローチを紹介した．

• 量子系のダイナミクスが関係する物理現象(局在化・孤立量子系の緩和・スクランブリング)にこのようなアプローチが使えれば面白いと思う．

• 非万能量子計算モデルの特徴づけについて紹介した．

• 事後選択による古典模倣困難性の証明には堅牢性があることを示した．

• 雑音のある量子回路における量子・古典の境界を鮮明に引くことができた．

補足

…… …completely mixed state

(random qubit)

one clean qubit

U U †…

(random qubit)

one clean qubit

U U †…

conditioning of clean qubits

(random qubit)

one clean qubit

copy the output into the phase

U U †…

(random qubit)

one clean qubit

U U †

undo the computation to getinterference

(random qubit)

one clean qubit

U U †

Let be a probability of pure quantum computation.

q1 = Tr[|1ih1|U(|0ih0|)⌦nU †]

2nq1(1� q1)

(random qubit)

one clean qubit

U U †

Let be a probability of pure quantum computation.

q1 = Tr[|1ih1|U(|0ih0|)⌦nU †]

2nq1(1� q1)

(An efficient classical simulation implies PH=AM, collapse of PH to 2nd level)

SBQP = SBQ1P

Main idea: simulation of fault-tolerant quantum computation under postselection

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

p(x, y, z)

arXiv:1610.03632

ideal universal QC

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

arXiv:1610.03632

ideal universal QC

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

error syndrome

arXiv:1610.03632

ideal universal QC

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

error syndromep(x, y, |z = 0)

postselect the events whereno error syndrome is activated

arXiv:1610.03632

ideal universal QC

… …

|0i⌦n

p̄(x, y)

logical output

p(x, y, z)

error syndromep(x, y, |z = 0)

postselect the events whereno error syndrome is activated

arXiv:1610.03632

ideal universal QC

Detect any erroneous event and postselect more reliable quantum computation!

・Part1: An exponentially small additive error is enough.

・Part2: The exponentially small additive error

is achievable by quantum error correction under postselection.

… …

error syndrome…

xyfault-

tolerantversion

p(x, y, z)

where the overhead is polynomial in n. Then, classical simulation of with a multiplicative error is hard.

|0i⌦n

p(x, y, z) 1 < c <p2

Threshold theorem for quantum supremacy

p̄(x, y)

|p̄(x, y)� p(x, y|z = 0)| < e

arXiv:1610.03632

= poly(n)

… …

error syndrome…

xyfault-

tolerantversion

p(x, y, z)

|0i⌦n

p(x, y, z) 1 < c <p2

p̄(x, y)

|p̄(x, y)� p(x, y|z = 0)| < e

arXiv:1610.03632

= poly(n)

… …

error syndrome…

xyfault-

tolerantversion

p(x, y, z)

|0i⌦n

Part1: an exponential small additive error is enough

Solve a PP-complete problem (MAJSAT) using as in [Aaronson05]

p̄(x, y)

p̄(x|y)p̄(y = 0) > 2�6n�4probability for postselection:

arXiv:1610.03632

… …

error syndrome…

xyfault-

tolerantversion

p(x, y, z)

|0i⌦n

Part1: an exponential small additive error is enough

Solve a PP-complete problem (MAJSAT) using as in [Aaronson05]

p̄(x, y)

p̄(x|y)p̄(y = 0) > 2�6n�4probability for postselection:

Therefore, if with = poly(n)

then we have

p(x, y, z)→　　　　　　can solve the PP-complete problem under postselection.

|p̄(x, y)� p(x, y|z = 0)| < e

|p̄(x|y = 0)� p(x|y = 0, z = 0)| < 1/2

arXiv:1610.03632

… …

error syndrome…

xyfault-

tolerantversion

p(x, y, z)

|0i⌦n

p(x, y, z) 1 < c <p2

p̄(x, y)

|p̄(x, y)� p(x, y|z = 0)| < e

arXiv:1610.03632

= poly(n)

|0i|0i

……

initial state

= |x, yihx, y|⌦ I

⌦n�2

z Qz = |zihz|error syndrome

… …

Unoisy =Y

(NkUk)

fault-tolerant circuitincluding classical processing

arXiv:1610.03632

Part2: error reduction under postselection (sketch)

|0i|0i

……

initial state

= |x, yihx, y|⌦ I

⌦n�2

… …

Unoisy =Y

(NkUk)

arXiv:1610.03632

|0i|0i

……

initial state

= |x, yihx, y|⌦ I

⌦n�2

… …

ideal operationstochastic Nk = (1� ✏k)I + Eknoise CP map

Unoisy =Y

(NkUk)

arXiv:1610.03632

|0i|0i

……

initial state

= |x, yihx, y|⌦ I

⌦n�2

… …

ideal operationstochastic Nk = (1� ✏k)I + Eknoise CP map

Unoisy =Y

(NkUk)

arXiv:1610.03632

p(x, y, z)

= Tr[Px,y

Unoisy(⇢ini

) = ⇢sparse

+ ⇢faulty

Nk = (1� ✏k)I + EkUsing , we decompose into

such that .

Unoisy

p̄(x, y) / Tr[Px,y

z=0⇢sparse]

arXiv:1610.03632

Unoisy(⇢ini

) = ⇢sparse

+ ⇢faulty

such that .

Unoisy

p̄(x, y) / Tr[Px,y

z=0⇢sparse]

Then we can show thatkp̄(x, y)� p(x, y|z = 0)k1 < 2k⇢faultyk1/qz=0

⌘ Tr[Qz=0

Unoisy(⇢ini

)]where .

✓✏

1� ✏

✏ ⌘ max

k✏k( )

(prob. of null syndrome measurement)

�arXiv:1610.03632

Unoisy(⇢ini

) = ⇢sparse

+ ⇢faulty

such that .

Unoisy

p̄(x, y) / Tr[Px,y

z=0⇢sparse]

Then we can show thatkp̄(x, y)� p(x, y|z = 0)k1 < 2k⇢faultyk1/qz=0

⌘ Tr[Qz=0

Unoisy(⇢ini

)]where .

✓✏

1� ✏

✏ ⌘ max

k✏k( )

(prob. of null syndrome measurement)

There is a constant threshold εth below whichthe output from the noisy quantum circuits cannot be simulated efficiently on a classical computer unless the PH collapses to the 3rd level.

p(x, y, z) = Tr[Px,y

Unoisy(⇢ini

arXiv:1610.03632

Outline• Motivations

• Hardness proof by postselection

• Threshold theorem for quantum supremacy

• Applications: 3D topological cluster computation & 2D surface code

• Summary

Topological MBQC on a 3D cluster state

• MBQC on a graph state of degree log(n)(corresponds to commuting circuits of depth log(n))

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