高階スピンカレントと Hawking 輻射

高階スピンカレントと Hawking 輻射

森田 健

KEK

Ref) hep-th/0701272

磯 暁 氏 (KEK), 梅津 裕志 氏 (OIQP) との共同研究

高階スピンカレントと Hawking 輻射

森田 健

YITP(4 月 -)

Ref) hep-th/0701272

磯 暁 氏 (KEK), 梅津 裕志 氏 (OIQP) との共同研究

高階スピンカレントと Hawking 輻射

森田 健

Tata 研究所 (10 月 -)

Ref) hep-th/0701272

磯 暁 氏 (KEK), 梅津 裕志 氏 (OIQP) との共同研究

Introduction and Motivation

My motivation to study BH physics

String Theory

En

er

gy

general relativity

Low energy effective theory

Black hole

重力を記述する理論

今回の研究

一般相対論 + 場の理論で Black hole を解析する。

超弦理論へ何らかの示唆を与えられないか ?

○ 高次元 Black hole → 2 次元理論

Introduction and Motivation

一般に BH は 2 次元平面 ((r,t) 平面 ) に reduction すると扱いやすい。

• Back reaction (Callan-Giddings-Harvey-Strominger, 1992 ) 高次元重力→ 2 次元重力 +dilaton

• エントロピー ★ Near horizon での Virasoro algebra (Carlip)

★ 重力場の fluctuation→linear dilaton CFT (Iso-T.M.-Umetsu 基研 2006)

• Hawking 輻射

○ CFT の trace anomaly による導出 (Christensen-Fulling, 1977)

○ Gravitational anomaly による導出 (Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek Iso-T.M.-Umetsu 2005-)

特に、 near horizon では理論は conformal になる。: 部分波展開

運動方程式

2-dim massless scalar

→ CFT

物理的に言うと無限の赤方偏位が起こるので無限遠の観測者には UV mode しか効かない。mass や potential は無視できる。

○ Hawking radiations from anomalies

Introduction and Motivation

• trace anomaly Christensen-Fulling

• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.

consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution

これらの手法で Planck 分布 (Fermi-Dirac 分布 ) を再現できるか ?

?

○ Hawking radiations from anomalies

Introduction and Motivation

• trace anomaly Christensen-Fulling

• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.

これらの手法で Planck 分布 (Fermi-Dirac 分布 ) を再現できるか ?

このことを確かめるには次のような量を anomaly を用いて計算できればよい

consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution

あとで説明するが、これらの量は

higher-spin current の flux に対応する。

○ Hawking radiations from anomalies

Introduction and Motivation

• trace anomaly Christensen-Fulling

• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.

これらの手法で Planck 分布 (Fermi-Dirac 分布 ) を再現できるか ?

このことを確かめるには次のような量を anomaly を用いて計算できればよい

consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution

○ 今回の目的

Introduction and Motivation

• trace anomaly Christensen-Fulling

• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.

trace anomaly を用いた方法で、この分布を再現する。

BH の解析における CFT や anomaly の有用性を示す。

Plan of this talk

1. Introduction and Motivation

2. Energy Flux from Trace Anomaly

3. General Fluxes from Trace Anomalies

4. Conclusion

2. Energy Flux from Trace Anomaly Christensen-Fulling (1977)

Set up

4-dimensional Schwarzschild BH back ground における物質場を考える。

• metric

今回の研究では主に (u,v) 座標と (U,V) 座標を用いる。

2. Energy Flux from Trace Anomaly

BH

Set up

(u,v) 座標が記述する領域

BH (U,V) 座標が記述する領域BH

2. Energy Flux from Trace Anomaly

Point

BH

(U,V) 座標で評価した物理量は horizon 近傍で正則

(u,v) 座標で評価した物理量は horizon 近傍以外で正則

near horizon CFT にこれらの条件を考慮することで Hawking 輻射を導出する。

2. Energy Flux from Trace Anomaly

Horizon 近傍における 2-dim CFT

Energy flux を求めたいので energy-momentum tensor に注目する。

CFT で重要な役割を果たすのは conformal 変換を生成する

conformal energy-momentum tensor

Schwarzian derivative

Trace anomaly

Trace anomaly の寄与

Tensor として変換していない

の conformal 変換 における変換則

2. Energy Flux from Trace Anomaly

この変換則を horizon 近傍の CFT に適応する。

Regularity condition and Hawking flux

singular at the horizon (U=0) BH

は horizon 近傍で regular であるべきなので

という条件を得る。

2. Energy Flux from Trace Anomaly

Regularity condition and Hawking flux

は の正則関数

Trace anomaly が Hawking flux. を再現した

Black hole background は時間によらないので も時間によらないはず

1. Introduction and Motivation

2. Energy Flux from Trace Anomaly

3. General Fluxes from Trace Anomalies

4. Conclusion and Discussion

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Planck 分布 または Fermi-Dirac 分布を再現するために

という量を trace anomaly を用いて再現したい。

Noether current of diffeo.

方針

Noether current of higher-spin transf..

目標

この current に対する trace anomaly のようなものを計算することで、

Hawking 輻射を再現できないか試みる。

同様に 偶数階の higher-spin conserved current を作ることができる。

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Higher-spin transformation and higher-spin current

この作用は次の変換に対して不変である。

Traceless symmetric Noether current (4 階 )

In flat metric

( 注 奇数階の higher-spin conserved current は存在しない .( 対称性が無い ) )

and constant.

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Higher-spin transformation and higher-spin current

In curved metric

curved background における高階スピンカレントを構成するのは非常に難しい。

このままでは 目的の trace anomaly の計算ができない、、、

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Higher-spin transformation and higher-spin current

今回も Holomorphic higher-spin currents に注目すれば十分 (flat で十分 )

Energy flux の評価では conformal EM tensor の anomalous な変換性がわかれば十分だった。

Rank 4

Rank 2n

2n

今回も高階スピンカレントの

anomalous な変換性を求めれば

十分である。

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

体積積分

Remark normalization of the currents

2n

の係数が 1 になるように

current の normalization を決める。

が Planck 分布に従えば、

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Rank 4

我々はこの current の anomalous な変換性を point-splitting を用いて求めた。

: singular

Regularization by a point-splitting method

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

この regularization を考慮することで、 anomalous な変換性を出すことができる。

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Rank 4

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Rank 4

In case

Schwarz 微分のような項

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

まともに tensor

として変換した項anomalous な項

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Rank 4

左辺は (U,V) 座標の量→ horizon 近傍で正則

Flux at the infinity

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

同様に を評価する。

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Rank 4

regularity at the horizon

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

Flux at the infinity

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Rank 4

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

Consistent with the Planck distribution!

3. General Fluxes from Trace Anomalies

これらの量の違いは符号のみ .

一般に次を示せる。

2n

Conformal transformation of holomorphic higher-spin current

Remark

についての変換性を求めれば十分である。

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Conformal transformation of general higher-spin currents

generating function を用いて評価することができる。

ここで

Transformation

(lhs)

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Conformal transformation of general higher-spin currents

Derivation of the general Hawking fluxes

regularity at the horizon

両辺 a で展開する。

a の次数毎に比較

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Conformal transformation of general higher-spin currents

Derivation of the general Hawking fluxes

Consistent with the Planck distribution!!

3. General Fluxes from Trace Anomalies

Relation to thermal propagator

今、導出した結果をもう一度 generating function で見直す。

右辺は積分を用いて書き直すことができる。

この形は 2 次元有限温度場の理論における 2 点関数の温度依存部分として

知られている形である。

実際、 generating function は 2 点関数そのものなので、この結果は trace anomaly

を用いた解析が 2 点関数の段階で有限温度理論を再現していることを意味している。

3. General Fluxes from Trace Anomalies

general higher-spin currents for fermion

regularity at the horizon

Consistent with the Fermi-Dirac distribution!

Generating function

Transformation

4. Conclusion

Conclusions

• CFT を用いた解析で高階スピンカレントに対する Hawking 輻射を求めた。• 得られた輻射は Planck 分布 または Fermi-Dirac 分布と完全に一致する。• 実は 2 点関数の段階で有限温度理論を再現している。• 副産物として、高階スピン tensor に対する Schwarz 微分の一般化を見つけた。

Future issues

• Charged/rotating BH への応用

• gravitational anomaly method における Planck 分布の導出

• higher-spin gauge fields を結合させる

• Back reaction of gravitons in 2D String with G. Mandal (Tata)

• The AdS/CFT correspondence への応用

• horizon 近傍の CFT を用いた BH entropy の導出

4. Conclusion

horizon 近傍の CFT を用いた BH entropy の導出 2006 基研研究会でのポスター発表

今回の研究 : BH 背景中の物質場の horizon 近傍での振る舞いに注目した。

BH 背景中の重力場の horizon 近傍での振る舞いに注目する。

horizon 近傍の CFT は linear dilaton 理論になる。

このとき

dilaton (4 次元重力子の一部の mode) の central charge ∝ BH の面積

このことを用いて、 Cardy formula で entropy を評価すると

となり、一応 面積則は再現するが知られている値 より大きくなってしまう。

また物理的に良くわからない点がいくつかある。

2. Energy Flux from Trace Anomaly

Regularity condition and Hawking flux

Remark 一般に energy-momentum tensor と conformal energy-momentum tensor は

異なる。

conformal EM tensor は flat metric における EM tensor

ただし、 Hawking 輻射は無限遠 (flat な領域 ) で観測するので、 における

conformal EM tensor と EM tensor の違いは効かない

○ Hawking 輻射として評価したいのは EM tensor のほう