View
214
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
- J:!:i:' F + p~r
> -A>- . Uf; r _
..
( 1. t;},J
I' I~j~J F0/ifU,J! )/ r ~In eJ f~VlP~ ;
.,. I c"..., T;J1""" s) .
........
.-'- -.v
En rojo el sistema de coordenadas “de laboratorio” (X,Y,Z), y en rosa el plano
“ecuatorial” XY. En azul la terna natural de la órbita (x,y,z), y en celeste el plano orbital
xy. La línea de los nodos, en verde, es la intersección de ambos planos. Se muestra en
verde una órbita elíptica, el momento angular J, normal a su plano, y el vector de Lenz
A, que apunta en la dirección de su periapsis, que se halla a una distancia ρmin del
origen. El ángulo θ es la inclinación de la órbita, el ángulo φ es la longitud del nodo
ascendente, y el ángulo ψ es el argumento del periapsis.
X Y
Z
x
y
z
J
A
φ ψ
θ
Línea de los nodos
Plano ecuatorial
Plano orbital
Periapsis
ρmin
Scattering
Partícula incidente desde z = −∞ con velocidad v∞ y parámetro de impacto b. Siguiendo aLandau Sec. 18 (p. 57),
χ = ∫ρmin
∞ Jdρ
ρ2 2μE − Uρ − J2/ρ2,
donde
2μE − Uρmin − J2
ρmin2
= 0.
Pero asumiendo U∞ = 0,
E = 12μv∞2 , J = μbv∞,
luego
χ = ∫ρmin
∞ bdρ
ρ2 1 − b2/ρ2 − 2Uρ/μv∞2 ,
que determina χ a partir de b y v∞; notar que ρmin puede determinarse de
1 − b2
ρmin2
− 2Uρminμv∞2
= 0
también en términos de b y v∞. El ángulo de dispersión θ es claramente
θ = |π − 2χ|.
Ahora consideremos un haz uniforme de partículas incidente desde z = −∞, todas con v∞, y con npartículas por unidad de tiempo atravesando la unidad de área normal al haz. Sea dN el númerode partículas por unidad de tiempo dispersadas a ángulos entre θ y θ + dθ. Definimos la seccióneficaz (diferencial) de dispersión
dσ := dNn .
Si las partículas con parámetro de impacto entre b y b + db se dispersan entre θ y θ + dθ,
dN = n2πbdb
y
dσ = 2πbdb = 2πbθdbθ = 2πbθdbθdθ
dθ.
Si la queremos por unidad de ángulo sólido dΩ = 2π senθdθ,
dσ =bθsenθ
dbθdθ
dΩ.
La sección eficaz total se define como
σT = ∫Ωdσ = ∫
0
π2πbθ
dbθdθ
dθ = ∫ bθsenθ
dbθdθ
dΩ.
Ejemplo: esfera dura
En este caso ρmin es el radio a de la esfera dispersora, y ambas ramas de la trayectoria son rectas.Por geometría tenemos
b = a senχ
para b < a; para b > a no hay dispersión. Luego
bθ = a sen π − θ2
= acos θ2
y
dbθdθ
= − a2
sen θ2
.
Entonces
dσ = 2πbθdbθdθ
dθ = πa2 cos θ2
sen θ2dθ = πa2
2senθdθ
y
σT = ∫0
π πa2
2sinθdθ = πa2,
que no es otra cosa que el área de sección transversal de la esfera dura. Notemos también que enfunción del ángulo sólido
dσ =bθsenθ
dbθdθ
dΩ = 1senθ
a2
2sen θ
2cos θ
2= a2
4,
es decir, la dispersión es uniforme.
Ejemplo: Rutherford
Partículas de cargas q1 y q2 y masa reducida μ, desde el CM. El potencial es
Uρ = 14π 0
q1q2
ρ = αρ .
Del apunte manuscrito tenemos trayectorias hiperbólicas dadas por
ρ =p
ecosθ − 1,
con
p = J2
μα =μb2v∞
2
α , e = 1 + 2EJ2
μα2= 1 +
μ2b2v∞4
α2.
El ángulo rotado entre el periapsis y la asíntota es
χ = cos−1 1e .
Luego
sen θ2
= 1e
y
cot θ2
= e2 − 1 =μbv∞2α ,
de donde
bθ = αμv∞2
cot θ2
.
Luego
dbθdθ
= − αμv∞2
12sen2 θ
2
y
dσ = αμv∞2
2
14sen4 θ
2
dΩ.
Pero la sección eficaz total diverge:
σT = ∫0
π αμv∞2
2
2π senθdθ4sen4 θ
2
= 2π αμv∞2
2
∫π
0 dcosθ1 − cosθ2
= 2π αμv∞2
2
∫−1
1du
1 − u2= ∞.
Lenz: de 3D a 2D
Aquí pretendemos mostrar cómo la partícula libre en S2 (la esfera en R3) se proyecta a unoscilador armónico en R2, y cómo el momento angular 3D genera tanto el momento angularcomo el vector de Lenz del oscilador 2D.
Partícula libre en S2:
L = 12mr2 + r2θ2 + r2 sin2θφ2
con el vínculo
r = R,
luego
L = 12mR2θ2 + sin2θφ2.
Solución formal de las ecuaciones de movimiento: invariancia ante traslaciones temporales
E = 12mR2θ2 + sin2θφ2 = cte.
φ ignorable
pφ = mR2 sin2θφ = cte.
Luego
φ =pφ
mR2 sin2θ
y
E = 12mR2θ2 +
pφ2
2mR2 sin2θ.
Simetría rotacional alrededor del origen J =cte. Luego el movimiento tiene lugar en ΠOJ, elplano ⊥ J que pasa por el origen O; y a la vez sobre la 2-esfera S2 de radio R; es decir
r ∈ S2 ∩ ΠOJ
o sea sobre un círculo máximo. Como
E = 12mv∥
2
donde v∥ es la velocidad tangencial, ésta es constante. Entonce tenemos MCU sobre un círculomáximo.
Proyección al plano xy:
x = R sinθcosφ,
y = R sinθ sinφ,
z = Rcosθ,
x = Rcosθcosφθ − R sinθ sinφφ,
y = Rcosθ sinφθ + R sinθcosφφ,
ż = −R sinθθ.
Luego
x2 + y2 + ż2 = R2cos2θθ2 + sin2θφ2 + R2 sin2θθ2.
Pero en polares planas ρ,ϕ, proyectando desde S2,
ρ = R sinθ,
ϕ = φ,
y
ρ = Rcosθθ,
ϕ = φ.
Luego
x2 + y2 + ż2 = ρ2 + ρ2ϕ2 + R2 sin2θθ2
y
12mx2 + y2 + ż2 = 1
2mρ2 + ρ2ϕ2 + 1
2mR2 sin2θθ2.
Pero de
E = 12mR2θ2 +
pφ2
2mR2 sin2θ
tenemos
12mR2 sin2θθ2 = E sin2θ −
pφ2
2mR2,
luego
12mx2 + y2 + ż2 = 1
2mρ2 + ρ2ϕ2 + E sin2θ −
pφ2
2mR2
= 12mρ2 + ρ2ϕ2 + E
R2ρ2 −
pφ2
2mR2.
Ésta es la energía del sistema 3D, y también del sistema 2D en polares planas; pero en polaresplanas
T = 12mρ2 + ρ2ϕ2,
luego debe ser
U = ER2
ρ2 −pφ
2
2mR2.
El último término es puramente una constante y podemos tirarla, y con el resto formamos
L2D = T − U = 12mρ2 + ρ2ϕ2 − E
R2ρ2.
Ésta es la Lagrangiana de un oscilador armónico isotrópico 2D con masa m y constante de resorte
k := 2ER2
=mv∥
2
R2.
Componentes de J:
En el problema 3D
Jz = pφ = mR2 sen2θφ,
y en el 2D
jz = pϕ = mρ2ϕ.
Pero en polares planas ρ,ϕ, proyectando desde S2,
ρ = R sinθ,
ϕ = φ,
luego
Jz = jz.
Supongamos ahora que elegimos los ejes x e y de modo que
J = Jxx + Jzz,
con
tanΘ =JxJz
.
Luego
A := J − Jzz =Jxx
apunta efectivamente hacia el periapsis de la órbita 2D.
Funciones de movimiento:
En 3D tenemos v∥ = 2E/m , constante. El movimiento es un MCU con rapidez v∥ a lolargo de un círculo máximo ortogonal a J. En el plano XY del círculo máximo tendremos
X = Rcosωt, Y = R senωt, Z = 0,
con
ω =v∥R
.
Las coordenadas x,y, z del movimiento 3D se obtienen rotando éstas en Θ alrededor de ŷ:
x
y
z
=
cosΘ 0 senΘ
0 1 0
− senΘ 0 cosΘ
X
Y
Z
.
Luego para el movimiento 2D en el plano xy tenemos
x = RcosΘcosωt, y = R senωt,
con
ω = km =
mv∥2 /R2
m =v∥R
como debe! El semieje menor de la elipse es RcosΘ y el mayor es R.
Recommended