Интегралы и дифференциальные уравнения · 2018-11-20 · Для...

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Факультет “Фундаментальные науки”

Кафедра “Высшая математика”

Интегралы и дифференциальные уравнения

Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный интеграл.

Несобственные интегралы.

Лекция 2.4

к.ф.-м.н. Чирков Д.М.

Вычисление объема тела

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 2 / 23

Определение

Тело – часть пространства, ограниченная замкнутой непересе-кающейся поверхностью.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 3 / 23

Объем прямого цилиндра равен произведению площади основанияна высоту:

V = S∆x = πR2∆x RΔx

S=πR2

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 4 / 23

Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела, разделим егона тонкие слои с толщиной ∆x

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 5 / 23

Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела, разделим егона тонкие слои с толщиной ∆x

S(x)

Δx x

a

b

0

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 5 / 23

Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела, разделим егона тонкие слои с толщиной ∆x

S(x)

Δx x

a

b

0

Эти слои настолько тонкие, что каждый из них можно с хорошейточностью считать прямым цилиндром.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 5 / 23

Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела, разделим егона тонкие слои с толщиной ∆x

S(x)

Δx x

a

b

0

Эти слои настолько тонкие, что каждый из них можно с хорошейточностью считать прямым цилиндром.

Площадь основания такого цилиндра равна S(x), его высота равна∆x =⇒ его объем равен S(x)∆x.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 5 / 23

Сумма объемов всех этих цилиндров приближенно равна объемурассматриваемого тела.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 6 / 23

Сумма объемов всех этих цилиндров приближенно равна объемурассматриваемого тела. Чем меньше толщина слоев, тем меньше этасумма отличается от объема тела.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 6 / 23

Сумма объемов всех этих цилиндров приближенно равна объемурассматриваемого тела. Чем меньше толщина слоев, тем меньше этасумма отличается от объема тела.

Когда толщина всех слоев стремится к нулю, мы получаем объемисследуемого тела:

V =

b∫

a

S(x)dx (1)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 6 / 23

Пример

Вычислим объем сферы.

Пример

Вычислим объем сферы. В декартовых координатах сфера,центр которой находится в начале координат, задается уравне-нием

x2 + y2 + z2 = R2, где R − радиус сферы

Пример

Вычислим объем сферы. В декартовых координатах сфера,центр которой находится в начале координат, задается уравне-нием

x2 + y2 + z2 = R2, где R − радиус сферы

Сечение сферы плоскостью, перпендикулярной оси x – круг, ко-торый задается уравнением

y2 + z2 = R2 − x2

Пример

Вычислим объем сферы. В декартовых координатах сфера,центр которой находится в начале координат, задается уравне-нием

x2 + y2 + z2 = R2, где R − радиус сферы

Сечение сферы плоскостью, перпендикулярной оси x – круг, ко-торый задается уравнением

y2 + z2 = R2 − x2

Радиус такого круга равен√

R2 − x2 =⇒ его площадь равнаπ(R2 − x2).

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 7 / 23

Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.

Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.

Воспользуемся формулой (1):

V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx

Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.

Воспользуемся формулой (1):

V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.

Воспользуемся формулой (1):

V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

= π

{(

R2 · R−R3

3

)

−

(

R2 · (−R)−(−R)3

3

)}

=

Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.

Воспользуемся формулой (1):

V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

= π

{(

R2 · R−R3

3

)

−

(

R2 · (−R)−(−R)3

3

)}

=

= π

{

2

3R3 −

(

−2

3R3

)}

Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.

Воспользуемся формулой (1):

V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

= π

{(

R2 · R−R3

3

)

−

(

R2 · (−R)−(−R)3

3

)}

=

= π

{

2

3R3 −

(

−2

3R3

)}

=4

3πR3

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 8 / 23

Определение

Тело вращения – это тело, образованное вращением плоскойфигуры вокруг прямой, лежащей в плоскости этой фигуры

На рисунке плоская фигура заштрихована; она вращается вокругоси x:

y

x

a

b

y=y(x)

y

x

a

b

y(x)

S(x)=πy (x)²

}

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 9 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 10 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

1 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Ox , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = π

b∫

a

y2(x)dx (2)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 10 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

1 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Ox , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = π

b∫

a

y2(x)dx (2)

2 если фигуру, ограниченную графиками функций y1(x) и y2(x)

вращают вокруг оси Ox , то объем тела вращения вычисляетсяпо формуле:

V = π

b∫

a

|y21(x)− y22(x)|dx (3)

Здесь a, b − те значения x, при которых пересекаютсяграфики функций y1(x) и y2(x).

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 10 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

3 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Oy , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = 2π

b∫

a

|x · y(x)|dx (4)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 11 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

3 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Oy , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = 2π

b∫

a

|x · y(x)|dx (4)

4 если фигуру, ограниченную графиками функций y1(x) и y2(x)

вращают вокруг оси Oy , то объем тела вращения вычисляетсяпо формуле:

V = 2π

b∫

a

∣

∣

∣x ·

(

y1(x)− y2(x))∣

∣

∣dx (5)

Здесь a, b − те значения x, при которых пересекаютсяграфики функций y1(x) и y2(x).

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 11 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

5 если фигуру, ограниченную кривой, заданной параметрическимиуравнениями x = x(t) и y = y(t) на отрезке [t1; t2], вращают

вокруг оси Ox , то объем тела вращения вычисляется поформуле:

V = π

t2∫

t1

y2(t)|x′(t)|dt (6)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 12 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

5 если фигуру, ограниченную кривой, заданной параметрическимиуравнениями x = x(t) и y = y(t) на отрезке [t1; t2], вращают

вокруг оси Ox , то объем тела вращения вычисляется поформуле:

V = π

t2∫

t1

y2(t)|x′(t)|dt (6)

6 если фигуру, ограниченную кривой, заданной параметрическимиуравнениями x = x(t) и y = y(t) на отрезке [t1; t2], вращают

вокруг оси Oy , то объем тела вращения вычисляется поформуле:

(7) V = π

t2∫

t1

x2(t)|y′(t)|dt

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 12 / 23

Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций

7 если фигуру, ограниченную кривой, заданной в полярныхкоординатах уравнением r = r(θ) на отрезке [θ1; θ2], вращаютвокруг полярной оси, то объем тела вращения вычисляется поформуле:

V =2

3π

θ2∫

θ1

r3(θ)| sin(θ)|dθ (8)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 13 / 23

Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

арки циклоиды

{

x(t) = a(t− sin t),y(t) = a(1− cos t)

, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

арки циклоиды

{

x(t) = a(t− sin t),y(t) = a(1− cos t)

, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t):

Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

арки циклоиды

{

x(t) = a(t− sin t),y(t) = a(1− cos t)

, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t): x′(t) = a(1− cos t).

Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

арки циклоиды

{

x(t) = a(t− sin t),y(t) = a(1− cos t)

, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t): x′(t) = a(1− cos t). Воспользуемсяформулой (6):

V = π

2π∫

0

a2(1− cos t)2|a(1− cos t)|dt =

Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

арки циклоиды

{

x(t) = a(t− sin t),y(t) = a(1− cos t)

, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t): x′(t) = a(1− cos t). Воспользуемсяформулой (6):

V = π

2π∫

0

a2(1− cos t)2|a(1− cos t)|dt =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

так как cos t 6 1 для любых t, то1− cos t > 0 для любых t

⇓знак модуля можно убрать

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 14 / 23

Пример (продолжение)

= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt

Пример (продолжение)

= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt = πa32π∫

0

(1− 3 cos t+ 3cos2 t− cos3 t)dt =

Пример (продолжение)

= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt = πa32π∫

0

(1− 3 cos t+ 3cos2 t− cos3 t)dt =

= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

Пример (продолжение)

= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt = πa32π∫

0

(1− 3 cos t+ 3cos2 t− cos3 t)dt =

= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

= πa32π∫

0

(

5

2−

15

4cos t+

3

2cos 2t−

1

4cos 3t

)

dt =

Пример (продолжение)

= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt = πa32π∫

0

(1− 3 cos t+ 3cos2 t− cos3 t)dt =

= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

= πa32π∫

0

(

5

2−

15

4cos t+

3

2cos 2t−

1

4cos 3t

)

dt =

= πa3(

5

2t−

15

4sin t+

3

4sin 2t−

1

12sin 3t

)

∣

∣

∣

∣

∣

2π

0

=

Пример (продолжение)

= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt = πa32π∫

0

(1− 3 cos t+ 3cos2 t− cos3 t)dt =

= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

= πa32π∫

0

(

5

2−

15

4cos t+

3

2cos 2t−

1

4cos 3t

)

dt =

= πa3(

5

2t−

15

4sin t+

3

4sin 2t−

1

12sin 3t

)

∣

∣

∣

∣

∣

2π

0

= 5π2a3

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 15 / 23

Вычисление площадиповерхности вращения

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 16 / 23

Если график функции y(x) вращать вокруг оси Ox, то образуетсяповерхность вращения.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 17 / 23

Если график функции y(x) вращать вокруг оси Ox, то образуетсяповерхность вращения.

x

y

Обозначим площадь

такой полосы через

y(x)

A B

Разрежем поверхность вращения

на узкие полосы

ΔS

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 17 / 23

Если график функции y(x) вращать вокруг оси Ox, то образуетсяповерхность вращения.

x

y

Обозначим площадь

такой полосы через

y(x)

A B

Разрежем поверхность вращения

на узкие полосы

ΔS

Сумма площадей этих полос приближенно равна площадиповерхности вращения.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 17 / 23

Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 18 / 23

Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.

В данном случае R = y(x).

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 18 / 23

Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.

В данном случае R = y(x). Для того, чтобы найти AB,воспользуемся формулой длины дуги кривой (см. предыдущуюлекцию):

AB =√

1 + y′2(x) ·∆x

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 18 / 23

Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.

В данном случае R = y(x). Для того, чтобы найти AB,воспользуемся формулой длины дуги кривой (см. предыдущуюлекцию):

AB =√

1 + y′2(x) ·∆x

Тогда ∆S = 2πy(x)√

1 + y′2(x) ·∆x

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 18 / 23

Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.

В данном случае R = y(x). Для того, чтобы найти AB,воспользуемся формулой длины дуги кривой (см. предыдущуюлекцию):

AB =√

1 + y′2(x) ·∆x

Тогда ∆S = 2πy(x)√

1 + y′2(x) ·∆x

Складывая все ∆S, получим приближенное значение площадиповерхности вращения.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 18 / 23

Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.

В данном случае R = y(x). Для того, чтобы найти AB,воспользуемся формулой длины дуги кривой (см. предыдущуюлекцию):

AB =√

1 + y′2(x) ·∆x

Тогда ∆S = 2πy(x)√

1 + y′2(x) ·∆x

Складывая все ∆S, получим приближенное значение площадиповерхности вращения.

В пределе, когда ширина всех полос стремится к нулю, мы получаемточное значение площади поверхности вращения.

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 18 / 23

Теорема 1

Если на отрезке [a; b] функция y(x) имеет непрерывную произ-водную y′(x), то площадь поверхности, образованной вращени-ем графика этой функции вокруг оси абсцисс (ось Ox), можетбыть вычислена по формуле:

S = 2π

b∫

a

|y(x)| ·√

1 + y′2(x)dx (9)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 19 / 23

Теорема 2

Если на отрезке [α;β] функции x(t) и y(t) имеют непрерывныепроизводные, то площадь поверхности, образованной вращени-ем кривой, заданной параметрическими уравнениямиx = x(t), y = y(t), вокруг оси абсцисс (ось Ox), может бытьвычислена по формуле

S = 2π

β∫

α

|y(t)|√

x′2(t) + y′2(t)dt (10)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 20 / 23

Теорема 3

Если на отрезке [ϕ1;ϕ2] функция r(ϕ) имеет непрерывную про-изводную, то площадь поверхности, образованной вращениемграфика этой функции вокруг полярной оси, может быть вы-числена по формуле

S = 2π

ϕ2∫

ϕ1

r(ϕ)| sinϕ|√

r2(ϕ) + r′2(ϕ)dϕ (11)

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 21 / 23

Пример

Найдем площадь поверхности сферы радиуса R.

Пример

Найдем площадь поверхности сферы радиуса R.

Сферу можно получить, вращая полуокружность вокруг поляр-ной оси:

R

O O

полюс

полярная ось

полуокружность

Пример

Найдем площадь поверхности сферы радиуса R.

Сферу можно получить, вращая полуокружность вокруг поляр-ной оси:

R

O O

полюс

полярная ось

полуокружность

В полярных координатах (r, ϕ) полуокружность радиуса R за-дается уравнением r(ϕ) = R, ϕ ∈ [0;π].

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 22 / 23

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ):

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Воспользуемся формулой (11):

S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Воспользуемся формулой (11):

S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Воспользуемся формулой (11):

S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Воспользуемся формулой (11):

S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 2πR2

π∫

0

sinϕdϕ

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Воспользуемся формулой (11):

S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 2πR2

π∫

0

sinϕdϕ = 2πR2(− cosϕ)∣

∣

∣

π

0

Пример (продолжение)

Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).

Воспользуемся формулой (11):

S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 2πR2

π∫

0

sinϕdϕ = 2πR2(− cosϕ)∣

∣

∣

π

0

= 4πR2

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 23 / 23