Интегралы и дифференциальные уравнения · 2018-11-20 · Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела,

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Факультет “Фундаментальные науки”

Кафедра “Высшая математика”

Интегралы и дифференциальные уравнения

Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный интеграл.

Несобственные интегралы.

Лекция 2.4

к.ф.-м.н. Чирков Д.М.

Вычисление объема тела

ИиДУ, Модуль 2, Лекция 2.4 2 / 23

Определение

Тело – часть пространства, ограниченная замкнутой непересе-кающейся поверхностью.


Объем прямого цилиндра равен произведению площади основанияна высоту:

V = S∆x = πR2∆x RΔx

S=πR2


Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела, разделим егона тонкие слои с толщиной ∆x



S(x)

Δx x

a

b

0



S(x)

Δx x

a

b

0

Эти слои настолько тонкие, что каждый из них можно с хорошейточностью считать прямым цилиндром.



S(x)

Δx x

a

b

0

Эти слои настолько тонкие, что каждый из них можно с хорошейточностью считать прямым цилиндром.

Площадь основания такого цилиндра равна S(x), его высота равна∆x =⇒ его объем равен S(x)∆x.


Сумма объемов всех этих цилиндров приближенно равна объемурассматриваемого тела.


Сумма объемов всех этих цилиндров приближенно равна объемурассматриваемого тела. Чем меньше толщина слоев, тем меньше этасумма отличается от объема тела.


Сумма объемов всех этих цилиндров приближенно равна объемурассматриваемого тела. Чем меньше толщина слоев, тем меньше этасумма отличается от объема тела.

Когда толщина всех слоев стремится к нулю, мы получаем объемисследуемого тела:

V =

b∫

a

S(x)dx (1)


Пример

Вычислим объем сферы.

Пример

Вычислим объем сферы. В декартовых координатах сфера,центр которой находится в начале координат, задается уравне-нием

x2 + y2 + z2 = R2, где R − радиус сферы

Пример



Сечение сферы плоскостью, перпендикулярной оси x – круг, ко-торый задается уравнением

y2 + z2 = R2 − x2

Пример



Сечение сферы плоскостью, перпендикулярной оси x – круг, ко-торый задается уравнением

y2 + z2 = R2 − x2

Радиус такого круга равен√

R2 − x2 =⇒ его площадь равнаπ(R2 − x2).


Пример (продолжение)

На сфере радиуса R с центром в начале координат x-координатаизменяется от −R до R.



Воспользуемся формулой (1):

V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx




V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=




V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

= π

{(

R2 · R−R3

3

)

−

(

R2 · (−R)−(−R)3

3

)}

=




V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

= π

{(

R2 · R−R3

3

)

−

(

R2 · (−R)−(−R)3

3

)}

=

= π

{

2

3R3 −

(

−2

3R3

)}




V =

R∫

−R

π(R2 − x2)dx = π

(

R2x−x3

3

)

∣

∣

∣

∣

∣

R

−R

=

= π

{(

R2 · R−R3

3

)

−

(

R2 · (−R)−(−R)3

3

)}

=

= π

{

2

3R3 −

(

−2

3R3

)}

=4

3πR3


Определение

Тело вращения – это тело, образованное вращением плоскойфигуры вокруг прямой, лежащей в плоскости этой фигуры

На рисунке плоская фигура заштрихована; она вращается вокругоси x:

y

x

a

b

y=y(x)

y

x

a

b

y(x)

S(x)=πy (x)²

}


Формулы объемов тел, полученных вращением

криволинейных трапеций




1 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Ox , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = π

b∫

a

y2(x)dx (2)




1 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Ox , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = π

b∫

a

y2(x)dx (2)

2 если фигуру, ограниченную графиками функций y1(x) и y2(x)

вращают вокруг оси Ox , то объем тела вращения вычисляетсяпо формуле:

V = π

b∫

a

|y21(x)− y22(x)|dx (3)

Здесь a, b − те значения x, при которых пересекаютсяграфики функций y1(x) и y2(x).




3 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Oy , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = 2π

b∫

a

|x · y(x)|dx (4)




3 если криволинейную трапецию, ограниченную графикомфункции y(x) на отрезке [a; b], вращают вокруг оси Oy , тообъем тела вращения вычисляется по формуле:

V = 2π

b∫

a

|x · y(x)|dx (4)

4 если фигуру, ограниченную графиками функций y1(x) и y2(x)

вращают вокруг оси Oy , то объем тела вращения вычисляетсяпо формуле:

V = 2π

b∫

a

∣

∣

∣x ·

(

y1(x)− y2(x))∣

∣

∣dx (5)

Здесь a, b − те значения x, при которых пересекаютсяграфики функций y1(x) и y2(x).




5 если фигуру, ограниченную кривой, заданной параметрическимиуравнениями x = x(t) и y = y(t) на отрезке [t1; t2], вращают

вокруг оси Ox , то объем тела вращения вычисляется поформуле:

V = π

t2∫

t1

y2(t)|x′(t)|dt (6)





вокруг оси Ox , то объем тела вращения вычисляется поформуле:

V = π

t2∫

t1

y2(t)|x′(t)|dt (6)


вокруг оси Oy , то объем тела вращения вычисляется поформуле:

(7) V = π

t2∫

t1

x2(t)|y′(t)|dt




7 если фигуру, ограниченную кривой, заданной в полярныхкоординатах уравнением r = r(θ) на отрезке [θ1; θ2], вращаютвокруг полярной оси, то объем тела вращения вычисляется поформуле:

V =2

3π

θ2∫

θ1

r3(θ)| sin(θ)|dθ (8)


Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

арки циклоиды

{

x(t) = a(t− sin t),y(t) = a(1− cos t)

, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Пример



{


, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t):

Пример



{


, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t): x′(t) = a(1− cos t).

Пример



{


, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t): x′(t) = a(1− cos t). Воспользуемсяформулой (6):

V = π

2π∫

0

a2(1− cos t)2|a(1− cos t)|dt =

Пример



{


, a > 0, t ∈ [0; 2π].

Найдем производную x′(t): x′(t) = a(1− cos t). Воспользуемсяформулой (6):

V = π

2π∫

0

a2(1− cos t)2|a(1− cos t)|dt =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

так как cos t 6 1 для любых t, то1− cos t > 0 для любых t

⇓знак модуля можно убрать

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=



= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt


= π

2π∫

0

a3(1− cos t)3dt = πa32π∫

0

(1− 3 cos t+ 3cos2 t− cos3 t)dt =


= π

2π∫

0


0


= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =


= π

2π∫

0


0


= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

= πa32π∫

0

(

5

2−

15

4cos t+

3

2cos 2t−

1

4cos 3t

)

dt =


= π

2π∫

0


0


= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

= πa32π∫

0

(

5

2−

15

4cos t+

3

2cos 2t−

1

4cos 3t

)

dt =

= πa3(

5

2t−

15

4sin t+

3

4sin 2t−

1

12sin 3t

)

∣

∣

∣

∣

∣

2π

0

=


= π

2π∫

0


0


= πa32π∫

0

(

1− 3 cos t+3

2

[

1 + cos 2t]

−1

4

[

cos 3t+ 3cos t]

)

dt =

= πa32π∫

0

(

5

2−

15

4cos t+

3

2cos 2t−

1

4cos 3t

)

dt =

= πa3(

5

2t−

15

4sin t+

3

4sin 2t−

1

12sin 3t

)

∣

∣

∣

∣

∣

2π

0

= 5π2a3


Вычисление площадиповерхности вращения


Если график функции y(x) вращать вокруг оси Ox, то образуетсяповерхность вращения.



x

y

Обозначим площадь

такой полосы через

y(x)

A B

Разрежем поверхность вращения

на узкие полосы

ΔS



x

y

Обозначим площадь

такой полосы через

y(x)

A B

Разрежем поверхность вращения

на узкие полосы

ΔS

Сумма площадей этих полос приближенно равна площадиповерхности вращения.


Если полоса достаточно узкая, ее площадь можно вычислить поформуле площади боковой поверхности цилиндра: ∆S = 2π ·R ·AB,где R − радиус цилиндра, AB − высота цилиндра.



В данном случае R = y(x).



В данном случае R = y(x). Для того, чтобы найти AB,воспользуемся формулой длины дуги кривой (см. предыдущуюлекцию):

AB =√

1 + y′2(x) ·∆x




AB =√

1 + y′2(x) ·∆x

Тогда ∆S = 2πy(x)√

1 + y′2(x) ·∆x




AB =√

1 + y′2(x) ·∆x


1 + y′2(x) ·∆x

Складывая все ∆S, получим приближенное значение площадиповерхности вращения.




AB =√

1 + y′2(x) ·∆x


1 + y′2(x) ·∆x

Складывая все ∆S, получим приближенное значение площадиповерхности вращения.

В пределе, когда ширина всех полос стремится к нулю, мы получаемточное значение площади поверхности вращения.


Теорема 1

Если на отрезке [a; b] функция y(x) имеет непрерывную произ-водную y′(x), то площадь поверхности, образованной вращени-ем графика этой функции вокруг оси абсцисс (ось Ox), можетбыть вычислена по формуле:

S = 2π

b∫

a

|y(x)| ·√

1 + y′2(x)dx (9)


Теорема 2

Если на отрезке [α;β] функции x(t) и y(t) имеют непрерывныепроизводные, то площадь поверхности, образованной вращени-ем кривой, заданной параметрическими уравнениямиx = x(t), y = y(t), вокруг оси абсцисс (ось Ox), может бытьвычислена по формуле

S = 2π

β∫

α

|y(t)|√

x′2(t) + y′2(t)dt (10)


Теорема 3

Если на отрезке [ϕ1;ϕ2] функция r(ϕ) имеет непрерывную про-изводную, то площадь поверхности, образованной вращениемграфика этой функции вокруг полярной оси, может быть вы-числена по формуле

S = 2π

ϕ2∫

ϕ1

r(ϕ)| sinϕ|√

r2(ϕ) + r′2(ϕ)dϕ (11)


Пример

Найдем площадь поверхности сферы радиуса R.

Пример


Сферу можно получить, вращая полуокружность вокруг поляр-ной оси:

R

O O

полюс

полярная ось

полуокружность

Пример


Сферу можно получить, вращая полуокружность вокруг поляр-ной оси:

R

O O

полюс

полярная ось

полуокружность

В полярных координатах (r, ϕ) полуокружность радиуса R за-дается уравнением r(ϕ) = R, ϕ ∈ [0;π].



Найдем производную r′(ϕ):


Найдем производную r′(ϕ): r′(ϕ) = R′ = 0, так как R − посто-янная величина (фиксированное число).




S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ




S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =




S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=




S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 2πR2

π∫

0

sinϕdϕ




S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 2πR2

π∫

0

sinϕdϕ = 2πR2(− cosϕ)∣

∣

∣

π

0




S = 2π

π∫

0

R| sinϕ|√

R2 + 02dϕ = 2πR2

π∫

0

| sinϕ|dϕ =

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

при ϕ ∈ [0;π] sinϕ > 0⇓

| sinϕ| = sinϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 2πR2

π∫

0

sinϕdϕ = 2πR2(− cosϕ)∣

∣

∣

π

0

= 4πR2


Documents

Интегралы и дифференциальные уравнения · 2018-11-20 · Для того, чтобы вычислить объем произвольного тела,