Содержание - narod.rutkachenko-mephi.narod.ru/pdfs/2semVf2.pdf · 2013-05-13 · Вычислить объем тела, образованного вращением дуги

В2-05, В2-12 – Весна 2008 – Лекции, часть II

Содержание1. Приложения определенного интеграла 2

1.1. Вычисление площади плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. Площадь фигуры в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Площадь фигуры в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Площадь фигуры с параметрически заданной границей . . . . . . . . . . 4

1.2. Вычисление объема тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Вычисление длины дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Вычисление площади поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Несобственные интегралы 102.1. Понятие несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Признаки сходимости несобственного интеграла I – го рода . . . . . . . . . . . . 11

Функции многих переменных 13

3. Непрерывные функции многих переменных 133.1. n – мерное координатное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Сходящиеся последовательности в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Функции в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Свойства функций, непрерывных в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Свойства функций, непрерывных на множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Дифференцируемые функции многих переменных 204.1. Частные производные и дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Условия дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Частные производные сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4. Инвариантность формы первого дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5. Градиент и производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6. Нормаль поверхности и касательная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.7. Частные производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.8. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.9. Экстремум функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

c© Д.С.Ткаченко -1-

Площадь фигуры в декартовых координатах

1. Приложения определенного интеграла

1.1. Вычисление площади плоской фигуры

1.1.1. Площадь фигуры в декартовых координатах

Пусть даны две непрерывные на [a, b] функцииf1(x) 6 f2(x), и нам надо найти площадь междуними в пределах отрезка [a, b].Как это сделать, говорит следующая лемма.

Лемма 1.1.

Усл. Функции f1(x) 6 f2(x) заданы и непрерывны на [a, b].

Утв. Площадь фигуры, ограниченной графиками f1(x) и f2(x), а также прямыми x = aи x = b, вычисляется по формуле:

S =

b∫a

(f2(x)− f1(x)) dx.

Доказательство.

Обозначим искомую пло-щадь между графикамичерез S, площадь под гра-фиком функции f1(x) черезS1, а площадь под графикомфункции f2(x) через S2.Очевидно, что

S1 = S + S2.

C другой стороны, S1 =b∫a

f1(x)dx, а S2 =b∫a

f2(x)dx. Из этих трех равенств получаем:

S =

b∫a

(f2(x)− f1(x)) dx.

Замечание 1.1.Приведённое доказательство соответствует случаю, когда обе функции f1(x) и f2(x) неот-рицательны. Случаи, когда обе они неположительны, одна из них или обе меняют знак напромежутке (a, b), рассматриваются полностью аналогично. Только надо учитывать, чтоитеграл от функции по промежутку, где она отрицательна, будет равен площади со знаком«минус» соответствуюющей фигуры, оказавшейся под осью Ox.


Площадь фигуры в полярных координатах

Пример 1.1.

График функции y = x является верх-ней границей заданной фигуры, а графикy = x2 – нижней. Поэтому:

S =

1∫0

(x− x2

)dx =

x2

2

∣∣∣∣10

− x3

3

∣∣∣∣10

=

=1

2− 1

3=

1

6.

1.1.2. Площадь фигуры в полярных координатах

Пусть нам надо вычислить площадь сектора,ограниченного линиями

ϕ = α, ϕ = β и r = r(ϕ) при ϕ ∈ [α, β].

(Здесь r – полярный радиус, т.е. расстояниеот точки кривой до начала координат, а ϕ –полярный угол, т.е. угол (отсчитываемый про-тив часовой стрелки) между положительнымнаправлением оси Ox и лучом, направленнымиз начала координат в данную точку.)

Лемма 1.2.

Усл. Сектор ограничен линиями ϕ = α, ϕ = β и r = r(ϕ) при ϕ ∈ [α, β]. При этом,

функция r(ϕ) непрерывна на [α, β].

Утв. Площадь этого сектора может быть вычислена по формуле

S =1

2

β∫α

r2(ϕ)dϕ.

Пример 1.2. Площадь внутри кардиоиды.Кардиоидой называется кривая, заданная в полярных координатах уравнением:r = a(1 + cosϕ).

S =1

2

2π∫0

r2(ϕ)dϕ =a2

2

2π∫0

(1 + cosϕ)2dϕ =

=a2

2

2π∫0

(1 + 2 cosϕ+

1

2(1 + cos 2ϕ)

)dϕ =

a2

2· 3

2ϕ∣∣∣2π0

=3πa2

2.


Площадь фигуры с параметрически заданной границей

1.1.3. Площадь фигуры с параметрически заданной границей

Пусть граница фигуры, площадь которой нам на-до вычислить, задана параметрически, т.е. усло-виями: {

x = x(t),y = y(t),

t ∈ [t1, t2].

Здесь каждому значению t ∈ [t1, t2] ставится всоответствие пара чисел (x(t), y(t)), которая наплоскости Oxy задает точку с такими координа-тами.

Для замкнутой кривой C, ограничивающей некоторую область, принято выбирать парамет-ризацию таким образом, чтобы с ростом t граница области обходится так, чтобы областьоставалась слева (см. рис.).

Пример 1.3. Эллипс-1. Рассмотрим эллипс с центром в начале координат и полуосямиa и b. Его уравнение в декартовых координатах Oxy имеет вид

x2

a2+y2

b2= 1. (i)

Легко проверить, что подстановка{x = a cosϕ,y = b sinϕ

обращает ра-

венство (i) в тождество

cos2 ϕ+ sin2 ϕ ≡ 1.

Каждому ϕ ∈ [0, 2π) соответствует точка эллипса с координатами x = a cosϕ, y = b sinϕ инаоборот, каждой точке эллипса с координатами (x, y) соответствует ϕ ∈ [0, 2π) такое, чтосправедливы равенства x = a cosϕ, y = b sinϕ.Поэтому эллипс удобно параметризовать так:{

x = a cosϕ,y = b sinϕ

ϕ ∈ [0, 2π). (ii)

Пример 1.4. Эллипс-2. Рассмотрим более общий случай, когда эллипс с полуосями a иb, параллельными осям, имеет центр в некоторой точке (x0, y0).Его уравнение в декартовых координатах Oxy имеет вид

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1. (iii)

Тогда для того, чтобы обратить (i) в тождество, нам потребу-ется параметризация {

x = x0 + a cosϕ,y = y0 + b sinϕ.

(iv)


Объем тела вращения

Пример 1.5. Циклоида.

Пусть кривая задана{x = a(t− sin t),y = a(1− cos t),

t ∈ [−2πna, 2πna].

Такую кривую описывает точка окружности, если эта окруж-ность без проскальзывания катится по оси Ox. Она называетсяциклоида. Эта кривая не замкнута.

Лемма 1.3.

Усл. Пусть граница фигуры задана параметрически: x = x(t), y = y(t), t ∈ [t1, t2], а

функции x(t) и y(t) имеют на [t1, t2] непрерывную производную.

Утв.

S = −t2∫t1

y(t)x′(t)dt =

t2∫t1

x(t)y′(t)dt =1

2

t2∫t1

[x(t)y′(t)− x′(t)y(t)

]dt.

Пример 1.6. Площадь внутри астроиды.

Астроидой (lat. astra – звезда) называется кривая, заданная в декартовых координатах урав-нением:x

23 +y

23 = a

23 . Эту кривую можно параметризовать так: x = a cos3 α; y = a sin3 α, где α играет

роль полярного угла. и меняется в пределах [0, 2π].

S =1

2

2π∫0

(xy′ − x′y)dα =3a2

2

2π∫0

(cos4 α · sin2 α + cos2 α · sin4 α)dα =

=3a2

2

2π∫0

cos2 α · sin2 αdα =3a2

8

2π∫0

sin2 2αdα =3a2

16

2π∫0

(1− cos 4α)dα =3πa2

8.

1.2. Вычисление объема тела вращения

Пусть график функции y = f(x) вращаетсявокруг оси Ox, образуя так называемую по-верхность вращения. Определим объем те-ла, ограниченного этой поверхностью и плос-костями x = a, x = b.



Лемма 1.4.

Усл. Функция y = f(x) > 0 непрерывна на [a, b].

Утв. Объем тела вращения, образованного вращением графика f(x) вокруг оси Ox, мо-жет быть вычислен по формуле

VOx

= π

b∫a

f 2(x)dx.

Доказательство.

Рассмотрим «тонкий» слой этого телатолщиной в ∆xi. Он имеет объем, за-жатый между объемами вписанного иописанного цилиндров. Для случая мо-нотонно возрастающей функции имеем:πf 2(xi−1)∆xi 6 ∆Vi 6 πf 2(xi)∆xi (объемдиска равен произведению π на квадрат егорадиуса и на толщину).

Очевидно, что составив сумму объемов вписанных в данное тело дисков ширины ∆xi,

мы получим одну из интегральных суммn∑i=1

πf 2(xi−1)∆xi интегралаb∫a

πf 2(x)dx, а составив

сумму объемов описанных около тела дисков ширины ∆xi, мы другую интегральную суммуn∑i=1

πf 2(xi)∆xi того же интеграла. Так как f(x) непрерывна на [a, b], то πf 2(x) интегрируема

на [a, b], следовательно, устремляя δ = maxi

∆xi → 0, мы в пределе как для описанных, так идля вписанных дисков получим одно и то же число:

VOx

= π

b∫a

f 2(x)dx.

Приведенное доказательство соответствует случаю, когда f(x) монотонно возрастает (не обя-зательно строго). Случай монотонного убывания рассматривается полностью аналогично. Аобщий случай, когда отрезок [a, b] поделен на промежутки возрастания и убывания функцииf(x) исследуется так:вместо отрезка [a, b] рассмотрим промежутки строгого возрастания и нестрогого убыванияf(x). На каждом из них объем тела вращения вычисляется как интеграл от πf 2(x). Объемже тела на всем отрезке [a, b] равен сумме посчитанных объемов, эта сумма по свойствуаддитивности интеграла Римана совпадает с интегралом от πf 2(x) по [a, b].



Замечание 1.2. Если кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически, тообъем тела, образованного ее вращением вокруг оси Ox, можно вычислить, применяя ту жеформулу

VOx

= πb∫a

y2dx =

∣∣∣∣∣π t2∫t1

y2(t)x′(t)dt

∣∣∣∣∣ для случая незамкнутой кривой;

VOx

= πb∫a

y2dx = −πt2∫t1

y2(t)x′(t)dt для случая замкнутого контура.(1.1)

Минус перед знаком последнего интеграла появился из-за того, что выражение dx в первоминтеграле всегда положительно (т.к. x растет от a к b), а в замкнутом контуре, заданномпараметрически, верхняя часть границы проходится так, что x уменьшается с увеличением t.

В случае незамкнутой кривой мы поставили модуль, потому что знак интегралаt2∫t1

y2(t)x′(t)dt

зависит от способа параметризации, точнее, от того увеличивается или уменьшается x(t) сростом t.

Надо заметить также, что формула (1.1) является наиболее общей, поскольку допускает те-ла, полученные вращением замкнутого контура, (например, тор), а формула утверждения 1.4получается из (1.1), если ввести параметризацию x = t, y = f(t) с параметром x = t; припараметризации x = r(ϕ) cosϕ, y = r(ϕ) sinϕ с параметром ϕ, мы получим формулу вычис-ления объема тела вращения для случая незамкнутого контура в полярных координатах:

VOx

=

∣∣∣∣∣π β∫α

r2(ϕ) sin2 ϕ(r′(ϕ) cosϕ− r(ϕ) sinϕ

)dϕ

∣∣∣∣∣ . (1.2)

Пример 1.7. Вычислить объем тела, образованного вращением дуги кривойy = 2x− x2, x ∈ [1, 2] вокруг оси Ox.

VOx

= π

2∫0

(2x− x2)2dx = π

2∫0

(4x2 − 4x3 + x4)dx =

= π

(32

3− 16 +

32

5

)=

16

15π.

Пример 1.8. Вычислить объем тела, образованного вращением дуги кривойr = 2 cosϕ, ϕ ∈

[0, π

2

]вокруг оси Ox. Эта кривая – верхняя половина окружности (x −

1)2 + y2 = 1, поэтому искомый объем равен 4π3. Убедимся в этом. (Минус перед интегралом

надо поставить, т.к. с ростом ϕ переменная x убывает.)

VOx

= −πβ∫α

r2(ϕ) sin2 ϕ (r′(ϕ) cosϕ− r(ϕ) sinϕ) dϕ =

= −π

π2∫

0

4 cos2 ϕ sin2 ϕ · (−2 sinϕ cosϕ− 2 sinϕ cosϕ)dϕ =

= π

π2∫

0

2 sin3 2ϕdϕ =

[u = cos 2ϕ 2 sin 2ϕdϕ = −duϕ = 0⇒ u = 1 ϕ = π

2⇒ u = −1

]=


Длина дуги кривой

= −π−1∫1

(1− u2)du = π

1∫−1

(1− u2)du = π

(u− u3

3

)∣∣∣∣1−1

= π

((1− 1

3

)−(−1 +

1

3

))=

4π

3.

1.3. Вычисление длины дуги кривойПусть нам требуется вычислить длину ду-ги кривой между точками A и B, и пустькривая эта задана одним из трех способов:

• в декартовых координатах:y = f(x), x ∈ [a b];

• в полярных координатах:r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β];

• параметрически:x = x(t), y = y(t), t ∈ [t1, t2].

Опр. 1.1. Дифференциалом дуги кривой, заданной в декартовых, полярных координатах,

либо параметрически называется величина dl:

• в декартовых координатах: dl =√

1 + y′ 2(x) dx;

• в полярных координатах: dl =√r2(ϕ) + r′ 2(ϕ) dϕ;

• параметрически: dl =√x′ 2(t) + y′ 2(t) dt.

Логика этого определения проста: если отрезок дуги достаточно мал, то его можно считатьпрямолинейным и вычислять его длину по теореме Пифагора (см. рисунки):

dl2 = dx2 + dy2 = (1 + y′ 2(x))dx2,

dl2 = (rdϕ)2 + dr2 = (r2 + r′ 2(ϕ))dϕ2,

dl2 = dx2 + dy2 = (x′ 2(t) + y′ 2(t))dt2


Площадь поверхности вращения

Лемма 1.5.

Усл. Кривая задана в декартовых, полярных координатах, либо параметрически при по-

мощи непрерывно дифференцируемых функций(y = f(x); r = r(ϕ), либо x = x(t), y = y(t), соответственно).

Утв. Длина дуги кривой между точками A и B равна

L =

B∫A

dl,

где dl – дифференциал дуги.

Доказательство. Очевидно.

Пример 1.9. Длина дуги астроиды.Параметризуем астроиду: x = a cos3 t; y = a sin3 t, где t ∈ [0, 2π]. Дифференциал дуги длянее имеет вид:

dl = a√

(3 cos2 t sin t)2 + (3 sin2 t cos t)2dt = 3a| cos t sin t|dt =3a

2| sin 2t|dt.

L =

2π∫0

dl =3a

2

2π∫0

| sin 2t|dt =3a

2· 4

π2∫

0

sin 2tdt =

= 3a(− cos 2t)∣∣∣π20

= 6a.

1.4. Вычисление площади поверхности вращения

Лемма 1.6.

Усл. Кривая AB задана равенством y = f(x) > 0, либо в полярных координатах, либо

параметрически. Все функции, входящие в выражение для дифференциала дуги dlнепрерывны.

Утв. Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Ox, вычис-ляется по формуле:

SOx = 2π

B∫A

ydl.

Пример 1.10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox аст-роиды x

23 + y

23 = a

23 , y > 0. Т.к. дифференциал дуги для астроиды имеет вид:

dl = 3a| sin t cos t|dt, и t ∈ [0, π] при y > 0, то:

SOx

= 2π

π∫0

a sin3 t · 3a| sin t cos t|dt = 4π · 3a2

π2∫

0

sin4 t cos tdt =


Несобственные интегралы

=

[w = sin t; dw = cos tdtt = 0⇒ w = 0; t = π

2⇒ w = 1

]= 12πa2

1∫0

w4dw = 12πa2 w5

5

∣∣∣∣w=1

w=0

=12πa2

5.

2. Несобственные интегралы

2.1. Понятие несобственного интеграла

Опр. 2.1. Несобственным интегралом I-го рода называется число:

•+∞∫a

f(x)dx = limB→+∞

B∫a

f(x)dx, либо

•b∫−∞

f(x)dx = limA→−∞

b∫A

f(x)dx, либо

•+∞∫−∞

f(x)dx = limA→−∞

0∫A

f(x)dx+ limB→+∞

B∫0

f(x)dx = limA→−∞B→+∞

B∫A

f(x)dx.

Если такое число (предел) существует, то интеграл называют сходящимся, в противномслучае – расходящимся.

Пример 2.1.

+∞∫0

dx

1 + x2= lim

B→+∞

B∫0

dx

1 + x2=

= limB→+∞

arctg x∣∣∣B0

= limB→+∞

arctgB =π

2.

Таким образом, площадь бесконечной фигуры тоже может быть конечна.

Для сходящихся несобственных интегралов также справедлива

формула Ньютона – Лейбница:+∞∫a

f(x)dx = F (x)∣∣∣+∞a

= F (+∞)− F (a), (2.1)

где F (x) – любая первообразная функции f(x), а под F (+∞) понимается пределF (+∞) = lim

B→+∞F (B).

С какой скоростью должна стремиться к нулю подынтегральная функция, чтобы интеграл отнее сходился? Выяснению этого вопроса посвящен следующий пример.


Признаки сходимости несобственного интеграла

Пример 2.2 (Сходимость интеграла и скорость убывания функции).Известно, что чем больше величина p, тем быстрее 1

xp→ 0 при x→ +∞. Выясним, при каких

значениях параметра p сходится, и при каких расходится несобственный интеграл I – го рода+∞∫1

1xpdx.

+∞∫1

dx

xp= lim

B→+∞

B∫1

x−pdx =[при p 6= 1

]=

= limB→+∞

(B1−p

1−p −11−p

1−p

)= 1

1−p limB→+∞

(1

Bp−1 − 1)

=

=

{− 1

1−p = 1p−1

, p > 1;

+∞, p < 1.

Рассмотрим теперь случай p = 1.

+∞∫1

dxx

= limB→+∞

(lnB − ln 1) = +∞.

Таким образом, чтобы площадь под графиком функции на промежутке [1, +∞) была конеч-на, нужно чтобы функция убывала при x→ +∞ «быстрее», чем 1

x. Более точно этот результат

сформулирован в Теореме 2.3

2.2. Признаки сходимости несобственного интеграла I – го рода

Теорема 2.1 (1-ый признак сравнения).

Усл. Функция f(x) интегрируема по любому промежутку [a, B], B > a, при этом

|f(x)| 6 g(x) на [a, +∞), и интеграл+∞∫a

g(x)dx сходится.

Утв. Интеграл+∞∫a

f(x)dx сходится.

Теорема 2.2 (2-ой признак сравнения).

Усл. Функции f(x) и g(x) интегрируемы на любом промежутке [a, B] с ∀B > a, при

этом f(x) > 0, g(x) > 0 на [a, +∞), limx→+∞

f(x)g(x)

= c, где c 6= 0, c ∈ R.Утв.

• либо оба интеграла+∞∫a

f(x)dx и+∞∫a

g(x)dx сходятся,

• либо оба интеграла+∞∫a

f(x)dx и+∞∫a

g(x)dx расходятся,


Признаки сходимости несобственного интеграла

Теорема 2.3 (3-й признак сравнения).

Усл. Функция f(x) интегрируема на любом промежутке [a, B] с ∀B > a,

limx→+∞

f(x)1xp

= limx→+∞

f(x) · xp = c, где c 6= 0, c ∈ R.Утв.

• p > 1 ⇒+∞∫a

f(x)dx сходится;

• p 6 1 ⇒+∞∫a

f(x)dx расходится.

Пример 2.3. Исследовать на сходимость интеграл∞∫0

e−x2dx.

Поскольку 0 < e−x2< e−x при x > 1, а

∞∫0

e−xdx = (−e−x)|∞0 = −0 + e0 = 1 – сходится, то, по

1-ому признаку сравнения∞∫0

e−x2dx также сходится.


cosxx2 dx.

Поскольку | cosx|x2 6 1

x2 , а∞∫1

dxx2 сходится (в силу 3-го признака сравнения или из примера 2.2),

то интеграл∞∫1

cosxx2 dx сходится.

Пример 2.5. Исследовать на сходимость интеграл+∞∫−∞

x(π2−arctg x)√1+x8 dx.

Поскольку

• в окрестности −∞ подынтегральное выражениеx(π2−arctg x)√

1+x8 ∼ πx3 ,

• в окрестности +∞ подынтегральное выражениеx(π2−arctg x)√

1+x8 6 1x3 ,

а подынтегральная функция интегрируема по любому конечному промежутку, то интеграл∞∫−∞

x(π2−arctg x)√1+x8 dx сходится.


1lnxdx.

Поскольку в окрестности +∞ подынтегральная функция 1lnx

> 1x, а

∞∫1

dxx

расходится (в силу

3-го признака сравнения или из примера 2.2), то интеграл∞∫2

1lnxdx расходится.


Функции многих переменных

Замечание 2.1. Существуют также несобственные интегралы II – го рода. По определению,если функция f(x) интегрируема по [a, b− ε] ∀ε ∈ (0, b− a] и неограничена в окрестноститочки b (например, f(x) → ∞ при x → b − 0), несобственным интегралом II – го рода

называется числоb∫a

f(x)dx = limε→+0

b−ε∫a

f(x)dx, если такой предел существует. Тогда интегралназывают сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Например,1∫0

dx√x

= 2√x∣∣∣10

= 2− 0 = 2.

Для несобственных интегралов второго рода также справедливы аналоги трех при-знаков сравнения, мы их приводить не будем, поскольку при помощи подходящей заменыинтеграл от неограниченной функции можно свести к интегралу по неограниченномупромежутку:Пусть f(x)→ +∞ при x→ b− 0. Тогда

b∫a

f(x)dx =

[t = b−a

b−x x = a−bt

+ b dx = b−at2dt

x = a ⇒ t = 1 x = b ⇒ t = +∞

]=

∞∫1

f

(a− bt

+ b

)· b− at2

dt.

К последнему же интегралу можно просто применять признаки сравнения для несобствен-ных интегралов первого рода.


3. Непрерывные функции многих переменных

3.1. n – мерное координатное пространство

Опр. 3.1. Набор n действительных чисел мы будем называть точкой n – мерногокоординатного пространства (a = (a1, a2, . . . , an)).Множество всех таких наборов мы будем называть n – мерным координатнымпространством: Rn =

{a = (a1, a2, . . . , an)

∣∣ ai ∈ R, i = 1, . . . , n}).

Пример 3.1. Если на прямой ввести координаты обычным способом, то мы получим одно-мерное координатное пространство.Если прямоугольные декартовы координаты ввести на плоскости, то каждой точке плоскостиставится в соответствие набор двух действительных чисел – ее координат, т.е. плоскость – этодвумерное пространство.

Опр. 3.2. Расстоянием между точками a и b пространства Rn называется число, равное:|a− b| =

√(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + . . .+ (an − bn)2.

Выражение |a− b| обозначает расстояние от a ∈ Rn до b ∈ Rn.



Это определение соответствует обычномупониманию расстояния: ведь, к примеру,на плоскости, расстояние между двумяточками определяется по теореме Пифа-гора: |a− b| =

√(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2.

Опр. 3.3. Окрестностью радиуса δ (или δ – окрестностью) точки a0 = (a01, . . . , a

0n)

называется множество точек Rn, расстояние от которых до точки a0 меньше числа δ:

Uδ(a0) = {a ∈ Rn : |a− a0| < δ}.

Опр. 3.4. Множество M точек Rn мы будем называть

• открытым множеством, если ∀a ∈M ∃δ > 0 : Uδ(a) ⊂M ;

• связным множеством, если любые две точки M можно соединить кривой, целикомлежащей в M ;

• областью, если M – открытое связное множество.

Опр. 3.5.Точка a ∈M называется внутренней точкой множества M , если существует окрестностьU(a) этой точки, целиком лежащая в M : U(a) ⊂M .

Точка a ∈M называется граничной точкой множества M , если в любой её окрест-ности содержатся как точки M , так и точки не из M .

Границей ∂M множества M точек Rn называется множествовсех её граничных точек.Замыканием M множества M называется объединение M и его границы ∂M :

M = M ∪ ∂M.

Замкнутой областью M называется объединение некоторой области S и ееграницы ∂S:

M = S ∪ ∂S = S.


Сходящиеся последовательности

Пример 3.2. Множество M внутренних точек n – мерного шара

M = {a ∈ Rn | |a− a0| < 1}

является открытым, связным множеством, ⇒ областью.Границей ∂M является множество точек

∂M = {a ∈ Rn | |a− a0| = 1} – n – мерная сфера.

Замкнутой областью является весь шар B = {a ∈ Rn | |a− a0| 6 1} = M ∪ ∂M.

Опр. 3.6. Множество M точек Rn называется ограниченным множеством, если

∃ r ∈ R : ∀a ∈M |a− 0| < r.

(Здесь через 0 мы обозначили точку начала координат 0 = (0, 0, . . . , 0).)Замкнутым множеством называется множество M точек Rn содержащее все своиграничные точки: M = M ⊃ ∂M .Компактным множеством (или компактом) называетсяограниченное замкнутое множество точек Rn.

Пример 3.3. Отрезок [a, b] является компактом в R1, поскольку со-держит все свои граничные точки (a и b) и ограничен(максимальное расстояние от 0 до точки отрезка равноmax{|a|, |b|}.)На плоскости компактами являются, например, замкну-тые прямоугольники

Pk = {(x, y) : ak 6 x 6 bk; ck 6 y 6 dk},

замкнутые круги Bj = {a ∈ R2 : |a−aj| 6 rj}, а такжеих произвольные объединения.

3.2. Сходящиеся последовательности в Rn

Опр. 3.7. Последовательностью в Rn называется занумерованное в определенномпорядке бесконечное (счетное) множество точек Rn:

{ak}k=∞k=1 = {ak ∈ Rn; k ∈ N}.

Опр. 3.8. Точку a ∈ Rn мы будем называть пределом последовательности {ak}, если

∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀k > N |ak − a| < ε.

(Напомним, что здесь |ak − a| – расстояние между точками ak ∈ Rn и a ∈ Rn.)Последовательность {ak} мы будем называть сходящейся, если она имеет предел,и расходящейся в противном случае.


Функции в n-мерном пространстве

Пример 3.4.Последовательность точек плоскости, заданная в полярныхкоординатах условием ak : r = rk = 1

k; ϕ = ϕk = πk

8, приве-

дена на рисунке. Так как rk → 0 при k →∞, то ∃ limk→∞

ak = 0– точка начала координат.Более строго, ∀ε > 0 ∃N =

[1ε

]+ 1 : ∀k > N выполняется

неравенство:|ak − 0| = 1

k< 1

[ 1ε ]+1

< 1

( 1ε)

= ε, поэтому, по определению 3.8,

limk→∞

ak = 0.

Лемма 3.1.Последовательность {ak} точек Rn сходится ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, , . . . , n} сходитсяпоследовательность {aki} координат с номером i точек ak.

3.3. Функции в Rn

Опр. 3.9. Функцией f(x) в Rn называется закон соответствия, по которому каждой точкенекоторого множества X ⊂ Rn ставится в соответствие одно (!) число

f : X −→ R; ∀x ∈ X ⊂ Rn ∃! f(x) ∈ R.

Множество X называется областью определения функции f(x).

Пример 3.5.На плоскости Oxy можно введем функцию f(x, y) = x2 + y2.Каждой точке (x, y) указанный закон ставит в соответствиеединственное число – квадрат расстояния от этой точки доначала координат. Если изобразить в трехмерном простран-стве Oxyz все точки с координатами (x, y, f(x, y)), мы по-лучим поверхность вращения вокруг оси Oz, называемуюпараболоид, т.к. все ее вертикальные сечения есть парабо-лы.

Опр. 3.10. Пусть функция f(x) определена на множестве X ⊂ Rn, точка a ∈ X.

Тогда число b ∈ R мы будем называть пределом функции f(x) в точке a ∈ Rn,

что обозначается как b = limx→a

f(x) или b = limx1 → a1

x2 → a2

· · ·xn → an

f(x1, x2, . . . , xn),

если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ(a) ∩X, x 6= a |f(x)− b| < ε.


Свойства функций, непрерывных в точке

Опр. 3.11. Функцию f(x), определенную на множествеX ⊂ Rn, мы будем называть непре-

рывной в точке a ∈ X, если f(a) = limx→a

f(x) или, подробнее,

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ(a) ∩X |f(x)− f(a)| < ε.

Мы будем называть эту функцию непрерывной на множестве M ∈ X, если она непре-рывна в каждой точке множества M .

Пример 3.6. Для функции f(x, y) = x2+y2 из примера 3.5, например, справедливо равенство

f(0) = 0 = limx→ 0y → 0

f(x, y).

Действительно, ∀ε > 0 ∃δ =√ε : ∀(x, y) :

√x2 + y2 < δ |f(x, y)− 0| < ε.

Таким образом, эта функция непрерывна в точке (0, 0). Нетрудно показать также, что онанепрерывна в каждой точке (x, y) ∈ R2.

Теорема 3.1 (Свойства пределов).

Усл. Функции f(x) и g(x) определены на X и имеют в точке a ∈ X пределы:

limx→a

f(x) = A1 и limx→a

g(x) = A2.

Утв. limx→a

(f(x) ± g(x)) = A1 ± A2; limx→a

f(x)g(x) = A1A2, а при дополнительном условии

g(x) 6= 0, A2 6= 0 верно также, что limx→a

f(x)g(x)

= A1

A2.

Доказательство. Совешенно аналогично случаю одной переменной.

3.4. Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 3.2 (Арифметические свойства непрерывных функций).

Усл. Функции f(x) и g(x) определены на X и непрерывны в точке a ∈ X.

Утв. Тогда функции f(x)± g(x), f(x) · g(x)(а при дополнительном условии g(x) 6= 0 и

функция f(x)g(x)

), непрерывны в точке a.

Доказательство. Докажем, для примера, непрерывность функции f(x) · g(x).Из определения непрерывности функций f(x) и g(x) в точке a следует, что lim

x→af(x) = f(a)

и limx→a

g(x) = g(a). По свойству пределов (Теорема 3.1) limx→a

f(x) · g(x) = f(a) · g(a), но эторавенство и означает непрерывность в точке a функции f(x) · g(x).


Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 3.3 (Непрерывность сложной функции).

Усл. Функции x1 = ϕ1(t1, . . . , tm), . . . , xn = ϕn(t1, . . . , tm) непрерывны в точке

a(a1, . . . , am). Функция u = f(x1, . . . , xn) непрерывна в точке b(b1, . . . , bn), гдеb1 = ϕ1(a), . . . , bn = ϕn(a).

Утв. Тогда сложная функция w(t1, . . . , tm) = f(ϕ1(t1, . . . , tm), . . . , ϕn(t1, . . . , tm))непрерывна в точке a(a1, . . . , am).

Доказательство. Запишем определения непрерывности функций u(x) и ϕi(t):

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ(b) |f(x)− f(b)| < ε. (3.1)

∀δ > 0 ∃λi > 0 : ∀t ∈ Uλi(a) |ϕi(t)− ϕi(a)| < δ√n, i = 1, . . . , n. (3.2)

Пусть δ в (3.2) – такое же, как в (3.1). Тогда, если точка t ∈ Uλ(a), где λ = min{λ1, . . . , λn},то точка x(ϕ1(t), . . . , ϕn(t) ∈ Uδ(b). В самом деле,

|x− b| =√

(x1 − b1)2 + . . .+ (xn − bn)2 =√

(ϕ1(t)− ϕ1(a))2 + . . .+ (ϕn(t)− ϕn(a))2 6

6 [ в силу (3.2) ] 6

√nδ2

n= δ.

Поэтому для функции w(t) верно

∀ε > 0 ∃λ > 0 : ∀t ∈ Uλ(a) |w(t)− w(a)| < ε.

Теорема 3.4 (Сохранение знака непрерывной функцией).

Усл. Функция f(x) непрерывна в точке a ∈ X и f(a) 6= 0.

Утв. Тогда ∃ δ > 0 : в окрестности Uδ(a) ∩X функция f(x) сохраняет знак.

Доказательство. Пусть, для определенности, f(a) > 0.Запишем определение непрерывности функции f(x):

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ(a) ∩X |f(x)− f(a)| < ε. (3.3)

Перепишем последнее неравенство: f(a) − ε < f(x) < f(a) + ε и возьмем в определенииε = f(a)

2. Тогда 3.3 гарантирует нам, что ∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ(a) ∩ X выполнено неравенство

f(x) > f(a)− f(a)2

= f(a)2> 0.

Пример 3.7.Рассмотрим функцию f(x, y) = 1

1+x2+y2. В точке (0, 0) она

имеет значение f(0, 0) = 1 > 0. При этом она непрерывна вэтой точке (как и во всех остальных) как отношение непре-рывных функций, отличных от нуля. Поэтому она обязанасохранять знак, т.е. быть > 0 в какой-нибудь окрестноститочки (0, 0). На самом же деле, она вообще всюду в R2

положительна.


Свойства функций, непрерывных на множестве

3.5. Свойства функций, непрерывных на множестве

Теорема 3.5 (Ограниченность на компакте).

Усл. Функция f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве (компакте)

K ⊂ X.

Утв. f(x) ограничена на K.

Теорема 3.6 (Достижение точных граней на компакте).

Усл. Функция f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве (компакте)

K ⊂ X.

Утв. ∃ a ∈ K, b ∈ K : ∀x ∈ K f(a) 6 f(x) 6 f(b).

Доказательство. В силу Теоремы 3.5, функция f(x) ограничена на K, следовательно суще-ствуют m = inf

Kf(x) и M = sup

Kf(x).

Докажем, что f(x) достигает на K своей точной верхней грани, числа M , т.е.

∃b ∈ K : f(b) = M.

Для этого предположим противное, т.е. что

∀x ∈ K : f(x) < M. (3.4)

Тогда мы имеем право рассмотреть функцию

F (x) =1

M − f(x).

По построению эта функция F (x) > 0 и непрерывна, как отношение непрерывных функций,отличных от нуля. Следовательно, по Теореме 3.5, F (x) ограничена на K, т.е. найдется числоA ∈ R такое, что F (x) = 1

M−f(x)6 A. Перепишем это неравенство: f(x) 6 M − 1

A(и это верно

для всех x ∈ K!). Но это означает, что число M не является наименьшей из всех верхнихграней, т.е. M 6= sup

Kf(x).

Полученное противоречие означает, что предположение (3.4) неверно.


Частные производные и дифференциал

4. Дифференцируемые функции многих переменных

4.1. Частные производные и дифференциал

Опр. 4.1. Частной производной ∂f∂xi

функции многих переменных f(x1, . . . , xn) попеременной xi называется, если существует, предел:

∂f

∂xi= lim

∆xi→0

∆xif

∆xi= lim

∆xi→0

f(x1, . . . , xi−1, xi + ∆xi, xi+1, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

∆xi.

В силу данного определения, частная производная ∂f∂xi

может быть вычислена в точке a(a1, . . . , an)

как производная функции одной переменной fi(xi) = f(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) по xi:

∂f

∂xi=dfidxi

= f ′i (xi).

Пример 4.1. Пусть f(x, y) = sinx cos y. Найдем производную ∂f∂x, для этого будем считать

y = const, продифференцируем выражение sinx cos y по x:

∂f

∂x= cosx cos y.

Чтобы найти производную ∂f∂y, фиксируем x и, считая x = const, продифференцируем выра-

жение sinx cos y по y:∂f

∂y= sinx · (− sin y).

Опр. 4.2. Функцию f(x1, . . . , xn) мы будем называть дифференцируемой в заданной

точке a, если ее приращение ∆f в точке a может быть представлено в виде

∆f = A1∆x1 + A2∆x2 + . . .+ An∆xn + α1∆x1 + α2∆x2 + . . .+ αn∆xn,

где Ai – некоторые числа (возможно, нули), а αi → 0 при ∆x1 → 0, . . . ,∆xn → 0 и αi = 0 при∆x1 = 0, . . . ,∆xn = 0, либо

∆f = A1∆x1 + A2∆x2 + . . .+ An∆xn + ¯̄o

(√∆x2

1 + ∆x22 + . . .+ ∆x2

n

), при ∆x→ 0.

При этом главную линейную относительно ∆xi часть приращения называют дифференци-алом df в данной точке a:

df = A1∆x1 + A2∆x2 + . . .+ An∆xn ≡ A1dx1 + A2dx2 + . . .+ Andxn.

Пример 4.2. Пусть f(x, y) = x+ y2. Тогда в точке (x, y)

∆f = f(x+ ∆x, y + ∆y)− f(x, y) = (x+ ∆x) + (y + ∆y)2 − x− y2 = ∆x+ 2y∆y + ∆y2 =

= 1 ·∆x+ 2y ·∆y + ∆y2.


Условия дифференцируемости

Здесь A1 = 1, A2 = 2y (y – фиксированное число, раз мы фиксировали точку (x, y)),α1(∆x, ∆y) = 0, α2(∆x, ∆y) = ∆y → 0 при ∆y → 0.Таким образом, df = dx+ 2ydy.

4.2. Условия дифференцируемости

Теорема 4.1 (Необходимое условие дифференцируемости 1).

Усл. Функция f(x1, . . . , xn) дифференцируема в точке a(a1, . . . , an).

Утв. Функция f(x1, . . . , xn) непрерывна в точке a.

Теорема 4.2 (Необходимое условие дифференцируемости 2).

Усл. Функция f(x1, . . . , xn) дифференцируема в точке a(a1, . . . , an).

Утв. В точке a существуют частные производные f(x) по всем переменным xi, i = 1, n,причем ∂f

∂xi= Ai, где Ai определяются из формул в определении 4.2 дифференцируе-

мости функции.

Замечание 4.1. Очень важно отметить, что ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ НЕВЕРНО.В этом состоит существенное отличие функций нескольких переменных от функции одногопеременного. Для функций одного переменного дифференцируемость равносильна существо-ванию производной, а для функций многих переменных из дифференцируемости следует су-ществование частных производных, но из существования частных производных не следуетдифференцируемость (и даже непрерывность) функции. Например, функция

f(x, y) = sgn|xy| ={

0, x = 0 или y = 01, x 6= 0 и y 6= 0

имеет обе частные производные в точке (x, y) = (0, 0): ∂f∂x

∣∣∣(0,0)

= ∂f∂y

∣∣∣(0,0)

= 0, однако

f(x, y) даже не непрерывна в этой точке: ведь в любой окрестности нуля есть как точки,лежащие на осях координат, в которых f = 0, так и точки, не лежащие на осях, в которыхf = 1.

Следствие 4.1.

Усл. f(x) дифференцируема в a ∈ Rn.

Утв. Дифференциал df представим в виде:

df =∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + . . .+∂f

∂xndxn.

Это представление носит название полного дифференциала.


Частные производные сложной функции

Теорема 4.3 (Достаточное условие дифференцируемости).

Усл. Функция f(x) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой

окрестности точки a ∈ Rn, и все эти частные производные непрерывны в точ-ке a.

Утв. Функция f(x1, . . . , xn) дифференцируема в точке a(a1, . . . , an).

4.3. Частные производные сложной функции

Пусть каждый аргумент функции f(x1, . . . , xn) является, в свою очередь, функцией перемен-ных (t1, . . . , tm):

x1 = ϕ1(t1, . . . , tm),x2 = ϕ2(t1, . . . , tm),· · ·xn = ϕn(t1, . . . , tm).

Теорема 4.4 (Дифференцирование сложной функции).Усл. Функции ϕi(t), i = 1, n дифференцируемы в точке t0(t01, . . . , t

0m), а функция f(x) – в

соответствующей точке x0(x01, . . . , x

0n), где x0

i = ϕi(t0), i = 1, n.

Утв. Сложная функция w(t) = f(ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) дифференцируема в точке t0, причем:

∂w∂t1

= ∂f∂x1

∂x1

∂t1+ ∂f

∂x2

∂x2

∂t1+ . . .+ ∂f

∂xn∂xn∂t1,

∂w∂t2

= ∂f∂x1

∂x1

∂t2+ ∂f

∂x2

∂x2

∂t2+ . . .+ ∂f

∂xn∂xn∂t2,

· · ·∂w∂tm

= ∂f∂x1

∂x1

∂tm+ ∂f

∂x2

∂x2

∂tm+ . . .+ ∂f

∂xn∂xn∂tm

.

Доказательство. В силу дифференцируемости функции f(x) в точке x0 = x(t0) и функцийxi(t) = ϕi(t) в точке t0, по определению 4.2 и следствию 4.1 имеем:

dw ≡ df =∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + . . .+∂f

∂xndxn; (4.1)

dx1 =∂ϕ1

∂t1dt1 +

∂ϕ1

∂t2dt2 + . . .+

∂ϕ1

∂tmdtm, (4.2)

· · · · · · · · ·

dxn =∂ϕn∂t1

dt1 +∂ϕn∂t2

dt2 + . . .+∂ϕn∂tm

dtm. (4.3)

(4.4)

Подставим выражения из (4.2) – (4.3) в (4.1), получим:

dw =∂f

∂x1

(∂ϕ1

∂t1dt1 +

∂ϕ1

∂t2dt2 + . . .+

∂ϕ1

∂tmdtm

)︸︷︷︸

dϕ1

+∂f

∂x2

(∂ϕ2

∂t1dt1 +

∂ϕ2

∂t2dt2 + . . .+

∂ϕ2

∂tmdtm

)︸︷︷︸

dϕ2

+

+ . . .+∂f

∂xn

(∂ϕn∂t1

dt1 +∂ϕn∂t2

dt2 + . . .+∂ϕn∂tm

dtm

)︸︷︷︸

dϕn

. (4.5)


Инвариантность формы первого дифференциала

Перегруппируем слагаемые, вынося за скобки выражения ∆ti:

dw =

(∂f

∂x1

∂x1

∂t1+∂f

∂x2

∂x2

∂t1+ . . .+

∂f

∂xn

∂xn∂t1

)dt1 +

(∂f

∂x1

∂x1

∂t2+∂f

∂x2

∂x2

∂t2+ . . .+

∂f

∂xn

∂xn∂t2

)dt2+

+ . . .+

(∂f

∂x1

∂x1

∂tm+∂f

∂x2

∂x2

∂tm+ . . .+

∂f

∂xn

∂xn∂tm

)dtm. (4.6)

Выражения, стоящие в скобках, есть числа, т.к. все частные производные ∂ϕi∂tj

берутся в точкеt = t0, а ∂f

∂xiберутся в точке x = x0 = x(t0). Поэтому, для функции w(t) выполнено определение

дифференцируемости в точке t = t0:

∆w = A1∆t1 + A2∆t2 + . . .+ Am∆tm + ¯̄o(ρ),

а поскольку Ai = ∂w∂ti

, то формулы для вычисления производных сложной функции такжедоказаны.

4.4. Инвариантность формы первого дифференциала

Для функции f(x) нескольких независимых переменных x(x1, . . . , xn) первый полный диффе-ренциал имеет вид:

df =∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + . . .+∂f

∂xndxn.

Зададимся вопросом: будет ли верна та же фомула для df , в случае, когда ее аргументыxi, i = 1, n сами являются функциями нескольких переменных:

xi = ϕi(t1, . . . , tm), i = 1, n?

Теорема 4.5 (инвариантности первого дифференциала).Усл. Функции ϕi(t), i = 1, n дифференцируемы в точке t0(t01, . . . , t

0m), а функция f(x) – в

соответствующей точке x0(x01, . . . , x

0n), где x0

i = ϕi(t0), i = 1, n.

Утв. Первый дифференциал сложной функции f(t) = f(ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) в точке t0 можетбыть записан в одинаковой форме, как через переменные xk, так и через переменныеtj:

df =∂f

∂t1dt1 +

∂f

∂t2dt2 + . . .+

∂f

∂tmdtm =

∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + . . .+∂f

∂xndxn

Доказательство. Выпишем формулу для df как функции от t:

df =∂f

∂t1dt1 +

∂f

∂t2dt2 + . . .+

∂f

∂tmdtm

и воспользуемся формулами вычисления производных сложной функции из Теоремы 4.4. По-лучим в точности равенство (4.6):

df =

(∂f

∂x1

∂x1

∂t1+∂f

∂x2

∂x2

∂t1+ . . .+

∂f

∂xn

∂xn∂t1

)dt1 +

(∂f

∂x1

∂x1

∂t2+∂f

∂x2

∂x2

∂t2+ . . .+

∂f

∂xn

∂xn∂t2

)dt2+

+ . . .+

(∂f

∂x1

∂x1

∂tm+∂f

∂x2

∂x2

∂tm+ . . .+

∂f

∂xn

∂xn∂tm

)dtm.


Градиент и производная по направлению

Проделаем действия из доказательства предыдущей теоремы в обратном порядке: перейдёмот (4.6) к (4.5), перегруппировав слагаемые, вынеся за скобки выражения ∂f

∂xi:

df =∂f

∂x1

(∂ϕ1

∂t1dt1 +

∂ϕ1

∂t2dt2 + . . .+

∂ϕ1

∂tmdtm

)︸︷︷︸

dx1

+∂f

∂x2

(∂ϕ2

∂t1dt1 +

∂ϕ2

∂t2dt2 + . . .+

∂ϕ2

∂tmdtm

)︸︷︷︸

dx2

+

+ . . .+∂f

∂xn

(∂ϕn∂t1

dt1 +∂ϕn∂t2

dt2 + . . .+∂ϕn∂tm

dtm

)︸︷︷︸

dxn

=∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + . . .+∂f

∂xndxn.

Эта формула полностью совпадает с той, которая имеет место для случая, когда переменныеxi, i = 1, n независимы. Таким образом, для выполнено так называемое свойство

инвариантности формы первого полного дифференциала,

т.е. независимости формы его записи от того, являются ли аргументы независимыми пере-менными или функциями других независимых переменных.

4.5. Градиент и производная по направлению

В этом параграфе мы будем рассматривать только пространство R3.Пусть задан вектор ~l = {cosα, cos β, cos γ} единичной длины с направляющими косинусамиcosα, cos β, cos γ.

Опр. 4.3. Градиентом gradf(x0, y0, z0) = ∇f(x0, y0, z0) фукции f(x, y, z) в точке

M0(x0, y0, z0) называется вектор

gradf(x0, y0, z0) = ∇f(M0) =

(∂f

∂x(M0),

∂f

∂y(M0),

∂f

∂z(M0)

).

Производной ∂f(x,y,z)

∂~lфукции f(x, y, z) по направлению ~l в точке M0(x0, y0, z0) называ-

ется число

∂f(x)

∂~l=∂f

∂x(M0) cosα +

∂f

∂y(M0) cos β +

∂f

∂z(M0) cos γ = (∇f(M0), ~l).

(Ещё раз напомним, что эта формула выписана для случая |~l| = 1.)

Замечание 4.2. Геометрически вектор градиента показывает направление максимального ро-ста функции f(x, y, z). Если, к примеру, это – функция распределения температуры в неко-тором теле, то в каждой точке этого тела определен градиент ∇f , показывающий, в какомнаправлении температура растет быстрее всего, при этом модуль вектора градиента характе-ризует скорость роста температуры в этом направлении.Производная по направлению в рамках этого примера показывает скорость роста (убывания)температуры вдоль направления вектора ~l.

Пример 4.3. Найти градиент функции f(x, y, z) = x+y2+z3 в точке (1, 1, 1) и производную∂f

∂~l, где ~l = 1√

3{1, 1, 1} в той же точке.

∇f∣∣(1,1,1)

={∂(x+y2+z3)

∂x, ∂(x+y2+z3)

∂y, ∂(x+y2+z3)

∂z

} ∣∣∣(1,1,1)

= {1, 2y, 3z2}∣∣(1,1,1)

= {1, 2, 3}.∂f

∂~l

∣∣(1,1,1)

= (∇f, ~l)∣∣(1,1,1)

= 1√3(1 + 2y + 3z2)

∣∣(1,1,1)

= 2√

3.


Нормаль поверхности и касательная плоскость

4.6. Нормаль поверхности и касательная плоскость

Опр. 4.4. Касательной плоскостью к поверхности z = f(x, y) в точке M(x, y, f(x, y))называется, если существует, плоскость, проходящая через точку M(x, y, f(x, y)), такая, чтоугол между любой секущей MN и этой плоскостью → 0 при N →M .

Нормальным вектором или нормалью ~n(x, y) к поверхности z = f(x, y) назы-вается вектор, перпендикулярный к касательной плоскости к данной поверхности в точке

(x, y, f(x, y)).

Если в точке (x, y, f(x, y)) определена касательная плос-кость (и, следовательно, нормаль), то это означает, что по-верхность достаточно «хорошая». Бывают и «плохие» по-верхности – например, конус или пирамида в точке вер-шины не имеют касательной плоскости и нормали, куб неимеет их ни в одной из точек своих ребер и т.д.

В связи с этим возникла потребоность выразить математически это свойство поверхностей, ивозникло следующее определение:

Опр. 4.5. Поверхность z = f(x, y) мы будем называть гладкой, если в каждой точке(x, y, f(x, y)) она имеет нормальный вектор ~n(x, y), и координаты этого вектора являютсянепрерывными функциями от (x, y) на всей области определения f(x, y).

Лемма 4.1.Усл. Функция f(x, y) дифференцируема на X, и ее частные производные непрерыв-

ны на X.

Утв. Тогда поверхность z = f(x, y) является гладкой, причем вектор нормали можетбыть найден по формуле:

~n =

{∂f

∂x;∂f

∂y; −1

}.

Пример 4.4. Найдем вектор нормали к плоскости Ax + By + Cz + D = 0 в случае C 6= 0.Перепишем это уравнение: z = −A

Cx− B

Cy−D

Cи введем функцию f(x, y) = −A

Cx− B

Cy−D

C. Тогда

вектор нормали можно найти по формуле ~n ={∂f∂x

; ∂f∂y

; −1}

={−AC

; −BC

; −1}. Поэтому

и вектор {A, B, C}, коллинеарный найденному, также является нормалью к плоскостиAx+By +Cz +D = 0, что согласуется с результатами аналитической геометрии (I семестр).Другой пример: найти вектор нормали к поверхности f(x, y) = x2+y2 (параболоид вращения).В этом случае ~n = {2x, ; 2y, −1}. Как видим, все координаты вектора ~n непрерывны по (x, y),поэтому параболоид является глакой поверхностью.


Частные производные высших порядков

4.7. Частные производные высших порядков

Опр. 4.6. Частной производной ∂2f∂xj∂xi

второго порядка называетсячастная производная по xj от функции ∂f

∂xi:

f (2)xixj≡ ∂2f

∂xj∂xi=

∂

∂xj

(∂f

∂xi

).

При этом, если i 6= j, то эту частную производную называют смешанной частнойпроизводной второго порядка.

Если функция f(x) имеет частную производную (k − 1)-го порядка ∂k−1f∂xik−1

∂xik−2...∂xi2∂xi1

в некоторй области, и эта производная сама имеет частную производную по переменнойxik , то эту производную называют частной производной ∂kf

∂xik∂xik−1...∂xi2∂xi1

порядка k попеременным xi1 , . . . , xik :

f (k)xi1 ...xik

≡ ∂kf

∂xik∂xik−1. . . ∂xi2∂xi1

=∂

∂xik

(∂k−1f

∂xik−1∂xik−2

. . . ∂xi2∂xi1

).

Опр. 4.7. Функция f(x, y) называется k раз дифференцируемой в точке a, если все еечастные производные порядка (k − 1) дифференцируемы в этой точке.

Пример 4.5. Зависимость частных производных от порядка дифференцирования.Рассмотрим функцию

f(x, y) =

{xy x

2−y2x2+y2

при x2 + y2 6= 0,

0 при x2 + y2 = 0

и проверим, что ее смешанные частные производные ∂2f∂x∂y

и ∂2f∂y∂x

в точке (0, 0) существуют,но не равны друг другу.В проколотой окрестности точки (0, 0) имеем:

∂f

∂x=y(x4 − y4) + 2x2y((x2 + y2)− (x2 − y2))

(x2 + y2)2=y(x4 − y4 + 4x2y2)

(x2 + y2)2.

∂f

∂y=x(x4 − y4) + 2xy2(−(x2 + y2)− (x2 − y2))

(x2 + y2)2=x(x4 − y4 − 4x2y2)

(x2 + y2)2.

При этом обе частные производные первого порядка ∂f∂x

и ∂f∂y

в самой точке (0, 0) равны 0.Тогда смешанные производные в точке (0, 0) можно найти так:

∂2f

∂y∂x= lim

∆y→0

∆y(04−∆y4+4·02∆y2)(02+∆y2)2

− 0

∆y= lim

∆y→0(−1) = −1;

∂2f

∂x∂y= lim

∆x→0

∆x(∆x4−04−4∆x202)(∆x2+02)2

− 0

∆x= lim

∆x→0(1) = 1.

Тем не менее, для всех «приличных» функций смешанные частные производные не зависятот порядка дифференцирования. Достаточное условие для этого дает теорема:


Формула Тейлора

Теорема 4.6 (Достаточное условие равенства смешанных производных).Усл. Функция f(x) k раз дифференцируема в точке a.

Утв. Значение в точке a любой смешанной производной порядка 6 k не зависит отпорядка дифференцирования.

Пример 4.6. Рассмотрим f(x, y) = x3y7. Для нее имеем:

∂f

∂x= 3x2y7,

∂f

∂y= 7x3y6;

∂2f

∂y∂x= 21x2y6,

∂2f

∂x∂y= 21x2y6,

∂2f

∂x2= 6xy7,

∂2f

∂y2= 42x3y5;

∂3f

∂y2∂x= 126x2y5,

∂3f

∂x∂y2=

∂

∂x(42x3y5) = 126x2y5,

∂3f

∂y∂x∂y=

∂

∂y(21x2y6) = 126x2y5.

4.8. Формула Тейлора

Опр. 4.8. Дифференциалом dkf(a) порядка k функции f(x) в точке a называетсязначение первого дифференциала от dk−1f : dkf(a) = d(dk−1f)

∣∣x=a

.

Пример 4.7. Рассмотрим f(x, y) = xy2 в случае независимых переменных x и y. Для нее

df = ∂f∂xdx+ ∂f

∂ydy = y2dx+ 2xydy. Тогда:

d2f = d(y2dx+ 2xydy) =∂

∂x(y2dx+ 2xydy)dx+

∂

∂y(y2dx+ 2xydy)dy =

= 2ydydx+ 2ydxdy + 2xdydy = 2(2ydxdy + dy2).

Заметим, что для этой функции d2f =(dx ∂

∂x+ dy ∂

∂y

)2

f = ∂2f∂x2dx

2 + 2 ∂2f∂x∂y

dxdy + ∂2f∂y2dy2.

Это не случайно:

Лемма 4.2.

Усл. f(x) k раз дифференцируема в точке a.

Утв. Дифференциал порядка k можно вычислять по следующей формуле:

dkf(a) =

(dx1

∂

∂x1

+ . . .+ dxn∂

∂xn

)kf∣∣∣x=a

.

Для функций многих переменных также есть аналог формулы Тейлора, позволяющий, в част-ности, исследовать поведение функции в окрестности той точки, в которой производится раз-ложение.


Формула Тейлора

Теорема 4.7 (Формула Тейлора с ост. членом в форме Лагранжа).

Усл. Функция f(x) задана и m раз дифференцируема в некоторой окрестности UR(a)

точки a ∈ Rn.

Утв. В ∀ точке x ∈ UR(a) имеет место равенство:

f(x) = f(a) + df(a) +1

2!d2f(a) + . . .+

1

(m− 1)!d(m−1)f(a) +

1

m!dmf(x∗),

где x∗ – некоторая точка UR(a), лежащая на отрезке от x до a, а дифференциалыdxi, входящие в выражения для dkf(a) имеют вид dxi = xi − ai.По-другому эту формулу можно переписать так:

f(x) =m−1∑k=0

1

k!dkf(a) +

1

m!dmf(x∗) =

=m−1∑k=0

1k!

(dx1

∂∂x1

+ . . .+ dxn∂∂xn

)kf∣∣∣x=a

+ 1m!

(dx1

∂∂x1

+ . . .+ dxn∂∂xn

)mf∣∣∣x=x∗

=

=m−1∑k=0

1k!

((x1 − a1) ∂

∂x1+ . . .+ (xn − an) ∂

∂xn

)kf∣∣∣x=a

+

+1

m!

((x1 − a1)

∂

∂x1

+ . . .+ (xn − an)∂

∂xn

)mf∣∣∣((1−θ)x1+θa1,...,(1−θ)xn+θan)

,

где θ ∈ (0, 1) – некоторое число.

Пример 4.8. Известно, что для функции et одного переменного имеет место формула раз-ложения в точке t0 = 0:

et = 1 + t+t2

2!+ . . .+

tm−1

(m− 1)!+

(θt)m

m!eθt, θ ∈ (0, 1).

Попробуем получить разложение exy2 в окрестности точки (0, 0). Для этого подставим вместоt выражение xy2:

exy2

= 1 + xy2 +(xy2)2

2!+ . . .+

(xy2)m−1

(m− 1)!+

(θxy2)m

m!eθxy

2

, θ ∈ (0, 1).

Убедимся теперь, что это же разложение мы получим, применяя формулу Тейлора для функ-ции двух переменных. Найдем частные производные функции f в точке (0, 0) до 3-го порядкавключительно:

f(0, 0) = 1; ∂f∂x

∣∣∣0

= y2exy2∣∣∣0

= 0; ∂f∂y

∣∣∣0

= 2xyexy2∣∣∣0

= 0;

∂2f∂x2

∣∣∣0

= y4exy2∣∣∣0

= 0; ∂2f∂x∂y

∣∣∣0

= (2y + 2xy3)exy2∣∣∣0

= 0; ∂2f∂y2

∣∣∣0

= (2x+ 4x2y2)exy2∣∣∣0

= 0;

∂3f∂x3

∣∣∣0

= y6exy2∣∣∣0

= 0; ∂3f∂x2∂y

∣∣∣0

= (4y3 + 2xy5)exy2∣∣∣0

= 0;

∂3f∂x∂y2

∣∣∣0

= (2 + 10xy2 + 4x2y4)exy2∣∣∣0

= 2; ∂3f∂y3

∣∣∣0

= (12x2y + 8x3y3)exy2∣∣∣0

= 0;

Рассмотрим сумму 4-х первых слагаемых формулы Тейлора:


Экстремум

f(0) +1

1!

((x− 0)

∂f

∂x(0, 0) + (y − 0)

∂f

∂y(0, 0)

)+

+1

2!

((x− 0)2∂

2f

∂x2(0, 0) + 2(x− 0)(y − 0)

∂2f

∂x∂y(0, 0) + (y − 0)2∂

2f

∂y2(0, 0)

)+

+ 13!

((x− 0)3 ∂3f

∂x3 (0, 0) + 3(x− 0)2(y − 0) ∂3f∂x2∂y

(0, 0) + 3(x− 0)(y − 0)2 ∂3f∂x∂y2

(0, 0) + (y − 0)3 ∂3f∂y3

(0, 0))

=

= 1 +1

1!(x · 0 + y · 0) +

1

2!

(x2 · 0 + 2xy · 0 + y2 · 0

)+

+1

3!

(x3 · 0 + 3x2y · 0 + 3xy2 · 2 + y3 · 0

)= 1 + xy2

Итак, сумма 4-х слагаемых формулы Тейлора для функции exy2 как функции двух переменныхдала нам первые два слагаемых разложения

exy2

= 1 + xy2 +(xy2)2

2!+ . . .+

(xy2)m−1

(m− 1)!+

(θxy2)m

m!eθxy

2

, θ ∈ (0, 1)

той же функции по формуле Тейлора как функции одной переменной t = xy2. Легко видеть,что несмотря на то, что в конечном итоге формулы дают одни и те же слагаемые, вычислятьразложение по формуле для функции многих переменных довольно трудоемко. Тем не менее,эта теорема имеет весьма существенное значение и очень активно используется в теоретиче-ских исследованиях.

4.9. Экстремум функции многих переменных

Пусть функция f(x) задана на множестве X ⊂ Rn.

Опр. 4.9.

Число m мы будем называть минимумом f(x) на множестве X: m = minx∈X

f(x), если

∀x ∈ X f(x) > m и ∃x0 ∈ X : f(x0) = m.

Число M мы будем называть максимумом f(x) на множестве X: M = maxx∈X

f(x), если

∀x ∈ X f(x) 6 M и ∃x1 ∈ X : f(x1) = M.

Минимум и максимум функции f(x) мы будем называть экстремумами f(x) на мно-

жестве X.

Число m мы будем называть локальным минимумом f(x), если

∃x0 ∈ X : f(x0) = m; ∃ε > 0; ∀x ∈ Uε(x0) f(x) > m.

Число M мы будем называть локальным максимумом f(x) на множестве X, если

∃x1 ∈ X : f(x1) = M ; ∃ε > 0; ∀x ∈ Uε(x1) f(x) 6 M.

Локальные минимумы и максимумы функции f(x) мы будем называть локальными

экстремумами f(x).

Надо заметить, что, когда речь идет о локальных экстремумах, предполагается, что точки,в которых они достигаются, являются внутренними точками множества X, т.е. входят в X


Экстремум

вместе с некоторой своей окрестностью.

Лемма 4.3 (Необходимое условие экстремума).Усл. f(x) имеет локальный экстремум во внутренней точке a области определения Xи

имеет в этой точке все свои частные производные первого порядка.

Утв. ∂f∂x1

(a) = . . . = ∂f∂xn

(a) = 0.

Доказательство. Докажем, что ∂f∂x1

(a) = 0. Для этого вспомним, что по определению,

∂f

∂x1

(a) = lim∆x1→0

∆x1f

∆x1

= lim∆x1→0

f(a1 + ∆x1, a2, . . . , an)− f(a)

∆x1

и заметим, что в числителе последней дроби стоит, фактически, приращение функции однойпеременной:

∆f1(x1) ≡ f1(a1 + ∆x1)− f1(a1), где f1(t) = f(t, a2, . . . , an).

Нам дано, что точка a – точка экстремума f(x), следовательно, точка a1 – точка экстремумаf1(x1). По теореме Ферма (I-ый семестр),

df1

dx1

(a1) = 0, то есть lim∆x1→0

f1(a1 + ∆x1)− f1(a1)

∆x1

= 0.

Но данный предел есть в точности искомый предел lim∆x1→0

f(a1+∆x1, a2,...,an)−f(a)∆x1

. Таким образом,∂f∂x1

(a) = 0. Остальные равенства доказываются аналогично.

Замечание 4.3. Утверждение 4.3 дает только необходимое условие экстремума, то есть, из су-ществования локального экстремума в данной точке следует равенство нулю всех производ-ных первого порядка. Но ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО: из равенства нулю всех производныхпервого порядка не следует существование локального экстремума в данной точке. Напри-мер, частные производные функции f(x, y) = xy в точке (0, 0) существуют и равны 0, но влюбой окрестности данной точки найдутся как точки, в которых f(x, y) < f(0, 0) = 0 (напри-мер, x = −ε, y = ε), так и точки, в которых f(x, y) > f(0, 0) = 0 (например, x = ε, y = ε).

Опр. 4.10. Точку, в которой все частные производные функции обращаются в 0, мы будемназывать стационарной точкой.

Чтобы сформулировать достаточное условие экстремума, заметим, что второй дифференциалd2f(a) функции f(x) в точке a может быть записан в виде:

d2f(a) =n∑

i,j=1

cij(a)dxidxj, где cij(a) =∂2f

∂xi∂xj(a).

Теперь введем новое понятие:


Экстремум

Опр. 4.11. Второй дифференциал d2f(a) функции f(x) называется положительно

определенным (отрицательно определенным) в точке a, если∃Uε(a) ⊂ X : ∀dx = (dx1, . . . , dxn) ∈ Rn : (a+ dx) ∈ Uε(a), |dx| > 0

d2f(a) =n∑

i,j=1

cij(a)dxidxj > 0 (< 0).

Второй дифференциал d2f(a) функции f(x) называется знакопеременным в точке a,если

∀ε > 0 ∃dx1 = (dx11, . . . , dx

1n) ∈ Rn : (a+ dx1) ∈ Uε(a)

⋂X, |dx1| > 0

d2f(a) =n∑

i,j=1

cij(a)dx1i dx

1j > 0, и

∀ε > 0 ∃dx2 = (dx21, . . . , dx

2n) ∈ Rn : (a+ dx2) ∈ Uε(a)

⋂X, |dx2| > 0

d2f(a) =n∑

i,j=1

cij(a)dx2i dx

2j < 0.

Теорема 4.8 (Достаточное условие экстремума).

Усл. f(x) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a и два раза – в

самой точке a. При этом точка a – стационарная.

Утв. • d2f(a) – положительно определен =⇒ точка a – точка локального минимумаf(x);

• d2f(a) – отрицательно определен =⇒ точка a – точка локального максимумаf(x);

• d2f(a) – знакопеременный =⇒ точка a – не точка локального экстремума f(x).

Пример 4.9. Пусть задана функция f(x, y) = x2 + y2. Найдем ее стационарные точки:

∂f

∂x= 2x = 0 ⇒ x = 0;

∂f

∂y= 2y = 0 ⇒ y = 0.

Таким образом, единственной стационарной точкой является (0, 0). Найдем в ней d2f(0, 0):

d2f(0, 0) = 2dx2 + 2dy2 > 0 ∀dx, dy ∈ R : |dx|+ |dy| > 0.

Поэтому, в силу теоремы 4.8, точка (0, 0) есть точка локального минимума для f(x, y).

Пример 4.10. Пусть задана функция f(x, y) = x2 − y2. Найдем ее стационарные точки:

∂f

∂x= 2x = 0 ⇒ x = 0;

∂f

∂y= −2y = 0 ⇒ y = 0.


Экстремум

Таким образом, единственной стационарной точкой является (0, 0). Найдем в ней d2f(0, 0):

d2f(0, 0) = 2dx2 − 2dy2 > 0 ∀dx 6= 0 при dy = 0, но

d2f(0, 0) = 2dx2 − 2dy2 < 0 ∀dy 6= 0 при dx = 0.

Поэтому, в силу теоремы 4.8, точка (0, 0) не является точкой локального экстремума дляf(x, y).

Вопросы к экзамену по материалу этих лекций:

1) Вычисление площади плоской фигуры (случай задания в декартовых координатах)*.Примеры.

2) Вычисление площади плоской фигуры (случай задания в полярных координатах и слу-чай параметрического задания)*. Примеры.

3) Вычисление объема тела вращения (кривая задана в декартовых, полярных координа-тах, либо параметрически).

4) Вычисление длины кривой (кривая задана в декартовых, полярных координатах, либопараметрически)*.

5) Вычисление площади поверхности вращения (кривая задана в декартовых, полярныхкоординатах, либо параметрически)*.

6) Несобственный интеграл первого рода. Определение и примеры.

7) n – мерное координатное пространство. Расстояние между точками. Понятия области изамкнутой области.

8) Сходящиеся последовательности в Rn.

9) Определение функции в Rn.

10) Предел и непрерывность функции в Rn.

11) Арифметические свойства функций, непрерывных в точке. (Одно доказать)

12) Непрерывность сложной функции*.

13) Свойства функций, непрерывных в точке*.

14) Теоремы об ограниченности* непрерывной на компакте функции и о достижении еюточных граней*.

15) Понятия дифференцируемости, частной производной, дифференциала функции многихпеременных.

16) 2 необходимых и достаточное условия дифференцируемости*.

17) Дифференцируемость сложной функции и инвариантность формы первого дифферен-циала.

18) Понятия производной по направлению и градиента.

19) Нормаль и касательная плоскость к поверхности*.


Экстремум

20) Частные производные порядка k. Условие независимости смешанной производной отпорядка дифференцирования*.

21) Дифференциал порядка k.

22) Формула Тейлора*.

23) Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие*. Достаточное условие*.

(Знак * около утверждения означает "без доказательства".)


Documents

Содержание - narod.rutkachenko-mephi.narod.ru/pdfs/2semVf2.pdf · 2013-05-13 · Вычислить объем тела, образованного вращением дуги