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Mat_Insieme
Prodotti Notevoli
Tabella di ScomposizioniTabella di Scomposizioni
Test ScomposizioniTest Scomposizioni
a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia
Lavoro di Gruppo a tre mani
prof.ssa Giuseppa Chirico 2
I Prodotti NotevoliI Prodotti Notevoli
Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli
prof.ssa Giuseppa Chirico 3
Quadrato di un BinomioQuadrato di un Binomio
Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico 4
Quadrato di binomio: significato algebrico
(a+b)2 = (a+b) (a+b) =
= a2+ab+ab+b2 =
= a2+2ab+b2
prof.ssa Giuseppa Chirico 5
Quadrato di binomio: la regola
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini:
• il quadrato del 1° monomio• il doppio prodotto del 1° monomio per il 2°• il quadrato del 2° monomio
prof.ssa Giuseppa Chirico 6
Quadrato di binomio: significato geometrico
a b
(a + b) (a + b)2
a2
b2
ab
ab
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
prof.ssa Giuseppa Chirico 7
Quadrato di binomio: esempi
(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2
(2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2
(3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2
(-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2
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1yxyxyyxxyx
prof.ssa Giuseppa Chirico 8
Quadrato di binomio: esercizi (2a + 7)2 = (3a - 4b)2 = (-2x - 3y)2 = (a2 + 3b)2 = (5a - 3b)2 = (5a2 + 2b2)2 = (-3a3 + 2b2)2 = (2ab - 3b)2 =
(7xy - 2x)2 =
4a2 + 28 a + 49
9a2 - 24 ab + 16b2
4x2 + 12 xy + 9y2
a4 + 6 a2b + 9b2
25a2 - 30ab + 9b2
25a4 + 20 a2b2 + 4b4
9a6 - 12 a3b2 + 4b4
4a2b2 - 12 ab2 + 9b2
49x2y2 - 28 x2y + 4x2
prof.ssa Giuseppa Chirico 9
Quadrato di binomio: esercizi
2
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1ba
2
32
3ba
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4bbaa
prof.ssa Giuseppa Chirico 10
Cubo di un BinomioCubo di un Binomio
Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico 11
Cubo di binomio: significato algebrico
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =
= (a2+2ab+b2) (a+b) =
= a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3=
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico 12
Cubo di binomio: la regola
( a + b ) 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3
Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini:
• il cubo del 1° monomio• il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2°• il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2°• il cubo del 2° monomio
prof.ssa Giuseppa Chirico 13
Cubo di binomio: significato geometrico
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico 14
Cubo di binomio: esempi(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3
(2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3
(-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3
322332233
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1babbaabbabaaba
(-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico 15
Cubo di binomio: esercizi
(2a + 1)3 = (3a - b)3 = (-2x - 3y)3 = (a2 + 3b)3 = (a - 3b)3 = (a2 + 2b2)3 = (-3a3 + 2b2)3 = (2ab - 3b)3 =
8a3+12a2+6a+1
27a3-27a2b+6ab2-b3
-8x3-36x2y-54xy2-27y3
a6+9a4 b+27a2b2+27b3
8a3-36a2 b+54ab2 -27b3
a6+6a4 b2+12a2b4+8b6
-27a9+54a6b2-36a3b4+8b6
8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3
prof.ssa Giuseppa Chirico 16
Cubo di binomio: esercizi
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prof.ssa Giuseppa Chirico 17
Quadrato di un PolinomioQuadrato di un Polinomio
Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico 18
Quadrato di polinomio: significato algebrico
(a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) =
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 =
= a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
prof.ssa Giuseppa Chirico 19
Quadrato di polinomio: la regola
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini:
• il quadrato di tutti i termini• il doppio prodotto (con il relativo segno) di
ciascun termine per tutti quelli che lo seguono
prof.ssa Giuseppa Chirico 20
Quadrato di polinomio:significato geometrico
(a+b+c) (a+b+c)2
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
a b ca2
b2
ab
ab
c2
ac
ac
bc
bc
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Quadrato di polinomio: esempi(2a + b + 3c)2 ==(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c)= 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc
(2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)== 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc
(-3a - 2b + c )2 ==(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c)= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc
yxxyyx
yxyxyxyx
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prof.ssa Giuseppa Chirico 22
Quadrato di polinomio: esercizi
(2a + 2b + 7)2 = (3a - 4b - 2c)2 = (-2x - 3y + 1)2 = (a2 + 3b - c)2 = (5a + 2b + c)2 = (-3a3+2b2+1)2 = (2ab - 3b - 2)2 = (7xy - 2x - 1)2 =
4a2+4b2+49+8ab+24a+24b
9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc
4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y
a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc
25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc
9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2
4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b
49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x
prof.ssa Giuseppa Chirico 23
Potenza n-esima di BinomioPotenza n-esima di Binomio
Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico 24
Potenza n-esima di binomio:cerchiamo una regola
(a+b)0 = 1(a+b)1 = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
» lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini» i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono
uguali» in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an
ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn
» i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia”
prof.ssa Giuseppa Chirico 25
Potenza n-esima di binomio:Triangolo di Tartaglia
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = 1 1
(a+b)2 = 1 2 1
(a+b)3 = 1 3 3 1
(a+b)4 = 1 4 6 4 1
(a+b)5 = 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 = 1 6 15 20 15 6 1In questo prospetto:*ogni riga inizia e termina con 1*ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti
della riga precedente
prof.ssa Giuseppa Chirico 26
Potenza n-esima di binomio: la regola
(a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn
La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.In pratica, si procede nel seguente modo:• si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n)
• si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia
prof.ssa Giuseppa Chirico 27
Potenza n-esima di binomio: esempi
(2a+b)5 ==(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5
=32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5
=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5
(a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
(3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 ==81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4== 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4
(a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
prof.ssa Giuseppa Chirico 28
Potenza n-esima di binomio: esercizi
(2a - b)4 = (a +b)7 = (a - b)7 = (a - b)6 = (a +2b)4 = (a - 2b)4 = (a +2b)5 = (-x - y)5 =
16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4
a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4
a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4
a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6
a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7
a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5
- x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5
prof.ssa Giuseppa Chirico 29
Somma per differenzaSomma per differenza
Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico 30
Somma per differenza: significato algebrico
(a+b) (a-b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 - b2
prof.ssa Giuseppa Chirico 31
Somma per differenza: la regola
( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2
Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine
prof.ssa Giuseppa Chirico 32
Somma per differenza: esempi
(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2
(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2
(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2
(-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2
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1yxyxyxyx
prof.ssa Giuseppa Chirico 33
Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a2 - 3b) =
(5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a2+2b2)(5a2 -2b2) = (-3a3+2b2)(-3a3-2b2) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) =
4a2 - 499a2 - 16b2
4x2 - 9y2
a4 - 9b2
25a2 - 9b2
25a4 - 4b4
9a6 - 4b4
9b2 - 4a2
4x2 - 49x2y2
prof.ssa Giuseppa Chirico 34
Somma per differenza: esercizi
baba 3
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2
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baba 3
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baba
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5
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1ba
22 94
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25
9ba
[(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1
prof.ssa Giuseppa Chirico 35
Altri Prodotti NotevoliAltri Prodotti Notevoli
Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico 36
Somma di Cubi: significato algebrico
(a+b) (a2 - ab + b2 ) =
= a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 =
= a3 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico 37
Differenza di Cubi: significato algebrico
(a - b) (a2 + ab + b2 ) =
= a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 =
= a3 - b3
prof.ssa Giuseppa Chirico 38
Somma o differenza di cubi: la regola
Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine
(a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3
Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine
prof.ssa Giuseppa Chirico 39
Somma o Differenza di Cubi: esempi
(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3
3333
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27
27
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3
3
1
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1
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1
4
3
3
1bababababa
(2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3
(3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3
(3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3
3333
22
64
27
27
1
4
3
3
1
16
9
4
1
9
1
4
3
3
1bababababa
prof.ssa Giuseppa Chirico 40
Somma o Differenza di Cubi: esercizi
(2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)= (3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = (5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = (x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = (3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4) = (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2) =
8a3 + 34327a3 - 64b3
8x3 - 27y3
a6 + 27b3
125a3 - 27b3
x6 + 8y6
27a9 + b6
8a2 + 27b2
x3 - 8y3
prof. Pier Angela Cerati 41
SCOMPOSIZIONISCOMPOSIZIONI
QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE.CONOSCENZE.IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ FORNITA LA CORREZIONE ED UN FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA.RIPASSO DELLA TEORIA.
prof.Pier Angela Cerati 42
DOMANDA n.1DOMANDA n.1
Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali?della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali?
222
222
4. 224 3.
223 2. 1.
xyxxx
xxaxyyxa y
1, 2 e 3 1, 3 e 4
1, 2 e 4 2, 3 e 4
prof.Pier Angela Cerati 43
ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E’ CORRETTA!E’ CORRETTA!
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c).
Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, quest’ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all’interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore
evidenziato:
comune
fattorealcun hannonon terminisuoi i perchè
bilefattorizza ènon 223 mentre
)y x(x 4.
)12(2x 224 3.
1)-axy(axy 1.
2
222
22
22
xx
xyx
xxx
axyyxa y
prof. Pier Angela Cerati 44
BRAVO!!!BRAVO!!!LA TUA RISPOSTA E’ LA TUA RISPOSTA E’ CORRETTA!CORRETTA!
VAI ALLA DOMANDA VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE SEGUENTE
45
TABELLA DI SCOMPOSIZIONI
Prof.Adelaide Boccia
prof.ssa Giuseppa Chirico 46
SE HO
Prof.Adelaide Boccia
Due termini Tre termini Quattro termini Cinque termini Sei termini
47
DUE TERMINI
2233
2233
22
22
ba
cubi di somma
b-a
cubi di differenza
scompone sinon ba
quadrati di somma
quadrati di differenza
bbaaba
bbaaba
bababa
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48
TRE TERMINI
RUFFINI di regola
bx
notevole trinomio
2
binomio di quadrato
2
222
axabxbax
bababa
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49
QUATTRO TERMINI
Ruffini di Regola
parziale comunefattor a ntoraccoglime
33
binomio di cubo33223
yxba
baybaxbyaybxax
bababbaa
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50
CINQUE TERMINI
Ruffini di Regola
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51
SEI TERMINI
Ruffini di Regola
bax
byaybxax
parziale ntoRaccoglime
222a
trinomiodi Quadrato
2
222
zyxba
bazbay
bzaz
cba
bcacabcb
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