10.1 隨機抽樣

10.1 隨機抽樣

母體：有限母體無限母體  ---元素的數量在理論上是無限多個

(a)

(b)

隨機抽樣

方法：由電腦或計算機產生亂數

    利用計算機產生四位數的亂數，我們只取前三位。略去 000、大於 138的數字，以及已經被選到的數字，假設我們得到了 041、 021、 079、 084、012、 108、 029、 003、 100、 046、 126、與075。這 12個編號就是我們要挖掘的地點。  

略去 000以及大於 138的數字，並確保已經被選到的數字不會被重複選取得到的樣本為 007、 012、 031、 135、 114、 120、

047、 124、 070、 009、 118，與 094。要挖掘的考古地點為編號 7、 12、 31、 135、 114、

120、 47、 124、 70、 9、 118，與 94。  

隨機抽樣

定義  ( 無限母體 )：      從無限母體中抽選出樣本數為 n 的樣本時，若該樣本是由獨立隨機變數的值所組成，且這些獨立隨機變數服從相同的機率分配，則稱為隨機樣本。

投擲一個骰子 12次，得到     2 、 5、 1、 3、 6、 4、 4、 5、 2、 4、 1、 2八個學生測量某矽化合物的沸點：    136 、 153、 170、 148、 157、 152、 143、 150。  

*10.2 抽樣設計

比隨機抽樣更好的抽樣方法     更容易取得樣本資料、成本更低、或是能獲得更多的資訊 

抽樣設計是個相當明確的計畫，在開始抽樣或收集資料之前就必須定案。 

*10.3 系統抽樣

每隔幾個項目抽一個 的方法稱為系統抽樣 最實際的抽樣方式系統抽樣所涵蓋的範圍可能比較平均。 不利因素：母體當中可能有未知的週期性。  

*10.4 分層抽樣

分層（簡單）隨機抽樣  1. 把母體區分成幾個彼此不重複的子區域，稱為層 2. 從每一層中採取隨機的方法抽樣叫做分層抽樣

樣本數的決定      比例分配、最佳分配

比例分配

各層所抽選的樣本數，與該層的大小成正比。 

最佳分配

考量到各層內部各自的變異性 

交叉分層：根據母體的不同特徵，採用多面向分層

配額抽樣：分層抽樣中，採訪具備哪幾種特徵的人、每種的人數。

*10.5 叢聚抽樣

定義：    1. 將整個母體細分成幾個更小的子群體 2. 從這些子群體中隨機選出幾個做為樣本。

子群體是根據地理區域來劃分的話，稱為地

區抽樣。  

10.6 抽樣分配

樣本平均數、樣本中位數，以及樣本標準差的數     值會隨著樣本不同而出現差異，都是隨機變數。

它們的分配稱為抽樣分配 (sampling distribution)

N ＝ 5 的母體中，選出兩個當樣本

抽樣分配中平均數與標準差

         是         的抽樣分配的平均數，其值等於母體平均數         ；  

是         的抽樣分配的標準差，其值小於母體標準差          。 

電腦模擬

10.7 平均數的標準誤

樣本平均數的抽樣分配的平均數：  

樣本平均數的抽樣分配的標準差： 

        稱為平均數的標準誤 

(a) 兩個標準誤的比率為   1/2

  樣本數變成原來的四倍，標準誤變小一半。  

(b) 兩個標準誤的比率為 3 

      樣本數變成原來的九分之一，標準誤變大三倍。  

有限母體修正項

除非樣本數超過母體大小的百分之五，不然這個修正項通常是忽略不計的 

有限母體修正項

    N＝ 10000 ， n＝ 100 代入，得到 0.995    這個值非常接近 1，所以在實際應用上，可以忽略不計。  

將 N＝ 5、 n＝ 2 ， σ代入的第二個公式

    將 N ＝ 1,000、 n＝ 15、 σ＝ 288.67代入 的第二個公式，得到 

10.8 中央極限定理

將 n＝ 64 與 σ＝ 20 代入平均數的標準誤的公式中， 

  ， 1-1/22 = 0.75

至少有  75%  的機率，誤差會小於 5。 

中央極限定理

從平均數為μ且標準差為σ的無限母體中選出一個樣本數為 n 的隨機樣本，則 z 近似於標準常態分配。

機率值介於 -2以及  2之間的面積表  I 得知， z＝ 2 時的對應值為 0.4772

機率值為 0.4772 + 0.4772＝ 0.9544。

10.9 其他方面的問題

中位數的標準誤大約是

當我們要估計某左右對稱的母體平均值時，     很明顯樣本平均數要比樣本中位數可靠多了 ，因為樣本平均數所可能產生的誤差比較小。

    把上述兩個標準誤的公式以等號連接，並在中位數標準誤那邊代入 n＝ 200，解得 n＝ 128。

n＝ 128 的樣本平均數和 n＝ 200的樣本中位數一樣的「好」。