12 C Juros[1]

"Somos o que "Somos o que repetidamente fazemos. A repetidamente fazemos. A excelência, portanto, não é excelência, portanto, não é um feito, mas um hábito." um feito, mas um hábito."

Aristóteles Aristóteles

Matemática financeira

PRÁTICA COM HP 12 CPRÁTICA COM HP 12 CJUROS SIMPLESJUROS SIMPLESE COMPOSTOS.E COMPOSTOS.

Matemática financeira com uso da HP-12c

Entendendo a HP 12C

Modelo Modelo

tradicionaltradicional

Dourado Dourado ..

Modelo novo,Modelo novo,

prateadoprateado

Jan Lukasiewicz

• Lógico e matemático polonês

• Uma idéia genial!• Simplificar a notação

matemática para facilitar as contas em máquinas!

Uma lógica reversa …

RRPPNN

eversaeversa

olonesaolonesa

otaçãootação

Alguns exemplos …Álgebra convencional …Álgebra convencional …

235235

Soma de 235 e 121Soma de 235 e 121

121121++ ==

OperandosOperandosOperadorOperador InstruçãoInstrução

356356

Notação polonesa …Notação polonesa …

235235 121121 ++

OperandosOperandosOperadorOperadorInstruçãoInstrução

356356EN

TE

R

Observação importante

• A HP 12C não tem a tecla

=A notação polonesaA notação polonesa

dispensa seu usodispensa seu uso

Fotografia da Calculadora Fotografia da Calculadora HP12CHP12C

FUNÇÃO CALENDÁRIOFUNÇÃO CALENDÁRIO

Para encontrar datas futuras ou passadas e o dia da semana correspondente, pressione inicialmente as teclas

(que representam as iniciais, em inglês, de dia, mês e ano) você estará fixando esta informação na sua calculadora. Portanto, não será necessário repeti-la a cada operação.

g date

FUNÇÃO CALENDÁRIOFUNÇÃO CALENDÁRIO

Data FuturaPara utilizar o calendário, introduza a data conhecida,

separando o dia e o mês pela tecla , e pressione a tecla Digite o número de dias correspondente ao intervalo de tempo e pressione as teclas

Você estará calculando uma nova data.

Exemplo: Qual é a data de vencimento de uma compra feita no dia 25.03.2002 para pagamento em 45 dias? 25.032002 45 09.05.2002 4⇒

.ENTER

g DATE

ENTER g DATE

FUNÇÃO CALENDÁRIOFUNÇÃO CALENDÁRIO

Resposta: Vencimento em 09.05.2002. Observe, no visor, um número que aparece à direita do resultado.

Ele representa o dia da semana em que esta data ocorrerá. Neste exemplo, quinta-feira,

FUNÇÃO CALENDÁRIOFUNÇÃO CALENDÁRIO

Dias da semana 1 - segunda-feira 2 - terça-feira 3 - quarta-feira 4 - quinta-feira 5 - sexta-feira 6 - sábado 7 - domingo

FUNÇÃO CALENDÁRIOFUNÇÃO CALENDÁRIO

Data Passada No exemplo anterior vimos que o vencimento foi

no dia 09.05.2002. Se a compra foi feita para pagamento em 45 dias, qual a data da compra?

09.052002 45 25.03.2002 1 Resp.: A data da compra foi 25.03.2002, uma

segunda-feira. Obs.: O serve para indicar que se trata de

data passada.

ENTER CHS g DATE

CHS

FUNÇÃO CALENDÁRIOFUNÇÃO CALENDÁRIO

Variação de Dias entre Datas Para calcular o número de dias existentes entre duas

datas, introduza a data mais antiga e pressione em seguida, introduza a data mais recente e pressione

as teclas Exemplo: Calcule o número de dias decorridos entre as datas

01.03.2002 e 31.10.2002. 01.032002 31.102002 → 244 dias Resp.: O número de dias entre as duas datas é 244.

ENTER

g A DYS

ENTER g A DYS

Funções Financeiras da HP12CFunções Financeiras da HP12C[n] : Abastece ou calcula o número de períodos[n] : Abastece ou calcula o número de períodos

[i] : Abastece ou calcula a taxa de juros[i] : Abastece ou calcula a taxa de juros

[PV] : Abastece ou calcula[PV] : Abastece ou calcula o Valor Presente o Valor Presente

[PMT] : Abastece ou calcula a Prestação[PMT] : Abastece ou calcula a Prestação

[FV] : Abastece ou calcula o Valor Futuro[FV] : Abastece ou calcula o Valor Futuro

Juros SimplesJuros Simples

Operações com Juros Operações com Juros SimplesSimples

JUROS SIMPLESJUROS SIMPLES

““É o regime segundo o qual os juros, É o regime segundo o qual os juros, produzidos no final de cada período, têm produzidos no final de cada período, têm sempre como base de cálculo o capital sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.”inicial empregado.”

(TEIXEIRA E DI PIERRO NETO, (TEIXEIRA E DI PIERRO NETO, 1998)1998)

Juros simplesJuros simples

FórmulaVFJurosn

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100

2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP10% x $100

n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)

Juros simples sempreincidem sobre valor presente

i = taxa de juros por período

Capital Inicial (C) ou Principal (VP)Capital Inicial (C) ou Principal (VP)

Montante (M) (VF)

n = número de períodos

Valor aplicado ou emprestado no início do período.

Valor resgatado ou acumulado no final do período acrescido dos juros.

FÓRMULAS BÁSICASFÓRMULAS BÁSICAS

J = C x i x n

M = C + J

M = C + C x i x n

M = C (1 + x n)

Ou seja:

Abreviaturas nas taxasAbreviaturas nas taxas

ao anoa.a.

ao semestrea.s.

ao quadrimestrea.q.

ao trimestrea.t.

ao bimestrea.b.

ao mêsa.m.

ao dia útila.d.u.

ao diaa.d.

SignificadoAbreviatura

Cuidado com os anosCuidado com os anos

ano civil ou exatoano civil ou exato formado por 365 dias;formado por 365 dias;

ano comercialano comercial formado por 360 dias.formado por 360 dias.

Um investidor aplicou R$ 200,00 no regime Um investidor aplicou R$ 200,00 no regime de juros simples durante 4 meses. Qual o de juros simples durante 4 meses. Qual o montante gerado no final deste período, montante gerado no final deste período,

dada uma taxa de 10% ao mês?dada uma taxa de 10% ao mês?

Exemplo 1:

FÓRMULAS BÁSICASFÓRMULAS BÁSICAS

J = 200 x 0,10 x 4 J = 80,00

M = C ( 1 + i x n )

M = 200 (1 + 0,10 x 4 )

M = 280,00

Qual o montante a ser resgatado se R$ Qual o montante a ser resgatado se R$ 1.200,00 forem aplicados a uma taxa de 1.200,00 forem aplicados a uma taxa de

57,60% ao ano, durante 3 anos57,60% ao ano, durante 3 anos??

Exemplo 2:

M = C ( 1 + i x n )

M = 1.200 ( 1 + 0,5760 x 3 )

M = 3.273,60

Um certo investidor deseja resgatar R$ Um certo investidor deseja resgatar R$ 1.500,00 no final de uma aplicação com 1.500,00 no final de uma aplicação com prazo de 6 meses. A taxa de juros desta prazo de 6 meses. A taxa de juros desta aplicação é de 3% a.m. Quanto deve ser aplicação é de 3% a.m. Quanto deve ser

aplicado hoje para conseguir tal aplicado hoje para conseguir tal rendimento?rendimento?

Exemplo 3:

M = C ( 1 + i x n )

R$1.500,00 = C ( 1 + 0,03 x 6 )

R$1.500,00 = C . 1,18

C = 1.500,00/1,18

C = 1.271,19

Durante quantos meses um capital de R$ Durante quantos meses um capital de R$ 4.000,00, aplicados a 8% ao mês, produz 4.000,00, aplicados a 8% ao mês, produz

juros de R$ 1.280,00?juros de R$ 1.280,00?

Exemplo 4:

J = C x i x n

1.280,00 = 4.000,00 x 0,08 x n

1.280,00 = 320,00 x n

1.280,00 / 320 = n

n = 4

Exemplo 6:

QUAIS OS JUROS QUE R$350,00,QUAIS OS JUROS QUE R$350,00,

APLICADOS NO REGIME DE JUROSAPLICADOS NO REGIME DE JUROS

SIMPLES, PRODUZEM DURANTE 06 SIMPLES, PRODUZEM DURANTE 06 MESES, À TAXA DE 11% AO MÊS? MESES, À TAXA DE 11% AO MÊS?

J = C x i x n

J = 350,00 x 0,11 x 6

J = 231,00

Total dos Juros SimplesTotal dos Juros Simples A equação do total de juros simples poderia A equação do total de juros simples poderia

ser apresentada como :ser apresentada como :

niVPJ ⋅⋅=

Número de períodosNúmero de períodos

Taxa de jurosTaxa de juros

Valor presenteValor presente

Total dos jurosTotal dos juros

Equação de Juros SimplesEquação de Juros Simples O montante ou valor futuro pode ser definido O montante ou valor futuro pode ser definido

como :como :

niVPVPVF ⋅⋅+= Ou, colocando em evidência :

( )niVPVF ⋅+= 1

ImportanteImportanteTaxa (i)Taxa (i)

e

Número de Períodos (n)Número de Períodos (n)devem estar sempre na

mesmamesma base !!

Sugestão Sugestão :: altere sempre altere sempre nn e evite e evite

alterar alterar ii

Pré-requesito básico !!!Pré-requesito básico !!!

Juros SimplesJuros Simples

( )niVPVF ⋅+= 1

( )niVF

VP⋅+

=1

nVPVF

i

−

=1

iVPVF

n

−

=1

Fórmulas de Juros SimplesFórmulas de Juros Simples

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação Uma aplicação de $500,00 foi feita por Uma aplicação de $500,00 foi feita por

oito meses a uma taxa simples igual a 5% oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate?am. Qual o valor do resgate?

VFVF

-500-500

8 meses8 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)

VF = 700VF = 700

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação Sabina precisará de $1.200,00 em dez Sabina precisará de $1.200,00 em dez

meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am simples igual a 5% am

1.200,001.200,00

-VP-VP

10 meses10 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)VP = 800VP = 800

Exemplo CExemplo C Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e

recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação?taxa mensal vigente na operação?

10.400,0010.400,00

-8000-8000

6 meses6 meses00

i = ?i = ?

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)

i = 5%i = 5%

Exemplo DExemplo D A aplicação de $9.000,00 a uma taxa A aplicação de $9.000,00 a uma taxa

simples igual a 6% a.m. resulta em um valor simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? meses dessa operação?

11.700,0011.700,00

-9000-9000

n=?n=?00

i = 6% a.m.i = 6% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)

n = 5n = 5

Juros CompostosJuros Compostos

Operações com Juros Operações com Juros CompostosCompostos

JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOSEm operações de JUROS COMPOSTOS a Em operações de JUROS COMPOSTOS a

incidência de juros ocorre incidência de juros ocorre sempre de sempre de forma cumulativaforma cumulativa..

A taxa de juros incidirá sobre o A taxa de juros incidirá sobre o montante montante acumuladoacumulado no final do período anterior. no final do período anterior.

Juros CompostosJuros Compostos

( ) niVPVF += 1

( ) niVF

VP+

=1

11

1

−

=−=

nn

VP

VF

VP

VFi

)1log(

log

iVPVF

n+

=

Fórmulas de Juros CompostosFórmulas de Juros Compostos

No Regime de Juros CompostosNo Regime de Juros Compostos

Nunca multiplique Nunca multiplique ou divida a taxa de ou divida a taxa de

juros !!!!juros !!!!

Regra de juros compostosRegra de juros compostos

Operações na HP 12COperações na HP 12C Embora algebricamente as operações com Embora algebricamente as operações com

juros compostos possam ser um pouco mais juros compostos possam ser um pouco mais difíceis do que as operações com juros difíceis do que as operações com juros simples, na prática, a calculadora HP 12C simples, na prática, a calculadora HP 12C permite uma simplificação muitopermite uma simplificação muito

grande das operações.grande das operações.

Exercícios na HP12CExercícios na HP12C

A importância de $400,00 foi aplicada por 3 A importância de $400,00 foi aplicada por 3 meses a taxa de 5% am, no regime de juros meses a taxa de 5% am, no regime de juros compostos. Qual o valor de resgate?compostos. Qual o valor de resgate?

33 55 400400

Resposta no visor : Resposta no visor : $463,05$463,05

EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1Qual o montante obtido de uma aplicação de $ 1.000,00 em 5 meses a 2% ao mês.

VF = VP x (1 + i) n

VF = 1000 x (1 + 0,02)5

VF = 1000 x (1,02)5

VF = 1000 x 1,10408

VF = $1.104,08

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[f f ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores.Apagar registros anteriores.[[STOSTO] [] [EEXEEX]] Aparecerá um Aparecerá um cc no visor. no visor. (JC (JC

fracionáveis)fracionáveis)

[[55] [ ] [ n n ]] visor visor 5,00005,0000[[22] [ ] [ i i ]] visor visor 2,00002,0000[[10001000] [] [CHSCHS] [] [PVPV]] visor visor -1.000,0000-1.000,0000[[FVFV]] visor visor runningrunning (piscando)(piscando)

visor visor 1.104,08081.104,0808 (Valor Futuro) (Valor Futuro)[[f f ] ] 22 Fixar com duas casas decimais.Fixar com duas casas decimais.

visor visor 1.104,081.104,08 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

Qual o montante gerado por aplicação de R$50.000,00, cuja taxa de Juros compostos é de 3% a.m. por dois meses?

VF = VP x (1 + i) n

VF = 50.000 x (1 + 0,03)2

VF = 50.000 x (1,03)2

VF = 50.000 x 1,0609

VF = 53.045,00

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[f f ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.

[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores. Apagar registros anteriores.

[[22] [] [nn] ] visor visor 2,00002,0000

[[33] [ ] [ i i ]] visor visor 3,00003,0000

[50.000] [[50.000] [CHSCHS] [] [PVPV] visor ] visor -50.000,0000-50.000,0000[[FVFV]] visor visor runningrunning (piscando)(piscando)

visor visor 53.045,000053.045,0000 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

[f] 2 Fixar com duas casas decimais.visor 53.045,00 (Valor Futuro)

Uma pessoa física aplicou R$50.000,00 a juros compostos, à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses. Quanto recebeu de juros?

VF = VP x (1 + i) n

VF = 50.000 x (1 + 0,1)3

VF = 50.000 x 1,13

VF = 50.000 x 1,331VF = 66.550,00

66.550,00 – 50.000 = 16.550j = 16.550,00

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[f f ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.

[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores.Apagar registros anteriores.

[[33] [ ] [ n n ]] visor visor 3,00003,0000

[[1010] [ ] [ i i ]] visor visor 10,000010,0000

[[50.00050.000] [] [CHSCHS] [PV] visor ] [PV] visor -50.000,00-50.000,00[[FVFV]] visor visor runningrunning (piscando)(piscando)

visor visor 66.550,000066.550,0000 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

[[f f ] ] 22 Fixar com duas casas decimais.Fixar com duas casas decimais.

visor visor 66.550,0066.550,00 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

Suponhamos que uma pessoa tome emprestada, a juro composto, a importância de R$2.000,00, pelo prazo de 4 meses, sob taxa de 15% ao mês. Qual será o valor a ser pago como juros, decorrido este prazo?.

VF = VP x (1 + i) n

VF = 2.000 x (1 + 0,15)4

VF = 2.000 x (1,15)4

VF = 2.000 x 1,7490

VF = 3.498,0125

2.000,00 – 3.498,01 = 1.498,01

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[f f ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.

[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores.Apagar registros anteriores.

[[44] [ ] [ n n ]] visor visor 4,00004,0000

[[1515] [ ] [ i i ]] visor visor 15,000015,0000

[[2.0002.000] [] [CHSCHS] [PV] visor ] [PV] visor -2.000,00-2.000,00[[FVFV]] visor visor runningrunning (piscando)(piscando)

visor visor 3.498,01253.498,0125 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

[[f f ] ] 22 Fixar com duas casas decimais.Fixar com duas casas decimais.

visor visor 3.498,013.498,01 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

VF = VP x (1 + i) n

VF = 500,00 x (1 + 0,05)8

VF = 500,00 x (1,05)8

VF = 500,00 x (1,05)8

VF = 500,00 x 1,4775

VF = 738,7500

Logo 738,75 – 500,00 = 238,75

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[f f ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.

[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores.Apagar registros anteriores.

[[88] [ ] [ n n ]] visor visor 8,00008,0000

[[55] [ ] [ i i ]] visor visor 5,00005,0000

[[500500] [] [CHSCHS] [PV] visor ] [PV] visor -500,0000-500,0000[[FVFV]] visor visor runningrunning (piscando)(piscando)

visor visor 738,7500738,7500 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

[[f f ] ] 22 Fixar com duas casas decimais.Fixar com duas casas decimais.

visor visor 738,75738,75 (Valor Futuro) (Valor Futuro)

Dr. Carlos pagou R$1 728,00 por um empréstimo no Banco Dinheiro Fácil S.A. O prazo da operação foi de 3 meses e a taxa efetiva de juros compostos foi de 20% ao mês. Qual foi o valor do empréstimo?

VF = VP x (1 + i) n

1.728,00 = VP x (1 + 0,20)3

1.728,00 = VP x (1,20)3

1.728,00 = VP x 1.72800VP = 1.728,00 : 1.72800

VP = 1.000,00

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[f f ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.

[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores.Apagar registros anteriores.

[[33] [ ] [ n n ]] visor visor 3,00003,0000

[[2020] [ ] [ i i ]] visor visor 20,000020,0000

[[1.7281.728] [] [CHSCHS] [FV] visor ] [FV] visor -1.728,000-1.728,000[[PVPV]] visor visor runningrunning (piscando)(piscando)

visor visor 1.000,00001.000,0000 (Valor Presente) (Valor Presente)

[[f f ] ] 22 Fixar com duas casas decimais.Fixar com duas casas decimais.

visor visor 1.000,001.000,00 (Valor Presente) (Valor Presente)