3-CURVATURA Y TORSIÓN

CURVATURA Y TORSIÓN

Cálculo Diferencial

Mtro. Raúl Rodríguez A.

2

Vector de posición

Consideremos una partícula que semueve en el espacio 3D en un intervalode tiempo I. Las coordenadas de lapartícula se pueden escribir como:

)(tfx )(tgy )(thz It

kjir )()()()( thtgtft

3

Si r es el vector de posición de unapartícula que se mueve a lo largo de unacurva en el espacio, entonces

Velocidad Rapidez

Aceleración

Dirección del movimiento en el tiempo t: vector unitario

dt

drv v

2

2

dt

d

dt

d rva

vv

(El vector v es tangente a la curva)

4

z

x

yO

Vector tangente unitariode una curva regular r(t)

s

P

v

vT

r

v

T

Vector tangente unitariode una curva regular r(t)

v

v

r

rT

dt

dsdt

d

ds

d

“s” representa la longitud de arco5

6

Ejercicio

Encuentre el vector tangente unitario a la curva

kjir2)sin4()cos4()( tttt

v

vT

Mathematica 5.2ParametricPlot3D[{4*Cos[t],4*Sin[t],t^2},{t,-5,5}]

7

kjir2)sin4()cos4()( tttt

kjirv tttt 2)cos4()sin4()(

222 2)cos4()sin4( ttt v

kjiT44

cos2

4

sin2222

t

t

t

t

t

t

424)cos(sin16 2222 ttttv

Curvatura

¿Cómo se dobla una

curva?

8

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

9

jir )()()( 32 ttt

T

T

T

T

T

Cuando el punto P se mueve a lo largo de una curva regular, Tgira, al doblarse la curva

Ps

10

z

x

yO

s

P

T

Cuando el punto P se mueve a lo largo de una curva regular, Tgira, al doblarse la curva

La curvatura es la razón con la que Tgira por unidad de longitud a lo largo de la curva

T

T

T

Curvatura

11

Definición

Si T es el vector tangente unitario de una curva regular r(t), su función de curvatura es

ds

dT

Letra griega “kappa”

Letra “s” representa el parámetro de longitud de arco de la curva

Fórmula para la Curvatura

12

Sea r(t) una curva regular, entonces su curvatura está dada por

dt

dT

v

1

Donde

v

vT

13

T

T

s

2P1P

T

3P

N

N

N

Vector normal principalunitario (N)

El vector N siempre apunta al lado cóncavo de la curva

Los vectores N y T son ortogonales entre sí

Vector normal principal unitario

14

Definición

En un punto donde κ ≠ 0, el vector normal principal unitario, de una curva regular r(t), es

ds

dTN

1

Fórmula para calcular el vector normal principal unitario

15

Para una curva regular r(t), el vector normal principal unitario es

dt

ddt

d

T

T

N

Dondev

vT

16

Ejercicio

Determine T, N y k (vector tangente unitario, vector normal principal unitario y curvatura) de la curva dada a continuación

k

jir

)ln(cos

)(cos)(sin)(

t

ttt

Determine k(curvatura) para t = π

ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],Log[Cos[t]]},{t,0,1}]Mathematica 5.2

17

v

vT

dt

dT

v

1

Vector tangente unitario

Curvatura

Vector normal principal unitario

dt

ddt

d

T

T

N

18

kjirv

dt

td

dt

td

dt

tdt

)ln(coscossin)(

kjiv ttt tansincos

222tansincos ttt v

t2tan1v

kjir )ln(cos)(cos)(sin)( tttt

tt secsec2 v

19

v

vT )tansin(cos

sec

1kjiT ttt

t

kjiT tttt sincossincos2

kji

T

dt

td

dt

ttd

dt

td

dt

d )(sin)cos(sincos2

kjiT

)cos()cos21()cossin2( 2 ttttdt

d

20

tttttdt

d 24222 coscos4cos41cossin4 T

1)cos43sin4(cos 222 tttdt

dT

1]3)cos(sin4[cos 222 tttdt

dT

tdt

d 2cos1T

21

t

t

sec

cos1 2

k

jiN

t

t

t

t

t

tt

2

2

2

2

cos1

cos

cos1

cos21

cos1

cossin2

21

)1(1)(

2

t

22

Ejercicio

Determine T, N y k (vector tangente unitario, vector normal principal unitario y curvatura) de la curva dada a continuación. Verifique que N y T son ortogonales

jir )sin4()cos4()( ttt

Mathematica 5.2

Una circunferencia en el plano

ParametricPlot[{4*Cos[t],4*Sin[t]},{t,-5, 5}]

23

jir )sin4()cos4()( ttt

jiv )cos4()sin4( tt

4cos16sin16 22 ttv

jiT tt cossin

jiT

ttdt

dsincos 1sincos 22 tt

dt

dT

jiN tt sincos 4

1

sortogonalevectores0TN

24

Ejercicio

Determine T, N y k, para la curva dada a continuación

Mathematica 5.2

kjir )2()2()()( tttt

Una recta en el espacio

25

kjir )2()2()()( tttt

kjiv 2 6v

kjiT6

1

6

2

6

1

0kjiT

000dt

d0

dt

dT

0 noN

26

Torsión y

Vector unitario binormal

27

z

x

y

O

s

P

TN

B

r

El marco TNB de vectores unitarios mutuamente ortogonales, viajando a lo largo de la curva “s” en el espacio

T: vector tangente unitario N: Vector normal unitarioB: Vector binormal unitario

28

P

TN

B

Plano osculador

Plano normal

Plano rectificador

Los tres planos

determinados por T, N y B

29

Vector binormalunitario

NTB

Torsión

2av

zyx

zyx

zyx

0av

Donde

30

zyx

zyx

zyx

Donde

Representan derivadas (1ª, 2ª, 3ª) de las componentes del vector de posición r (t)

31

Ejercicio

Determine B, T, N, κ y τ de la curva dada a continuación

k

jir

t

ttt

19

)3cos3()3sin3()(

ParametricPlot3D 3 Sin 3 t , 3 Cos 3 t , 19 t , t, 0, ;

32

v

vT

dt

dT

v

1

Vector tangente unitario

Curvatura

Vector normal principal unitario

dt

ddt

d

T

T

N

NTB Vector binormal unitario

2av

zyx

zyx

zyx

Torsión

33

kjir tttt 19)3cos3()3sin3()(

kjiv 193sin93cos9)( ttt

jia ttt 3cos273sin27)(

1019)3sin3(cos81 22 tt iv

kjiT10

193sin

10

93cos

10

9 tt

34

jiT

ttdt

d3cos

10

273sin

10

27

10

27)3cos3(sin

10

27 22

2

tt

dt

di

T

jiN tt 3cos3sin

100

27

10

27

10

1

35

03cos3sin10

193sin

10

93cos

10

9

tt

tt

kji

B

kjiB10

93sin

10

193cos

10

19 tt

36

03cos273sin27

193sin93cos9

tt

tt

kji

av

kjiav 2433sin19273cos1927 tt

22222

)243(3sin19273cos1927 ttav

270av

37

2)270(

03sin813cos81

03cos273sin27

193sin93cos9

tt

tt

tt

2

22

)270(

3cos3sin192187 tt

19100

3

38

Ejercicio

Determine B y τ (vector binormal unitario y la torsión) de la curva dada a continuación

k

jir

)ln(cos

)(cos)(sin)(

t

ttt

39

kjiT tttt sincossincos2

kjir )ln(cos)(cos)(sin)( tttt

k

jiN

t

t

t

t

t

tt

2

2

2

2

cos1

cos

cos1

cos21

cos1

cossin2

kjiv ttt tansincos

kjia ttt 2seccossin

40

NTB

t

t

t

t

t

tttttt

22

2

2

2

cos1

cos

cos1

cos21

cos1

cossin2sincossincos

kji

B

kjiB ttttt

223

2cos)sin1(cossin

cos1

1

41

kjiav

t

tt

t

t

cos

1sinsin

cos

sin 2

2

ttt

t 22

2

2

cos1seccos

cos1

av

t

t

tttt

ttt

ttt

2

2

2

2

cos

cos1

tansec2sincos

seccossin

tansincos

42

t

t

tt

tttt

2

2

32

cos

cos1

tan2cos

sin2sincossin

tttttt

ttansin2sin2coscos

cos1

sin 23

2

43

THE RAT VIBRISSAL (WHISKER) SYSTEM

http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/

44

THE FLEXURAL CHARACTERISTICS

OF RAT VIBRISSAE

http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/

45

The MechE Mouse Project

(Robotic Whisker Arrays)

http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/

Joseph H. Solomon, Mitra J. Hartmann

46http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/