Torsin mecnicaDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda

Barra de seccin no circular sometida a torsin, al no ser la seccin transversal circular necesariamente se produce alabeo seccional.

Viga circular bajo torsin En ingeniera, torsin es la solicitacin que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecnico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensin predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsin se caracteriza geomtricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de l (ver torsin geomtrica). El estudio general de la torsin es complicado porque bajo ese tipo de solicitacin la seccin transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenmenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la seccin transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus lneas de flujo "circulan" alrededor de la seccin. 2. Cuando las tensiones anteriores no estn distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la seccin tenga simetra circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas. El alabeo de la seccin complica el clculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsin alabeada y una parte asociada a la llamada torsin de Saint-Venant. En funcin de la forma de la seccin y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones ms simples que el caso general.

Contenido[ocultar]

1 Torsin general: Dominios de torsin 2 Torsin de Saint-Venant pura o 2.1 Torsin recta: Teora de Coulomb o 2.2 Torsin no recta: Teora de Saint-Venant o 2.3 Analoga de la membrana de Prandtl o 2.4 Secciones cerradas simples de pared delgada o 2.5 Secciones multicelulares de pared delgada 3 Torsin alabeada pura o 3.1 Secciones abiertas de pared delgada 4 Torsin mixta 5 Referencias

[editar] Torsin general: Dominios de torsinEn el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una seccin no es constante y no coincide tampoco con la funcin de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:

Donde G, E son respectivamente el mdulo de elasticidad transversal y el mdulo elasticidad longitudinal, J, I son el mdulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsin general dentro de lmites donde resulten adecuadas las teoras aproximadas expuestas a continuacin. De acuerdo con Kollbruner y Basler:1

Torsin de Saint-Venant pura, cuando Torsin de Saint-Venant dominante, cuando Torsin alabeada mixta, cuando Torsin alabeada dominante, cuando Torsin alabeada pura, cuando . . .

. .

El clculo exacto de la torsin en el caso general puede llevarse a cabo mediante mtodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energa de deformacin. El caso de la torsin alabeada mixta slo puede ser tratado la teora general de torsin. En cambio la torsin de Saint-Venant y la torsin alabeada puras admiten algunas simplifaciones tiles.

[editar] Torsin de Saint-Venant puraLa teora de la torsin de Saint-Venant es aplicable a piezas prismticas de gran inercia torsional con cualquier forma de seccin, en esta simplificacin se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional tambin lo sea. La teora de torsin de Saint-Venant da buenas aparoximaciones para valores , esto suele cumplirse en: 1. Secciones macizas de gran inercia torsinal (circulares o de otra forma). 2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada. 3. Secciones multicelulares de pared delgada. Para secciones no circulares y sin simetra de revolucin la teora de Sant-Venant adems de un giro relativo de la seccin transversal respecto al eje baricntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la seccin transversal. La teora de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto slo existe giro.

[editar] Torsin recta: Teora de Coulomb

Ejemplo de solicitacin que produce un momento torsor constante y torsin recta sobre en una barra de seccin cilndric.

Distribucin de tensiones sobre una seccin circular maciza y una secci circular hueca para pequeas deformaciones. La teora de Coulomb es aplicable a ejes de transmisin de potencia macizos o huecos, debido a la simetra circular de la seccin no pueden existir alabeos diferenciales sobre la seccin. De acuerdo con la teora de Coulomb la torsin genera una tensin cortante el cual se calcula mediante la frmula:

Donde: : Esfuerzo cortante a la distancia . : Momento torsor total que acta sobre la seccin. : distancia desde el centro geomtrico de la seccin hasta el punto donde se est calculando la tensin cortante. : Mdulo de torsin.

Esta ecuacin se asienta en la hiptesis cinemtica de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismtica con simetra de revolucin, es decir, es una teora aplicable slo a elementos seccin circular o circular hueca. Para piezas con seccin de ese tipo se supone que el eje baricntrico permanece inalterado y cualquier otra lnea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricntrico, es decir, se admite que la deformacin viene dada por unos desplazamientos del tipo:

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lam-Hooke llevan a que el tensor tensin viene dado por:

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relacin existente entre la funcin y el momento torsor:

Donde momentos de rea.

, es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos

[editar] Torsin no recta: Teora de Saint-VenantPara una barra recta de seccin no circular adems del giro relativo aparecer un pequeo alabeo que requiere una hiptesis cinemtica ms complicada. Para representar la deformacin se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hiptesis cinemtica de Saint-Venant por:

Donde es el giro relativo de la seccin (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la seccin transversal y siendo (y, z) la funcin de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la seccin y permiten conocer la forma curvada final que tendr la seccin transversal. Conviene sealar, que la teora al postular que la derivada del giro es constante es slo una aproximacin til para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:

Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introducindolas en la ecuacin de equilibrio elstico se llega a:

[editar] Analoga de la membrana de PrandtlPara secciones macizas de gran rigidez torsional la distribucin de las tensiones asociadas a la torsin guarda una analoga mecnica con la deformacin de una membrana elstica cuasiplana. Concretamente Prandtl prob en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una funcin de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada direccin.2 Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsin de un prisma mecnico cuya seccin transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana.

[editar] Secciones cerradas simples de pared delgadaEn este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre una lnea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensin tangencial en este caso puede expresarse mediante:

Donde: , es el rea encerrada por la lnea media de la seccin tubular. , es el espesor de la seccin tubular en el punto s de la curva del contorno. Mientras que el giro:

En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta ltima ecuacin se reduce a:

[editar] Secciones multicelulares de pared delgada

[editar] Torsin alabeada puraPara piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsin se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la seccin. En la teora de torsin alabeada pura se usa la aproximacin de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teora se aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.

[editar] Secciones abiertas de pared delgadaPara un rectngulo muy alargado (b