Solicitación por torsión

Solicitación por Torsión Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos

El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016

Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

SOLICITACIÓN POR TORSIÓN 3

PLANTEO DEL PROBLEMA DEL TORSIÓN 3 TENSIONES PRINCIPALES 4 TORSIÓN CIRCULAR RECTA 5 MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL 6 ECUACIÓN DE DEFORMACIÓN 6 ECUACIÓN DE RESISTENCIA 7 CÁLCULO DE ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN 7 CÁLCULO DEL ÁRBOL EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO DE TORSIÓN 8 TORSIÓN DE ELEMENTOS DE SECCIÓN NO CIRCULAR 17 ENERGÍA POTENCIAL DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA EN TORSIÓN 18

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 28


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Solicitación por Torsión

Planteo del Problema del Torsión

Una sección está solicitada por torsión cuando, al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, sólo se obtiene un par que yace en el plano de la sección.

En este caso, las condiciones de equivalencia planteadas a partir del equilibrio de un sólido de alma llena resultan ser:

1

0

0

0

0

0

F

F

F

xzxyT

F

xz

F

xy

F

dFy

dFz

dFyzM

dF

dF

dF

Desarrollando las soluciones correspondientes a secciones para las cuales es válida la hipótesis de Coulomb, a saber:

Sección circular llena.

Sección circular hueca.

Secciones tubulares de pared delgada, simple y múltiplemente conexas.

La hipótesis de Coulomb establece que:

Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas, luego de la deformación por torsión.

Luego de la deformación, las secciones mantienen su forma.

Como corolario de lo anterior resulta que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida.

Finalmente, al girar las secciones manteniéndose planas, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande.

Admitamos por un momento la existencia de tensiones normales, o sea: x 0, de ser ello cierto, la

distribución de las tensiones normales sobre la sección no podría ser uniforme, porque en tal caso resultaría:

00 F

xx dFcte

y no se satisfaría la primera de las ecuaciones (1). Para que ello ocurra, x debería ser variable, su

distribución simétrica con respecto al centro de la sección y, además tendría que haber cambio de signo

de las tensiones. Pero, de ser así, las deformaciones específicas no serían constantes, la sección se

alabearía y no cumpliría con la primera de las premisas de la hipótesis de Coulomb. Por ello, deberá



cumplirse que: x = 0. Con ello, la primera, quinta y sexta de las ecuaciones (1) resultan idénticamente

nulas.

Sea ahora una sección circular de un sólido prismático de radio R solicitado por un par torsor MT. Hemos visto que en la sección sólo se originan tensiones tangenciales que deberán satisfacer las ecuaciones (1). Para ello, es necesario que exista una distribución antimétrica de las tensiones a lo largo de los diámetros de la sección.

Admitamos por un momento una distribución de tensiones a lo largo de un diámetro como la que muestra la figura (a).

De acuerdo con esta hipótesis sobre la cara superior del cubo infinitésimo en correspondencia con el

punto B del diámetro considerado, actúa una tensión, de dirección oblicua con respecto al radio.

Dicha tensión puede descomponerse en xy normal al radio y xz dirigida según éste último. Pero, de

acuerdo con el teorema de Cauchy, esta tensión daría origen a una tensión zx en la cara externa del

cubo, debiendo ser: xzzx .

Ahora bien, como por hipótesis la superficie exterior del cilindro se encuentra libre de cargas exteriores, el equilibrio del sistema exige que:

xyxzzx 0

es decir que, para el punto B la tensión tangencial debida al par torsor debe ser normal al radio. En consecuencia, en el elemento inmediato y en todos los sucesivos, las tensiones tangenciales necesariamente deben ser normales al radio.

De lo visto, llegamos a que:

Sólo existen tensiones tangenciales.

Su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica.

Su dirección es normal al radio.

Tensiones Principales

Sea un cubo elemental ubicado en el borde de una sección circular sujeta a torsión cuyo eje coincide con el eje coordenado x. De acuerdo a lo que hemos visto, en las caras superior e inferior existen tensiones



xy que originan, conforme al teorema de Cauchy en las caras laterales las correspondientes tensiones

yx, encontrándose libres de tensiones las caras anterior y posterior.

Esta situación se repite para todos los puntos de la superficie del

cilindro, pero con valores ij

decrecientes para los puntos ubicados sobre cilindros interiores concéntricos. Es decir, que todos los puntos del cilindro se encuentran sujetos al estado plano de tensión que se denomina de resbalamiento simple y que se caracteriza por:

xyyx

zx

0

Para este estado de tensiones, las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario, e iguales al valor común de las tensiones tangenciales, o sea:

xyyx 21 y actúa en planos a 45º con los planos de las secciones. (Ver punto 6. “Relación entre Tensiones y Deformaciones” del TP N° 2 “Estados de Tensión y Deformación”).

Torsión Circular Recta

Un sólido trabaja a torsión simple si las fuerzas exteriores situadas a la izquierda de una sección S se reducen a una cupla situada en el plano S. El momento MT de la cupla se denomina momento torsor.

Los árboles de transmisión, los árboles motores de máquinas, etc. Son ejemplos de piezas sometidas a torsión. En lo que sigue limitaremos el estudio de la torsión a la torsión circular recta, es decir a secciones que cumplen con las hipótesis de Coulomb.

Bajo la acción del momento torsor MT se constata que:

El eje geométrico sigue recto.

Las restantes fibras longitudinales se transforman en hélices.

Cualquier sección recta S permanece plana y perpendicular al eje geométrico. Solamente experimenta, en conjunto, una rotación en trono del centro O.

Consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo de giro

relativo entre ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este

ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión”. Podemos observar que:



1'AA

además:

RR

RRBB

RR

RR 1'

El ángulo resulta ser el “ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo

θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer ≈ tg .

De acuerdo a la ley de Hooke:

GGR

G R

Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:

RG max

En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas

de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo φ se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la

suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza.

l

Módulo de Elasticidad Transversal

La deformación manifiesta la presencia de fuerzas tangenciales y conforme a resultados

experimentales, puede establecerse entre las deformaciones por torsión y tensiones de corte , una

proporcionalidad lineal:

2 GG

El coeficiente G (kg/cm2) se denomina módulo de elasticidad transversal. Los coeficientes G y E están vinculados por la siguiente relación:

aceroelpara3,0con385,0

12

E

EG

Las tensiones de torsión son proporcionales a la distancia al

centro de la sección; por consiguiente adquiere su máximo valor

en las fibras exteriores del sólido y es nula en el centro.

Ecuación de Deformación

Consideremos un elemento de área dA situado a la distancia

del centro de la sección. La fuerza interior que actúa en él vale

. dA y su momento respecto de O1 es . . dA.



Para equilibrar el momento torsor MT debe ser:

dAM

dA

dAT

:Momento

:Fuerza

con = G. . θ

torsión)de (ángulo

pero

0

0

0

22

JG

MJGM

JdAdAGdAGM

TT

T

Ecuación de Resistencia

Reemplazando en la ecuación (2), el valor del ángulo de torsión () se tiene:

00 J

M

JG

MGG TT

ecuación sólo válida para secciones circulares, y siendo:

32

4

0

DJ

(Momento Polar para secciones circulares llenas)

se tiene:

44

232

R

Mó

D

M TT

La máxima tensión de torsión corresponde a la capa de fibras exteriores, o sea para 2

D , luego:

3max3max

216

R

Mó

D

M TT

o bien:

RGóDG

maxmax2

Cálculo de Árboles de Transmisión

En la transmisión de fuerza por medio de árboles la torsión resulta del antagonismo entre la cupla motora y la cupla resistente. Así será:

33

1616

Adm

TTAdm

MD

D

M

que fija el diámetro mínimo para resistir un momento torsor MT. Si la potencia (N) se expresa en HP y la frecuencia (n) en rpm, será:



seg

radny

seg

cmkgNP

307500

y siendo:

n

NPMMP TT 71620

cmn

ND

Adm

37162016

Para árboles huecos resulta:

44

44

0

32

32 dDG

My

dDJ T

D

dmcon

m

MDy

mD

M

Adm

TT

3

443max1

16

1

16

Cálculo del Árbol en función del Ángulo de Torsión

A raíz de las vibraciones que produce la torsión en árboles largos, es necesario impedir la resonancia. La práctica demuestra que se logra mantener bastante altas las frecuencias de las oscilaciones propias

evitando que el ángulo de torsión exceda 1º/4 por cada metro de longitud.

cm

º

400

1º

para introducir esta limitación y evitar problemas de resonancia, debemos proceder como sigue:

º180

º

º360

º

2

y siendo:

000

180º

º180

º

JG

M

JG

M

JG

M TTT

introduciendo el valor de y despejando J0 se tiene:

32

180400 4

00

DJcomoy

G

MJ T

42

18040032

G

MD T

y para G = 800.000 kg/cm2, resulta:

rpmn

HPNcon

n

ND 412

Para árboles huecos será:

D

dmcon

mG

MD

mDJ T

4

42

44

01

18040032

32

1



Problemas de aplicación

Ejercicio I: Dado la barra cilíndrica de acero sometida a torsión simple, mostrada en la figura cuyos datos se indican, se solicita:

1. Determinar la tensión tangencial máxima y el ángulo de torsión total.

2. Determinar mediante la circunferencia de Mohr los planos principales y sus respectivas tensiones

para un punto del contorno externo de la sección.

Datos: adm = 9 KN/cm2; D = 5 cm; L = 250 cm; MT = 185 KN/cm2; G = 8x103 KN/cm2

Resolución:

1) Determinación de la tensión tangencial máxima (max) y del ángulo de torsión ()

a) Calculo de la tensión tangencial máxima (max)

La tensión tangencial máxima se determina mediante la siguiente expresión:

16

2

32

2

con34

00

0

max

D

D

D

D

JW

W

MT

Siendo:

MT = momento torsor

W0 = módulo resistente polar

D = diámetro de la sección de la barra

J0 = momento de inercia polar

Reemplazando valores se tiene:

233

0

max 54,75

1851616

cm

kN

cm

cmkN

D

M

W

M TT

b) Calculo del ángulo de torsión ()

El ángulo de torsión total para una longitud L de la barra será:

180

0 GJ

LMT

Reemplazando valores se tiene:



425

180

10832

5

250185180

32 2

3

44

cm

kNcm

cmcmkN

GD

LMT

Las magnitudes calculadas se muestran en la figura:

2) Determinar mediante la circunferencia de Mohr los planos principales y sus respectivas

tensiones (I y II) para un punto del contorno externo de la sección.

Practicando un corte como el indicado puede observarse lo siguiente:

Las tensiones para un punto tal como el A para esos dos planos ortogonales serán:



2max2max 54,7y54,7cm

kN

cm

kNzttz

La circunferencia de Mohr se muestra en la figura:

Como puede observarse, los planos principales son bisectores (0 = 45°) respecto de los planos principales de corte, que son los de referencia. Además en valor absoluto se cumple que:

2maxmax 54,7cm

kNtzztIII

Ejercicio II: Calcular un árbol de transmisión como el de la figura, con dos apoyos y tres poleas. La polea 2 recibe 100 HP, mientras que la polea 1 toma 40 HP y la polea 3 toma 60 HP. El número de revoluciones es de 175 rpm. Adoptar una tensión

admisible Adm = 120 kg/cm2 y un valor de G = 840.000 kg/cm2.

Resolución:

Los momentos serán:

cmkgn

NM 400.1671620

1

11



cmkgn

NM

cmkgn

NM

600.2471620

000.4171620

3

33

2

22

siendo el tramo más solicitado el tramo de la derecha, tomaremos para dimensionar N = 60 HP y M3 = 24600 kg.cm

cmM

DAdm

1016

33

y siendo:

cm

rad

DG

M

cm

kgG

DJ

JG

MT

000029,032

000.840;32

;

4

3

2

4

0

0

Ejercicio III: Las dos barras de la figura están vinculadas por dos engranajes E1 y E2 en sus extremos “B” y “C”. La barra AB tiene aplicado un momento torsor en su extremo “A” y está soportada verticalmente e “E” y “F”. Estos apoyos le permiten girar libremente alrededor de su eje. La barra CD está empotrada espacialmente en el extremo “D”. Los diámetros de cada una de las barras es de 1” (d = d1 = d2 = 1” = 25,4 mm). Se pide determinar:

a) El ángulo de torsión del punto o extremo “A”.

b) La reacción en el extremo “D”.

Resolución:

a) Cálculo de las reacciones de vínculo:

El engranaje B del eje conductor AB transmite, por medio de la rueda B, al engranaje C del eje conducido CD una fuerza F que podemos calcular como sigue:

1

1R

MFRFM t

t

y el par transmitido al eje conducido será:

2

1

2 RR

MMRFMM t

DDC

b) Cálculo del ángulo torsión absoluta del punto A:



El ángulo de torsión absoluta lo obtenemos calculando el ángulo de torsión absoluta del eje AB, el giro que transmite la rueda B a la rueda C y el ángulo de torsión absoluta del eje conducido CD.

Así, el ángulo de torsión absoluta del eje CD resulta:

24

2

2

0

4

2

24

20

0

2

32

32

32

2

LdG

M

dxdG

M

dJ

dxJG

M

D

L

D

D

el giro que transmite la rueda C a la B es:

1

2211122

R

RRR

el ángulo de torsión absoluta del eje conductor AB será:

14

10

4

14

10

0 3232,

32

1

LdG

Mdx

dG

M

dJ

dxJG

M

tAB

L

tAB

tAB

por lo que el ángulo de torsión absoluta del punto A resulta ser:

14

1

2

1

3

2

1

3232L

dG

ML

ddG

M tDAABA

Ejercicio IV: De acuerdo con los datos indicados en la figura y para la relación K establecida, se desea

reemplazar un árbol de sección circular maciza por otro de sección anular (anillo circular) del mismo material, que sea capaz de transmitir el mismo momento torsor MT. Se solicita determinar:

1) La relación entre ambos diámetro exteriores (De/D).

2) La economía de material (peso) que se logra.



Resolución:

1) Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D)

a) Para la sección circular maciza será:

16

2

32

2

con34

00

0

max

D

D

D

D

JW

W

MT

Siendo:

MT = momento torsor

W0 = módulo resistente polar de una sección circular maciza

D = diámetro de la sección maciza

J0 = momento de inercia polar

b) Para la sección anular (anillo circular) será:

4

3

4

3

max

11

16

1

16

KD

M

D

DD

M

e

T

e

ie

T

Siendo:

MT = momento torsor

De = diámetro exterior de la sección anular

Di = diámetro interior de la sección anular

K = relación de diámetros (De/D)

Para poder reemplazar una sección por otra, debe cumplirse que ambas secciones tengan las mismas tensiones tangenciales máximas:

adm

e

TT

KD

M

D

M

4

3

3max

11

1616

Reemplazando valores:

0217,10217,19375,01

1

3

3

34

3

D

DD

D

K

DD e

e

2) Cálculo de la economía del material

a) Área de la sección maciza:

4

2DFM



b) Área de la sección anular:

222

222 11

41

44 K

D

D

DDDDF e

e

ieieA

y siendo: 0217,1

D

De

2221

14

0217,1

K

DFA

y la relación entre áreas resulta:

2773,11

10217,1

1

11

4

0217,1

42

2

222

2

KK

D

D

F

F

A

M

Lo que nos dice que:

%71,21ahorro%29,787829,02773,1 MAMAAM FFFFFF

Ejercicio V: Para el sistema de la figura se pide calcular:

a) Reacciones de vínculo.

b) Diagrama de tensiones tangenciales máximas.

c) Diagrama de los ángulos absolutos de torsión.

d) Diagrama de momentos torsores.

Resolución:

a) Cálculo de las reacciones de vínculo:

Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:

ETTA

EATT

T

MMMM

MMMM

M

21

210

0

Además, el ángulo absoluto de torsión para el punto C deberá ser el mismo viniendo tanto por derecha como por izquierda, por ello resulta:

EC

TEETAAAC dx

JG

MMdx

JG

Mdx

JG

MMdx

JG

M

2

2

21

1

1 0000

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas MA y ME.



Ejercicio VI: Sea un acoplamiento para conectar dos ejes macizos como se observa en la figura cuyos diámetros D son iguales. En dicho acoplamiento se emplean cuatro pernos de diámetro d repartidos en una circunferencia de radio Rc. De acuerdo con los datos se solicita calcular la potencia N que puede transmitir este mecanismo cuando gira a una velocidad n siendo la tensión tangencial admisible de los

pernos adm.

Datos: adm = 7 KN/cm2; D = 10 cm; d = 19 cm; RC = 10 cm; n = 150 rpm

Resolución:

a) Cálculo de la potencia N que puede transmitir el mecanismo

En la sección transversal del mecanismo se tienen tensiones

tangenciales zt distribuidas en cada uno de los cuatro pernos de diámetro d. Es decir, los mismos estarán sometidos a un esfuerzo de corte Q como se muestra en la figura.

Partiendo de:

admzt

Se tendrá en cada perno una fuerza de corte Q dada por:

admadm

dQ

dFFQ

44con

22

Siendo MT el momento torsor que producen dichas fuerzas Q para el total de los cuatro pernos:

CadmCadmTCT RdRd

MRQM

2

2

444

Por otra parte el monemto torsor MT que puede transmitir el eje, relacionado con la potencia N y el número de revoluciones n, está dado por la siguiente expresión:

CadmT Rd

n

N

rpmn

cvN

cv

rpmcmKNM

220,71620,716



cv

rpmcmcm

KNcm

nRdN Cadm 166

20,716

1501079,1

20,716

2

2

2

Torsión de elementos de sección no circular

1. Sección rectangular

Las secciones en barras de sección no circular, durante la torsión no permanecen planas, sino que se curvan (alabean).

Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre.

El cálculo de las tensiones tangenciales en las barras de sección no circular representa un problema que se resuelve por los métodos de la Teoría de la Elasticidad (tema de Estabilidad III). Exponemos a continuación los resultados fundamentales para barras de sección rectangular cuando a > b.

Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida para la rectangular, en un punto como el A (ver figura) debería existir una tensión

tangencial A perpendicular al radio vector rA, lo que

daría componentes zx y xy no nulas, apareciendo

tensiones xz y yz exteriores que contradicen la

hipótesis de torsión simple (superficie lateral descargada). La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular.

En la figura se indica la ley de variación de las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del lado mayor.

Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse en función del módulo resistente de la sección trasversal de la barra a

la torsión (WT) y del momento de inercia de la sección trasversal de la barra a la torsión (JT) mediante las siguientes expresiones.

maxmaxmax;;

32 zyzxT

T

TT

T

Tzy

Gba

M

GJ

M

ba

M

W

M

Los coeficientes , y , que son funciones de la relación de lados a/b, pueden leerse de la tabla:



En el caso de secciones circulares, JT coincide con J0 (momento de inercia polar de la sección) y WT coincide con el cociente entre J0 y en radio R de la sección. Para otras secciones distintas de las circulares, estos valores vienen tabulados.

2. Secciones abiertas de paredes delgadas

Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, propuesto por Prandtl (tema de Estabilidad III) y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del cobntorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = cte se podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular y como:

3

1

3

1

tsm

Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente Mt. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear:

Gba

Mb

ba

M

ii

Ti

jj

T

i

33

max

3

1;

3

1

Energía Potencial de la Deformación Elástica en Torsión

La energía potencial de la deformación elástica acumulada en la barra durante la torsión se calcula con la siguiente expresión:

dxJG

MU

T

T

2

2

Problemas de aplicación

Ejercicio VII: Para el sistema de la figura se pide calcular:

a) Construir el diagrama de momentos torsores.



b) La tensión tangencial máxima (max).

c) El ángulo de giro absoluto de la sección A respecto de la C (φA-C).

Datos: d = 4 cm; a = 40 cm, G = 8x105 kgf/cm2; φB-C = 1°

Resolución:

a) Construimos el diagrama de momentos torsores:

Para ello calculamos en el momento empotramiento MC:

MMMMMMM CCT 20320

b) Calculamos el valor del momento torsor (M):

Del ángulo de giro de la sección B respecto de la C se obtiene:

CBCBCB TTT

CBradianesCBJG

aM

JG

aM

JG

aM

32

1801801

180

Como se trata de un tramo donde la sección es cuadrada, de tablas se obtiene para:

444

333

096,364141,0

312,134208,0

141,0

208,01

cmcmdJ

cmcmdW

badba

CB

CB

T

T

y el momento será:

cmkgfcm

cmcm

kgf

a

JGM CBT

4200

401803

096,36108

1803

4

2

5

Por su parte, para el tramo de sección circular será:

3

33

0

4

44

0

566,1216

4

16

2

133,2532

4

32

cmcmd

d

JW

cmcmd

JJ

BA

BA

T

T



c) Calculamos de la tensión tangencial máxima (max):

La sección más comprometida serán las correspondientes al tramo de sección circular dado que es la que soporta el momento torsor máximo MTmax=3M y posee un módulo resistente de la sección trasversal de la barra a la torsión (WT) menor. Por lo tanto será:

23

maxmax 1003

566,12

420033

cm

kgf

cm

cmkgf

W

M

W

M

BABA TT

T

d) Calculamos del ángulo de giro de la sección A respecto de la C (φA-C):

El ángulo de giro de la sección A respecto de la C lo calculamos como sigue:

87,387,21180

133,25108

402420031

180231

4

2

5

cmcm

kgf

cmcmkgf

JG

aM

CA

T

BACBCA

BA

Ejercicio VIII: Dadas dos barras de acero que poseen igual área, siendo una de ellas e sección circular y la otra de sección rectangular, las cuales soportan pares torsores equivalentes y cuyos datos se indican en la figura, se solicita determinar:

1. Las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas.

2. Los ángulos de rotaciones específicos y las relaciones entre los mismos.

3. Las tensiones tangenciales máximas que ocurren en el lado menos de la sección rectangular.

Datos: D = 4 cm; MT = 60 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2

Resolución:

1) Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas

a) Barra de sección circular maciza

La tensión tangencial máxima será:



23max3max 77,44

601616

cm

KN

cm

cmKN

D

MCC

T

b) Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)

Siendo ambas barras de igual área será:

cmh

cmb

Dbbb

DFF RC

5

5,2

82

4

22

En este caso la tensión tangencial máxima max(R) ocurrirá en el punto medio R del contorno externo del lado mayor h como se observa en la figura:

*max

T

T

W

MR

Siendo WT

* el módulo resistente polar equivalente

2* bh

WT

Siendo un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que se obtiene de tablas:

Para h/b = 2 será:

795,0

37,4

07,4

y reemplazando valores:

23*max

3

2

*

81,768,7

60

68,707,4

5,25

cm

KN

cm

cmKN

W

M

cmcmcm

W

T

T

T

R

c) Relación entre ambas tensiones

64,1

77,4

81,7

2

2

max

max

cm

KN

cm

KN

K

C

R



Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) la tensión tangencial máxima en la sección rectangular es aproximadamente un 64% superior a la correspondiente a la sección circular.

2) Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre ambos

a) Barra de sección circular maciza

El ángulo de torsión específico será:

cm

rad

cmcm

KN

cmKN

DG

M

JG

M TTC

3

4

2

34

0

102984,0

4108

603232

b) Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)

*

t

TR

JG

M

Siendo JT

* el módulo de inercia polar equivalente

3* bh

JT

Siendo un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que se obtiene de tablas y reemplazando valores:

cm

rad

cmcm

KN

cmKN

JG

M

cmcmcm

J

T

TR

T

3

4

2

3*

4

3

*

104195,0

88,17108

60

88,1737,4

5,25

c) Relación entre ambos ángulos de torsión específicos

41,1

102984,0

104195,0

3

3

cm

rad

cm

rad

KC

R

Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aproximadamente un 41% superior a la correspondiente a la sección circular.

3) Cálculo de la tensión tangencial máxima en el lado menor de la sección rectangular

Como se observa en la figura, la tensión tangencial

máximamax(K) en el lado menor b de la sección rectangular está ubicado en el punto medio K y está dado por la siguiente relación:



*maxmax

T

T

W

MRK

y reemplazando valores:

23max 21,668,7

60795,0

cm

KN

cm

cmKNK

Ejercicio IX: Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos:

1. Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas

2. Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones

Datos: Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2

Resolución:

1) Cálculo de las tensiones tangenciales

a) Barra de contorno abierto

La tensión tangencial máxima será:

22max

2max

55,918,62

2003

8,621022siendo3

cm

kN

cmcm

cmkN

cmcmRSeS

M

A

A mT

b) Barra de contorno cerrado

Siendo el área encerrada por el contorno medio; la tensión tangencial máxima será:



22max

222

max

3185,013142

200

31410siendo2

cm

KN

cmcm

cmKN

cmcmRe

M

C

C mT

2) Relaciones entre ambas tensiones tangenciales máximas

La relación entre ambas tensiones tangenciales será:

30

3185,0

55,9

2

2

max

max

cm

kN

cm

kN

KC

A

3) Cálculo de los ángulos específicos de torsión

a) Barra de contorno abierto

Siendo S la longitud del contorno medio de la sección; el ángulo específico de torsión será:

cm

rad

cmcmcm

kN

cmkN

cmcmRSeSG

M

A

mT

A

3

3

2

3

3

10194,1

18,62108

2003

8,621022siendo3

b) Barra de contorno cerrado

Siendo el área encerrada por el contorno medio de la sección; la tensión tangencial máxima será:

cm

rad

cmcmcm

kN

cmkN

eRG

M

e

R

RG

M

RSRS

e

G

M

C

m

Tm

m

TC

mmT

C

3

3

2

3

342

2

2

10004,0

1101082

200

2

2

4

2ysiendo4

4) Relaciones entre ambos ángulos específicos de torsión

La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será:

30057,298

10004,0

10194,1

3

3

cm

rad

cm

rad

KC

A

Como se observa, para el problema planteado max (A) es 30 veces superior a max (C), mientras que (A) es

300 veces superior a (C). Como conclusión, a igualdad de condiciones, la rigidez de a la torsión de un



anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con una pequeña ranura a lo largo de su generatriz. Se deduce, entonces, la conveniencia de utilizar secciones anulares cerradas en lugar de abiertas.

Ejercicio X: Dado el perfil de hacer que se observa en la figura, el cual se encuentra empotrado en su

extremo izquierdo y cargado en el derecho con la carga P actuante en el punto A. Se solicita determinar por efecto del par torsor:

1. Las tensiones tangenciales máximas que se general en las alas y en el alma del mismo.

2. El ángulo de torsión total ().

3. Asumiendo la misma longitud para el contorno medio y que tanto el par torsor como el ángulo total

de torsión sean los oportunamente calculados en los puntos (1) y (2), determinar la magnitud del

espesor e del perfil en el caso que el mismo fuese constante (e1 = e2 = e3 = e).

Datos: h = 26 cm; b1 = 18 cm; b2 = 14 cm; e1 = 1 cm; e2 = 0,4 cm; e3 = 0,8 cm; l = 80 cm; P = 5 KN; G = 8x103 KN/cm2

Resolución:

1) Cálculo de las características geométricas de la sección

a) Cálculo del baricentro de la sección:

Con referencia a la figura se tiene:

333222111 ;;;;; yxGyxGyxG

cmh

cmeehh

6,24

4,0126

3

213

2

111 18118 cmcmcmebF

2

222 6,54,014 cmcmcmebF

2

333 68,198,06,24 cmcmcmebF

2

321

3

1

28,43 cmFFFFFi

i



cmcmb

ebx 2,222

188,014

2

1321

cmcme

hy 5,252

126

2

11

cmcmb

x 72

14

2

22

cmcme

y 2,02

4,0

2

22

cmcme

bx 6,132

8,014

2

323

cmcmeh

y 7,124,02

6,24

22

33

b) Cálculo de xG:

cmcmcmcm

cmcmcmcmcmcmx

FFF

xFxFxF

F

xF

x

G

i

i

i

ii

G

32,1668,196,518

6,1368,1976,52,2218222

222

321

332211

3

1

3

1

c) Cálculo de yG:

cmcmcmcm

cmcmcmcmcmcmx

FFF

yFyFyF

F

yF

y

G

i

i

i

ii

G

41,1668,196,518

7,1268,192,06,52,2518222

222

321

332211

3

1

3

1

d) Cálculo del contorno medio:

cmSSSSS

cmcmcm

cmee

hS

cmcm

cme

bS

cmcm

cme

bS

i

i 50,56

3,252

4,0

2

126

22

6,132

8,014

2

6,172

8,018

2

321

3

1

213

322

311



e) Cálculo del momento de inercia polar equivalente:

4

333

*

3

33

3

22

3

11

3

1

3

*

47,103

8,03,254,06,1316,17

33

cmcmcmcmcmcmcm

J

eSeSeSeS

J

t

i

ii

t

2) Cálculo del momento torsor

cmkNM

cmcmcmcmkNxbebPM

t

Gt

40,74

32,16188,0145132

3) Cálculo de las tensiones tangenciales máximas

a) Ala superior del perfil

241*1max 11,7147,10

40,74

cm

kNcm

cm

cmkNe

J

M

t

t

b) Ala inferior del perfil

242*2max 84,24,047,10

40,74

cm

kNcm

cm

cmkNe

J

M

t

t

c) Alma del perfil

243*3max 68,58,047,10

40,74

cm

kNcm

cm

cmkNe

J

M

t

t

4) Cálculo del ángulo de torsión total

404

18007106,0

07106,0

47,10108

8040,74

4

2

3*

radrad

rad

cmcm

kN

cmcmkN

JG

lM

t

t

5) Cálculo del espesor e constante

Siendo:

cm

radcmcm

kN

cmcmkN

SG

lMe

eSG

lMeSJ

JG

lM

t

tt

t

t

82,0

07106,050,56108

8040,7433

3resulta

3con

3

2

3

3

3

3*

*



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Estabilidad II - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros

Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Mecánica de materiales - F. Beer y otros

Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler

Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros

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Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana

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Solicitación por torsión