View
447
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
UNI 1995
1
debido a que su negación
{ }
4
a , a
0
÷ ¬ e e Z N es VERDADERA.
III) VERDADERA :
n , e / n+e ¬ e ¬ e e N Z N
debido a que:
* Si eeZ entonces e ÷ eZ ; haciendo
n= e, n+e=0 ÷ eN
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 5:
De los 504 primeros números naturales
¿cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7?
A)480 B) 408 C) 264 D)288 E) 272
RESOLUCIÓN
*De { } A= 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .... ; 504 tenemos :
504
* 3 : 168
3
504
* 7 : 72
7
504
* 21: 24
21
¬
¬
¬
Cantidad de números son
Cantidad de números son
Cantidad de números son
* Gráficando tenemos :
288
3(168) 7(72)
°
°
7(72)
U(504)
144 48
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 6:
Sea N el mayor número de 4 cifras que
al dividirlo por 4 ; 6 ; 9 ;11 y 12 se
obtienen restos iguales. Luego , la suma
de las cifras de N es
A)17 B) 18 C) 20 D)21 E) 23
RESOLUCIÓN
* Nos dicen :
(4;6;9;11;12)
4+r
6+r
N=MCM +r
N
6+r
N=396+r
11+r
12+r
1
1
1
1
¬
1
=
'
1 ¬
1
1
1
1
*Luego el máximo
396
°
de 4 cifras es
×256 396 =9900
r puede ser 0 ; 1 ; 2 ; 3
max
MÁXIMO
r =3
N =9900+3=9903
¬
¬
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 7:
Si a/b y c/d son dos fracciones
irreducibles tales que su suma es un
número entero, entonces podemos
afirmar que :
A)a=c B)b =d C)a=d D)b=c E)a=b
RESOLUCIÓN:
*Dado que
a c
b d
y
son irreductibles ,
PROBLEMA 1 :
La raíz cubica en base “n” de (n) 8c61 es :
NOTA: c= 12
A) 11 B) 12 C) 21 D) 13 E) 15
RESOLUCIÓN :
* Por descomposición polinómica :
3 2
3 2 2 3
(n)
8n +12n +6n + 1
(2n) +3(2n) ×1+3(2n)×1 +1
(2n +1)
3
= (21 )
3
* Piden :
3
3
(n) (n)
(21 ) = 21
RPTA: “C”
OBSERVACIÓN :
NÚMERO , palabra o símbolo utilizado
para designar cantidades o entidades que
se comportan como cantidades.
Los números se agrupan en conjuntos o
estructuras diversas; cada una contiene
a la anterior y es más completa que ella
y con mayores posibilidades en sus
operaciones. Se enumeran a
continuación.
ARITMÉTICA, literalmente, arte de
contar. La palabra deriva del griego
arithmetike, que combina dos palabras:
arithmos, que significa ‘número’, y
techne, que se refiere a un arte o
habilidad.
Los números usados para contar son los
naturales o enteros positivos. Se obtienen
al añadir 1 al número anterior en una
serie sin fin. Las distintas civilizaciones
han desarrollado a lo largo de la historia
diversos tipos de sistemas numéricos.
Uno de los más comunes es el usado en
las culturas modernas, donde los objetos
se cuentan en grupos de 10. Se le
denomina sistema en base 10 o decimal.
PROBLEMA 2 :
Una fracción irreductible tiene la siguiente
propiedad. Al sumar 5 unidades a su
numerador y 9 unidades a su
denominador, la fracción no cambia de
valor . La suma de sus términos es:
A) 14 B) 27 C) 33 D) 55 E) 44
RESOLUCIÓN :
*Plantearemos
p 5 p 5 p
pq 5q pq 9q 5q 9p
q 9 q 9 q
+
= ÷ + = + ¬ = ¬ =
+
* Piden : 5 + 9 = 14
RPTA: “A”
NÚMEROS RACIONALES : Son los que
se pueden expresar como cociente de dos
números enteros. El conjunto Q de los
números racionales está compuesto por
los números enteros y por los
fraccionarios. Se pueden sumar, restar,
multiplicar y dividir (salvo por cero) y el
resultado de todas esas operaciones en-
tre dos números racionales es siempre
otro número racional.
PROBLEMA 3 :
Considere los tres menores números
naturales consecutivos de tres cifras cuya
suma es un cuadrado perfecto. La menor
cifra del meyor de estos tres números es :
A) 1 B)90 C) 4 D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN :
* Sean los números consecutivos , menores po-
sibles, de tres cifras :
abc - 1 ; abc : abc + 1
* Datos :
2
2
( abc+1) + abc + ( abc+ 1) = k
* Como (I) es un cuadrado perfecto , se
tendrá que :
2
abc = 3p ................................(II)
Por dato : abc es el menor posible :
* Luego :
100 < abc ....................(III)
* Reemplazando (III) en (II) : 100 < 3p
2
,
de donde : p = 6 ;7 ; 8 ;...............
* El menor es : p=6 ; luego en (II) :
2
abc= 3(6) = 108
* El mayor de los tres números es :
abc+1 =109
La menor cifra de este número es cero .
RPTA: “B”
Cuadrado (aritmética), de un número a,
es el resultado de multiplicar dicho
número por sí mismo: a
2
= a × a
Análogamente se define el cuadrado de
una expresión algebraica.
El resultado de elevar al cuadrado un
número natural es otro número natural
al que se llama cuadrado perfecto. Los
15 primeros cuadrados perfectos son 1,
4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81 ;100 ;121
; 144 ;169 ;196 y 225.
PROBLEMA 4:
Determine el valor de verdadero (V) o
falso (F) de las siguientes proposiciones.
I) Para cada aeZ y para cada b e N ;
a b ( ) ÷ ÷ e Z N
4
a eN
III) Para cada neN ; existe eeZ tal que
n+ee N
A)FFF B) FFV C) FVV D)VVV E) VFF
RESOLUCIÓN:
* Analizando cada proposición , se tendrá
que :
I) FALSA: a b ; (a b) ( ¬ e ¬ e e ÷ ÷ ) . N Z N Z
Contraejemplo :
Si: a=10 b=1 .
{ } (a b) ( =
0
e
÷
÷ ÷ ) ¬ N Z Z
II) FALSA:
{ }
4
a / a
0
¬ e e ÷ Z N
2
entonces son PESI , lo mismo c y d :
a c
+ = k ; k ad + bc = bdk
b d
e ¬ Z
* Aplicando módulo (b): ad+b=b
° °
ad=b d=b ...............( ) o ¬
* Aplicando módulo (d):
° °
d+bc =d
bc = d b = d ............( ) þ ¬
* Ahora (o) y (þ): b=d
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 8:
¿Cuántas de las proposiciones siguientes
son verdaderas?
2
2
2
2
2
I) x >1 x>1
II) x>1 x >1
III) x 1 x 1
IV) x 1 x 1
V) x 1 x 1
÷
÷ ÷
¬
¬
< ¬ <
> ¬ >
< ¬ <
Si :
Si :
Si :
Si :
Si :
A)1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
RESOLUCIÓN:
*Analizando proposición por proposición
, tendremos :
I) FALSA:
2
x 1 1 x 1 x<
x
÷1 > ¬ > ¬ > .
II) VERDADERA:
x 1 x 0 x 0 ÷ ÷ > ¬ > ¬ s
entonces :
2
x 1 x 1 ÷ > ¬ >
III) FALSA:
2
x 1 x 1 ÷ < ¬ >
IV) VERDADERA:
2
x 1 x 1 > ¬ >
V) VERDADERA:
2
x 1 x 1 x 1 ÷1< < ¬ < ¬ <
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 9:
Sean d=M. C. D. (2; 3; 4;.. .; n) y
m=M.C.M.(2 ; 3 ; 4 ;...;n). Si N es un
número tal que al dividirlo por n da
residuo n–1 , al dividirlo por n–1 da
residuo n–2 , al dividirlo por n–2 da
residuo n–3 y así sucesivamente hasta
que al dividirlo por 2 da residuo 1,
entonces N es igual a:
A)m+1 B)d 1 C)m 1 D)2m E)d+1 ÷ ÷
RESOLUCIÓN:
*Se sabe que :
E E
N = n+ r = n r ; r + r = n
o o
÷
*Luego :
| |
- 1
N=n 1
N=n 1 1
N=n 2 1
N= 2 1
N= MCM 1 n;(n- 1);(n- 2); ...; 2
N=m
÷
÷ ÷
÷ ÷
÷
÷
¬
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 10:
Un postulante desea resolver la
desigualdad x 1 ÷ < y para ello realiza
los siguientes pasos :
x 1 ÷ <
| paso N°1
|
paso N 2 °
( )
2
1
x ÷
<
|
paso N° 3
( )
2
1 x ÷ <
|
paso N° 4
2
x 1 <
x 1 <
Entonces se puede afirmar que :
A) el paso N° 1 es correcto.
B) el paso N° 2 es incorrecto.
C) el paso N° 3 es incorrecto.
D) el paso N° 4 es incorrecto.
E) todos los pasos son correctos.
RESOLUCIÓN:
* Por C.V.A.(conjunto de valores admisibles)
: x 0 x 0 ÷ > ¬ s
( )
2
2
2
1 : x 1 ......
2 : 1...... x
3 : x 1 ......
4 : 1...... x
÷
÷
<
<
<
<
Paso correcto
Paso correcto
Paso correcto
Paso esto es correcto....pero dice : x<1
* Entonces el paso falso es el 4.
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 11:
En una joyería se sabe que el precio de
cualquier diamante es proporcional al
cuadrado de su peso y que la constante
de proporcionalidad es la misma para
todos los diamantes. Un diamante que
cuesta 360 000 dólares se rompe en dos
partes, de las cuales el peso de una de
ellas es el doble de la otra. Si las dos
partes son vendidas entonces podemos
afirmar que :
A) se perdió 140 000 dólares
B) se ganó 160000 dólares
C) se perdió 160 000 dólares
D) se ganó 200 000 dólares
E) no se ganó ni se perdió
RESOLUCIÓN :
*Se deduce que :
(Precio del diamante) D.P.(Cuadrado de
su peso)
Precio del diamante
= cte.
Cuadrado de su peso
¬
* Sea el peso como 3 , tenemos :
1 2 1 2
2 2 2 2 2
P P P +P 360000 Pérdida
= = = =
4 3 1 2 1 +2
¬Se pierde 160 000 dólares.
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 12:
Un artefacto que cuesta 25 000 nuevos
soles se desvaloriza uniformemente a
razón de 2500 nuevos soles al año. Una
persona que deséa comprado deposita
12 500 nuevos soles al 4% de interés
simple. ¿Dentro de cuánto tiempo podrá
adquirir dicho artefacto?
A) 7 años, 5 meses B) 3 años, 1 mes
C) 2 años, 4 meses D) 5 años, 3 meses
E) 4 años, 2 meses
RESOLUCIÓN:
INTERÉS, pago realizado por la utilización
del dinero de otra persona. En Economía,
se considera, más específicamente, un
pago realizado por la obtención de capital.
Los economistas también consideran el
interés como la recompensa del ahorro,
es decir, el pago que se ofrece a los
individuos para que ahorren, permitiendo
que otras personas accedan a este
ahorro. Para la teoría económica, el
interés es el precio del dinero.
* Sea T : tiempo en años dentro del cual
se podrá adquirir el artefacto.
* Se cumple :
| | 25 000 2 500 T=12 500 1+4%T ÷ ×
* Compra desvalorizada monto:
T=25/6 años<> 4 años, 2 meses
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 13:
Se reparte el número 145 800 en partes
proporcionales a todos los números pares
entre 10 y 98( y ellos inclusive). ¿Cuánto
le toca a la 72 ava proporción?
A) 4 420 B) 4 200 C) 4 226 D) 4 320 E) 4 500
RESOLUCIÓN:
* según enunciado , plantearemos lo
siguiente :
1 2 3 4 44 45
P
1 2 3 45
P P P P P P
= = = = = =
10 12 14 16 96 98
P P +P ... P 145800
=
(10+98)
10+12+14+...+98
45
2
· · ··
+ + +
¬
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
* Piden la parte que le corresponde al
índice de valor 72 :
P 145800
= P =4320
(10+98)
72
45
2
¬
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 14:
Dos campesinas llevan al mercado 100
manzanas, una de ellas tenía mayor
número de manzanas que la otra; no
obstante ambas obtuvieron iguales
sumas de dinero. Una de ellas dice a la
otra: Si yo hubiese tenido la cantidad de
manzanas que tú tuviste, y tú la cantidad
de manzanas que yo tuve, hubiésemos
recibido respectivamente 15 y 20/3 soles.
¿Cuántas manzanas tenía cada una?
A)30 y 70 B)35 y 65 C)40 y 60 D)45 y 55 E)48 y 52
RESOLUCIÓN:
*De acuerdo al enunciado , tenemos:
y
x 1ra. persona
2da. persona
15/y
20/3x
#MANZANA
*Como ambos tienen la misma suma de
dinero , entonces :
15 20
x =y
y 3x
x y 100
= = x=40 ; y=60
2 3 5
| } | }
] ]
\ ¹ \ ¹
¬ ¬
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 15:
Si:
2
2
w (x z ( x x
= , x y
y w)( y z) y
÷ ) ÷ )
÷ ÷
=
(
se puede demostrar que:
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
A) z +w =y +x B) x +w =y +z
C) x +w =y +z D) =z +w yz
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
RESOLUCIÓN:
*De la expresión dada , se obtiene :
2 2
2 2
2 2
( x w)( x z) ( y w)( y z)
=
x y
w z w z
1 1 = 1 1
y y x x
w z wz w z wz
1 + =1 +
x x y y x y
1 1 1 1 1 1
wz = w + z
x y x y x y
1 1 1 1
wz
x y x y
| } | } | } | }
¬
] ] ] ]
\ ¹ \ ¹ \ ¹ \ ¹
| } | } | }
] ] ]
\ ¹ \ ¹ \ ¹
| } | }
¬
] ]
\ ¹ \ ¹
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
+ ÷
1 1
x y
| }
=
]
\ ¹
÷ ( ) w z
1 1 1 1
= x + y = z +w
x y z w
÷1 ÷1 ÷1 ÷1
+
| }
¬ ¬
]
\ ¹
+ +
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 16:
Dadas las desigualdades :
2 2 3
x y +2(x 2)<0
( y 0; a 0 axy
÷
÷ 3) 1+ > <
Luego, podemos afirmar que x y ÷ es :
A) menor que -2 B) menor que 0
C) menor que 2 D) menor que -1
E) menor que 1
3
RESOLUCIÓN:
*De la primera inecuación :
( )
2 2 2 2 2 2 3 3
2 2 3
+
- 2) - 2<0 x<2...............
x y 0 x y +2 2 x y +2 2 >0
x y +2(x <0 x ( ) o
> ¬ > ¬ >
¬ ¬
,,,,,,,,,,,,,,,,.
*Ahora de la segunda inecuación :
1+ 0 axy >
.......(por definición)
*Luego :
( ) +
- 3) - 3>0 ....... (y 1+ >0 y y>3 ( ) axy þ ¬ ¬
,,,,,,,,.
* De o y þ : x y ÷ ÷1 <
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 17:
Halle la suma de todas las soluciones de
la ecuación : x
3
x
x
=36
2
| }
]
\ ¹
÷2
| }
]
\ ¹
Donde
x
n
| }
]
\ ¹
es un número combinatorio..
A) 7 B) 1 C) 6 D) 5 E) 4
RESOLUCIÓN
* Degradando por propiedad el número
combinatorio
x
3
| }
]
\ ¹
:
x x
x
=
3 2
÷ 2
3
| } | }
] ]
\ ¹ \ ¹
* Reemplazando en la ecuación :
( )
( )
( )
x-2
x x-2
x 1
2 3
2 x-2 3 x-2
x
x
=36 =36
2
2
| }
| }
]
]
\ ¹
\ ¹
1 ¹
| } 1 1
| }
¬
' ` ]
]
\ ¹ 1 1
\ ¹ 1 ¹
* Por definición de número combinatorio
x x 3 e . > N
* Simplificando ( )
x÷ 2
y además elevando
al cubo :
( )
x
2
6
x x
x x
=6 =6 =6 x=4
2 2 2
÷1
| }
]
\ ¹ | } | }
¬ ¬ ¬
] ]
\ ¹ \ ¹
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 18:
La medida de los lados de un triángulo
está en progresión geométrica de razón
r, lo verdadero es :
1 1
1 1 1
5 5
A) 1<r B) <r<1 C) <r
2 2
5+ 5 5+
D) 0 <r< E) <r<
2 2 2
÷ ÷
÷
RESOLUCIÓN
* Si: 0< r < 1
ar
a
ar
2
2
2
a ar ar ar+a
1 r r r+1
÷
÷ <
< <
¬ <
*Resolviendo:
5+1
r
;
2
÷1 5
e
2
* Restringiendo :
1
5
r ....CS
;1
2
÷ 1
e
* Cuando r=1 no se forma una
progresión geométrica :
* Si : r > 1
ar
a
ar
2
2 2
ar a ar ar+a r 1 r r+1 ÷ < < < ¬ ÷ <
* Resolviendo :
1- 5 1+ 5
r
;
2 2
e
* Restringiendo al intervalo analizado :
2
5
r ....CS
;1
2
÷ 1
e
* Por haber analizado en secciones
disjuntas :
{}
1+5 5 5+1
r r
1; ;1 ;
2 2
÷1 ÷1
÷
5
e ¬ e
1
2 2
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 19:
Si A B y A D= c · C
Simplifique :
| |
c C
B ( A D) ( A D ) B
] ÷ · ·
]
A)A B B)A C)B D) E)D B · C ·
RESOLUCIÓN:
* Si:
A B A D= c . · C
tenemos :
A
D
B
U
* Luego simplificanremos :
| |
c C
B A A
B ( A D ) ( A D ) B
B B
o
o
·
] ÷ · ·
]
¬ ÷
,,,,,,,,,,,,,,. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 20
Sean
2
( 1) f(x)= x +2 ÷ ÷ . Si A(x)=b f(x)/(1 x) ÷ ,
con b 0 > y f( x+b)= f( x) . Halle en que
intervalo se encuentra A( x), cuando
0 x 1 < <
-6, 7 A) B) C) D) E) 2, 4 0,1 0, 4 1, 4
RESOLUCIÓN:
* Por dato : ( ) ( ) f =f b=2 x x+b x ÷ 2 ¬
* Luego :
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
x x
2 x +2
x
A = A = +4
x
1 x
÷2 ÷
÷1
÷2
÷1
÷
]
]
¬
* Pero :
0 x 1 < <
( ) ( ) x x
2
2
x 0 ( x ) 0
( x ) +4 4
A 4 A 2;4
÷1 ÷ 1 1 ÷ 1
2 < ÷2 ÷ 1
2 e
¬ < < ¬ > >
¬ <
¬ < < ¬
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 21:
Si la relación :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } R= ; ; : ; 1, 2a 2,7 5,1 1,3a
7,9 ÷ 5
es una función, la suma de los elementos
del rango de dicha función es :
A)22 B) 15 C) 27 D)16 E) 10
RESOLUCIÓN:
*Dado que R es una función :
( ) ( ) = 2a=3a a=5 1; 2a 1;3a ÷ 5 ÷ 5 ¬ ¬
* Luego : R={(1;10),(2;7),(5; 1),(7;9)}
* Entonces : Rang(R)={1O; 7; 1; 9}
*entonces la suma de elementos del
Rang(R) es : 10+7+1+9=27
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 22:
Si
n n n
a b c
Log bc =x , Log ac =y , Log ab=z ,
para todo neN . Calcule el valor de
n n n
1 1 1 1
+ + E=
n x +1 y +1 z +1
]
]
2 A)2n B)n C)n D)1/n E)n/2
RESOLUCIÓN:
*Agregando 1 a las condiciones :
n n
a a a
n n
b b b
n n
c c a
Log bc+Log a=x +1 Log abc=x +1
Log ac+Log b=y +1 Log abc=y +1
Log ab+Log c=z +1 Log abc=z +1
¬
¬
¬
* Reempl azando e invirti endo los
logaritmos ,se obtendrá :
n
a b c a b c a b c
n
1
E = L o g a + L o g b + L o g c
n
1 1
E = 1 E =
n n
¬ ¬
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 23:
Al calcular el logaritmo de
m n
a a en base
nm
a a ; donde m, n 0, a>0 y a 1; > =
obtenemos
n m
A ) B ) m n C ) D ) m E ) n
m n
RESOLUCIÓN:
* Lo pedido es :
n 1 m
n+
m
a
1
m+
mn
n
a a
a
a
Log a a =Log a
1 mn+1
m+
m
n n
= Log = =
1 mn+1 n
n+
m m
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 24:
Sea
5
P(x)=x ax+b ÷ un polinomio con
coeficientes enteros. Si p( x) es divisible
por ( )
2
x c ÷ , entonces el valor de
( )
a+b+c es
A)10 B)7 C) 8 D)9 E) 14
RESOLUCIÓN:
* Si c es raíz de multiplicidad 2 de P(x)
( )
5
P = c a c + b = 0 ....... ( ) c ÷ o ¬
* Derivando :
( )
4
P = 5 c a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) c ÷ þ
* Entonces :
4
a
c =
5
* Reemplazando en (o) se obtiene :
5
b
c =
4
* Como el sistema es dependiente de un
parámetro, tenemos:
c =1 a=5 b=4 a+b+c =10
c =1 a=5 b= 4
c =0 a=0 b=0
c =2 a=80 b=128
÷
¬ ¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 25:
Efectue :
5
2 i i+ i ÷
+i
A)1+i B)1 i C)i D) 2i E)
2
÷1
÷
RESOLUCIÓN:
* Número imaginario, número complejo
a + bi en el cual la componente imaginaria
, b, es distinta de cero. Es decir, todos los
números complejos que no son números
reales son imaginarios.
Los números complejos sin parte real, bi,
b= 0, se llaman imaginarios puros.
Los números imaginarios no representan
nada en el mundo real, pero
matemáticamente son fáciles de usar y
son de gran valor en las ciencias físicas
para representar fenómenos periódicos.
*Conocemos que :
5 5 5 5
i=i i= i =i; =i ÷1 ¬
*Entonces : E= 2 i i+i = 2 i 2i ÷ ÷
* También :
2
2i =( 1+i) 2i =1+i
E= 2 i (1+i ) = 2 ÷1 ÷
¬
¬
2
E= 2i = ( 1+i) =1+i ¬
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 26:
Dados los planos secantes P y Q , en P
está contenido el triángulo ABC y en Q su
4
proyección, el triángulo A’B’C’.
Si BC BC , m ACB=90 , m BAC=30
y m ABC =45
' ' ~ ° °
' ' ' °
< <
<
Calcule el coseno del ángulo diedro
formado por los dos planos secantes P y
Q.
3 2 6 3 1
A ) B ) C ) D ) E )
2 2 4 3 2
RESOLUCIÓN:
BCM// B`C`A` í í
*Por el teorema de las tres perpendiculares
, se deduce que :
m MCB=90
c
<
m MCA=u < (diedro pedido)
a 3
AMC : cos = cos =
3 a 3
u u ¬
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 27:
Para alfombrar el piso rectangular de un
stand ferial(como se muestra en la
figura)se necesitaron 4500
2
m de
alfombra. ¿Cuántos metros de toldo se
necesitarán para cubrir el techo (superficie
de un semicilindro), si el largo del stand
es al ancho como 5 es 1?
2
2
2
2
2
A) 2000 m
B) 2200 m
C) 2125 m
D) 2120 m
E) 2250 m
t
t
t
t
t
RESOLUCIÓN:
2
*Segúnenunciado tenemos :
* Área: piso=4500=2rg
rg=2250
* Área del techo= rg
Área del techo=2250 m
t
t
¬
¬
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 28:
En el gráfico adjunto, la curva es un
segment de circunferencia de radio 5 y el
segmento
OA
mide 3. Determine el
volume generado por la región sombreada
al rotarla en torno del eje Y.
B
Y
X
143
A)
3
134
B)
3
124
C)
3
132
D)
3
142
E)
3
t
t
t
t
t
RESOLUCIÓN:
generado semi esfera cilindro
3 2
generado
generado
V =V V
2
V = 5 3 4
3
142
V =
3
t t
t
÷
¬ ÷
¬
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 29:
Sean :
f( x)=senx
, tal que
x
2 2
t t
÷ s s
h( x)=tanx , tal que
x
2 2
t t
÷ < <
g( x)=cosx , tal que 0 x t s s
y F; H; G las funciones i nversas
correspondientes, condominios
F G H
D , D , D
Halle
F G H
D D D · ·
| | | | | | | | A) B) C) D) E) 0; ; ; 0;1 0;
2
t
÷1 0 ÷1 1 t
]
]
RESOLUCIÓN:
* Graficando :
*Se observa que : | |
F G H
D D D · · e ÷1:1
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 30:
Se tiene un poligonal ABCD tal que los
ángulos ABC y BCD miden
5 3
6 4
t t
y
respectivamente. Halle la longitud del
radio de la circunferencia tangente a los
tres segmentos de la poligonal si se
cumple que:
5 3
cot +cot =m ; BC =n
12 8
t t
2n n n n m
A) B) C) D) E) nm
m m 2m n+m
×
RESOLUCIÓN:
*Esbozando la línea poligonal ABCD :
5
BH=Rcot
12
3
HC=Rcot
8
t
t
*Pero se nos dice que :
5 3 n
BC=n BC=Rcot +Rcot =n R=
12 8 m
t t
¬ ¬
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 31 :
Sea ABC un triángulo isósceles cuyo lado
no congruente AC mide 4u. Sobre el lado
AB se construye otro triángulo isósceles
ABD cuyo lado no congruente AD mide
2u. Si el ángulo DBC es recto, halle la
longitud del lado congruente del triángulo
isósceles ABC.
A)
10 4 2 +
B)
11 4 2 +
C)
10 5 2 +
RESOLUCIÓN :
* Se pide m
* Luego por ángulos en la circunferencia :
DBC y DHC
( ) ( )
2 2
2 2 2
( DC ) m m 2 2 2 2 2
m 10 4 2
= + = + +
¬ = +
B
A
m
m
m
2
4 C
H
D
CLAVE : ‘‘A’’
PROBLEMA 32 :
En dos circunferencias ortogonales de
radios R y r respectivamente , se cumple
que la distancia D entre sus centros es :
A) 4(R-r)<D<R+r B) R+r<D
C) (R-r)/2<D<(R+r)/2 D) D
2
=R
2
+r
2
E) R+r=D
RESOLUCIÓN :
R
O
R
M
r
O
1
r
D
* Por ortogonales :
2 2 2
1
m OMO 90°
OMO : D R r
=
= +
CLAVE :‘‘D’’
PROBLEMA 33 :
Sean O y O’ l os centros de dos
circunferencias tangentes exteriormente
cuyos di ámetros son 2u y 6u
respectivamente. Halle el ángulo agudo
formado por la recta que une los centros
y la tangente común a las circunferencias.
A)60° B)45° C)30° D)15° E)75°
RESOLUCIÓN :
*
OPO ' :notable de (30 60 ) ° . °
x
T
1
T
3 P
3 1O O ´
2
* Pero :
1
TT // OP x 30 ¬ = °
CLAVE :‘‘C’’
PROBLEMA 34 :
En el triángulo rectángulo de la figura, la
suma de las distancias BM y MA es igual
a la suma de las distancias BC y CA. Si
BM=x ; BC=h y CA=d, entonces x es igual
a :
M
x
B
h
C
d
A
A)d-h
B)
hd
2h d +
C)d/2
D)
2 2
h d h + ÷
E)
h d 2d + ÷
RESOLUCIÓN :
M
x
B
h
C
d
A
a
* Sea: MA=a
* Nos dan : x+a=h+d
a h d x ¬ = + ÷
* Teorema de Pítágoras : (x+h)
2
+d
2
=a
2
* Reemplazando a (x+h)
2
+d
2
=(h+d-x)
2
hd
x
2h d
¬ =
+
CLAVE :‘‘B’’
PROBLEMA 35 :
Sea un cuadrilátero ABCD ; los puntos medios
de sus lados determinan el paralelogramo
PQRS ; los puntos medios de los lados de éste
determinan otro paralelogramo MNLT . Si los
puntos medios de este último determinan un
rombo de área 72 m
2
, entonces el área de
cuadrilátero ABCD, es:
A)144 m
2
B) 188 m
2
C)288 m
2
D)376 m
2
E)576 m
2
RESOLUCIÓN :
5
* Por propiedad :
área ABCD
Área PQRS=
2
A
S
D
P
T
L
R
M
N
B
Q
C
72m
2
* Entonces :
Área ABCD=2(área PQRS)
¬área ABCD=2 (2 área MNLTT)
=4 (área MNLT)=4( 2×72)
¬ área ABCD = 576
CLAVE : “E”
PROBLEMA 36:
En la siguiente figura , calcule o
10°
70°
30°
20°
C
A) 9° B)10° C)15° D)22,5° E)30°
RESOLUCIÓN :
C
A
T
2a
2a
B
60
10°
a a
10°
10°
a
H
P
* AB=AC=20
* Se traza AH BP ± : AH=a
*Por Propiedad de la bisectriz :
AH AT a
APC : TC a AP PC
10 o
= =
= ¬ =
¬ = °
CLAVE :‘‘B’’
PROBLEMA 37 :
En un cuadrante AOB de centro O y por
un punto M del arco AB se traza una
paralela a la cuerda AB que interseca a
la prolongación de OAen el punto A' y a
la prolongación de
OB
en un punto B'. Si
MA b ' =
y MB b ' = . Halle la longitud de la
cuerda AB.
A)
2 ab
B)
2ab
a b +
C)
ab
D)
2 2
a b +
RESOLUCIÓN :
B
O
H
B
´
M
a
A
T
2
2 a
R
2
b 2
A´
b
* Dato :
A' B' // AB
* A´TM (notable 45°)
a 2
MT
2
¬ =
* MHB (notable 45°)
b 2
MT
2
¬ =
* OHM (T.Pitágoras)
2 2
2 2
b 2 a 2 a b
R
2 2 2
| } | }
+
¬ + ÷ =
] ]
\ . \ .
* Pero :
2 2
AOB: AB R 2 AB a b = ÷ = +
CLAVE :‘‘D’’
PROBLEMA 38 :
En un tri ángul o ABC, se traza el
segmento BD con D sobre el lado
AC
,también trazamos el segmento
CE
con E sobre el lado AB.
Si sabemos que :
AB 13 CD 12
AC 36 AE 5
= = y
Entonces , determine la relación :
Área( BCD)
Área( AEC)
A)15/13 B)13/15 C)14/15 D)15/14 E)15/17
RESOLUCIÓN :
5k
E
B
A D 12k C
* Dato :
AB 13
AC 36
CD 12K
AE 5K
=
=
=
=
* Del esquema se aprecia que :
2K×13
Área( BCD) sen
ÁREA( BDC) 13 2
5K×36 15 ÁREA( AEC)
Área( AEC) sen
2
¦
= o
¦
¦
¬ =
`
¦
= o
¦
1
CLAVE :‘‘B’’
PROBLEMA 39 :
Dadas las rectas
L
1
: pasa por los puntos (– 2;3), (1;5)
L
2
: 2ax (a+3) y=5
Si L
1
es perpendicular a L
2
, halle (a+1)
A) – 9/7 B) – 2/7 C)4/7 D) – 3/7E) 2/7
RESOLUCIÓN :
* Condición :
1 2
± L L
1 2
m m 1 ¬ × = ÷
Y
(1;5)
(-2;3)
O
X
* Luego :
1 1 2
2 3
: m m
3 2
= ¬ = ÷ L
* Siendo :
| }
÷ + = ¬ = ÷
]
+ + \ .
2 2
2a 5
: 2ax (a 3)y 5 : y x
a 3 a 3
L L
* Pero :
2
2a 3 2a 9
m ; a
a 3 2 a 3 7
= ÷ = ÷ = ÷
+ +
*Se desea :
9 2
a 1 1
7 7
+ = ÷ + = ÷
CLAVE : ‘‘B’’
PROBLEMA 40 :
Dados los vectores a (1;3) =
y b=(x;y)
2 2
Si a.b (1,3) ; a b (1 x;2).Halle (x y ) = ÷ = ÷ +
A)0 B)1/2 C)1 D)2 E)-1
RESOLUCIÓN :
* Datos :
a ( 1, 3 ); b ( x ; y )............( )
a . b 3 ........................( )
a b ( 1 x ; 2 )..................( )
= = o
= þ
÷ = ÷ u
* (o) y (þ) en (u) : (1;3) . (x;y)=3...(v)
* Además :
( )
a b ( 1 x ; 2 ) ( 1;3 ) ( x ;y ) ( 1 x ; 2 )
3 y 2 y 1.........
÷ ÷ = ÷ ¬ ÷ =
¬ ÷ = ¬ = o
* ( o ) en (v) : x=0
¬x
2
+y
2
=1
CLAVE :‘‘C’’
TRIGONOMETRÍA
Rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos
de los triángulos. Etimológicamente
significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la
trigonometría se hicieron en los campos
de la navegación, la geodesia y la
astronomía, en los que el principal
problema era determinar una distancia
inaccesible, es decir, una distancia que no
podía ser medida de forma directa, como
la distancia entre la Tierra y la Luna. Se
encuentran notables aplicaciones de las
funciones trigonométricas en la física y
en casi todas las ramas de la ingeniería,
sobre todo en el estudio de fenómenos
periódicos, como el flujo de corriente
alterna.
Las dos ramas fundamentales de la
trigonometría son la trigonometría plana
y la trigonometría esférica.
PROBLEMA 41:
El dominio de la función senx, para que
exista la función inversa correspondiente,
debe ser :
A) x 0 B) x C) 0 x
2
D) 0 x 3 / 2 E) 0 x 2
t t
÷ t ÷ t
2
t t
< < < < < <
< < < <
RESOLUCIÓN:
* Dado :
( ) f =senx x
* Graficando :
* Para que una función tenga inversa debe
ser univalente , para ello se restringe el
dominio de la función seno de ;
2 2
t t ]
÷
]
* Por lo tanto de acuerdo a las alternativas
:
x
2 2
t t
÷ < <
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 42:
Halle el menor ángulo en el intervalo
7 11
;
3 3
t t ]
]
que satisfaga a ecuación
2tanx+3secx =0
2
10 2 4 8
A) B) C) D)0 E)
3 3 3 3
t t t t
RESOLUCIÓN:
( )
2
2
2
7 11
Dado: x 2tan x+3secx=0
2 2
2 +3secx=0 2sec x+3secx =0
sec x
t t
- ÷ s s ¬
¬ ¬ ÷2
÷1
* Factorizando :
( ) ( )
incompatible
1
=0 secx = secx = 2secx secx+2
2
¬ . ÷2 ÷ 1
,,,,,,,,.
1
secx= cosx=
2
2
x=2k+
3
t
÷2 ¬ ÷
¬
* Hallando los valores de x en :
8 10 7 11
: ; ;
3 3 3 3
t t t t ]
]
*Entonces la menor solución será :
8
3
t
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 43:
Si
x
tan =n
2
, donde | | | | ; ; t t t t ÷ ÷2 ÷ ,
entonces ¿cuál de l as si guientes
alternativas es la correcta?
6
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
1- n 2n
A) sen x= , cos x=
1+n 1+n
1- x 2x
B) sen x= , cos x=
1+x 1+x
2n 1- n
C) sen x= , cos x=
1+n 1+n
2x 1- x
D) sen x= , cos x=
1+x 1+x
E) Ninguna de las anteriores
RESOLUCIÓN:
* Si :
2
2 2
x 2n 1 n
tan =n senx = ; cos =
2 1+n 1+n
÷
¬
se cumple si ( ) x ; n n+1 t e ÷ e 2 R Z .Como
se considera un dominio particular
| | | | ; ; t t t t ÷ ÷2 ÷ la respuesta sería C.
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 44:
Halle el rango de la función f definida por
( )
2
f =x senx ; 0 x x
2
t
s s
| | | |
2
2
A) B) C) D) E) 0 : 0;1 0; 0; 0;
2 4
t t
t t
] ]
]
]
] ]
RESOLUCIÓN:
*Cuando0 x
2
t
s s ,
las funciones
2
y=x , y=senx,
son unilaterales
y crecientes
como se
muestra en la
gráfica.
*Entonces podemos efectuar la
multiplicación de la ecuaciones dadas :
( )
( )
2
2
2 2
2
0 x
4
0 s e n 1
0 x s e n x 0 f x
4 4
t
t t
¹
s s 1
×
`
1
s s
¹
s s ¬ s s
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 45:
Si
2/ 3
b
cot( x)=
a
| }
]
\ ¹
, encuentre el valor de
la siguiente expresión :
a b
E= +
bsenx acosx
siendo x un arco del primer cuadrante.
3
1 1 2 2 1
2
2 2
3 3 3 3 2
1 1 2 2 2
3 3 3 3
a b a b a b a b
A) B) + C) D) + + +
b a a2 b
b a b a
| } | }
| } ] ]
] ] ]
\ ¹ ] ]
\ ¹ \ ¹
RESOLUCIÓN:
*Como :
2
3
3
3
b c o s x b
c o t x = =
a a s e n x
| }
¬
]
\ ¹
* Reemplazando en E :
3 3
3 3
1 sen x 1 cos x
E= +
senx cosx cos x sen x
*Simplificando y dando una forma
adecuada , se obtendrá :
( )
3
2
E tgx ctgx = +
* Reemplazando dato :
3
2 2
2
3 3
2 2
3 3
a b
E= +
b a
]
]
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 46:
Resuelva la ecuación :
arcsen2x+arcsenx=
3
t
1 3 1 2 1 3 3 3
A) x+ B) x= C) x= D) x= E) x=
2 7 3 7 3 7 7 7
1 1
÷ ÷
2 3
RESOLUCIÓN:
2
*Dado : arcsen2x+arcsenx=
3
+ = sen =2x; sen =x cos = 1 x
3
sen =2sen
o þ
t
t
o þ o þ þ
o þ
¬ ¬ ¬ ÷
¬
,,,,,,,,,,. ,,,,,,,,.
*Entonces :
sen =sen
3
t
o þ
| }
÷
]
\ ¹
* Reemplazando en términos de x :
2
3 1 3
2x= 1 x x x=
2 2 7
1
÷ ÷ ¬ ±
2
* sabemos que: ( ) arcsen = arcsenx x
1 3
x =
2 7
÷ ÷
¬
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 47:
Determine la altura en km de la superficie
terrestre a la que gira un satélite, cuya
visión cubre un arco de 120° en la
superficie de la tierra.
Tomar:
R=64OO km como radio de la tierra.
A)12 800 B)6 400 C)3 200 D)1 600 E)800
RESOLUCIÓN:
* Del gráfico :
´
AB
L =120
M SOB 60
°
¬ = ° <
enel SBO
h+R=Rsec60°
h+R=2R
h+6400=2(6400)
h=6400km
¬
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 48:
Cal cule el valor aproximado de la
expresiónS =cos27 sec 27 ÷ ° °
- -
(3+ 5)
A)3 5 B) 2(3 5) C)
2
D)3+ 5 E)5+ 5
RESOLUCIÓN
*LLevando la expresión dada a senos y
cosenos :
cos27° sen27°
S=csc27° sec27° S=
sen27 cos27
÷
÷ ¬
° °
* Transformando :
2cos45°sen18°
S=
sen54
| }
]
° \ ¹
* Reemplazando :
5 1
2 2
4
S =
5 + 1
4
÷ | }
]
\ ¹
| }
]
\ ¹
* Racionalizando :
S= 2(3 5) ÷
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 49:
La suma de las soluciones de la ecuación
3
( z i) =1 ÷ es :
A)0 B)1 C)i D)2i E)3i
RESOLUCIÓN:
NÚMEROS COMPLEJOS
En su forma general, un número complejo se
representa como a + bi, donde a y b son
números reales. El conjunto de los números
complejos está formado por todos los número
reales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar
en el llamado diagrama de Argand. Las partes
real e imaginaria de un número complejo se
col ocan como puntos en dos l í neas
perpendiculares o ejes. De esta manera, un
número complejo se representa como un
punto único en un plano, conocido como plano
complejo.
Los números complejos son de gran utilidad
en la teoría de la corriente eléctrica alterna
así como en otras ramas de la física, en
ingeniería y en ciencias naturales.
3 3
*Como : (z i) =1 (z-i) =cos2k +isen2k t t ÷ ¬
* Por De moivre :
2k 2k 2k 2k
z i = cos +isen z = cos +i 1 sen
3 3 3 3
t t t t | }
÷ ¬ +
]
\ ¹
*Luego las soluciones , serán :
1
2
3
k=0 z =1+i
1 3
k=1 z = +i+i
2 2
1 3
k=2 z = +i i
2 2
÷
÷ ÷
¬
¬
¬
*Entonces lo deseado será :
1 2 3
z +z +z =3i
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 50:
En la figura se tienen dos rectángulos
ABCD y ABMN que forman un ángulo
diedro cuyo ángulo plano mide o. P es un
punto del plano ABCD, tal que la recta
AP forma un ángulo u con AD y un
ángulo þ con el plano del rectángulo
ABMN.
¿Cuál de las siguientes relaciones es
verdadera?
2 2
2 2
tan
A)tan =
1+ sec tan
tan
B)tan =
1+ sec tan
sen cos
C)tan = D)tan =
1+cos 1+ sen
o
þ
o u
o
þ
o u
o o
þ þ
u u
÷
×
RESOLUCIÓN:
* Si : TH=a
A
B
M
C
P
D
a
H
k
s
e
n
t
a
n
a
q T
atana
a
s
e
c
a
* Del esquema , se tiene que :
2 2 2 2
2 2
PH ktan
tan = =
AH
k k sec tan
tan
=
1+sec tan
o
þ
o u
o
o u
+
RPTA : ‘‘A
ACERTIJO DIABÓLICO
Dos personas, A y B, hacen cada una de ellas
una oferta, hay que determinar cuál es la mejor
oferta.
- Oferta de A : Tienen que formular un
enunciado. Si el enunciado es verdadero, ganan
exactamente diez dólares. Si el enunciado es
falso, entonces ganan menos o más de diez
dólares, pero no diez dólares exactamente.
- Oferta de B : Tienen que formular un
enunciado. Sea el enunciado verdadero o falso,
ganan más de diez dólares.
¿Cuál de las dos ofertas preferirían? La mayoría
de la gente decide que la oferta de B es la mejor,
dado que garantiza que más de diez dólares,
mientras que en la oferta de A, no hay certeza de
ganar más de diez. No se dejen engañar por las
apariencias. Si alguno de ustedes está dispuesto
a proponernos la oferta de A, le pagaremos veinte
dólares por adelantado ¿Alguno juega?
Recommended