вектори

Зміст навчального матеріалу по темі:

1. Вектори у просторі. Рівність векторів.

2. Колінеарність векторів.

3. Компланарність векторів.

4. Координати вектора.

5. Додавання і віднімання векторів.

6. Множення вектора на число. Властивості дій над векторами.

7. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів.

8. Розкладання вектора по ортах.

9. Сюжетна задача.

Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям вектора позначається його початком і кінцем. На малюнку напрям вектора позначається стрілкою.

Вектори у просторі. Рівність векторів.

Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то вектор називається нульовим і позначається .0

Вектори однаково напрямлені , якщо однаково напрямлені півпрямі, що містять дані вектори.

Вектори протилежно напрямлені, якщо протилежно напрямлені півпрямі, що містять дані вектори.

Назвати однаково напрямлені та протилежно напрямлені вектори.

Завдання

Абсолютна величина вектора або модуль вектора – це довжина відрізка, що зображає вектор.Абсолютна величина позначається |а| і обчислюється за формулою

Вектори рівні, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.

Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною.

Рівні вектори мають рівні відповідні координати.

23

22

21 aaaa

a b

33

22

11

ba

ba

ba

(a1,a2,a3) = (b1,b2,b3)<=>

Завдання: Записати всі можливі векторні рівності.

Колінеарні вектори

Колінеарні вектори – це два ненульові вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Умова колінеарності векторів:

Відношення відповідних координат векторів – рівні.

a і b колінеарні, якщо

1. Чи колінеарні вектори (2,3,8) і (-4,6, -16)?

2. При якому значення n і m вектори (15,m,1) і (18,12,n) - колінеарні?

ab * 3

3

2

2

1

1

a

b

a

b

a

b

a b

ba

Компланарність векторів

Три вектори називаються компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені у паралельних площинах.

Вектори компланарні тільки за умови, що точки О,А,В,С лежать в одній площині.

Завдання: Чи компланарні вектори (3;2;0),

(6;3;0), (8;1;0)?

ОСОВОА ,,

a

b c

Координати вектора

Координатами вектора називаються числа а1=х2-х1, а2=у2-у1, а3=z2-z1.

Щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця вектора відняти координати його початку.

Завдання:

1. А(2;3;4), В(1;1;1). Знайти координати векторів

та .

2. Які координати вектора , якщо А(5;1;-3), точка О – початок координат.

AB

BAAO

a

.Додавання векторів Правило трикутника

Отже, сумою двох векторів a і b називається третій вектор c , початок якого збігається з початком a , а кінець – з кінцем вектора b при умові, що кінець вектора a збігався з початком вектора b .

Правило паралелограма (для неколінеарних векторів): a + b = c .

Якщо два вектори виходять з однієї точки, то вектор суми цихb векторів є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах.

Додавання векторів.

Сумою векторів (а1, а2, а3) та (в1, в2, в3) називається вектор с з координатами : а1+в1, а2+в2, а3+в3.

a b

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися правилом многокутника (див. рисунок).

Завдання по темі “Додавання векторів”

1. Дано . Знайти координати суми

даних векторів.

)1;4;0(),3;0;2( ba

2. Дано вектори .

Чи правильно, що .

)8;1;4(),3;4;2(),5;3;2( cba

abc

Віднімання векторів

Різницею векторів (а1,а2,а3) і (в1,в2,в3) називається вектор , координати якого: а1-в1,а2-в2,а3-в3.

a bc

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Множення вектора на число

Добутком вектора на число λ є вектор

=(λа1,λа2,λа3).

Властивості:

1.

2. Для будь – якого вектора а і чисел λ і μ має місце рівність:

3. Для будь – яких векторів а і в і числа λ має місце рівність.

Абсолютна величина вектора дорівнює:

aa

),,(**),,( 321321 aaaaaa

aaa ***)(

baba **)(* a*

aaaaaaaa **)*()*()*(* 23

22

21

23

22

21

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів (а1, а2, а3) і (в1, в2, в3) є число (скаляр) а1*в1+ а2*в2+а3*в3.

Кутом між ненульовими векторами і називається кут ВАС – кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.

Теорема: Скалярний добуток векторів дорівнює добутку модулів векторів на косинус кута між ними.

Якщо , то кут гострий; – кут тупий,

– кут прямий (вектори перпендикулярні).

Умова перпендикулярності векторів – скалярний добуток дорівнює 0.

a b

AB AC

0* ba 0* ba

0* ba

Завдання по темі “Скалярний добуток векторів”

1. Чи перпендикулярні вектори (2;3;6) і (3;2;-1) ?

2. При якому значення m вектори (6;0;12) і (-8;13; m) перпендикулярні ?

3. Який кут утворюють вектори (-5;0;0) і (0;3;0) ?

a

a

a

b

b

b

Розкладання вектора по ортах

Вектор називається одиничним, якщо модуль вектора дорівнює 1.

Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються ортами.

Для будь – якого вектора (а1, а2, а3) маємо: a

332211 *** eaeaeaa

Сюжетна задача

Дано чотири точки А(1;2;3), В(-2;4;1), С(0;2;5), Д(1;-4;2).

Знайти:

1. Координати і .

2. Модулі і .

3. +

4. -

5. 3* ; ½*

6. 3* + ½*

7. Чи колінеарні вектори?

8. *

9. Cos φ між векторами. Чи перпендикулярні вектори?

10.Розкласти по ортах.

ABAB

ABAB

AB

AB

AB

CDCD

CDCD

CD

CD

CD