หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จ านวนเชิงซ้อน...

แบบฝกทกษะคณตศาสตร หนวยการเรยนรท 1 จ านวนเชงซอน

เรอง รากท 2 ของจ านวนเชงซอน

ชนมธยมศกษาปท 5

จดท าโดย นายปฏมา สงหศร

ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ

โรงเรยนเทพศรนทร สมทรปราการ อ าเภอเมอง จงหวดสมทรปราการ

ค ำน ำ

แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร เรองรากท 2 ของจ านวนเชงซอน จดท าขนเพอใชในการพฒนาการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรช นมธยมศกษาปท 5 เพอใหนกเรยนมความรความเขาใจในเรองของจ านวนเชงซอน แบบฝกเสรมทกษะเลมน ประกอบดวย ค าแนะน าในการใชแบบฝกเสรมทกษะ เนอหาแบบทดสอบกอนเรยน แบบฝกทกษะและแบบทดสอบหลงเรยน พรอมเฉลยค าตอบ นกเรยนสามารถศกษาไดดวยตนเอง เมอน าแบบฝกเสรมทกษะเลมนไปใชในการจดการเรยนการสอนแลว จะท าใหนกเรยนมความรความเขาใจเกยวกบจ านวนจ านวนเชงซอนมากยงขน และสงผลใหนกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนในวชาคณตศาสตรสงขนดวย หวงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน จะเปนสวนหนงของเครองมอทจะชวยใหผเรยนเกดการเรยนรอยางสมบรณ มประสทธภาพ และเออประโยชนแกนกเรยน ครผสอนคณตศาสตรและผทสนใจตามสมควร

นายปฏมา สงหศร

หนา

ค าน า ค าแนะน าในการใชแบบฝกเสรมทกษะ 1 จดประสงค 2 แบบทดสอบกอนเรยน 3 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 5 รากท 2 ของจ านวนเชงซอน 6

แบบฝกทกษะท 4.1 9 เฉลยแบบฝกทกษะท 4.1 10 แบบฝกทกษะท 4.2 12 เฉลยแบบฝกทกษะท 4.2 13 สมการก าลงสอง 14 แบบฝกทกษะท 4.3 15 เฉลยแบบฝกทกษะท 4.3 17 แบบฝกทกษะท 4.4 18 เฉลยแบบฝกทกษะท 4.4 19

แบบทดสอบหลงเรยน 20 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 22 บรรณานกรม 23

ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะ

1. กอนศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง รากท 2 ของจ านวนเชงซอน ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน

2. ใหนกเรยนศกษาเนอหาจากใบความรเรองรากท 2 ของจ านวนเชงซอน 3. แลวปฏบตตามกจกรรมในแบบฝกทกษะ 4. เมอท ากจกรรมในแบบฝกทกษะเสรจหมดทกแบบฝกแลว ให

นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน

5. นกเรยนน าคะแนนเปรยบเทยบคะแนนจากการท าแบบทดสอบกอนเรยน

และหลงเรยนเรองการบวกและการคณจ านวนเชงซอนโดยใชแบบฝกทกษะ เพอตรวจดความกาวหนาของตนเอง

จดประสงคการเรยนร

1.บอกความหมายของรากท 2 ของจ านวนเชงซอนได 2.บอกสตรการหารากท 2 ของจ านวนเชงซอนและน าไปใชได

8

ค าชแจง 1. แบบทดสอบกอนเรยน ใชทดสอบความรของนกเรยนกอนเรยน เรองการคณและการหารจ านวนเชงซอน จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนกาเครองหมายกากบาท ( ) ลงในชอง ใตตวอกษร ก, ข, ค และ ง ทเปนค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว ลงในกระดาษค าตอบในสมดแบบฝกทกษะ โดยใชเวลาสอบ 20 นาท

1. รากทสองของ -3- 4 i คอจ านวนในขอใด ก. -1 - 2 i และ 1 + 2 i ข. 1 - 2 i และ -1 + 2 i ค. -1 + 2 i และ -1 - 2 i ง. 1+- 2 i และ -1 + 2 i 2. รากทสองของ 8 + 6 i คอจ านวนในขอใด ก. 3 - i และ -3 + i ข. 3 + i และ -3 - i ค. 1 - 3 i และ -1 + 3 i ง. 1 + 3 i และ -1 - 3 i 3. รากทสองของ 5 - 12 i คอจ านวนใน ขอใด ก. -3 -2 i และ 3 + 2 i ข. -3 -2 i และ -3 + 2 i ค. 3 -2 i และ -3 + 2 i ง. 3 + 2 i และ 3 - 2 i 4. รากทสองของ - 80 คอจ านวนใด ก. 3 5 i และ -3 5 i ข. 4 5 i และ -4 5 i ค. 16 5 i และ -16 5 i ง. 40 5 i และ -40 5 i

5. จงหาค าตอบของสมการ

0 32x -x 2 ก. -1- 2 i , 1 + 2 i ข. -1- 2 i , -1 + 2 i ค. 1+ 2 i , -1 + 2 i ง. -1- 2 i , 1 + 2 i

6. ผลบวกของคาสมบรณของรากท 2 ของ 8 + 6 i ทเปนจ านวนเชงซอนมคาเทากบขอใด

ก. 0 ข. 2 10 ค. 4 ง. 8 7. จงหาค าตอบของสมการ 042 x ก. 2 i , -2 i ข. 2 , -2 i ค. 4 i , -4 i ง. 4 , -4 i

แบบทดสอบกอนเรยน

เรอง รากท 2 ของจ านวนเชงซอน

หนวยการเรยนรท 1

จ านวนเชงซอน

รายวชาคณตศาสตรเพมเตม รหสวชา ค43202

9

8. จงหาค าตอบของสมการ 16- x2 ก. 2 i , -2 i ข. 4 i , -4 i ค. 4 , -4 i ง. 2 , -2 i 9. จงหาค าตอบของสมการ 0422 xx ก. 1 + 3 i , -1 + 3 i ข. -1 - 3 i , -1 + 3 i ค. -1 + 2 i , -1 - 2 i

ง. -1 + 2 i , -1 + 3 i 10. ผลคณของค าตอบของสมการ 0 1 2x 4x2 คอจ านวนในขอใด

ก. 12

1

ข. 8

1

ค. 6

1

ง. 4

1

81

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

1) ก 6) ค 2) ข 7) ค 3) ค 8) ก 4) ข 9) ข 5) ง 10) ค

82

รากท 2 ของจ านวนเชงซอน

รากท 2 ของจ านวนเชงซอน z คอ จ านวนเชงซอน a เมอ a2 = z ซงสามารถน าไปใช ในการหาค าตอบของสมการพหนามก าลงสองได

ทฤษฎบท ก าหนดจ านวนเชงซอน z = x + yi และให r = 22 y x

จะไดวา รากท 2 ของ z คอ

0 y i 2

xr

2

xr

0 y i 2

xr

2

xr

เมอ

เมอ

ตวอยางท 1 จงหารากทสองของ -15 – 8 i

วธท า ให z = -15 – 8 i

เมอเปรยบเทยบกบ x + y i ในทฤษฎบท จะไดวา x = -15 และ y = -8

และ r = 22 (-8) (-15)

= 64 225

= 17

เนองจาก y < 0 ดงนนรากท 2 ของ -15 – 8 i คอ

i

2

(-15) - 17

2

(-15) 17 =

i

2

32

2

2

= ) i 4 - (1

ดงนน รากท 2 ของ -15 – 8 i คอ 1 – 4 i และ -1 + 4 i ตอบ

83

ตวอยางท 2 จงหารากท 2 ของ 5 + 12 i วธท า ให z เปนรากทสองของ 5 + 12i z = 5 + 12 i เมอเปรยบเทยบกบ x + yi ในทฤษฎบท จะไดวา x = 5 และ y = 12 และ r = 22 (12) (5)

= 144 25

= 13

เนองจาก y 0 ดงนนรากท 2 ของ 5 + 12 i คอ

i

2

5 - 13

2

5 13 =

i

2

8

2

18

= ) i 2 (3

ดงนน รากท 2 ของ 5 + 12 i คอ 3 + 2 i และ -3 – 2 i ตอบ

ตวอยางท 3 จงหารากท 2 ของ 18 i วธท า ให z เปนรากทสองของ 18 i

z = 0 + 18i เมอเปรยบเทยบกบ x + y i ในทฤษฎบท จะไดวา x = 0 และ y = 18

และ r = 22 (18) (0)

= 324 0

= 18 เนองจาก y 0 ดงนนรากท 2 ของ 18 i คอ

i

2

0- 18

2

0 18 = i 9 9

= ) i 3 (3

ดงนน รากท 2 ของ 18 i คอ 3 + 3 i และ -3+ 3 i ตอบ

84

ในกรณทจ านวนเชงซอนเปนจ านวนจรงลบ การหารากทสองสามารถท าไดดงน ให z = -a เมอ a เปนจ านวนจรงบวกจะไดวารากทสองของ z คอ a i และ - a i เชน 1) รากท 2 ของ -4 คอ 2 i และ -2 i 2) รากท 2 ของ -16 คอ 4 i และ -4 i 3) รากท 2 ของ -48 คอ 4 3 i และ -4 3 i เปนตน

สรป 1) ถา z เปนจ านวนเชงซอนใด ๆ และ a เปนรากทสองของ z จะไดวา -a เปนรากท 2 ของ z ดวย 2) รากท 2 ของจ านวนเชงซอน z ใด ๆ ทไมใชศนย จะมเพยง สองจ านวนเทานน

85

ค าชแจง ใหนกเรยนหารากท 2 ของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. 2i วธท า ให z = .......................... เมอเปรยบเทยบกบ x + yi ในทฤษฎบท จะไดวา x = ............ และ y = …….. และ r = ……………………..

= …………………….

= ……………………..

เนองจาก ................................................ ดงนนรากท 2 ของ .......................... คอ ........................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................

ดงนน รากทสองของ 2i คอ.............................และ........................................................ ตอบ 2. 7 + 24i วธท า ให z = .......................... เมอเปรยบเทยบกบ x + yi ในทฤษฎบท จะไดวา x = ............ และ y = …….. และ r = ……………………..

= ……………………. = ……………………..

เนองจาก ................................................ ดงนนรากท 2 ของ .......................... คอ ........................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................

ดงนน รากทสองของ ................................ คอ.............................และ............................................. ตอบ

แบบฝกทกษะ 4.1

86

3.

วธท า ให z = .......................... เมอเปรยบเทยบกบ x + yi ในทฤษฎบท จะไดวา x = ............ และ y = …….. และ r = ……………………..

= ……………………. = ……………………..

เนองจาก ................................................ ดงนนรากท 2 ของ .......................... คอ ........................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ .................................................................. ...................................................................................................... ........................................................................................................................................................................

ดงนน รากทสองของ .............................. คอ.............................และ............................................... ตอบ

4. 344 i

วธท า ให z = .......................... เมอเปรยบเทยบกบ x + yi ในทฤษฎบท จะไดวา x = ............ และ y = …….. และ r = ……………………..

= …………………….

= ……………………..

เนองจาก ................................................ ดงนนรากท 2 ของ .......................... คอ ........................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................

ดงนน รากทสองของ ................................. คอ.............................และ........................................................ ตอบ

31 i

87

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท า

1. จงหารากทสองของ -9i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. จงหารากทสองของ -4i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. จงหารากทสองของ -3-4i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ 4.2

88

4. จงหารากทสองของ 8 - 15i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 5. จงหารากทสองของ -1+ 3 i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 6. จงหารากทสองของ -9-9 3 i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

89

ค าชแจง จงเตมค าตอบลงในตารางใหถกตองสมบรณ ขอท z = a+bi

r = รากท 2 ของ z

1 z = 3 + 4i r =……………… …………………. ………………….

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

2 z = -8 – 6 i r =……………… …………………. ………………….

……………………………………………

…………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

3 z = 6 - 8i r =……………… …………………. ………………….

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

4 z = -8+15i r =……………… …………………. ………………….

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

5 z = 7 –24 i r =……………… …………………. ………………….

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

6 z = 9 – 40 i r =……………… …………………. ………………….

……………………………………………

…………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

7 z = 1+ 3 i r =……………… …………………. ………………….

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

8 z = -i r =……………… …………………. ………………….

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

22 ba

แบบฝกทกษะ 4.3