ACT2025 - Cours 2 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours

ACT2025 - Cours 2

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Deuxième cours

ACT2025 - Cours 2

Rappel:

• Intérêt

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation• Taux effectif de l’intérêt

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation• Taux effectif de l’intérêt • Intérêt simple

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Rappel:

• Intérêt• Fonction de capitalisation• Fonction d’accumulation• Taux effectif de l’intérêt • Intérêt simple• Intérêt composé

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Rappel:

Pour l’intérêt simple, la fonction de capitalisation est

et la fonction d’accumulation est

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Rappel:

Pour l’intérêt composé, la fonction de

capitalisation est

et la fonction d’accumulation est

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Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts

d’intérêt simple et d’intérêt composé

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Exemple 1:

La valeur accumulée par un capital de 7 500$ investi pendant 3 mois au taux d’intérêt simple de 6% par année est égale à

Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t = 3/12 = 0.25

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Exemple 2:

Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant

• le montant accumulé à la fin de la 9e

année

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Exemple 2:

Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant

• le montant accumulé à la fin de la 9e

année

• le montant d’intérêt gagné pendant la

7e année

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Calcul du montant accumulé

• Le montant accumulé après 4 ans sera

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Calcul du montant accumulé

• Le montant accumulé après 4 ans sera

• Le montant accumulé après 9 ans sera

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Calcul du montant d’intérêt• Le montant accumulé après 7 ans sera

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Calcul du montant d’intérêt• Le montant accumulé après 7 ans sera

• Le montant accumulé après 6 ans sera

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Calcul du montant d’intérêt• Le montant accumulé après 7 ans sera

• Le montant accumulé après 6 ans sera

• Le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année sera

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Comparaison:

Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’intérêt simple et de l’intérêt composé pour le même taux i, nous obtenons le graphique suivant

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Nous avons

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Nous avons

et

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Jusqu’à maintenant nous avons considéré la valeur accumulée d’un placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle d’un capital futur.

On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée.

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Exemple 3:

Bobby veut investir un capital dans un compte d’épargne rémunéré au taux d’intérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir 15 000$. Quel est le capital qu’il doit investir?

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Solution:

Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation

k (1.04)6 = 15000.

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Solution:

Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation

k (1.04)6 = 15000.

Donc k = 15000 (1.04)-6 = 11854.72 $

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Notation:

Le facteur d’accumulation est

(1 + i)

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Notation:

Le facteur d’accumulation est

(1 + i)

Le facteur d’escompte est

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Définition de la fonction d’actualisation

Cette fonction correspond à la valeur actuelle d’un capital de 1$ payable au temps t

Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle d’un capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de multiplier cette fonction d’actualisation par k.

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Formule:

Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors la fonction d’actualisation a-1(t) est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation:

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Exemple 4:

Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est

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Exemple 4 (suite):

Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation est

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Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation:

• Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar

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Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation:

• Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar

• Décroissance par rapport au taux d’intérêt. Si le taux d’intérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1 dollar

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Exemple 5: (Obligation sans coupon)

Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, quel est le prix d’obligation sans coupon dont la valeur à l’échéance est de 25000$ et l’échéance est dans 7 ans?

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Solution:

Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif d’intérêt de 5% par année. Nous obtenons

25000 (1.05)-7 = 17767.03 $

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Voyons maintenant une autre mesure de l’intérêt:

taux effectif d’escompte

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Taux effectif d’escompte pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période.

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Taux effectif d’escompte pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons

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Taux effectif d’escompte pour la ne période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la ne période sur le montant accumulé à la fin de la ne période. En formule, nous obtenons

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Si nous connaissons les taux effectifs d’escompte pour toutes les périodes, de la 1e à la ne , et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne période, i.e. A(n)

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En effet,

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En effet,

et ainsi de suite.

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Finalement nous obtenons la valeur accumulée:

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Finalement nous obtenons la valeur accumulée:

ainsi que la valeur actuelle

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Exemple 6:

Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première

année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75%

pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année.

(a) Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans?

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Exemple 6:

Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première

année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75%

pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année.

(a) Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans?

(b) Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans?

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Solution: (a)

Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera

8000(0.95)-1(0.945)-1(0.94)-1(0.9425)-

1(0.9475)-1 = 10615.64 $

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Solution: (b)

Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000 payable à la fin de la 4e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera

10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = 7953.62 $

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Équivalence de taux:

Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales.

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Équivalence de taux: (approche équivalente)

Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin d’une période à ces deux taux sont égales.

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Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte

Étant donné le taux d’escompte d , alors le taux d’intérêt i équivalent est

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d)

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Explication de la formule (suite) :Nous avons

Capital investi au début de la période: (1 - d)

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Explication de la formule (suite) :Nous avons

Capital investi au début de la période: (1 - d)

Capital accumulé à la fin de la période: 1

ACT2025 - Cours 2

Explication de la formule (suite) :Nous avons

Capital investi au début de la période: (1 - d)

Capital accumulé à la fin de la période: 1

Intérêt: d

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Explication de la formule (suite) :Donc

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Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte

Étant donné le taux d’intérêt i, alors le taux d’escompte d équivalent est

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de la période

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Explication de la formule (suite) :Nous avons

Capital investi au début de la période: 1

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Explication de la formule (suite) :Nous avons

Capital investi au début de la période: 1Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i)

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Explication de la formule (suite) :Nous avons

Capital investi au début de la période: 1Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i)

Intérêt: i

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Explication de la formule (suite) :Donc

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Exemple 7:

Si le taux effectif d’escompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est

soit 2.30017903%.

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Exemple 8:

Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, alors le taux effectif d’escompte équivalent est

soit 4.7619048%.

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Exemple 9:

Nous allons illustrer la formule

au moyen d’un exemple numérique.

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Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif d’escompte de 6% par année et qu’il y a autant d’emprunteurs que nous le désirons.

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Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0.06) = 9400$ au début de l’année et remboursera 10000$ à la fin de l’année.

Du 10000$, il nous reste 10000 - 9400 = 600$ à prêter.

Le second emprunteur recevra 600(1 - 0.06) = 564$ au début de l’année et remboursera 600$ à la fin de l’année

Du 600$, il nous reste 600 - 564 = 36$ à prêter.

Le troisième emprunteur recevra 36(1 - 0.06) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de l’année.

Ainsi de suite à l’infini

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En résumé, nous avons

Emprunteur Montant reçu au début de l’année

Montant remboursé à la fin de l’année

1er 9400 10000

2e 564 600

3e 33.84 36...

.

.

....

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À la fin de l’année, nous recevrons

Cette somme est égale à

Nous pouvons calculer cette dernière somme.

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Nous avons

si - 1 < x < 1.

Donc

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Finalement nous obtenons que l’intérêt est

et le taux d’intérêt est

c’est-à-dire 6.3830%.

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Plus généralement, nous avons que l’intérêt est égal à

si le capital prêté est k et et le taux d’escompte est d.

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Donc le taux d’intérêt est