AHP

AHPAHPفرایند تحلیل سلسله فرایند تحلیل سلسله

مراتبیمراتبی

پیشگفتارپیشگفتار

یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری Analytical Hierarchy Analytical Hierarchy))فرایند تحلیل سلسله مراتبی فرایند تحلیل سلسله مراتبی

process-AHPprocess-AHP ) ) که اولین بار توسط توماس ال که اولین بار توسط توماس ال مطرح شد . که بر اساس مطرح شد . که بر اساس 19801980ساعتی در ساعتی در

مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می

دهد .دهد .

انواع حالت های تصمیم گیریانواع حالت های تصمیم گیری

گیری تصمیم

پیوسته فضای گسسته فضای

معیاره تک معیاره چند معیاره تک معیاره چند

کمی معیار

کیفی معیار

- کیفی کمی معیار

کمی معیار

کیفی معیار

کمی معیار

کیفی معیار

- کیفی کمی معیار

کمی معیار

کیفی معیار

اصول فرایند تحلیل سلسله اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبیمراتبی

((Reciprocal ConditionReciprocal Condition)) شرط معکوسی شرط معکوسی ..11اصل اصل

((HomogeneityHomogeneity)) همگنی همگنی ..22اصل اصل

((DependencyDependency ) ) وابستگی وابستگی..33اصل اصل

((ExpectationExpectation)) انتظارات انتظارات ..44اصل اصل

شرط معکوسیشرط معکوسی

باشد باشد nn برابر برابر BB بر عنصر بر عنصر AA اگرترجیح عنصر اگرترجیح عنصر خواهد بود .خواهد بود .nn//11 برابر برابر AA بر عنصر بر عنصر BBترجیح عنصر ترجیح عنصر

همگنیهمگنی

باید همگن و قابل قیاس باید همگن و قابل قیاس BB با عنصر با عنصر AA عنصر عنصر BB بر عنصر بر عنصر AAباشند . به بیان دیگر برتری عنصر باشند . به بیان دیگر برتری عنصر نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.

وابستگیوابستگی

هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح باالتر هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح باالتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا باالترین سطح می تواند ادامه این وابستگی تا باالترین سطح می تواند ادامه

داشته باشد.داشته باشد.

انتظاراتانتظارات

هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.

فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاهفرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه

ساخت سلسله مراتبیساخت سلسله مراتبی►مقایسه های زوجیمقایسه های زوجی►ترکیب وزنهاترکیب وزنها►تحلیل حساسیتتحلیل حساسیت►روش رتبه بندیروش رتبه بندی►

مثالمثال

یکی را یکی را A,B,CA,B,C تصور کنید که از بین سه اتومبیل تصور کنید که از بین سه اتومبیل انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ، قیمت ، مصرف انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ، قیمت ، مصرف سوخت، مدل مطرح می باشد .حل این مثال را سوخت، مدل مطرح می باشد .حل این مثال را

طی قدمهای زیر تشریح می کنیم:طی قدمهای زیر تشریح می کنیم:

ساختن سلسله مراتبی ساختن سلسله مراتبی

محاسبه وزنمحاسبه وزن

سازگاری سیستمسازگاری سیستم

ساختن سلسله مراتبیساختن سلسله مراتبی

اتومبیل بهترین انتخاب

اتومبیل بهترین انتخاب اتومبیل بهترین اتومبیل انتخاب بهترین انتخاب

اتومبیل بهترین انتخاب

اتومبیل بهترین انتخاب

اتومبیل بهترین اتومبیل انتخاب بهترین انتخاب

محاسبه وزنمحاسبه وزن

مقدار مقدار عددیعددی

ترجیحات )قضاوت شفاهی(ترجیحات )قضاوت شفاهی(

99 Extremely preferredExtremely preferred کامال مرجح یا کامال مهم تر یا کامال مرجح یا کامال مهم تر یا کامال مطلوب ترکامال مطلوب تر

77 Very strongly Very strongly preferredpreferred

ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قویخیلی قوی

55 Strongly preferredStrongly preferred ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قویقوی

33 Moderately preferredModerately preferred کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب ترکمی مطلوب تر

11 Equally preferredEqually preferred ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسانیکسان

88،،66،،44،،22

ترجیحات بین فواصل قویترجیحات بین فواصل قوی

محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتیراحتی

AA اتومبیلاتومبیل

BB اتومبیلاتومبیل CC اتومبیلاتومبیل

AA11 اتومبیلاتومبیل 22 88

BB اتومبیلاتومبیل

1/21/2 11 66

CC1/81/8 اتومبیلاتومبیل 1/61/6 11

قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با ..هم جمع می کنیمهم جمع می کنیم

AA اتومبیلاتومبیل

BB اتومبیلاتومبیل

CC اتومبیلاتومبیل

AA11 اتومبیلاتومبیل 22 88

BB اتومبیلاتومبیل

1/21/2 11 66

CC1/81/8 اتومبیلاتومبیل 1/61/6 11

جمع هر جمع هر ستونستون

13/813/8 19/619/6 1515

قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصرکل ستون همان عنصر

) نرماالیزکردن() نرماالیزکردن(

AA اتومبیلاتومبیل

BB اتومبیلاتومبیل CC اتومبیلاتومبیل

AA8/138/13 اتومبیلاتومبیل 12/1912/19 8/158/15

BB اتومبیلاتومبیل

4/134/13 6/196/19 6/156/15

CC1/131/13 اتومبیلاتومبیل 1/191/19 1/151/15

قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطردر هر سطر

AAاتومبیاتومبیلل

BB اتومبیلاتومبیل

CC اتومبیلاتومبیل

متوسط متوسط سطرسطر

AAاتومبیاتومبی لل

0.6150.615 0.6310.631 0.5330.533 0.5930.593

BB اتومبیلاتومبیل

0.3080.308 0.3160.316 0.4000.400 0.3410.341

CCاتومبیاتومبی لل

0.0770.077 0.0530.053 0.0670.067 0.0660.066

جمع کلجمع کل 11 11 11 11

ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت بهنسبت به

قیمقیمتت

AA اتومبیلاتومبیل BB اتومبیلاتومبیل CC اتومبیلاتومبیل

AA11 اتومبیلاتومبیل 1/31/3 1/4

BB اتومبیلاتومبیل

33 11 1/21/2

CC اتومبیلاتومبیل 44 22 11

ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت بهنسبت به

AA اتومبیلاتومبیل BB اتومبیلاتومبیل CC اتومبیلاتومبیل

AA11 اتومبیلاتومبیل 1/41/4 1/6

BB اتومبیلاتومبیل

44 11 1/31/3

CC اتومبیلاتومبیل 66 33 11

مصرمصر

فف

AA اتومبیلاتومبیل BB اتومبیلاتومبیل CC اتومبیلاتومبیل

A A اتومبیلاتومبیل

11 44 44

BB اتومبیلاتومبیل

33 11 77

C C اتومبیلاتومبیل 1/41/4 1/71/7 11

ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت بهنسبت به

مدلمدل

وزن اتومبیل ها برای معیار های ، وزن اتومبیل ها برای معیار های ، و و

قیمتقیمت مصرفمصرف مدلمدل

A A اتومبیلاتومبیل

0.123 0.087 0.265

BB اتومبیلاتومبیل

0.320 0.274 0.655

C C اتومبیلاتومبیل 0.557 0.639 0.080

قیمقیمتت

مصرمصرفف

مدمدلل

ماتریس مقایسه زوجی معیارهاماتریس مقایسه زوجی معیارها

قیمتقیمت مصرفمصرف راحتیراحتی مدلمدل

قیمتقیمت 11 33 22 2

مصرفمصرف 1/3 1 1/4 1/4

راحتیراحتی 1/2 4 1 1/2

1/2 مدلمدل 4 2 1

وزن هر یک از معیارهاوزن هر یک از معیارها

قیمتقیمت 0.3980.398 مصرفمصرف 0.0850.085

راحتیراحتی 0.2180.218 مدلمدل 0.299 0.299

وزن اتومبیل ها نسبت به معیارهاوزن اتومبیل ها نسبت به معیارها

قیمتقیمت مصرفمصرف راحتیراحتی مدلمدل

A A اتومبیلاتومبیل

0.123 0.087 0.593 0.265

B B اتومبیلاتومبیل

0.320 0.274 0.341 0.655

C C اتومبیلاتومبیل

0.557 0.639 0.066 0.080

محاسبه وزن نهائی اتومبیلمحاسبه وزن نهائی اتومبیل

AAوزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل 0.3980.398**0.123+0.0850.123+0.085**0.087+0.2180.087+0.218**0.593+0.2990.593+0.299**0.2650.265==0.2650.265

BBوزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل

0.3980.398**0.320+0.0850.320+0.085**0.274+0.2180.274+0.218**0.341+0.2990.341+0.299**0.6550.655==0.4210.421

CCوزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل

0.3980.398**0.557+0.0850.557+0.085**0.639+0.2180.639+0.218**0.066+0.2990.066+0.299**0.0800.080==0.3140.314

اولویت نهائی اتومبیل هااولویت نهائی اتومبیل ها

وزن اتومبیلاتومبیل اولویتاولویت

0.431 B 1

0.314 C 2

0.265 A 3

ساختن سلسله مراتبیساختن سلسله مراتبی

سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده

ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد . ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد . سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر

باشد :باشد :

هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها

هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها

یک نمونه کلی از ساختمان سلسله یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبیمراتبی

) هدف ) مساله کلی تصمیم

1معیار 2معیار n معیار

معیار 1 زیر 2 معیار زیر n معیار زیر

n گزینه 1گزینه 2گزینه

...

...

...

سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسهسلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه

استاندارد کلی دانش استاندارد کلی دانش V :V: نظمنظم K :K: آمادگی برای دانشگاهآمادگی برای دانشگاه L : L : آموزشهای جانبیآموزشهای جانبیS:S:کیفیت آموزشیکیفیت آموزشی F :F: آموزانآموزان

مدرسه بهترین انتخاب

آموزشی فرهنگیاجتماعی

S LKVF

CBA

محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبیمراتبی

محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می

گیرد:گیرد:

وزن نسبی وزن نسبی(( local prioritylocal priority ((

وزن نهایی وزن نهایی ( (overall priorityoverall priority))

روشهای محاسبه وزن نسبیروشهای محاسبه وزن نسبی

روش حداقل مربعاتروش حداقل مربعات1.1.

روش حداقل مربعات لگاریتمیروش حداقل مربعات لگاریتمی2.2.

روش بردار ویژهروش بردار ویژه3.3.

روشهای تقریبیروشهای تقریبی4.4.

) least squares method () least squares method ( روش حداقل روش حداقل مربعاتمربعات

ها ها یایا ((ii ووj j ( به سازگاری حالت به ) در سازگاری حالت درکلیه کلیه ازاء ازاء

حالت j jوو ii یایا ) ) حالت در دریک ) برای حداقل یک ) ناسازگاری برای حداقل ناسازگاری

iW

jijWa

j

iij W

Wa

iW

jijWa

j

iij W

Wa

n

i

n

j

MINZ1 1

2ijij W-Wa

n

iiW

1

1

St:

برای حل مساله فوق ، معادله الگرانژی آن به صورت برای حل مساله فوق ، معادله الگرانژی آن به صورت ..زیر در نظرگرفته می شودزیر در نظرگرفته می شود

n

ii

n

i

n

j

WL11 1

2ijij 12 W-Wa

011

n

jljljil

n

iilil WWaaWWa nl ,...,2,1

1

0.22.

0..22

21

22

22122

1211221

2211212

21112

11

WW

WaaaWaa

WaaWaaa

اگر از wl : مشتق بگیریم خواهیم داشت معادله فوق نسبت به

n=2: باشد ، داریم اگر

مثالمثال

13/12

313

2/13/11

A=

نشان می دهیم ماتریس مقایسه ، ناسازگار 1 است . )

وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات (2.به دست می آوریم

ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر :: بگیریدبگیرید

ها برقرار نباشد ها برقرار نباشد i,j,ki,j,kاگر رابطه برای یکی از اگر رابطه برای یکی از ماتریس ناسازگار خواهد بود.ماتریس ناسازگار خواهد بود. ijkjik aaa .

133/13,3/1 2312132312 aaaaa

2206.0

6059.0

1735.0

1

04/453/102/5

03/109/203/10

02/53/1015

3

2

1

321

321

321

321

W

W

W

WWW

WWW

WWW

WWW

از حل دستگاه فوق خواهیم : داشت

روش حداقل مربعات لگاریتمیروش حداقل مربعات لگاریتمی )logarithmic least squares method()logarithmic least squares method(

ها ها یایا ((ii ووj j ) ازاء به سازگاری حالت ازاء ( در به سازگاری حالت در کلیهکلیه

ناسازگاری j jوو ii یایا ) ) حالت ناسازگاری در حالت دریک( برای یک( حداقل برای حداقل

j

iij W

Wa

1j

jij WW

aj

iij W

Wa

1j

jij W

Wa

2

2 11

1 1

nnn

i

n

j i

jij Z

W

Wa

میانگین هندسی این اختالفات برابر :است با

LnZn

WWLnLnan

WWLnLna

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjiij

21 1

2

1 1

1/

1

0/

در حالت سازگاری

در حالت ناسازگاری

((Eigenvector Method Eigenvector Method روش بردار ویژهروش بردار ویژه ))

ijaij

nnnnnn

nn

nn

WWaWaWa

WWaWaWa

WWaWaWa

.

.

.

2211

22222121

11212111

ترجیح عنصر ام بر ام است و وزن عنصر ام و .یک عدد ثابت است

i iW

ii::ام طبق تعریف قبل برابر است باام طبق تعریف قبل برابر است با وزن عنصروزن عنصر

AW

ni ,,2,1

n

ijiji WaW

1

1

WWA .

دستگاه معادالت فوق را به صورت زیر می توان نوشت:

که همان ماتریس مقایسه زوجی} یعنی {و بردار وزن و یک اسکالر است.][ ijaA

مثالمثالبرای ماتریس زیر، بردار و مقدار ویژه را محاسبه برای ماتریس زیر، بردار و مقدار ویژه را محاسبه

می کنیم.می کنیم.

33

42

حل:

0.33

0.42.

33

42

33

42

221

121

2

1

21

21

2

1

WWW

WWW

W

W

WW

WW

W

W

0(3()2)(2)3

012(2)3

0(3)3

04(2)

(2)

3

21

21

21

21

WW

WW

WW

WW

برای حل این دستگاه می توان نوشت:

که خواهیم داشت:که خواهیم داشت:

0650(3()2)120

0(3()2)12 2

2

22

W

WW

1,6

3,40431

5.00446

2121

2121

WWWW

WWWW

121 WW با قرار دادن مقادیر در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه ، بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود.

5.0

5.06

5.0

5.0

33

42

3

4(1)

3

4

33

42

رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است:

در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ، طبق در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ، طبق مراحل زیر عمل می کنیم:مراحل زیر عمل می کنیم:

را تشکیل می دهیم. را تشکیل می دهیم.AAماتریس ماتریس 1.1.

ماتریس را مشخص کنید.ماتریس را مشخص کنید.2.2.

دترمینان ماتریس را محاسبه کرده و آن را دترمینان ماتریس را محاسبه کرده و آن را 3.3.مساوی صفر قرار داده و مقادیر را محاسبه کنید.مساوی صفر قرار داده و مقادیر را محاسبه کنید.

بزرگترین را نامیده و آن را در رابطه بزرگترین را نامیده و آن را در رابطه 4.4.قرار داده و با استفاده ازرابطه قرار داده و با استفاده ازرابطه

ها را محاسبه نمایید.ها را محاسبه نمایید. مقادیر مقادیر

(.) IA

0() max WIA

(.) IA

0() max WIA iWmax

مثالمثال

اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه

بدست می آوریم .بدست می آوریم .

13

12

3132

1

3

11

A

:حل

02

5(1)3(1)

1312

3132

13

11

(det) 3

IA

بعد از حل معادله قبل، محاسبه بعد از حل معادله قبل، محاسبه می گردد. معادله ماتریسیمی گردد. معادله ماتریسی

را تشکیل داده و ها را را تشکیل داده و ها را محاسبه می کنیم.محاسبه می کنیم.

معادله را به دستگاه فوق اضافه معادله را به دستگاه فوق اضافه می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود.می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود.

0536.3max 0() max WIA iW

1321 WWW

(2493.0,5936.0,1571.0)TW

0

0536.2312

30536.232

13

10536.2

3

2

1

W

W

W

قضیه:قضیه:

برای یک ماتریس مثبت و معکوس ، همچون ماتریس برای یک ماتریس مثبت و معکوس ، همچون ماتریس مقایسه زوجی ، بردار ویژه را می توان از رابطه زیر مقایسه زوجی ، بردار ویژه را می توان از رابطه زیر

بدست آورد.بدست آورد.

که در آن می باشد. که در آن می باشد.

eAe

eAW

kT

k

k ..

.lim

(1,,1,1) Te

k =1k =1ابتدا را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای ابتدا را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای داریم:داریم:

حال حاصل عبارت را محاسبه می نماییم:حال حاصل عبارت را محاسبه می نماییم:

eAk .

n

jnj

n

jj

n

jj

nnnn

n

n

k

a

a

a

aaa

aaa

aaa

eA

1

12

11

21

22221

11211

1

1

1

.

eAe kT ..

n

i

n

jij

n

jnj

n

jj

n

jj

kTkT a

a

a

a

eAeeAe1 1

1

12

11

111(..)..

مثالمثال

اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد:زیر باشد:

محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است:زیر است:

12214

2113

13

23194

13

19

11

A

حل:حل:

در تکرار اول داریم:در تکرار اول داریم:

AA بردار حاصل از جمع سطری ماتریس بردار حاصل از جمع سطری ماتریس = =

eAe

eAW

T ..

.1

11

25837.0

16651.0

51675.0

05837.0

50.7

833.4

15

694.1

1Wnormalize

در تکرار دوم داریم:در تکرار دوم داریم:

بنابر این خواهیم داشت:بنابر این خواهیم داشت:

eAe

eAW

T ..

.2

22

48333.61111.25.18

4167.2425.111

75.713435

8889.05.14583.04

2A

26943.015994.051196.005867.02 W

در تکرارسوم و چهارم و پنجم به در تکرارسوم و چهارم و پنجم به WWمقدار نهایی مقدار نهایی صورت زیر است:صورت زیر است:

26943.015958.051259.005882.03 W

26886.015971.051261.005882.04 W

26886.015971.051261.005882.05 W

))ApproximationApproximation MethodMethod(( روشهای تقریبیروشهای تقریبی

مجموع سطریمجموع سطری1.1.

مجموع ستونیمجموع ستونی2.2.

میانگین حسابیمیانگین حسابی3.3.

میانگین هندسیمیانگین هندسی4.4.

مثالمثالماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است. با ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است. با

چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم.کنیم.

4321 AAAA

4

3

2

1

A

A

A

A

14/16/17/1

414/16/1

6415/1

7651

56.1

42.5

20.11

19

04.0

15.0

30.0

51.0

14/16/17/1

414/16/1

6415/1

7651مجموع عناصر هر سطر بردار

نرمالیزه

::مجموع سطریمجموع سطری

::مجموع ستونیمجموع ستونی

14/16/17/1

414/16/1

6415/1

7651مجموع عناصر هر ستون

بردار نرمالیزه

1825.1143.651.1

06.009.016.066.0 06.009.016.068.0بردار

معکوس

میانگین حسابی:میانگین حسابی:

06.002.003.009.0

22.009.004.011.0

33.036.016.013.0

39.053.078.066.0

14/16/17/1

414/16/1

6415/1

7651نرمالیزه ی

ستونها

میانگین سطری

050.0

115.0

245.0

590.0

::میانگین هندسیمیانگین هندسی

14/16/17/1

414/16/1

6415/1

7651

نرمالیزه ی ستونها

278.014/16/17/1

639.0414/16/1

480.16415/1

807.37651

4

4

4

4

میانگین هندسی

04.0

10.0

24.0

61.0

محاسبه وزن نهاییمحاسبه وزن نهایی

وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن

گزینه ها بدست می آید.گزینه ها بدست می آید.

مثالمثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به

یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی YYووXXاسامی اسامی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از: انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از:

( ( PP( تواناییهای شخصی)( تواناییهای شخصی)LLقابلیت رهبری و هدایت)قابلیت رهبری و هدایت)( ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در ( ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در AAوتواناییهای اداری)وتواناییهای اداری)

این مورد بدست آمده اند.این مورد بدست آمده اند.

1

4

141

Y

X

12

14

2134

1

3

11

A

P

L

APL

133

11

Y

XYX

1

2

121

Y

X

YX YX

((LLقابلیت رهبریقابلیت رهبری )) ((PP تواناییهای تواناییهای((شخصیشخصی

((AA تواناییهای تواناییهای((اداریاداری

معیارها

حل:حل:

ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم.ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم.

YX

LP

A

هدف

محاسبه وزنمحاسبه وزن

: داریم :یعنی داریم یعنی

360.0

512.0

128.0

13

4

22

6

8

413

8

11

6

8

313

1

33

6

8

1

12

14

2134

1

3

11

11 WD rowmeansnormalize

128.0,512.0,360.0 LPA WWW

5

1,

5

4

5

15

4

14

141

22

LYLX

normalize WWWD

4

3,

4

1

4

34

1

133

11

33

PYPX

normalize WWWD

3

1,

3

2

3

13

2

12

121

44

AYAX

normalize WWWD

: نهایی وزن :محاسبه نهایی وزن محاسبه

توجه داشته باشید که بنابر این گزینه یا توجه داشته باشید که بنابر این گزینه یا انتخاب می گردد. انتخاب می گردد. YYشخص شخص

5296.0(360.03

1)(512.0

4

3)(128.0

5

1)

4704.0(360.03

2)(512.0

4

1)(128.0

5

4)

Y

X

W

W

1 YX WW

::محاسبه نرخ ناسازگاریمحاسبه نرخ ناسازگاری

ماتریس سازگار و خصوصیات آنماتریس سازگار و خصوصیات آن►ماتریس ناسازگار و خصوصیات آنماتریس ناسازگار و خصوصیات آن►الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریسالگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس►الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله ►

مراتبیمراتبی

ماتریس سازگار و خصوصیات آنماتریس سازگار و خصوصیات آن

و nnاگر اگر باشیم داشته شرح به و معیار باشیم داشته شرح به معیارباشد : زیر صورت به آنها زوجی مقایسه باشد : ماتریس زیر صورت به آنها زوجی مقایسه ماتریس

که در آن ترجیح عنصر را بر نشان می دهد . که در آن ترجیح عنصر را بر نشان می دهد . چنانچه در چنانچه در

این ماتریس داشته باشیم : این ماتریس داشته باشیم :

سازگار است . سازگار است .AA آنگاه می گوییم ماتریس آنگاه می گوییم ماتریس

nCCC ,,, 21

ijaA nji ,,2,1,

ijaicjc

ijkjik aaa nkji ,,2,1,,

مثالمثال

13/16/1

312/1

621

1

C

B

A

p

1

3

6

C

B

A

1.0

3.0

6.0

W

3/1

1

2

C

B

A

CBA

C اهمیت نسبی عناصر نسبت به

B اهمیت نسبی عناصر نسبت به

1.0

3.0

6.0

W

طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس) (ازرابطه زیر طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس) (ازرابطه زیر ::به دست می آیدبه دست می آید

با : است برابر حاصلضرب با :که است برابر حاصلضرب که

: داشت خواهیم :بنابراین داشت خواهیم بنابراین

WWP 3

1.0

3.0

6.0

3

3.0

9.0

8.1

1.0

3.0

6.0

13/16/1

312/1

621

1

WWP .1

WP 1

WWP .31

هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر :: استاست

می 1.1. عنصر هر نرمالیزه مقدار برابر عناصر وزن می مقدار عنصر هر نرمالیزه مقدار برابر عناصر وزن مقدارباشد.باشد.

است ( ( .2.2. ماتریس طول برابر ویژه است ( ( .مقدار ماتریس طول برابر ویژه مقدار

است .3.3. صفر ماتریس دراین ناسازگاری است .مقدار صفر ماتریس دراین ناسازگاری مقدار

nWAW

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آنماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

یک – یک –قضیه اگر مقادیر ویژه ماتریس اگر مقادیر ویژه ماتریس قضیه nn باشد مجموع مقادیر آنها برابر باشد مجموع مقادیر آنها برابر AAمقایسه زوجی مقایسه زوجی

است :است :

دو – دو –قضیه بزرگترین مقدار ویژه همواره بزرگتر یا بزرگترین مقدار ویژه همواره بزرگتر یا قضیه nnمساوی مساوی

است )در این صورت برخی از ها منفی خواهند بود .(است )در این صورت برخی از ها منفی خواهند بود .(

n ,,, 21

nn

ii

1

nmax

max

اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت قضیه سه – قضیه سه – سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی

. . از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفتاز حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت

که در آن به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه که در آن به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه بوده بوده nn می باشد .یک مقدار ویژه برابر می باشد .یک مقدار ویژه برابر AAماتریس ماتریس

)بزرگترین مقدار ویژه ( و بقیه آنها برابر صفر )بزرگترین مقدار ویژه ( و بقیه آنها برابر صفر هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت :هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت :

ناسازگار باشد ناسازگار باشد AAدر حالتی که ماتریس مقایسه زوجی در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی ، ،33طبق قضیه طبق قضیه

WWA .Wو

nWAW

max

فاصله می گیرد که می توان نو شت : فاصله می گیرد که می توان نو شت :nn کمی از کمی از

شاخص ناسازگاری شاخص ناسازگاری

WWA .max

nmax

1. max

n

nII

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریسماتریس

را تشکیل دهید. را تشکیل دهید.AA ماتریس مقایسه زوجی ماتریس مقایسه زوجی ..11

. . را مشخص نمایید را مشخص نماییدWW بردار وزن بردار وزن ..22 )یعنی مشخص است ؟ اگر )یعنی مشخص است ؟ اگر AA آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ..33

پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :

تخمین مناسبی ازبه تخمین مناسبی ازبه AA در ماتریس در ماتریس WWبا ضرب بردار با ضرب بردار --1-31-3 دست آورید دست آورید

مربوطه مربوطه WW با تقسیم مقادیر به دست آمده برای بر با تقسیم مقادیر به دست آمده برای بر--2-32-3 تخمین هایی از را محاسبه نمایید . تخمین هایی از را محاسبه نمایید .

متوسط به دست آمده را پیدا کنید . متوسط به دست آمده را پیدا کنید . --3-33-3

مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم: مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم: . .44

آورید :..55 دست به زیر فرمول از را ناسازگاری آورید :نرخ دست به زیر فرمول از را ناسازگاری نرخ

max

W.max

W.maxmax

max

1. max

n

nII

RII

IIRI

..

....

برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید .محاسبه کنید .

حلحل

: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :22وو11قدم قدم

مثالمثال

16/18/1

612/1

821

A

066.0

341.0

593.0

W

را: 33قدم قدم آن باید ، باشد نمی مشخص مقدار که آنجا را: از آن باید ، باشد نمی مشخص مقدار که آنجا ازبزنیم . تخمین زیر های قدم بزنیم .طبق تخمین زیر های قدم طبق

تخمین- تخمین- 11--33قدم قدم

ها- 22--33قدم قدم ها- محاسبه محاسبه

ها- 33--33قدم قدم میانگین ها- محاسبه میانگین محاسبه

max

max

max

W.max

197.0

034.1

803.1

066.0

341.0

593.0

16/18/1

612/1

821

.WA

985.2066.0197.0

032.3341.0034.1

040.3593.00803.1

3max

2max

1max

019.33

3max2max1maxmax

: محاسبه شاخص ناسازگاری : محاسبه شاخص ناسازگاری 44 قدم قدم

: محاسبه نرخ ناسازگاری : محاسبه نرخ ناسازگاری 55 قدم قدم

است که کمتر است که کمتر 0.0170.017 نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد . بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد .0.10.1از از

010.013

3019.3

1. max

n

nII

017.0..

....

33

RII

IIRI

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبیسلسله مراتبی

برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر

مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم . این حاصل جمع را می نامیم . همچنین می آوریم . این حاصل جمع را می نامیم . همچنین

وزن عناصر را در ماتریس های مربوطه ضرب وزن عناصر را در ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را نامگذاری می کنیم . کرده و مجموعشان را نامگذاری می کنیم .

حاصل تقسیمحاصل تقسیم

نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد ..

..II

RII ..

RIIII

...

..II

... RII

مثالمثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به

یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی YYووXXاسامی اسامی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از: انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از:

( ( PP( تواناییهای شخصی)( تواناییهای شخصی)LLقابلیت رهبری و هدایت)قابلیت رهبری و هدایت)( ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در ( ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در AAوتواناییهای اداری)وتواناییهای اداری)

این مورد بدست آمده اند.این مورد بدست آمده اند.

1

4

141

Y

X

12

14

2134

1

3

11

A

P

L

APL

133

11

Y

XYX

1

2

121

Y

X

YX YX

((LLقابلیت رهبریقابلیت رهبری )) ((PP تواناییهای تواناییهای((شخصیشخصی

((AA تواناییهای تواناییهای((اداریاداری

معیارها

می محاسبه را مراتبی سلسله ناسازگاری نرخ مثال این می در محاسبه را مراتبی سلسله ناسازگاری نرخ مثال این در : :نماییمنماییم

YX

L PA

هدف

YX YX

های وزن حسابی میانگین روش کارگیری به های با وزن حسابی میانگین روش کارگیری به با: عبارتنداز :محلی عبارتنداز محلی

داریم : داریم :یعنی یعنی

360.0

512.0

128.0

13/422/68/4

13/811/68/3

13/133/68/1

12/14

213

4/13/11

11 WD normalizenormalize

128.0,512.0,360.0 LpA WWW

3/1,3/23/1

3/2

12/1

21

4/3,4/14/3

4/1

13/1

31

5/1,5/45/1

5/4

14/1

41

22

33

22

AYAXnormalize

PYPXnormalize

LYLXnormalize

WWWD

WWWD

WWWD

وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با :وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با :

برای ماتریس داریم :برای ماتریس داریم :

5296.0360.03/1512.04/3128.05/1

4704.0360.03/2512.04/1128.05/4

Y

X

W

W

1max11 .WWD

128.1

616.1

389.0

360.0

512.0

128.0

12/14

213

4/13/11

11 WD

1D

133.3

156.3

039.3

128.1

616.1

389.0

. max1max W

019.33

3max2max1maxmax

054.013

3019.3

1. max

n

nII

58.0... 33 RII

432 ,, DDD

0.........

0......

432

432

RIIRIIRII

IIIIII

به همین ترتیب برای ماتریس های می : توان نوشت

580.0

0

0

0

360.0512.0128.0580.01...

054.0

0

0

0

360.0512.0128.0054.01..

RII

II

093.0580.0

054.0

...

....

RII

IIRI

بوده 0.1در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از و قابل قبول است و نیازی به تجدید نظر در قضاوت ها

. نیست

THE ENDTHE END