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PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
Análise Matricial de Estruturas - Introdução
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
Muitos conceitos da análise matricial de estruturas formulada pelo método dos deslocamentos aparecem também na formulação do método dos elementos finitos
• vigas contínuas
Conceituação
Estruturas de barras
• vigas poligonais• pórticos planos• treliças• pórticos espaciais• grelhas• associações
2
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
6
5
4
3
2
1
}{
RRRRRR
R
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
6
5
4
3
2
1
}{
UUUUUU
U
nós
barras: elementos estruturais simples
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
Suponha
Resolvendo-se a estrutura pode-se calcular os deslocamentos em todos os pontos, em particular,
Entãoconstante
1U
1111 RLU =
Considere-se
Analogamente
2121 RLU =
3
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
ou
Então
RLU = matriz de flexibilidadeL =
deslocamento para o grau de liberdade i devido a um esforço unitário aplicado segundo o grau de liberdade j
=ijL
[ ] { } [ ] [ ]{ } [ ]{ } { }RRIRLLUL === −− 11
[ ] [ ]KL =−1 matriz de rigidez
{ } [ ]{ }UKR =
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
Considerando-se
Sendo todos esforços externos não nulos, pode-se escrever
superposição de efeitos
e considerados os vários graus de liberdade de deslocamentos
2121111 RLRLU +=
6162121111 ... RLRLRLU +++=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
RRRRRR
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
UUUUUU
4
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
000010
U
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
RRRRRR
UUUUUU
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
RK =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
000010
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
62
52
42
32
22
12
KKKKKK
R
Método de construção da matriz de rigidez
esforço segundo o grau de liberdade i quando se impõe um deslocamento unitário segundo o grau de liberdade j e os deslocamentos segundo os demais grausdeliberdade são impedidos
=ijK
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
Exemplo: Pórtico plano com carregamento nodal
primeira coluna da matriz de rigidez barra 1 barra 2
2222211
222211
32400
300000
kNmIEIEIE
kNAEAEAE
===
===
5
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
Equilíbrio do nó A
{ }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
+
00
0
2
22
31
116
2
2231
1112
1 AE
IE
AEIE
iK
Equilíbrio do nó B
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
RUK =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
− 6
5
4
3
2
1
756002160012150216002160002160089400021600144000
12150010607500100000216002160007560021600121502160014400021600894000
00100000121500106075
200000
100
UUUUUU
6
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
barrasesforços nas seçõesde extremidade
RUK =
U u esforços em qualquer seção
{ }
1
2
3
4
5
6
0.01250.00080.0019
0.01200.00080.0021
UUU
UUUU
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
−
−−−
1
11421
116
1
11221
1161
111
11
21
11631
111221
11631
11121
11221
116
1
11421
1161
111
11
21
11631
111221
11631
1112
)1(
00
0000
00
00
0000
00
l
IE
l
IE
l
IE
l
IElAE
lAE
l
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
l
IE
l
IElAE
lAE
l
IE
l
IE
l
IE
l
IE
k
Barra 1
7
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
53
63
91
53
63
121
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−−−
=
324000121501620001215007500000750000
121500607512150060751620001215032400012150
0750000075000012150060751215006075
)1(k
{ } [ ]{ } [ ]
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
==
92.9052.6503.5320.12152.6203.53
0019.00008.00125.0000
)1()1()1()1( kukf
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−−−
−
−
−
−
2
22422
226
1
22232
226
22
22632
221222
22632
22122
222
222
22222
226
2
22432
226
22
22632
221222
22632
22122
222
22
)2(
00
00
0000
00
00
0000
l
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
AEl
AEl
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
AEl
AE
k
Barra 2
8
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
91
47
63 63
4797
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
−
=
43200216000216002160002160014400021600144000
001000000010000021600216000432002160002160014400021600144000
0010000000100000
)2(k
{ } [ ]{ } [ ]
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−==
64.9652.6297.4692.9052.62
97.46
0021.00008.0
0120.00019.0
0008.00125.0
)2()2()2()2( kukf
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
E A l
E A l
E A l
E A l
2E I
l6
3E I
l12E I
l4
2E I
l6
3E I
l12
3E I
l12
2E I
l6
2E I
l6
E Il
2
3E I
l12
2E I
l6
2E I
l6
2E I
l6
2E I
l6
E Il
2
E Il
4
12
3
45
6
Barra 3
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−−−
−
−
−
3334
023
336
3332
03
336
03
33003
330
23
33603
3
331223
33603
3
33123
33202
3
336
3
33402
3
336
03
33003
330
23
33603
3
331223
33603
3
3312
)3(
lIE
l
IEl
IEl
IEl
AEl
AEl
IE
l
IE
l
IE
l
IE
lIE
l
IEl
IE
l
IElAE
lAE
l
IE
l
IE
l
IE
l
IE
k
9
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
63
63
77
111
47
47
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
−−
=
324000121501620001215007500000750000
121500607512150060751620001215032400012150
0750000075000012150060751215006075
)3(k
{ } [ ]{ } [ ]
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
==
23.11152.6297.46
64.7652.62
97.46
0000021.00008.0
0120.0
)3()3()3()3( kukf
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-+
-
63
47
63 N (kN)
-
+
-
47
63
V (kN)53
M(kNm)121 111
97
9191 77
+
Esforços Solicitantes
10
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[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
−
−−−
1
11421
116
1
11221
1161
111
11
21
11631
111221
11631
11121
11221
116
1
11421
1161
111
11
21
11631
111221
11631
1112
)1(
00
0000
00
00
0000
00
l
IE
l
IE
l
IE
l
IElAE
lAE
l
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
l
IE
l
IElAE
lAE
l
IE
l
IE
l
IE
l
IE
k
Barra 1
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−−−
−
−
−
−
2
22422
226
1
22232
226
22
22632
221222
22632
22122
222
222
22222
226
2
22432
226
22
22632
221222
22632
22122
222
22
)2(
00
00
0000
00
00
0000
l
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
AEl
AEl
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
l
IE
l
IEl
AEl
AE
k
Barra 2
11
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{ }
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−
21
116
31
1112
21
116
31
1112
)1(4
0
0
l
IE
l
IEl
IE
l
IE
ik { }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
00
00
222
222
)2(1
lAE
lAE
ik
{ }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
+
+
=
)2(61
)2(51
)2(41
)2(31
)1(64
)2(21
)1(54
)2(11
)1(44
4
kkk
kkkkkk
Ki
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
+
00
0
2
22
21
116
2
2231
1112
l
AEl
IE
l
AE
l
IE
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
12
3
45
61
2
3
4
5
6A
B
α
1 11
1 1
Matriz de Rigidez - Barra Bi-engastada
12
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3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
1 2 6 1 2 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
1 2 6 1 2 60 0
6 2 6 40 0
E A E Al l
E I E I E I E Il l l lE I E I E I E Il l l lk
E A E Al l
E I E I E I E Il l l l
E I E I E I E Il l l l
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E A l
2E I
l6
1
2
34
5
6
E A l
E A l
E A l
2E I
l6
2E I
l6
2E I
l6
2E I
l6
2E I
l6
2E I
l62
E Il
62
E Il
6
3E I
l12
3E I
l12
3E I
l123
E Il
12
E Il
2E I
l2 E I
l4E I
l4
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
[ ]1 1
2 2
3 3
u uu t uu u
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
[ ]cos sin 0sin cos 00 0 1
tα αα α
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1
tT
t
α αα α
α αα α
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
α
y
x
xy
z=z
13
PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem
{ } [ ]{ }u T u=
{ } [ ]{ }f k u=
{ } { }f k u⎡ ⎤= ⎣ ⎦
{ } [ ]{ }f T f=
{ } [ ]{ }u T u=Então:
[ ]{ } [ ]{ }T f k T u⎡ ⎤= ⎣ ⎦
[ ]{ } [ ][ ]{ }t tT T f T k T u⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦[ ]1
[ ] [ ] [ ]tk T k T⎡ ⎤= ⎣ ⎦
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