analise_matricial_1

1

PEF-2302 Mecânica da Estruturas – Análise Matricial de Estruturas - Introdução – Miguel L. Bucalem

Análise Matricial de Estruturas - Introdução


Muitos conceitos da análise matricial de estruturas formulada pelo método dos deslocamentos aparecem também na formulação do método dos elementos finitos

• vigas contínuas

Conceituação

Estruturas de barras

• vigas poligonais• pórticos planos• treliças• pórticos espaciais• grelhas• associações

2


⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

6

5

4

3

2

1

}{

RRRRRR

R

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

6

5

4

3

2

1

}{

UUUUUU

U

nós

barras: elementos estruturais simples


Suponha

Resolvendo-se a estrutura pode-se calcular os deslocamentos em todos os pontos, em particular,

Entãoconstante

1U

1111 RLU =

Considere-se

Analogamente

2121 RLU =

3


ou

Então

RLU = matriz de flexibilidadeL =

deslocamento para o grau de liberdade i devido a um esforço unitário aplicado segundo o grau de liberdade j

=ijL

[ ] { } [ ] [ ]{ } [ ]{ } { }RRIRLLUL === −− 11

[ ] [ ]KL =−1 matriz de rigidez

{ } [ ]{ }UKR =


Considerando-se

Sendo todos esforços externos não nulos, pode-se escrever

superposição de efeitos

e considerados os vários graus de liberdade de deslocamentos

2121111 RLRLU +=

6162121111 ... RLRLRLU +++=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

RRRRRR

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

UUUUUU

4


⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

000010

U

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

RRRRRR

UUUUUU

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RK =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

000010

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

62

52

42

32

22

12

KKKKKK

R

Método de construção da matriz de rigidez

esforço segundo o grau de liberdade i quando se impõe um deslocamento unitário segundo o grau de liberdade j e os deslocamentos segundo os demais grausdeliberdade são impedidos

=ijK


Exemplo: Pórtico plano com carregamento nodal

primeira coluna da matriz de rigidez barra 1 barra 2

2222211

222211

32400

300000

kNmIEIEIE

kNAEAEAE

===

===

5


Equilíbrio do nó A

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

+

00

0

2

22

31

116

2

2231

1112

1 AE

IE

AEIE

iK

Equilíbrio do nó B


RUK =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

− 6

5

4

3

2

1

756002160012150216002160002160089400021600144000

12150010607500100000216002160007560021600121502160014400021600894000

00100000121500106075

200000

100

UUUUUU

6


barrasesforços nas seçõesde extremidade

RUK =

U u esforços em qualquer seção

{ }

1

2

3

4

5

6

0.01250.00080.0019

0.01200.00080.0021

UUU

UUUU

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

−

−

−−−

1

11421

116

1

11221

1161

111

11

21

11631

111221

11631

11121

11221

116

1

11421

1161

111

11

21

11631

111221

11631

1112

)1(

00

0000

00

00

0000

00

l

IE

l

IE

l

IE

l

IElAE

lAE

l

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

l

IE

l

IElAE

lAE

l

IE

l

IE

l

IE

l

IE

k

Barra 1

7


53

63

91

53

63

121

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−−−

=

324000121501620001215007500000750000

121500607512150060751620001215032400012150

0750000075000012150060751215006075

)1(k

{ } [ ]{ } [ ]

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

==

92.9052.6503.5320.12152.6203.53

0019.00008.00125.0000

)1()1()1()1( kukf


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−−

−

−

−

−

2

22422

226

1

22232

226

22

22632

221222

22632

22122

222

222

22222

226

2

22432

226

22

22632

221222

22632

22122

222

22

)2(

00

00

0000

00

00

0000

l

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

AEl

AEl

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

AEl

AE

k

Barra 2

8


91

47

63 63

4797

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

−

=

43200216000216002160002160014400021600144000

001000000010000021600216000432002160002160014400021600144000

0010000000100000

)2(k

{ } [ ]{ } [ ]

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−==

64.9652.6297.4692.9052.62

97.46

0021.00008.0

0120.00019.0

0008.00125.0

)2()2()2()2( kukf


E A l

E A l

E A l

E A l

2E I

l6

3E I

l12E I

l4

2E I

l6

3E I

l12

3E I

l12

2E I

l6

2E I

l6

E Il

2

3E I

l12

2E I

l6

2E I

l6

2E I

l6

2E I

l6

E Il

2

E Il

4

12

3

45

6

Barra 3

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−−−

−

−

−

3334

023

336

3332

03

336

03

33003

330

23

33603

3

331223

33603

3

33123

33202

3

336

3

33402

3

336

03

33003

330

23

33603

3

331223

33603

3

3312

)3(

lIE

l

IEl

IEl

IEl

AEl

AEl

IE

l

IE

l

IE

l

IE

lIE

l

IEl

IE

l

IElAE

lAE

l

IE

l

IE

l

IE

l

IE

k

9


63

63

77

111

47

47

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

−−

=

324000121501620001215007500000750000

121500607512150060751620001215032400012150

0750000075000012150060751215006075

)3(k

{ } [ ]{ } [ ]

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

==

23.11152.6297.46

64.7652.62

97.46

0000021.00008.0

0120.0

)3()3()3()3( kukf


-+

-

63

47

63 N (kN)

-

+

-

47

63

V (kN)53

M(kNm)121 111

97

9191 77

+

Esforços Solicitantes

10


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

−

−

−−−

1

11421

116

1

11221

1161

111

11

21

11631

111221

11631

11121

11221

116

1

11421

1161

111

11

21

11631

111221

11631

1112

)1(

00

0000

00

00

0000

00

l

IE

l

IE

l

IE

l

IElAE

lAE

l

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

l

IE

l

IElAE

lAE

l

IE

l

IE

l

IE

l

IE

k

Barra 1


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−−

−

−

−

−

2

22422

226

1

22232

226

22

22632

221222

22632

22122

222

222

22222

226

2

22432

226

22

22632

221222

22632

22122

222

22

)2(

00

00

0000

00

00

0000

l

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

AEl

AEl

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

l

IE

l

IEl

AEl

AE

k

Barra 2

11


{ }

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−

21

116

31

1112

21

116

31

1112

)1(4

0

0

l

IE

l

IEl

IE

l

IE

ik { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

00

00

222

222

)2(1

lAE

lAE

ik

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

+

+

=

)2(61

)2(51

)2(41

)2(31

)1(64

)2(21

)1(54

)2(11

)1(44

4

kkk

kkkkkk

Ki

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

+

00

0

2

22

21

116

2

2231

1112

l

AEl

IE

l

AE

l

IE


12

3

45

61

2

3

4

5

6A

B

α

1 11

1 1

Matriz de Rigidez - Barra Bi-engastada

12


3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

1 2 6 1 2 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

1 2 6 1 2 60 0

6 2 6 40 0

E A E Al l

E I E I E I E Il l l lE I E I E I E Il l l lk

E A E Al l

E I E I E I E Il l l l

E I E I E I E Il l l l

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E A l

2E I

l6

1

2

34

5

6

E A l

E A l

E A l

2E I

l6

2E I

l6

2E I

l6

2E I

l6

2E I

l6

2E I

l62

E Il

62

E Il

6

3E I

l12

3E I

l12

3E I

l123

E Il

12

E Il

2E I

l2 E I

l4E I

l4


[ ]1 1

2 2

3 3

u uu t uu u

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

[ ]cos sin 0sin cos 00 0 1

tα αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1

tT

t

α αα α

α αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

α

y

x

xy

z=z

13


{ } [ ]{ }u T u=

{ } [ ]{ }f k u=

{ } { }f k u⎡ ⎤= ⎣ ⎦

{ } [ ]{ }f T f=

{ } [ ]{ }u T u=Então:

[ ]{ } [ ]{ }T f k T u⎡ ⎤= ⎣ ⎦

[ ]{ } [ ][ ]{ }t tT T f T k T u⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦[ ]1

[ ] [ ] [ ]tk T k T⎡ ⎤= ⎣ ⎦

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