Analiz Yöntemleri Düğüm Anal iz

Analiz YöntemleriDüğüm Analiz

Problem 2.26

• i1 ve i2 akımlarını düğüm analizi ile çözün.

+

V

-

Problem 2.26

• Eşdeğer direnç

bulunursa:

kR

kR

kkR

eq

eq

eq

4.2

12

51

4

1

6

11

+

V

-

Problem 2.26

• Eşdeğer direnç

yardımı ile:

– V gerilimini hesaplarsak.

VV

kmAV

RIV eq

48

)4.2()20(

+

V

-

Problem 2.26

– i1 akımı kolayca hesaplanabilir.

mAk

V

R

Vi 8

6

48

11

+

V

-

Problem 2.26

– Benzer şekilde i2 akımı da hesaplanabilir.

mAk

V

R

Vi 12

4

48

22

+

V

-

Problem 2.26

• Akım bölücü devre

yaklaşımı ile:

• i1 akımı.

mAikk

kmAi

RR

RIi s

846

420

1

1

21

21

+

V

-

Problem 2.26

• Yine aynı bakışla:

• i2 akımı.

mAikk

kmAi

RR

RIi s

1246

620

2

2

21

12

+

V

-

Problem 2.30

• i ve v değerlerini hesaplayınız.

Problem 2.30

• Req = 12 Ω

Ai

Ai

6612

129

Problem 2.30

Ai

Ai

3612

69

2

2

Vv

Av

iv

12

43

42

Düğüm Analizi

• Düğüm analizinde, düğüm gerilimlerinin bulunmasına çalışılır.

• Düğüm analizinde KAK kullanılarak farklı düğümlerin gerilim değerleri bulunur.

Düğüm Analizinin Genel Yapısı1. a. Bir düğüm referans düğüm olarak seçilir (yani NÖTR).

b. Her bir düğüme düğüm gerilim isimleri atanır; mesela v1, v2, ve diğerleri.

2. a. Referans olmayan düğümler için KAK uygulanır. Bu kollardan akan akım değerleri cinsinden bir denklem oluşturur.

b. Herhangi bir koldan akan akım değeri ilgili elemanın tanım bağıntısından (eleman akım-gerilim ilişkisinden) yararlanılarak gerilim cinsinden ifade edilir. Eğer eleman direnç ise bu bağıntı Ohm Kanunu ile verilir. Bu da düğüm gerilimleri cinsinden bir denklem oluşturur.

3. Elde edilen denklemler ile bilinmeyen düğüm gerilimleri çözülür.

Düğüm Analizi:

• V düğüm gerilimini düğüm analizi ile bulunuz.

I2 I3

I1

+

V

-

Düğüm Analizi:

• Düğüm gerilimi isim ataması

I2 I3

I1

+

V

-

V (atanan gerilim adı)

NÖTR - (referans gerilim)

I1

Düğüm Analizi:

• KAK uygulanır

I2 I3+

V

-

V

Current In Current Out

1 2 3

0.020 2 3

I I I

I I

DÜĞÜME GELEN AKIMLAR=DÜĞÜMDEN ÇIKAN AKIMLAR

I1

Düğüm Analizi:

• I2 ve I3 akımlarını V düğüm gerilimi cinsinden yazar ve

• Ohm kanunu ile düzenlersek:

I2 I3+

V

-

V

26000

34000

VI

VI

I1

Düğüm Analizi: I2 I3+

V

-

V

Current In Current Out

1 2 3

0.020 2 3

0.0206000 4000

I I I

I I

V V

DÜĞÜME GELEN AKIMLAR=DÜĞÜMDEN ÇIKAN AKIMLAR

I1

Düğüm Analizi:

• Denklemi çözersek

I2 I3+

V

-

V

0.0206000 4000

0.020 1000 6 46000 4000

480 4 6

480 10

48

V V

V V

V V

V

V V

1a. Öncelikle referans düğüm seçilir.*

TOPRAK NOKTASI REFERANS DÜĞÜM OLARAK SEÇİLİR.

1b. Düğümlere gerilim ataması yapılır.

1b. Atanan gerilimler düzenlenir.

2. Referans olmayan herbir düğüme KAK nu uygulanır.

2a. Referans olmayan herbir düğüme KAK nu uygulanır.

• V1 de KAK ile:I1 = I2 + i1 + i2

• V2 de KAK ile:I2 + i2 = i3

2b. Ohm kanunu kullanılarak herbir dalın akımı düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilir:

• Bir dirençte akım yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru hareket eder.

• Ohm kanunu ile ifade edilen budur

• Mesela

olurR

vvi 212

2b. Ohm kanunu kullanılarak her bir dalın akımı düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilir:

1

11

0

R

vi

2

212 R

vvi

3

23

0

R

vi

2b. Ohm kanunu kullanılarak herbir dalın akımı düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilir:

6

011

v

i

421

2

vvi

2

023

v

i

46510 211 vvvAA

)(3260120 211 vvv

211 33260120 vvv

21 3560 vv

• 1. düğüm eşitliği:

3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için çözülür.

• 2. düğüm denklemi:

3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için çözülür.

245 221 vvv

221 220 vvv

221 220 vvv

21 320 vv

3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için çözülür.

21 3560 vv

2211 3352060 vvvv

21 0480 vv Vv 201

)320( 21 vv

3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için çözülür.

VVv 333.133

402

2340 v232020 v

21 320 vv

3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için çözülür.

• Veya MATRİSLER ile çözüm yapacak olursak:

Şeklinde yazılabilir.

20

60

31

35

2

1

v

v

21 3560 vv )320( 21 vv

3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm gerilimlerini bulmak için çözülür.

20

60

31

351

2

1

v

v

3333.13

20

2

1

v

v

Dikkat edilecek noktalar:

• Düğüm Analizi yapabilmek için her düğüme KAK uygulanarak bir denklem elde etmek gerekir.

• Ancak bağımlı/bağımsız gerilim kaynaklarının bağlı oldukları düğümlere KAK uygulama mümkün olamayacaktır. Çünkü …

• Yani KAK kullanılarak bilinmeyen sayısından daha az sayıda denklem yazabiliriz.

• Bu durumda ne yapmak gerekir ?

Düğüm Analizi:

• V1 V2 gerilimlerini düğüm analizi ile çözünüz.

Düğüm Analizi:

• KAK ile başlıyoruz:

Current In Current Out

0 1 2 3I I I

DÜĞÜME GELEN AKIMLAR=DÜĞÜMDEN ÇIKAN AKIMLAR

Düğüm Analizi:

• Ohm kanunu ve gerilim kaynağının tanım bağıntısı ile

V122V

12

1V2I

6

1V3I

6

2V1V1I

Düğüm Analizi:

• Son denklemleri KAK ile birleştirirsek:

Current In Current Out

0 1 2 3

120

6 12 6

I I I

V V V

DÜĞÜME GELEN AKIMLAR=DÜĞÜMDEN ÇIKAN AKIMLAR

Düğüm Analizi:

• V gerilimini çözersek:

120

6 12 612

0 126 12 6

0 2 24 2

0 5 24

24 5

4.8

V V V

V V V

V V V

V

V

V V

Örnek Soru 3.1:KAK uygulanarak 1. düğüme ait denklem aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

463

122 2111 vvvv

463

122 1211 vvvv

46

0

3

122 2111 vvvv

46

0

3

122 1211 vvvv

Örnek Soru 3.2:KAK uygulanarak 2. düğüme ait denklem aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

6842212 vvvv

6842221 vvvv

68

12

42221 vvvv

68

12

42212 vvvv

Örnek ProblemAşağıdaki devrede düğüm gerilimlerini elde ediniz.

261 121 vvvA

121 3)(16 vvv

614 21 vv

• 1. düğümün eşitliği:

Örnek Problem

0476212

vvv

01686)(7 212 vvv

168137 21 vv

• 2. düğüm denklemi:

Örnek Problem

168137 21 vv

Örnek Problem

• Sistem eşitlikleri:

• Matrisi:

614 21 vv

168

6

137

14

2

1

v

v

14

2

2

1

v

vBuradan cevap v1 = -2 V ve v2 = -14 V

Problem Aşağıdaki devredeki düğüm gerilimlerini bulunuz.

Problem

02510

6 2111

vvvv

0)(5260 2111 vvvv

6058 21 vv

• 1. düğüm denklemi:

Problem

4236 212 vvv

212 )(236 vvv

3632 21 vv

• 2. düğüm denklemi:

Problem

• Sistem eşitlikleri:

• Matrisi:

3632 21 vv

6058 21 vv

36

60

32

58

2

1

v

v

12

0

2

1

v

vBuradan cözüm v1 = 0 V and v2 = 12 V