Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

ParabelForskrift og udseendeTegning af en parabel

Løsning af andengradsligning

Andengradsfunktionen

Ved funktioner taler vi om…

Ved funktioner taler vi om…

Et navn for funktionen(hvad den hedder)

Andengradsfunktionen

Ved funktioner taler vi om…

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)

Et navn for funktionen(hvad den hedder)

Andengradsfunktionen

Ved funktioner taler vi om…

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)

Et grafisk billede(hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

Et navn for funktionen(hvad den hedder)

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

Ved funktioner taler vi om…

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)

Et grafisk billede(hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

Et navn for funktionen(hvad den hedder)

Ved funktioner taler vi om…

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)

Et grafisk billede(hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

Ved funktioner taler vi om…

Et grafisk billede(hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

Ved funktioner taler vi om…

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)y = a·x2 + b·x + c

Ved funktioner taler vi om…

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)y = a·x2 + b·x + c

Parabel

Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en…

parabel

Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:

Andengradsfunktionen

Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en…

parabel

Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:

Andengradsfunktionen

Paraply

Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en…

parabel

Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:

Andengradsfunktionen

Paraply Parabol

Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en…

parabel

Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:

Andengradsfunktionen

Paraply Parabol Parachute(= faldskærm)

Forskriften for en andengradsfunktion

… af simpleste form er…:

y = a·x2 , hvor a er en konstant ≠ 0

Andengradsfunktionen

Forskriften for en andengradsfunktion

… af simpleste form er…:

y = a·x2 , hvor a er en konstant ≠ 0

f.eks.:

y = 1·x2, y = ·x2 eller y = -2·x2

Andengradsfunktionen

12

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2xy

-3

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1

xy

-3

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4

xy

-3

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9

xy

-3

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0

xy

-3

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1

xy

-3

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1 4

xy

-3

Eksempel:

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1 4

xy

-3

9

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

Eksempel:

1

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1 4

xy

-3

9

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

Betydningen af værdien a i funktionsforskriften:

Andengradsfunktionen

y = a·x2 + b·x + c

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

Parabelen har 2 grene

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

Parabelen har 2 grene– og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene.

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

Parabelen har 2 grene– og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene.

Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet.

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

Parabelen har 2 grene– og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene.

Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet.

Grenene vender opad, fordi ”a” er et positivt tal (a = 1)

Men hvad nu, hvis a≠1?

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

y = a·x2

Men hvad nu, hvis a≠1?

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

y = 2·x2

y = a·x2

Men hvad nu, hvis a≠1?

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

y = 2·x2

y = ·x212

y = a·x2

Men hvad nu, hvis a≠1?

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

y = 2·x2

y = ·x2

y = ·x2

12

14

y = a·x2

Men hvad nu, hvis a≠1?

Andengradsfunktionen

y = 1·x2

y = 2·x2

y = ·x2

y = ·x2

12

14

Bemærk, at

… jo større værdi ”a” har, desto stejlere bliver parablen (desto mere ”slås paraplyen sammen”)

… jo mindre værdi ”a” har, desto fladere bliver parablen (og får udseende som en parabol)

y = a·x2

Andengradsfunktionen

y = a·x2Og hvis a er negativ?

Andengradsfunktionen

y = -1·x2

y = a·x2Og hvis a er negativ?

Andengradsfunktionen

y = -1·x2

y = -2·x2

y = a·x2Og hvis a er negativ?

Andengradsfunktionen

y = -1·x2

y = -2·x2

y = - ·x213

y = a·x2Og hvis a er negativ?

Andengradsfunktionen

y = -1·x2

y = -2·x2

y = - ·x2

y = - ·x2

13

18

y = a·x2Og hvis a er negativ?

Andengradsfunktionen

y = -1·x2

y = -2·x2

y = - ·x2

y = - ·x2

13

18

Bemærk, at

… når ”a” er et negativt tal, så vender grenene nedad! (parablen er ked af, at det er negativt; mundvigene nedad!)

… og når ”a” er et positivt tal, så vender grenene opad! (parablen er glad for, at det er positivt; mundvigene opad!)

y = a·x2Og hvis a er negativ?

Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet.Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen:

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet.Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen:

y = a·x2 + b·x + c

Glade parabler

Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet.Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen:

y = a·x2 + b·x + c

Sure parabler

Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet.Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen:

y = a·x2 + b·x + c

Værdierne b og c har betydning for, hvor parablen ligger i koordinatsystemet. Man kan sige, at disse to værdier parallelforskyder parablens toppunkt (og dermed også parablen) hen på en anden plads.

Betydningen af værdien c i funktionsforskriften:

Andengradsfunktionen

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 012

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 012 Skærer i (0,0), da c = 0

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

12

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

12

Skærer i (0,-3), da c = -3

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

y = -1·x2 + 2·x + 4

12

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

y = -1·x2 + 2·x + 4

12

Skærer i (0,4), da c = 4

Symmetriaksen(spejlingsaksen)for en parabel

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

x = -b2·a

y = ·x2 + 2·x + 0

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = -b2·a

12

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

-

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

- 2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

- 22·

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

- 22· 1

2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

- 22· 1

2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

- 22· 1

2= -2

1

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

- 22· 1

2= -2

1 = -2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

-22· 1

2= -2

1 = -2

Altså:Symmetriaksen er -2eller x = -2

y = 1·x2 - 2·x - 3

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 2:

x = -b2·a

x =

y = 1·x2 - 2·x - 3

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 2:

x = -b2·a

x =

-(-2)2·1 = 2

2 = 1

y = 1·x2 - 2·x - 3

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 2:

x = -b2·a

x =

-(-2)2·1 = 2

2 = 1

y = -1·x2 + 2·x + 4

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 3:

x = -b2·a

x =

y = -1·x2 + 2·x + 4

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 3:

x = -b2·a

x =

-22·(-1) = -2

-2 = 1

y = -1·x2 + 2·x + 4

har symmetriaksen:

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

Eksempel 3:

x = -b2·a

x =

-22·(-1) = -2

-2 = 1

Diskriminanten for en andengradsfunktion

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet.

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet.

- og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten.

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet.

- og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten.

Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parablen skærer x-aksen.

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet.

- og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten.

Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parablen skærer x-aksen.

Alt i alt er diskriminanten altså en meget vigtig brik i arbejdet med andengradsfunktioner/parabler. y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Her er det meget vigtigt at have styr på regneregler og fortegn, for ellers får man hurtigt en forkert værdi af diskriminanten – og dermed også et forkert toppunkt!

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Udregningen består af 2 led, som du bør udregne hver for sig:

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Første led, b2, giver altid et positivt tal.

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Andet led, -4·a·c, vil være et negativt tal, hvis a og c har ens fortegn. Hvis a og c har forskellige fortegn, vil det andet led blive et positivt tal.

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c

Lad os nu se på et par eksempler…

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = b2 – 4 · a · c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = b2

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22

Tallet +2 indsættes i stedet for b

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 ·

Værdien – 4 · overføres fra formlen

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · a

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1)

Tallet –1 indsættes i stedet for a

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) ·

Gangetegnet overføres fra formlen y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · c

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · 4

Tallet 4 indsættes i stedet for c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

22 = 4

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

22 = 4

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

– 4 · (-1) · 4 = + 16

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 + 16

y = a·x2 + b·x + c

– 4 · (-1) · 4 = + 16

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 + 16 = 20

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempler på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempler på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten

Eksempler på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

3: y = ·x2 - 4·x + 5D = (-4)2 - 4· ·5 = 16 – 10 = 6

12 1

2

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c

Eksempler på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

3: y = ·x2 - 4·x + 5D = (-4)2 - 4· ·5 = 16 – 10 = 6

4: y = -3·x2 + 6·x – 4 D = 62 - 4·(-3)·(-4) = 36 – 48 = -12

12 1

2

Toppunktet for en parabel

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Toppunktet

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe”

Andengradsfunktionen Toppunktet

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”).

Andengradsfunktionen Toppunktet

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”).

Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”.

Andengradsfunktionen Toppunktet

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”).

Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”.

Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parablen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger.

Andengradsfunktionen Toppunktet

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”).

Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”.

Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parablen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger.

Bemærk, at toppunktet ligger på parablens symmetriakse!

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk:

Tp = ( , )

Toppunktet

-b2·a

-D4·a

Andengradsfunktionen

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk:

Tp = ( , )

For at finde toppunktet, skal man altså først beregne D, diskriminanten! Men derefter er det blot at have styr på regnereglerne (endnu engang!)

Toppunktet

-b2·a

-D4·a

Andengradsfunktionen

Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Andengradsfunktionen

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , )-b2·a

-D4·a

Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

Andengradsfunktionen

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , ) = ( , )-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

Andengradsfunktionen

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , )-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

-2-2

-20-4

Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

Andengradsfunktionen

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,5)-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

-2-2

-20-4

Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

Andengradsfunktionen

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = (1,5)

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,5)-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

-2-2

-20-4

Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

Andengradsfunktionen

y = 1·x2 – 2·x + 1 (D = 0)

Udregning af toppunkt:

Eksempel 2:

Andengradsfunktionen

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,0)-b2·a

-D4·a

-(-2)2·1

04·1

22

04

y = 1·x2 – 2·x + 1 (D = 0)

Tp =(1,0)

Udregning af toppunkt:

Eksempel 2:

Andengradsfunktionen

y = ·x2 – 4·x + 5 (D = 6)12

Udregning af toppunkt:

Eksempel 3:

Andengradsfunktionen

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (4,-3)-b2·a

-D4·a

-(-4)2·

-64·

41

-621

212

y = ·x2 – 4·x + 5 (D = 6)

Tp = (4,-3)

12

Udregning af toppunkt:

Eksempel 3:

Andengradsfunktionen

y = -3·x2 + 6·x – 4 (D = -12)

Udregning af toppunkt:

Eksempel 4:

Andengradsfunktionen

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,-1)-b2·a

-D4·a

-62·(-3)

124·(-3)

-6-6

12-12

y = -3·x2 + 6·x – 4 (D = -12)

Tp = (1,-1)

Udregning af toppunkt:

Eksempel 4:

Tegning af en parabel med kendt toppunkt

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion: Andengradsfunktion:

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Andengradsfunktion:

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Andengradsfunktion:

Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b).

Andengradsfunktion:

Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b).

Andengradsfunktion:

Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b).

Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og hældnings-koefficienten, a, op.

Andengradsfunktion:

Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.

Andengradsfunktionen

At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b).

Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og hældnings-koefficienten, a, op.

Andengradsfunktion:

Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.

Parablen tegnes ved at starte i toppunktet og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og a ganget med de ulige tal (1, 3, 5, 7, 9,…) op.

Andengradsfunktionen

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Og da alle parabler blot er parallelforskydninger af den simple grundparabel, y = a·x2, tegnes de alle på samme måde.

Som tidligere set, er værdien af a i virkeligheden det eneste, der giver variation i dens udseende (Grenene op eller ned, grenene stejle eller meget flade.)

Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

9

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

9

11

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

9

11

13

De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op… herefter 1 ud og 1·5 = 5 op

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op… herefter 1 ud og 1·5 = 5 op… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op… herefter 1 ud og 1·5 = 5 op… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op… herefter 1 ud og 1·5 = 5 op… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Tegn andengradsfunktionen:

y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Tegn andengradsfunktionen:

y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Tegn andengradsfunktionen:

y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned… herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Tegn andengradsfunktionen:

y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned… herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Tegn andengradsfunktionen:

y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned… herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Tegn andengradsfunktionen:

y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned… herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

Parablens skæring med x-aksen

= løsning af en andengradsligning

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.

Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen:

Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.

Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen:

Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer

Hvis D=0, så er der 1 skæring

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.

Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen:

Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer

Hvis D=0, så er der 1 skæring, og

Hvis D<0 (negativ), så er der 0 skæringer

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen:

x = -b ±√D2·a

Som det ses…

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen:

x = -b ±√D2·a

Som det ses…

… skal vi igen bruge D, diskriminanten!

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen:

x = -b ±√D2·a

Som det ses…

… skal vi igen bruge D, diskriminanten!

… indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen:

x = -b ±√D2·a

Som det ses…

… skal vi igen bruge D, diskriminanten!

… indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket

… vil skæringspunkterne lægge sig lige langt fra symmetriaksen (tegnet ± betyder plus/minus)

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

-4 – 44

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

-4 – 44

= -2

= 0

Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

-4 – 44

= -2

= 0

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = - ·x2 + 1·x + 4 (D = 9)12

Andengradsfunktionen Eksempel 2:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = - ·x2 + 1·x + 4 (D = 9)

x = -b ±√D2·a = -1 ±√9

2·(- ) = -1 ± 3

-1 =

+

-

-1 + 3-1

-1 – 3-1

= 4

= -2

12

12

Andengradsfunktionen Eksempel 3:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 1·x2 – 4·x + 3 (D = 4)

Andengradsfunktionen Eksempel 3:

Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 1·x2 – 4·x + 3 (D = 4)

x = -b ±√D2·a = +4 ±√4

2·1 = 4 ± 22 =

+

-

4 + 22

4 – 22

= 1

= 3

Andengradsfunktionen

Når man finder skæringspunktet mellem en parabel (y = a·x2 + b·x + c) og x-aksen (y = 0), finder man altså ud af, hvor parablen = 0:

Parablen = x-aksenParablen = 0a·x2 + b·x + c = 0

Man kan se, at der er tale om en ligning, da der indgår 2 regneudtryk med et lighedstegn imellem.

Da x2 indgår i ligningen, taler vi om at løse en andengradsligning.

Et alternativ:Andengradsfunktionen/parablen

angivet ved nulpunkterne

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.

Andengradsfunktionen

Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.

Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”,

y = a·x2 + b·x + c = 0,

altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0)

Andengradsfunktionen

Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.

Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”,

y = a·x2 + b·x + c = 0,

altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0)

Parablens nulpunkter

Andengradsfunktionen

Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.

Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”,

y = a·x2 + b·x + c = 0,

altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0)

Nulpunkterne kaldes ofte x1 og x2

x1 x2

Andengradsfunktionen

Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.

Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”,

y = a·x2 + b·x + c = 0,

altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0).

Skrevet ved hjælp af nulpunkterne ser det andengradsfunktionen således ud:

y = a·(x – x1)·(x – x2),

hvor x1 og x2 er nulpunkterne

x1 x2

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

x1 x2

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

y = 2·(x – 1)·(x – 4)

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8

- og vi har nu noget, vi kender!

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8

- og vi har nu noget, vi kender!

Toppunktet bliver (2 , –4 )12

12

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

Udtrykket kan omskrives

y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8

- og vi har nu noget, vi kender!

Toppunktet bliver (2 , –4 ), og

parablen får følgende udseende

12

12

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

x1 x2

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

Udtrykket kan omskrives

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

Udtrykket kan omskrives

y = –1·(x + 1)·(x – 5)

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

Udtrykket kan omskrives

y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

Udtrykket kan omskrives

y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

Udtrykket kan omskrives

y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5

- og vi har nu noget, vi kender!

Udtrykket kan omskrives

y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5

- og vi har nu noget, vi kender!

Toppunktet bliver (2,9)

Andengradsfunktionen

Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

kender!

Andengradsfunktionen

Eksempel 1:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

Udtrykket kan omskrives

y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5

- og vi har nu noget, vi kender!

Toppunktet bliver (2,9), og

parablen får følgende udseende

Et par eksempler på brug af andengradsfunktionen

og parablen

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

1. Broer, akvadukter mm.

Andengradsfunktionen

2. Kast, stød og skud fra sportens verden

Andengradsfunktionen

2. Kast, stød og skud fra sportens verden

Andengradsfunktionen

3. Vandstråle i springvand mm.

Andengradsfunktionen

4. Moderne bygningsværker

Parablenandengradsfunktionen

x =-b ±√D

2·a

Tp = ( , )-b2·a

-D4·a

D = b2 - 4·a·c