Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen

ParabelForskrift og udseendeTegning af en parabel

Løsning af andengradsligning


Ved funktioner taler vi om…


Et navn for funktionen(hvad den hedder)



En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)





Et grafisk billede(hvordan den ser ud i et koordinatsystem)















En funktions-forskrift(hvad dens udtryk er: y = …)y = a·x2 + b·x + c











Parabel

Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en…

parabel

Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:



parabel



Paraply


parabel



Paraply Parabol


parabel



Paraply Parabol Parachute(= faldskærm)

Forskriften for en andengradsfunktion

… af simpleste form er…:

y = a·x2 , hvor a er en konstant ≠ 0


Forskriften for en andengradsfunktion

… af simpleste form er…:

y = a·x2 , hvor a er en konstant ≠ 0

f.eks.:

y = 1·x2, y = ·x2 eller y = -2·x2


12

Eksempel:

Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x- og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet…

1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2xy

-3

Eksempel:


1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1

xy

-3

Eksempel:


1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4

xy

-3

Eksempel:


1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9

xy

-3

Eksempel:


1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0

xy

-3

Eksempel:


1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1

xy

-3

Eksempel:


1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1 4

xy

-3

Eksempel:

1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1 4

xy

-3

9


Eksempel:

1


y = 1·x2

2 3 0 -1 -2

1 4 9 0 1 4

xy

-3

9


Betydningen af værdien a i funktionsforskriften:


y = a·x2 + b·x + c

Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 :


y = 1·x2



y = 1·x2

Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.



y = 1·x2


Parabelen har 2 grene



y = 1·x2


Parabelen har 2 grene– og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene.



y = 1·x2



Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet.



y = 1·x2



Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet.

Grenene vender opad, fordi ”a” er et positivt tal (a = 1)

Men hvad nu, hvis a≠1?


y = 1·x2

y = a·x2



y = 1·x2

y = 2·x2

y = a·x2



y = 1·x2

y = 2·x2

y = ·x212

y = a·x2



y = 1·x2

y = 2·x2

y = ·x2

y = ·x2

12

14

y = a·x2



y = 1·x2

y = 2·x2

y = ·x2

y = ·x2

12

14

Bemærk, at

… jo større værdi ”a” har, desto stejlere bliver parablen (desto mere ”slås paraplyen sammen”)

… jo mindre værdi ”a” har, desto fladere bliver parablen (og får udseende som en parabol)

y = a·x2


y = a·x2Og hvis a er negativ?


y = -1·x2



y = -1·x2

y = -2·x2



y = -1·x2

y = -2·x2

y = - ·x213



y = -1·x2

y = -2·x2

y = - ·x2

y = - ·x2

13

18



y = -1·x2

y = -2·x2

y = - ·x2

y = - ·x2

13

18

Bemærk, at

… når ”a” er et negativt tal, så vender grenene nedad! (parablen er ked af, at det er negativt; mundvigene nedad!)

… og når ”a” er et positivt tal, så vender grenene opad! (parablen er glad for, at det er positivt; mundvigene opad!)


Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet.Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen:

y = a·x2 + b·x + c


y = a·x2 + b·x + c

Glade parabler


y = a·x2 + b·x + c

Sure parabler


y = a·x2 + b·x + c

Værdierne b og c har betydning for, hvor parablen ligger i koordinatsystemet. Man kan sige, at disse to værdier parallelforskyder parablens toppunkt (og dermed også parablen) hen på en anden plads.

Betydningen af værdien c i funktionsforskriften:


y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien

c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c).

Eksempler:



Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 012



Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 012 Skærer i (0,0), da c = 0



Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

12



Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

12

Skærer i (0,-3), da c = -3



Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

y = -1·x2 + 2·x + 4

12



Eksempler:

y = ·x2 + 2·x + 0

y = 1·x2 - 2·x – 3

y = -1·x2 + 2·x + 4

12

Skærer i (0,4), da c = 4

Symmetriaksen(spejlingsaksen)for en parabel


Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen)

Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:



x = -b2·a

y = ·x2 + 2·x + 0



Eksempel 1:

x = -b2·a

12

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

-

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

- 2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

- 22·

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = - b2·a

12

x =

- 22· 1

2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

- 22· 1

2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

- 22· 1

2= -2

1

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

- 22· 1

2= -2

1 = -2

y = ·x2 + 2·x + 0

har symmetriaksen:



Eksempel 1:

x = -b2·a

12

x =

-22· 1

2= -2

1 = -2

Altså:Symmetriaksen er -2eller x = -2

y = 1·x2 - 2·x - 3

har symmetriaksen:



Eksempel 2:

x = -b2·a

x =

y = 1·x2 - 2·x - 3

har symmetriaksen:



Eksempel 2:

x = -b2·a

x =

-(-2)2·1 = 2

2 = 1

y = 1·x2 - 2·x - 3

har symmetriaksen:



Eksempel 2:

x = -b2·a

x =

-(-2)2·1 = 2

2 = 1

y = -1·x2 + 2·x + 4

har symmetriaksen:



Eksempel 3:

x = -b2·a

x =

y = -1·x2 + 2·x + 4

har symmetriaksen:



Eksempel 3:

x = -b2·a

x =

-22·(-1) = -2

-2 = 1

y = -1·x2 + 2·x + 4

har symmetriaksen:



Eksempel 3:

x = -b2·a

x =

-22·(-1) = -2

-2 = 1

Diskriminanten for en andengradsfunktion


Andengradsfunktionen Diskriminanten

y = a·x2 + b·x + c


For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet.

y = a·x2 + b·x + c



- og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten.

y = a·x2 + b·x + c




Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parablen skærer x-aksen.

y = a·x2 + b·x + c




Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parablen skærer x-aksen.

Alt i alt er diskriminanten altså en meget vigtig brik i arbejdet med andengradsfunktioner/parabler. y = a·x2 + b·x + c


y = a·x2 + b·x + c

Diskriminanten kan findes af følgende formel:

D = b2 - 4·a·c


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c

Her er det meget vigtigt at have styr på regneregler og fortegn, for ellers får man hurtigt en forkert værdi af diskriminanten – og dermed også et forkert toppunkt!


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c

Udregningen består af 2 led, som du bør udregne hver for sig:


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c

Første led, b2, giver altid et positivt tal.


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c

Andet led, -4·a·c, vil være et negativt tal, hvis a og c har ens fortegn. Hvis a og c har forskellige fortegn, vil det andet led blive et positivt tal.


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c

Lad os nu se på et par eksempler…


y = a·x2 + b·x + c

Eksempel på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

Find diskriminanten i funktionen:

1: y = -1·x2 + 2·x + 4


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = b2 – 4 · a · c


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = b2


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22

Tallet +2 indsættes i stedet for b


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 ·

Værdien – 4 · overføres fra formlen


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · a


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1)

Tallet –1 indsættes i stedet for a



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) ·

Gangetegnet overføres fra formlen y = a·x2 + b·x + c



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · c

y = a·x2 + b·x + c


y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · 4

Tallet 4 indsættes i stedet for c



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 22 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

22 = 4



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

22 = 4



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 – 4 · (-1) · 4

y = a·x2 + b·x + c

– 4 · (-1) · 4 = + 16



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 + 16

y = a·x2 + b·x + c

– 4 · (-1) · 4 = + 16



D = b2 - 4·a·c


1: y = -1·x2 + 2·x + 4

D = 4 + 16 = 20

y = a·x2 + b·x + c


Eksempler på udregning af diskriminanten:

D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

y = a·x2 + b·x + c



D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

y = a·x2 + b·x + c



D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

3: y = ·x2 - 4·x + 5D = (-4)2 - 4· ·5 = 16 – 10 = 6

12 1

2

y = a·x2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c


D = b2 - 4·a·c

1: y = -1·x2 + 2·x + 4D = 22 - 4·(-1)·4 = 4 + 16 = 20

2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

3: y = ·x2 - 4·x + 5D = (-4)2 - 4· ·5 = 16 – 10 = 6

4: y = -3·x2 + 6·x – 4 D = 62 - 4·(-3)·(-4) = 36 – 48 = -12

12 1

2

Toppunktet for en parabel


Andengradsfunktionen Toppunktet

y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe”


y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”).


y = a·x2 + b·x + c


Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”.


y = a·x2 + b·x + c



Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parablen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger.




Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parablen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger.

Bemærk, at toppunktet ligger på parablens symmetriakse!

y = a·x2 + b·x + c


y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk:

Tp = ( , )

Toppunktet

-b2·a

-D4·a


y = a·x2 + b·x + c

Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk:

Tp = ( , )

For at finde toppunktet, skal man altså først beregne D, diskriminanten! Men derefter er det blot at have styr på regnereglerne (endnu engang!)

Toppunktet

-b2·a

-D4·a


Udregning af toppunkt:

Eksempel 1:

y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)


y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , )-b2·a

-D4·a


Eksempel 1:


y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , ) = ( , )-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)


Eksempel 1:


y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , )-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

-2-2

-20-4


Eksempel 1:


y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,5)-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

-2-2

-20-4


Eksempel 1:


y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

Tp = (1,5)

Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,5)-b2·a

-D4·a

-22·(-1)

-204·(-1)

-2-2

-20-4


Eksempel 1:


y = 1·x2 – 2·x + 1 (D = 0)


Eksempel 2:


Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,0)-b2·a

-D4·a

-(-2)2·1

04·1

22

04

y = 1·x2 – 2·x + 1 (D = 0)

Tp =(1,0)


Eksempel 2:


y = ·x2 – 4·x + 5 (D = 6)12


Eksempel 3:


Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (4,-3)-b2·a

-D4·a

-(-4)2·

-64·

41

-621

212

y = ·x2 – 4·x + 5 (D = 6)

Tp = (4,-3)

12


Eksempel 3:


y = -3·x2 + 6·x – 4 (D = -12)


Eksempel 4:


Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,-1)-b2·a

-D4·a

-62·(-3)

124·(-3)

-6-6

12-12

y = -3·x2 + 6·x – 4 (D = -12)

Tp = (1,-1)


Eksempel 4:

Tegning af en parabel med kendt toppunkt



At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie:

Tegning af en parabel

Lineær funktion: Andengradsfunktion:




Lineær funktion:

Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a.

Andengradsfunktion:




Lineær funktion:


Andengradsfunktion:

Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.




Lineær funktion:


Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b).

Andengradsfunktion:





Lineær funktion:



Andengradsfunktion:


Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.




Lineær funktion:



Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og hældnings-koefficienten, a, op.

Andengradsfunktion:






Lineær funktion:



Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og hældnings-koefficienten, a, op.

Andengradsfunktion:



Parablen tegnes ved at starte i toppunktet og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og a ganget med de ulige tal (1, 3, 5, 7, 9,…) op.


De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene.

Og da alle parabler blot er parallelforskydninger af den simple grundparabel, y = a·x2, tegnes de alle på samme måde.

Som tidligere set, er værdien af a i virkeligheden det eneste, der giver variation i dens udseende (Grenene op eller ned, grenene stejle eller meget flade.)


0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel

0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1


Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre…

Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning.


0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3





0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5





0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7





0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

9





0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

9

11





0

1

4

9

16

25

36

49

Kvadrattallene:

Stiger med:

1

3

5

7

9

11

13




Andengradsfunktionen Eksempel 1:

Tegn andengradsfunktionen:

y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)



y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op



y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op



y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op… herefter 1 ud og 1·5 = 5 op



y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)

… herefter 1 ud og 1·1 = 1 op… herefter 1 ud og 1·3 = 3 op… herefter 1 ud og 1·5 = 5 op… og sådan kan fortsættes…

Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen



y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)





y = 1·x2 + 4·x + 4Tp = (-2,0)


Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.



y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)



y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned



y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned… herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned



y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)

… herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned… herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned… og sådan kan fortsættes…




y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)





y = -2·x2 + 8·x + 1Tp = (2,9)


Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

Parablens skæring med x-aksen

= løsning af en andengradsligning


Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen

En parabel kan skære x-aksen 2 gange


En parabel kan skære x-aksen 2 gange


En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)


En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)


En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.



Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen:

Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer





Hvis D=0, så er der 1 skæring





Hvis D=0, så er der 1 skæring, og

Hvis D<0 (negativ), så er der 0 skæringer


For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen:

x = -b ±√D2·a

Som det ses…



x = -b ±√D2·a

Som det ses…

… skal vi igen bruge D, diskriminanten!



x = -b ±√D2·a

Som det ses…


… indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket



x = -b ±√D2·a

Som det ses…


… indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket

… vil skæringspunkterne lægge sig lige langt fra symmetriaksen (tegnet ± betyder plus/minus)


Find skæringspunktet med x-aksen for parablen:

y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

-4 – 44



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

-4 – 44

= -2

= 0



y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

x = -b ±√D2·a = -4 ±√16

2·2 = -4 ± 44 =

+

-

-4 + 44

-4 – 44

= -2

= 0



y = - ·x2 + 1·x + 4 (D = 9)12



y = - ·x2 + 1·x + 4 (D = 9)

x = -b ±√D2·a = -1 ±√9

2·(- ) = -1 ± 3

-1 =

+

-

-1 + 3-1

-1 – 3-1

= 4

= -2

12

12



y = 1·x2 – 4·x + 3 (D = 4)



y = 1·x2 – 4·x + 3 (D = 4)

x = -b ±√D2·a = +4 ±√4

2·1 = 4 ± 22 =

+

-

4 + 22

4 – 22

= 1

= 3


Når man finder skæringspunktet mellem en parabel (y = a·x2 + b·x + c) og x-aksen (y = 0), finder man altså ud af, hvor parablen = 0:

Parablen = x-aksenParablen = 0a·x2 + b·x + c = 0

Man kan se, at der er tale om en ligning, da der indgår 2 regneudtryk med et lighedstegn imellem.

Da x2 indgår i ligningen, taler vi om at løse en andengradsligning.

Et alternativ:Andengradsfunktionen/parablen

angivet ved nulpunkterne



Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.



Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”,

y = a·x2 + b·x + c = 0,

altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0)




y = a·x2 + b·x + c = 0,


Parablens nulpunkter




y = a·x2 + b·x + c = 0,


Nulpunkterne kaldes ofte x1 og x2

x1 x2




y = a·x2 + b·x + c = 0,

altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0).

Skrevet ved hjælp af nulpunkterne ser det andengradsfunktionen således ud:

y = a·(x – x1)·(x – x2),

hvor x1 og x2 er nulpunkterne

x1 x2


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),

der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4

x1 x2


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),


Udtrykket kan omskrives


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),



y = 2·(x – 1)·(x – 4)


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),



y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),



y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),



y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8

- og vi har nu noget, vi kender!


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),



y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8


Toppunktet bliver (2 , –4 )12

12


Eksempel 1:

y = 2·(x – 1)·(x – 4),



y = 2·(x – 1)·(x – 4)

y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

y = 2·x2 – 10·x + 8


Toppunktet bliver (2 , –4 ), og

parablen får følgende udseende

12

12


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),

der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5

x1 x2


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),




Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),



y = –1·(x + 1)·(x – 5)


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),



y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),



y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),



y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5



y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5


Toppunktet bliver (2,9)


Eksempel 2:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),


kender!


Eksempel 1:

y = –1·(x + 1)·(x – 5),



y = –1·(x + 1)·(x – 5)

y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

y = –1·x2 + 4·x + 5


Toppunktet bliver (2,9), og

parablen får følgende udseende

Et par eksempler på brug af andengradsfunktionen

og parablen



1. Broer, akvadukter mm.


2. Kast, stød og skud fra sportens verden


2. Kast, stød og skud fra sportens verden


3. Vandstråle i springvand mm.


4. Moderne bygningsværker

Parablenandengradsfunktionen

x =-b ±√D

2·a

Tp = ( , )-b2·a

-D4·a

D = b2 - 4·a·c

Documents

Andengradsfunktionen