Cardinalidad de Conjuntos de Funciones

CardinalidadConjuntos de Funciones

Hans Muller Santa Cruz

http://hansmullersantacruz.blogspot.com

Carreras de Matematica

Universidad Mayor de San Simon

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 1/20

Introducción

Introducción

Intuitivamente:

Introducción

Intuitivamente:

la Cardinalidad de un conjunto

Introducción

Intuitivamente:

la Cardinalidad de un conjunto

se relaciona con el número de elementos del conjunto.

Introducción

Intuitivamente:

la Cardinalidad de un conjunto

se relaciona con el número de elementos del conjunto.

El concepto es claro para conjuntos finitos,

Introducción

Intuitivamente:

la Cardinalidad de un conjunto

se relaciona con el número de elementos del conjunto.

El concepto es claro para conjuntos finitos,

pero no lo es para conjuntos no finitos.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 2/20

Introducción

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Y contar un conjunto A es encontrar

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Y contar un conjunto A es encontrar

un conjunto {1, 2, . . . , n} ⊂ N y

una biyección f : {1, 2, . . . , n} → A.

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Y contar un conjunto A es encontrar

un conjunto {1, 2, . . . , n} ⊂ N y

una biyección f : {1, 2, . . . , n} → A.

De esta manera, se dice que A tiene n elementos o

su cardinal, card(A) = |A| = n

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 3/20

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto

B

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto

B

y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede

encontrar una inyección f : A → B

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto

B

y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede

encontrar una inyección f : A → B

A oo //

f

��

{1, 2, . . . , n}

��

B oo // {1, 2, . . . ,m}

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Contar.

Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto

B

y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede

encontrar una inyección f : A → B

A oo //

f

��

{1, 2, . . . , n}

��

B oo // {1, 2, . . . ,m}

es decir, card(A) ≤ card(B).

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 4/20

Introducción

Introducción

En esta exposición se abordará:

Introducción

En esta exposición se abordará:

la cardinalidad de conjuntos de funciones

Introducción

En esta exposición se abordará:

la cardinalidad de conjuntos de funciones

AB = {f : B → A} =∏

i∈B

A

Introducción

En esta exposición se abordará:

la cardinalidad de conjuntos de funciones

AB = {f : B → A} =∏

i∈B

A

para A o B conjuntos no finitos.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 5/20

Historia

Historia

Georg Cantor

Historia

Georg Cantor

(San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle,

6 de enero de 1918) fue un matemático ale-

mán, inventor con Dedekind y Frege de la teo-

ría de conjuntos, que es la base de las mate-

máticas modernas. Gracias a sus atrevidas in-

vestigaciones sobre los conjuntos infinitos fue

el primero capaz de formalizar la noción de in-

finito bajo la forma de los números transfinitos

(cardinales y ordinales).

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 6/20

Historia

Georg Cantor

En cuanto al estudio de los conjuntos infini-

tos, que fue considerado por su maestro Kro-

necker como una locura matemática, Cantor

descubrió que aquellos no tienen siempre el

mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por

ejemplo, el conjunto de los racionales es enu-

merable, es decir, del mismo tamaño que el

conjunto de los naturales, mientras que el de

los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios

infinitos, más grandes los unos que los otros.

Entre estos infinitos, los hay tan grandes que

no tienen correspondencia en el mundo real,

asimilado al espacio vectorial R3.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 7/20

Historia

Georg Cantor

Su mente luchó contra varias paradojas de la

teoría de los conjuntos, que parecían invalidar

toda su teoría (tornarla inconsistente o contra-

dictoria en el sentido de que una cierta pro-

piedad podría ser a la vez cierta y falsa). Ade-

más, trató durante muchos años de probar la

hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que

es imposible, y que tiene que ser aceptada (o

rehusada) como axioma adicional de la teoría.

El constructivismo negará este axioma, entre

otras cosas, desarrollando toda una teoría ma-

temática alternativa a la matemática moderna.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 8/20

Elementos Teóricos

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.

Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal

card(A) = card(B)

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.

Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal

card(A) = card(B)

A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B

inyectiva.

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.

Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal

card(A) = card(B)

A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B

inyectiva.

A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.

Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal

card(A) = card(B)

A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B

inyectiva.

A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.

A es enumerable si A ∼ N y card((N) = ℵ0

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.

Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal

card(A) = card(B)

A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B

inyectiva.

A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.

A es enumerable si A ∼ N y card((N) = ℵ0

A es a lo más enumerable si A es contable o A es

enumerable.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 9/20

Elementos Teóricos

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos enumerables:

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos enumerables:

A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos enumerables:

A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable

{Ai}i∈N familia enumerable de conjuntos enumerables,

entonces∞⊔

n=1

An ∼ N

N ×N ∼ N y

n∏

k=1

N ∼ N, para n ∈ N.

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos enumerables:

A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable

{Ai}i∈N familia enumerable de conjuntos enumerables,

entonces∞⊔

n=1

An ∼ N

N ×N ∼ N y

n∏

k=1

N ∼ N, para n ∈ N.

Pero, NN =∏

k∈N

N ∼ N 6∼ N

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 10/20

Elementos Teóricos

Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:

Elementos Teóricos

Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:

Axioma de la Elección.- Toda familia no vacia {Ai}i∈I de

subconjuntos no vacios de un conjunto A admite una función de

elección

f : I → A

i 7→ ai ∈ Ai.

Lema de Zorn.- Todo conjunto no vacio con orden inductivo

admite un elemento maximal.

Teorema del Buen Orden.- Todo conjunto puede ser dotado de

una relación de buen orden

Elementos Teóricos

Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:

Axioma de la Elección.- Toda familia no vacia {Ai}i∈I de

subconjuntos no vacios de un conjunto A admite una función de

elección

f : I → A

i 7→ ai ∈ Ai.

Lema de Zorn.- Todo conjunto no vacio con orden inductivo

admite un elemento maximal.

Teorema del Buen Orden.- Todo conjunto puede ser dotado de

una relación de buen orden

Estos tres enunciados son las herramientas básicas para

construir la teoría de los números cardinales transfinitos

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 11/20

Elementos Teóricos

Otras herramientas útiles:

Elementos Teóricos

Otras herramientas útiles:

Teorema de Equivalencia de Bernstein.- Sean A y B conjuntos

f : A → B, g : B → A funciones inyectivas; entonces, existe una

biyección entre A y B

Elementos Teóricos

Otras herramientas útiles:

Teorema de Equivalencia de Bernstein.- Sean A y B conjuntos

f : A → B, g : B → A funciones inyectivas; entonces, existe una

biyección entre A y B

Caracterización de conjuntos infinitos.- Son equivalentes las

siguientes condiciones para un conjunto infinito A:

N - A,

Para todo n ∈ N, A 6∼ {1, 2, . . . , n}

Existe A′ $ A, tal que A′ ∼ A.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 12/20

Elementos Teóricos

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos infinitos:

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos infinitos:

A - B, entonces A ∪B ∼ B

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos infinitos:

A - B, entonces A ∪B ∼ B

{Ai}i∈A familia de conjuntos con Ai - A, entonces

⊔

i∈A

Ai - A

A×A ∼ A y

n∏

k=1

A ∼ A, para n ∈ N.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 13/20

Cardinales de Conjuntos Potencia

Cardinales de Conjuntos Potencia

Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}

Cardinales de Conjuntos Potencia

Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}

Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una

biyección f : E → P(E)

Cardinales de Conjuntos Potencia

Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}

Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una

biyección f : E → P(E)

Construimos el subconjunto E′ de E, bajo la siguiente regla:

x ∈ E′ si x 6∈ f(x), x 6∈ E′ si x ∈ f(x).

Cardinales de Conjuntos Potencia

Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}

Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una

biyección f : E → P(E)

Construimos el subconjunto E′ de E, bajo la siguiente regla:

x ∈ E′ si x 6∈ f(x), x 6∈ E′ si x ∈ f(x).

Por construcción no existe x ∈ E, tal que f(x) = E′, lo que

contradice la hipóteis que f es biyectiva.

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 14/20

Conjuntos de Funciones

Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E

Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E

Sea A ⊂ E, recordamos

χA(x) =

1 si x ∈ A

0 si x 6∈ A

la función característica del subconjunto A.

Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E

Sea A ⊂ E, recordamos

χA(x) =

1 si x ∈ A

0 si x 6∈ A

la función característica del subconjunto A.

Deducimos que 2E ∼ P(E).

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 15/20

Conjuntos de Funciones

Conjuntos de Funciones

Sean A, E conjuntos con A ≺ E.

Conjuntos de Funciones

Sean A, E conjuntos con A ≺ E.

Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .

Conjuntos de Funciones

Sean A, E conjuntos con A ≺ E.

Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .

Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}

Conjuntos de Funciones

Sean A, E conjuntos con A ≺ E.

Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .

Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}

G(E) - P(E × E) ∼ P(E).

Conjuntos de Funciones

Sean A, E conjuntos con A ≺ E.

Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .

Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}

G(E) - P(E × E) ∼ P(E).

Por lo tanto, para A - E, 2E ∼ AE ∼ EE ∼ P(E).

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 16/20

Conjuntos de funciones

Conjuntos de funciones

2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.

Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación

2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.

Conjuntos de funciones

2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.

Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación

2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.

Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y

Conjuntos de funciones

2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.

Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación

2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.

Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y

como [0, 1] ∼ R, tenemos R ∼ P(N).

Conjuntos de funciones

2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.

Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación

2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.

Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y

como [0, 1] ∼ R, tenemos R ∼ P(N).

card(N) = ℵ0, card(R) = ℵ1

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 17/20

Hipótesis del Continuo

Hipótesis del Continuo

Hipótesis del Continuo.- Sea E un conjunto, si

N - E - R, entonces E ∼ N o E ∼ R.

Hipótesis del Continuo

Hipótesis del Continuo.- Sea E un conjunto, si

N - E - R, entonces E ∼ N o E ∼ R.

Hipótesis del Continuo General.- Sean A y E conjuntos,

si E - A - P(E), entonces A ∼ E o A ∼ P(E).

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 18/20

Más Conjuntos de Funciones

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E

Por la hipótesis del continuo general, B - E′

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E

Por la hipótesis del continuo general, B - E′

Ahora bien, EB ∼ (E′E′

)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E

Por la hipótesis del continuo general, B - E′

Ahora bien, EB ∼ (E′E′

)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E

Por la hipótesis del continuo general, B - E′

Ahora bien, EB ∼ (E′E′

)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.

Más Conjuntos de Funciones

Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E

Por la hipótesis del continuo general, B - E′

Ahora bien, EB ∼ (E′E′

)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.

B ≺ E ⇒ EB ∼, cuando E = P(E′).

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 19/20

Finalmente

Esta presentación ha sido hecha con Prosper

Finalmente

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Muchas Gracias

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Muchas GraciasAlguna Pregunta

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 20/20