Celosias 3D

Celosías espaciales

J. T. Celigüeta

1

Celosía espacial. DefiniciónEstructura reticular. Barras rectas de sección despreciableBarras articuladas en las 3 direcciones del espacio en ambos extremos: rótulas esféricas.Sólo se transmiten 3 fuerzas entre el nudo y la barra (sin momentos)Por equilibrio de la barra:

No hay cortantes en sus extremos.Sólo hay esfuerzo axial N

XL

ZL

YL

N

N

X

Y

Z

2

Condiciones de estabilidad

A b+r < 3n InestableB

CIsostática b+r = 3nHiperestática b+r > 3n

Incógnitas= b + r Ecuaciones estática: 3n

Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad.

Es posible cumplir en B, y ser a la vez inestable e hiperestática

Ejemplo:

b=12, r=12 , n=8 b+r= 24 = 3n

Isostática-Estable Hiperestática-Inestable

3

Clasificación (1)Simples: malla de tetraedros adosados

A partir de un tetraedro base, añadir nuevos nudos añadiendo 3 nuevas barras. Nuevo nudo no en las caras del tetraedro.Cumplen b+6=3nIsostáticas y estables si r=6

4

Celosías espaciales simples. Ejemplos

5

Celosía espacial simple. Cálculo manualA

BC

D

E

F

G

1000 N

500 N

500 N

1000 N

X Y

Z

Secuencia de cálculo: . Nudo F: esfuerzos FA, FD, FE. Nudo E: esfuerzos EB, ED, EA. Nudo D: esfuerzos DA, DC, DB. Nudo A: esfuerzos AG, AC, AB

Cada nudo emplea 3 ecuaciones estáticas, función de los 3 cosenos directores de cada barra

Desarrollo completo en el libro. Ejercicio 3.11.2

6

Clasificación (2)Compuestas: unión de varias celosías simples mediante vínculos adecuados

Número de vínculos para unir dos celosías: 66 barras no concurrentes ni coplanaresUn nudo coincidente + 3 barrasDos nudos y una barraIsostáticas, estables.

a b c

7

Clasificación (3)Complejas: no corresponden a los tipos anteriores.

En cada nudo confluyen más de 3 barras

b=48 n=18

8

Mallas empleadas normalmentePara cubiertas de edificios civiles con grandes luces.Superficie directriz (plana o curva) definida por criterios arquitectónicosMalla dispuesta a ambos lados de la directriz.

Cara superior, cara inferior “parallelas” a la superficie media.Canto de la celosáa: distancia entre caras

Diagonales de conexión entre caras

9

Medios de uniónNudos articulados perfectos imposibles y caros de materializar.Habitualmente:

Esferas con uniones roscadas a las barrasExisten diversos métodos (patentados) de materializar la unión.La unión aporta cierta rigidez al giro, que no se tiene en cuenta en el cálculo habitualmente.

10

Malla semi octaédricaSemi octaedros (pirámide base cuadrada) alternados. Muy usada.Dos retículas de cuadrados decaladas en cada cara.M, N número de módulos en cada dirección

n=2 M N + M + N +1 b=8 M N

M N h (r=6)1 1 -1 Inest.2 1 -2 Inest2 2 -1 Inest.3 2 0 Isost.3 3 3 Hiper.5 5 23 Hiper.10 10 143 Hiper.20 10 311 Hiper.

11

Malla semi octaédrica

12

Malla semi octaédrica aligeradaMalla inferior girada 45º. Barras inferiores más largas (a tracción). Menos nudos

13

Malla tetraédricaMuy usada en los inicios. Actualmente no empleada. Más cara.

n=36 b= 103 r=6 h=37

14

Ventajas e inconvenientesVentajas:

Grandes lucesFormas curvas sofisticadasMenor peso comparada con estructura convencional

Menor costo. Muchos perfiles / nudos iguales

Fácil montaje, poca mano de obraFabricación automática (CAM)

InconvenientesCálculo requiere computadorNo apta para muy grandes cargas (puentes pesados)Logística de ensamblado compleja

15

Estudio de la barra articulada 3D (1)Solo esfuerzo axial. Deformada es una recta entre los nudos extremos

Deformación axial u lineal:

Deformaciones laterales v, w no producen esfuerzos

vuU1

V1

U2

V2

W1

W2w

P'

P

( )1 2 1 /u U U U x L= + −

Deformación unitaria longitudinal constante

2 1du U Udx L

ε−

= =

16

Estudio de la barra articulada 3D (2)Temperatura aplicada uniforme Tm. Deformación unitaria

Esfuerzo axial:

Tensión:

Energía acumulada en una barra:

0 Tε α=

0( )Eσ ε ε= −

duN dA A EA EA T

dxσ σ α= = = −∫

2*

2N L

U TLNEA

α= +

17

Método de flexibilidadConceptualmente es exactamente igual que en celosías planas

Cuáles son las dificultades ?

Hallar h. Fácil h=b+r-3n

Identificar las incógnitas X. Muy difícil.

Calcular los esfuerzos N en una estructura espacial. Laborioso

Imposible emplear este método

0j k jjk j

L Lf N N D N N

EA EA= =−∑ ∑

18

Propiedades de rigidez

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

IX IX

IY IY

IZ IZ

JX JX

JY JY

JZ JZ

P

P

P EAP L

P

P

δ

δ

δ

δ

δ

δ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

XL

X

Y

Z

PIY PIX

PIZ

PJX

PJY

PJZ

19

Rigidez en el sistema general

IXIX

IYIY

IZ IZ

JX JX

JY J

JZ

F

F

F EAF L

F

F

λλ λμ λν λλ λμ λν

μλ μμ μν μλ μμ μν

νλ νμ νν νλ νμ νν

λλ λμ λν λλ λμ λν

μλ μμ μν μλ μμ μν

νλ νμ νν νλ νμ νν

Δ⎧ ⎫ ⎡ ⎤− − −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ Δ− − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − − Δ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − − Δ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ Δ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

Y

JZ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

No depende de la orientación de los ejes locales Y, Z, sólo del XL

λ, μ, ν: orientación de XL

20

Ejemplo

8 m

8 m

8 m

4 m

4 m 5050

5050

20

40

40

20

20 20

Nudos: 8 Barras: 18Reacciones:12

h: 6

21

2

14

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

1314

15

16

3

1718

5

67

8X

Y

Z

1

1

1

2

21

2 2

3 3

4 3

3

4

4

4

x

y

z

x

y

z

Dx

y

z

x

y

z

⎧ ⎫Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Δ

ΔΔ

Δ

Δ

Ejemplo. Grados de libertad

22

Ejemplo: matriz de rigidez

Barra I J L λ μ ν

1 1 2 4 -1. 0. 0.

2 2 3 4 0. -1. 0.

3 3 4 4 1. 0. 0.

4 4 1 4 0. 1. 0.

5 5 1 8.485 -0.2357 -0.2357 0.9428

6 6 2 8.485 0.2357 -0.2357 0.9428… … … … … … …

17 3 1 5.657 0.7071 0.7071 0.

18 4 2 5.657 -0.7071 0.7071 0.

1 4 511 11 11 1 17 4

12 13 1412 13 1711 11 11

2 1 622 22 221 2 18

21 23 249 14 1822 22 22

3 2 733 33 3317 2 3

31 32 3410 15 1733 33 33

4 3 844 44 444 18 3

41 42 43

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

DD

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

+ +

+ + +

+ +

+ + +=

+ +

+ + +

+ +

+

K K KK K K

K K K

K K KK K K

K K KK

K K KK K K

K K K

K K KK K K

K11 16 1844 44 44G G G

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦K K

G

EA

L

λλ λμ λν λλ λμ λν

μλ μμ μν μλ μμ μν

νλ νμ νν νλ νμ νν

λλ λμ λν λλ λμ λν

μλ μμ μν μλ μμ μν

νλ νμ νν νλ νμ νν

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

K

23

Ejemplo: ecuación de equilibrio

7

3.826 0.723 0.04 2.5 0. 0. 0.884 0.884 0. 0. 0. 0.

0.723 3.826 0.04 0. 0. 0. 0.884 0.884 0. 0. 2.5 0.

0.04 0.04 2.254 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

2.5 0. 0. 3.826 0.723 0.04 0. 0. 0. 0.884 0.884 0.

0. 0. 0. 0.723 3.826 0.04 0. 2.5 0. 0.884 0.88

10

− − −

− − −

− − − −

− − − 4 0.

0. 0. 0. 0.04 0.04 2.254 0. 0. 0. 0. 0. 0.

0.884 0.884 0. 0. 0. 0. 3.826 0.723 0.04 2.5 0. 0.

0.884 0.884 0. 0. 2.5 0. 0.723 3.826 0.04 0. 0. 0.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.04 0.04 2.254 0. 0. 0.

0. 0. 0. 0.884 0.884 0. 2.5 0. 0. 3.826 0.723 0.04

0. 2

−

− − − −

− − − −

− −

− − −

−

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

.5 0. 0.884 0.884 0. 0. 0. 0. 0.723 3.826 0.04

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.04 0.04 2.254

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

− − −

−

⎧Δ⎪⎪⎪⎡ ⎤ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎨⎢ ⎥ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥⎣ ⎦Δ⎩

4

2

2

5

0

4

510

0

2

5

2

4

5

−

−

−

−

⎫⎪⎪⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭

Se obtienen las deformaciones de los 4 nudos

{ } 32.58 6.72 2.38 1.86 6.96 2.31 2.27 6.77 2.06 2.17 7.00 2.13 10D−− − − −=Δ

24

Ejemplo: deformada

12.579

1 6.7231 2.382

2 1.860

6.95822.30822.268

36.768

32.058

32.172

4 7.0034 2.133

4

D

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

Δ

Δ

Δ−

Δ

Δ

Δ −=

Δ

Δ−Δ

Δ

Δ−

Δ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Δ 310−

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1

2

3

4

5

6

7

8

25

Ejemplo: esfuerzos en la barra 4Nudo I: 4 Nudo J: 1

4

4

44 3

1

1

1

2.172

7.003

2.13310

2.579

6.723

2.382

x

y

z

x

y

z

−

⎧ ⎫Δ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

Δ

4

4

4

1

1

1

0 1 0 0 0 0 2.172

0 0 0 7.003

0 0 0 2.133

0 0 0 0 1 0 2.579

6.7230 0 0

2.3820 0 0

x

y y y y

z z z z

x

y y yy

z z zz

δ

δ λ μ ν

δ λ μ ν

δ

λ μ νδ

λ μ νδ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩⎣ ⎦⎩ ⎭

4

43 3

1

1

7.003

10 106.723

y

z

y

z

δ

δ

δ

δ

− −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎭

4

4 4

4 46

1

11

11

7.00325 0 0 25 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 010

25 0 0 25 0 0 6.723

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x

y y

z z

x

yy

zz

P

P

P

P

P

P

δ

δ

δ

δ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ − ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢− ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

3

7019

0

010

7019

0

0

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪

26

Ejemplo: reacciones

5 9 1651 52 54 15

13 6 106 61 62 63 2

14 7 117 372 73 74

12 15 88 481 83 84

G G G

G G G

G G G

G G G

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

K K 0 KR

R K K K 0

R 0 K K K

R K 0 K K

Δ

Δ

Δ

Δ

DD DF D D

FD FF FF

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

K K F

K K R0

Δ

ΔEquilibrio de todos los nudos:

F FD D=R K Δ

Hay que hallar esta nueva parte de la K, no hallada antes.

27

Ejemplo: reacciones

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

48920

56420

130000

28920

42310

90000

11260

17690

30000

8740

3580

1000

x

y

z

x

y

z

Fx

y

z

x

y

z

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

⎧ ⎫ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

R

0

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭48921

56420

130000

28921

42314

90000

1126417686

30000

87363580

10000