View
219
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/17/2019 CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR
1/4
CERCETAREA EXISTEN EI PRIMITIVELOR Ț
Abstract
This material is: a property is recalled that allowed primitive functions , research has shown the
existence of primitive conditions and exemplifies their application in particular cases.
Con inutul acestui material este următorul: se reaminte te o proprietate a func iilor care admitț ș ț primitive, se prezintă condi ii de cercetare a existen ei primitivelor i se exemplifică aplicareaț ț șlor pe cazuri particulare.
Proprietatea func iilor care admit primitiveț
Fie J un interval din R
i func ia F:Jș ț→ R
. Dacă există o func ie F:Jț→ R
astfel încât
1)F este derivailă,
!)F"#x)$f#x) , ∀ x ∈J , atunci F se nume teș primitivă a func iei f.ț
Cunoa terea proprietă ilor unei func ii care admite primitive ne a%ută să descoperim metodeș ț ț pentru a decide neexisten a primitivelor în diverse cazuri concrete. &ă ne amintim următoarea:ț
Teoremă Fie J un interval din R .
Dacă f:J→ R
este o func ie care admite primitive,ț
atunci f nu are discontinuită i de prima spe ă.ț ț
emon!tra ieț 'unctele de discontinuitate de prima spe ă sunt acele puncte x pentru carețexistă f#x(),f#x*) finite i diferite.'resupunem că f admite o primitivă F. Fie + la stâna luiș
x. -plicând teorema lui arane pentru F pe [ y , x ] o inem un punct cț + ∈( y , x) cu
F#+)(F#x)$F"#c+) #+(x). Dacă + parcure irul #+ș n) tinzând la x dinspre stâna, o inem irulț ș
#c+n) tinzând la x dinspre stâna astfel încât F"#x)$lim F ( y n)− F ( x)
y n− x $lim F"#c+n). Deci
dacă există F"#x(), atunci oliatoriu F"#x()$ F"#x).-nalo dacă există F"#x*), atunciF"#x*)$ F"#x). Deoarece F"#x)$f#x), ∀ x ∈J rezultă concluzia.
Con!ecin ăț Fie J un interval din R
. Dacă f:J→ R
admite o discontinuitate de prima
spe ă atunci f nu are primitivă.ț
E"emple
8/17/2019 CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR
2/4
#$/tilizând consecin a precedentă, ăsim solu ia pentru următoarea prolemă cunoscută dinț ț
manuale.&ă se arate că: f a:[0,1 ] → R
, f a#x)$ {cos 1
x pentru x>0
a pentru x=0 admite primitivă
dacă i numai dacă a$.ș
Solu iaț : 'rocedăm prin reducere la asurd. 'resupunem că ar exista a ≠0 astfel încât f a să
aiă primitivă pe [0,1 ] . Deoarece diferen a a două func ii care au primitive are deț ț
asemenea primitivă, rezultă că f a(f are primitivă pe [0,1 ] . 0nsă f a#x)( f #x)$
{0 pentru x>0a pentru x=0 i oriinea este punct de discontinuitate de prima spe ă pentru f ș ț a(f , contrarconsecin ei de mai sus. ămâne a$.ț
%$Dacă f 1 sau f ! nu admite primitive i f$ f ș 1 * f ! ,atunci f nu admite primitive.
&$Dacă o func ie admite primitivă pe un interval J, atunci func ia care se o ine din fț ț țsc2imând valorile lui f doar într(un număr finit de puncte, nu are primitivă pe J.
Primitive elementare
&e tie că func iile elementare sunt acele func ii reale de o variailă reală, care se o in dinș ț ț ț
func iile de ază sau din restric ii ale acelora prin opera ii de adunare, înmul ire i compunereț ț ț ț șîn număr finit.
Func iile elementare sunt derivaile pe orice mul ime desc2isă inclusă în domeniul maxim deț ț
defini ie.Derivata unei func ii elementare este tot o func ie elementară. De reulă, func iileț ț ț ț
care se exprimă prin ,,acolade3 nu sunt func ii elementare. Func iile elementare admitț ț
primitive pe orice interval desc2is inclus în domeniul maximde defini ie .'rimitiva uneiț
func ii elementare poate să nu fie elementară, adică există func ii neelementare derivaile aț ț
căror derivată este elementară.
Condi'ii nece!are de e"i!ten'ă a primitivelor unei func'ii
Teorema (condi'ie nece!ară de e"i!ten'ă a primitivei
Fie R I ⊆ un interval de numere reale. Dacă func4ia R I f →: admite primitive pe I , atunci f are proprietatea lui Daroux pe I .Corolar(Teorema lui ar)ou"
Derivata oricărei func4ii derivaile pe un interval are proprietatea lui Daroux pe acel interval.
O)!* 'entru a arăta că o func4ie R I f →: admite primitive pe I, cu R I ⊆ interval, se poateaplica una din următoarele metode:
8/17/2019 CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR
3/4
1. &e arată că func4ia este continuă.!. &e arată că func4ia este derivailă.5. &e construie6te efectiv primitiva #în cazul în care într(un punct de discontinuitate cel
pu4in o limită laterală nu există)7. &e arată că func4ia se poate scrie ca o sumă de func4ii primitivaile.
Aplica ia #ț
&ă se demonstreze că func4ia
=
≠=→
,
,1
sin)#,:
x
x x x f R R f
admite primitive pe R, dar nu este continuă pe R.
Rezolvare:
x x x
x x
1sin
1cos!)8
1cos# ! +=
=
≠−
=
≠=
,
,1
cos!
,
,)81
cos#)#
!
x
x x
x
x
x x
x x f
f este diferen4a a două func4ii primitivaile, deci f ∈'(R)
'entru 9−∈ R x f este continuă, dar)#lim
x f
x→ nu există ⇒ f ∉ C(R).
Aplica ia %ț ;: R R f →
{ }
=⋅
−∈⋅=,
,sin
)#
xdaca
R xdaca x
x
x f
nu admite primitive.
Rezolvare:
'resupunem că admite primitive. -tunci are proprietatea lui Daroux . 0nsă având
1sin
lim =→ x
x
x
, f#)$ si luând <∈
#,1), există o vecinatate = a lui astfel încât f#x)> f#). 0nsă
);# a x∈∀avem f#x)> < i deci înș
);# a
func ia nu iațvaloarea
8/17/2019 CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR
4/4
@iliorafie
Recommended