Chuyen de Bat Dang Thuc

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøcC¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆpD¹ng I : Chøng bÊt ®¼ng thøc b»ng ®Þnh nghÜaChøng minh r»ng

1) + b2 + c2 ab - ac + 2bc

2) 4a4 + 5a2 8a3 + 2a - 13) a2 + b2 + c2 + d2 +e2 a( b + c + d + e )4) a2( 1 + b2) +b2( 1 + c2) + c2( 1 + a2) 6abc5) a4 + 3 4a6) a4 + b4 a3b + ab3

7) a4 + b4 + c4 + d4 4abcd

8) x4 + y4 , ( Víi x,y 0 )

9) Cho a 0 , b 0 . CMR

10) Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n a 0, b 0 vµ c

CMR :

11) Cho ab 1 , CMR

12) Chøng minh r»ng víi x ta cã

2

13) CM víi a 0, b 0 vµ x, y R th× ( ax + by)( bx + ay)

14) CM víi ab 0 th× (a5 + b5)(a + b) (a4 + b4)(a2 + b2)

15) Cho z y x 0 . Chøng minh

16) Cho a 2, b 2 . Chøng minh ab a + b17) CMR víi a 0, b 0 ta cã

18) Cho a b 0 . CMR :

19) CMR víi a 0, b 0, c 0, d 0 ta cã

1

D¹ng II : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng1) CMR: NÕu a + b = 2cd th× Ýt nhÊt mét trong hai bÊt ®¼ng thøc lµ ®óng

c2 a ; d2 b2) CMR: trong ba bÊt ®¼ng thøc sau ®©y cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc ®óng

2(a2 + b2) (b + c)2

2(b2 + c2) (c + a)2

2(c2 + a2) (a + b)2

3) CMR nÕu a1a2 2(b1+b2) th× Ýt nhÊt mét trong hai ph-¬ng tr×nh

x2 + a1x + b1= 0 (1)x2 + a2x + b2= 0 (2)cã nghiÖm

4) Cho 0 a, b, c 1. Chøng minh cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¨ng thøc sau ®©y lµ sai :

5) Cho ba sè a, b, c tháa m·n :a + b + c 0 (1)ab + bc + ca 0 (2)abc 0 (3)

Chøng minh : a 0, b 0, c 0 6) Chøng minh trong hai ph¬ng tr×nh sau ®©y Ýt nhÊt cã mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm :

x2 - 2ax + 1 - 2b = 0x2 - 2bx + 1 - 2a = 0

7) Cho ba bÊt ®¼ng thøc a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1. Víi a, b, c

(0 ; 2)Chøng minh cã Ýt nhÊt mét trong ba bÊt ®¼ng thøc trªn lµ sai8) Cho a, b, c (0 ; 1) . Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng sau lµ sai

; ;

2

9) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i mét tam gi¸c mµ ®é dµi c¸c ®êng cao lµ 1 ; ; 10) Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lµ ®óng a3b5(c - a)7(c - b)9 0 ; bc5(a - b)9(a - c)13 0 ; c9a7(b - c)5(b - a)3 0

D¹ng III : VËn dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n to¸n c¬ b¶n

NÕu a < b th×

NÕu a b th×

NÕu x, y, z > 0 th×

+)

+)

+)

C¸c bµi to¸n ¸p dông 1) Cho a, b, c > 0 . CMR

2) Cho x, y, z > 0 . CMR

3) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c . CMR

4) CMR :

5) Cho a, b > 0. CMR

6) Cho a, b, c > 0. CMR

7) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. CMR

3

8) Cho a, b, c, d > 0 .CMR

9) Cho a, b, c > 0. CMR

10) Cho a, b, c > 0 .CMR

11) Cho x tho¶ m·n . CMR

12) Cho a, b, c > 0 tháa m·n a + b + c = 1 . CMR

13) Cho a, b, c > 0 . CMR

14) Cho a, b, c > 0. CMR

15) Cho a, b, c > 0 .CMR

16) Cho a, b, c, d > 0. CMR

17) Cho a, b, c, d > 0 . CMR

dcbadbca

ba

dcba

1223

18) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c. CMR

19) Cho hai sè d¬ng a, b tháa m·n a + b = 1. CMR

20) Cho a, b > 0 tháa m·n a + b 1. Chøng tá r»ng

D¹ng IV. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc dÉyA) kiÕn thøc cÇn nhí

4

§Ó chøng minh A B ta ph¶i chøng minh A C víi C lµ biÓu thøc lín h¬n hoÆc b»ng B.

Tõ ®ã ta cã A B, hoÆc ta chøng minh D B víi D lµ biÓu thøc nhá h¬n hay b»ng A tõ ®ã ta cã A B

Gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ë d¹ng d·y, ngêi ta thêng ph¸t hiÖn ®Æc ®iÓm cña sè h¹ng tæng qu¸t, tõ ®ã rót gän c¸c phÐp tÝnh trung gian.

Ngêi ta cßn hay sö dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc trong trêng hîp thuËn lîi.B) Bµi tËp

1) CMR: Víi n N, n > 1

2) CMR: Víi n N

3) CMR: Víi n N, n > 1

4) CMR: Víi n N

5) CMR: Víi n N, n 1

6) CMR: Víi n N, n > 1

7) CMR: Víi n N, n 1

8) CMR: Víi n N, n 1

9) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c. CMR(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) abc

10) CMR:

11) CMR víi mäi sè tù nhiªn n 8, ta cã

12) CMR víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0, ta lu«n cã:

13) CMR víi n N, n 1, ta cã

a)

b)

5

c)

D¹ng V:BÊt ®¼ng thøc cosiA) kiÕn thøc cÇn thiÕt

Trung b×nh céng cña n sè kh«ng ©m lín h¬n hoÆc b»ng trung b×nh nh©n cña n sè ®ã*) Cho a1 , a2 , ..., an 0 ta lu«n cã

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 =

...= an

6