Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng

Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị và tối ưu, … Các học sinh và sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này.Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, …

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng.

Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Có nhiều ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng như phương pháp giải điển hình. Với đề tài “ Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng”, tập tiểu luận này xin tóm tắt các kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm, khả vi và bất đẳng thức Karamata, từ đó đi sâu nghiên cứu một số bài tập liên quan đến bất đẳng thức Karamata.

Hàm lồi, lõm, khả vi

Ta ký hiệu là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp sau: , , và

1.1. Định nghĩa. Hàm số được gọi là lồi trên tập nếu với mọi và với mọi cặp số dương có tổng ta đều có

(1)

Nếu dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi thì ta nói hàm số là hàm lồi

thực sự (chặt) trên Hàm số được gọi là lõm trên tập nếu với mọi và với

mọi cặp số dương có tổng ta đều có

(2)

Nếu dấu đẳng thức trong (2) xảy ra khi và chỉ khi thì ta nói hàm số là hàm

lõm thực sự (chặt) trên

1

1.2. Định lí1. Nếu khả vi bậc hai trên thì lồi (lõm) trên khi và chỉ khi trên

1.3. Biểu diễn hàm lồi và lõmNếu lồi khả vi trên thì với mọi cặp ta đều có

(3)Dễ nhận thấy rằng (3) xảy ra đẳng thức khi Vậy ta có thể viết (3) dưới dạng

Nếu lõm khả vi trên thì với mọi cặp ta đều có (4)

Dễ nhận thấy rằng (4) xảy ra đẳng thức khi Vậy ta có thể viết (4) dưới dạng

1Định lí 1 được phát biểu theo các tài liệu nước ngoài, còn ở Việt nam khái niệm hàm lồi, lõm được phát biểu ngược lại.

Bất đẳng thức Karamata

2.1. Định lí Karamata

Trong mục này ta đặc biệt quan tâm đến dạng bất đẳng thức sau (thường được gọi là Bất đẳng thức Karamata) có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

Định lí 2.1 (Bất đẳng thức Karamata). Cho hai dãy số thỏa mãn các điều kiện

và

(5)

Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự trên , ta đều có

(6)Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức.

2

Chứng minh. Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi

(7)

Không mất tính tổng quát, ta giả thiết bộ số cũng là một bộ số giảm, tức là

Khi đó, để chứng minh (7), ta chỉ cần chứng minh rằng

(8)

Sử dụng biến đổi Abel

(9)

với

Vì rằng nên Mặt khác, do

và ta thu được ngay (8).

2.2. Các hệ quả

Hệ quả 2.2 (Bất đẳng thức Jensen). Với mọi hàm lồi trên và với mọi

ta luôn có bất đẳng thức

Chứng minh. Do tính chất đối xứng, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

Khi đó, ta có

trong đó

Theo bất đẳng thức Karamata, ta có

3

Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức T. Popoviciu). Với mọi hàm lồi trên và với mọi ta đều có bất đẳng thức

Chứng minh. Ta coi Khi đó sẽ xảy ra một trong hai khả năng:

hoặc

Ta chỉ cần xét trường hợp là đủ.

Khi đó dễ dàng kiểm tra

(10)

(11)

và

Ta thu được dãy (10) gần đều hơn (11). Theo bất đẳng thức Karamata, ta được điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje). Với mọi hàm lồi trên và

ta luôn có bất đẳng thức sau

trong đó với mọi

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta coi và Khi đó tồn tại số tự nhiên sao cho m và

trong đó Ta cũng có

Dễ thấy rằng điều cần chứng minh được suy ra từ hai bất đẳng thức sau

4

(12)

(13)Để chứng minh (12), ta áp dụng bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi

trong đó

Vậy ta chỉ còn chứng minh rằng

Vì

và

ta thấy ngay xa đều hơn Vậy bất đẳng thức

(12) được suy ngay từ bất đẳng thức Karamata.Bất đẳng thức (13) được chứng minh tương tự bằng cách sử dụng bất đẳng thức

Jensen quen biết

ứng dụng cho

trong đó

Bất đẳng thức cuối cùng này suy được ngay từ bất đẳng thưc Karamata, vì rằng

và và xa đều hơn

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Karamata

Ở phần tiếp theo, chúng tôi xin trình bày một số áp dụng của bất đẳng thức Karamata và các hệ quả của nó.

Thí dụ 1. Cho số thực dương thỏa mãn các điều kiện

Chứng minh rằng

Giải. Đặt Với các điều kiện đã cho, ta có

5

Xét hàm số với Ta có nên hàm số lồi trên khoảng Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có

hay

Thí dụ 2 Cho

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Giải. Từ giả thiết, ta có

Xét hàm số ta có nên hàm số lồi thực sự trên Do đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có

hay Đẳng thức xảy ra khi

Vậy đạt được khi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy2 cho hai bộ số và , ta có

hay Đẳng thức xảy ra khi

Vậy đạt được khi

6

Thí dụ 3. Cho là tam giác nhọn. Chứng minh rằng

Giải. Không mất tính tổng quát, ta coi Khi đó

Vì và nên

2Với mọi bộ số , ta luôn có bất đẳng thức sau

(14)

Dấu đẳng thức trong (14) xảy ra khi và chỉ hai bộ số và tỉ lệ với nhau, , tức tồn tại cặp số

thức không đồng thời bằng 0, sao cho

Theo tài tiệu nước ngoài, bất đẳng thức (14) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Tại Việt Nam và một số nước Đông Âu, bất đẳng thức này được mang tên là “Bất đẳng thức Bunhia-covski”, “Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski” hoặc “Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz”. Các bất đẳng thức giữa các trị trung bình cộng và nhân thì được gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Xét hàm số với Ta có nên

hàm số lõm trên đoạn Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có

hay

Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC không nhọn, ta luôn có

Giải. Không mất tính tổng quát, ta coi Khi đó

7

hay

Xét hàm số với Ta có với nên

hàm số lồi trên khoảng Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata, ta được

Để ý rằng nên

Vậy

Thí dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, ta luôn có bất đẳng thức

Giải. Không mất tính tổng quát, ta coi tức là dãy số là dãy giảm. Khi đó, ta có

8

Xét hàm số với Ta có nên hàm số

lồi trên khoảng Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh.

Thí dụ 6 (IMO 2000). Cho các số dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng

Giải. Vì nên ta đặt với

Ta viết bất đẳng thức đã cho theo

Để ý rằng do đó trong ba số

không thể có trường hợp hai số cùng âm. Nếu trong ba số trên có một hoặc ba số âm, hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.Trường hợp cả ba số đó đều dương, bằng cách lấy lôgarit hai vế với cơ số e, ta được

Không mất tính tổng quát, ta coi Khi đó, ta có

Xét hàm số với Ta có nên hàm số lõm

trên khoảng Khi đó theo bất đẳng thức Karamata, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay

Thí dụ 7. Cho là các số thực không âm. Chứng minh rằng

Giải. Giả sử Giữa các số thì là số lớn nhất, là số nhỏ nhất. Ta có

hoặc

9

Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata cho hàm số (đây là hàm lõm trên

)

Thí dụ 8 (Áo 2000). Cho và số nguyên Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Giải. Ta xét các trường hợp Trường hợp 1. Khi hàm số lồi trên khoảng Vậy theo bất đẳng thức Jensen, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi hoặc Trường hợp 2. Khi ta đặt Khi đó, ta có

Bất đẳng thức cuối được suy ra ngay từ bất đẳng thức Jensen ứng với hàm số (đây là hàm lồi trên khoảng (0, + )) với và Đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi hay tức là xảy ra khi và chỉ khi hay Đến đây bất đẳng thức hoàn toàn được chứng minh.

10

Thí dụ 9. Chứng minh rằng nếu là các số dương thỏa mãn điều kiện

thì ta có

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Vasile Cirtoaje đối với hàm lồi với ta nhận được

trong đó với mọi Theo điều kiện bất đẳng thức ở

trên trở thành

(*)

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

nghĩa là

Từ bất đẳng thức này, với ta có

Nhân bất đẳng thức này với bất đẳng thắc (*), ta nhận được bất đẳng thức cần chứng

minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Cuối cùng là một số bài tập dành cho bạn đọc

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC nhọn, ta luôn có

Bài 2. Chứng minh rằng nếu là các số thực dương thì

11

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số thuộc khoảng ta luôn có bất

đẳng thức

Bài 4 (APMO 1996). Cho là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 5 (IMO 1999). Cho là một số nguyên dương cố định, . Hãy tìm hằng số bé nhất sao cho

với mọi số thực không âm

Bài 6 (Iran 2008). Cho và Chứng minh rằng

Bài 7. Giả sử là các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng nếu thì ta có

12